close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Явные формы интеграла Шварца и их применение в обратных краевых задачах.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2013, № 10, c. 55–62
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
Краткое сообщение
Н.Р. АБУБАКИРОВ, Л.А. АКСЕНТЬЕВ
ЯВНЫЕ ФОРМЫ ИНТЕГРАЛА ШВАРЦА
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
Аннотация. Приведены новые явные формы интеграла Шварца в единичном круге. Получены критерии, характеризующие появление особых точек на границе в обратных краевых
задачах с использованием суперпозиций логарифмов, а также критерии появления граничных
окружностей.
Ключевые слова: интеграл Шварца, обратные краевые задачи, модуль непрерывности.
УДК: 517.544
1. Интеграл Шварца в круге |ζ| < 1 имеет вид
2π
eiθ + ζ
1
dθ
u(θ) iθ
f (ζ) =
2π 0
e −ζ
(1)
и тесно связан с интегралом типа Коши
2u(θ(t))dt
1
, t = eiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π.
f (ζ) + f (0) =
2πi |t|=1 t − ζ
(2)
К явным формам интегралов типа Коши приводят точные методы вычисления этих интегралов, изложенные в книге Г.Н.Пыхтеева [1]. Поэтому в силу формулы (2), отмеченной
в ([1], с. 35), можно явные формы интегралов типа Коши записать для соответствующих
интегралов Шварца. В книге [1] приведены несколько способов получения явных форм
интегралов Шварца и многочисленные примеры этих форм.
В качестве обобщения примера 2 ([1], с. 49) получается
Теорема 1. Для интеграла (1) справедлив такой критерий:
A0 + A1 ζ + · · · + An ζ n
,
f (ζ) =
B0 + B1 ζ + · · · + Bn ζ n
дробь несократимая (нет общих нулей у числителя и знаменателя),
n
(ak cos kθ + bk sin kθ)
k=0
n
,
B0 Bn = 0, B0 + B1 ζ + · · · + Bn ζ = 0, |ζ| ≤ 1 ⇔ u(θ) = n
(ck cos kθ + dk sin kθ)
k=0
Поступила 28.02.2013
55
56
Н.Р. АБУБАКИРОВ, Л.А. АКСЕНТЬЕВ
n
дробь несократимая, cn + idn = 0,
(ck cos kθ + dk sin kθ) = 0, 0 ≤ θ ≤ 2π .
k=0
Схема доказательства теоремы 1. Необходимость. Проведем простые преобразования
f (eiθ ) =
f1 (θ)
(A0 + A1 eiθ + · · · + An einθ )(B 0 + B 1 e−iθ + · · · + B n e−inθ )
=
,
f2 (θ)
(B0 + B1 eiθ + · · · + Bn einθ )(B 0 + B 1 e−iθ + · · · + B n e−inθ )
где
f2 = |B0 |2 + |B1 |2 + · · · + |Bn |2 + [(B0 B 1 + B1 B 2 + · · · + Bn−1 B n )e−iθ +
+ (B 0 B1 + B 1 B2 + · · · + B n−1 Bn )eiθ ] + · · · + B0 B n e−inθ + B 0 Bn einθ =
= C0 + Re(C1 eiθ ) + · · · + Re(Cn einθ ) = C0 + C11 cos θ + C12 sin θ + · · · + Cn2 sin nθ,
C n = 2B0 B n = Cn1 + iCn2 = 0,
f1 = A0 B 0 + A1 B 1 + · · · + An B n + [(A0 B 1 + A1 B 2 + · · · + An−1 B n )e−iθ +
+ (B 0 A1 + B 1 A2 + · · · + B n−1 An )eiθ ] + · · · + A0 B n e−inθ + B 0 An einθ =
= D0 + D11 cos θ + D12 sin θ + · · · + Dn1 cos nθ + Dn2 sin nθ + i Im f1 (θ).
Тогда
Re f (eiθ ) =
Re f1 (θ)
, f2 (θ) > 0, Cn1 − iCn2 = 0.
f2 (θ)
Достаточность. Так как
n
iθ
(ck cos kθ + dk sin kθ) = (t = e ) =
k=0
n k=0
t2k + 1
t2k − 1
+
d
ck
k
2tk
2itk
и
1
t2k + 1
t2k − 1
+ dk
= n [(ck − idk )tn+k + (ck + idk )tn−k ],
k
2t
2itk
2t
то последнюю сумму можно записать в виде
ck
P2n (t)
P2n (ζ)
1
[(cn − idn )t2n + · · · + (cn + idn )] =
⇒
= Fn (ζ),
n
n
2t
2t
2ζ n
причем Fn (eiθ ) — вещественная величина, не равная нулю. Поэтому по принципу аргумента
1
∆0≤θ≤2π arg Fn (eiθ ) = 0 = N [Fn (ζ)] − P [Fn (ζ)], |ζ| < 1.
2π
Так как
cn + idn
P2n (ζ)
∼
2ζ n
2ζ n
около ζ = 0, то P [Fn (ζ)] = n. Но тогда N [Fn (ζ)] = n. В силу вещественности функции
Fn (eiθ ) по принципу симметрии получим
1
.
Fn (ζ) = Fn
ζ
ЯВНЫЕ ФОРМЫ ИНТЕГРАЛА ШВАРЦА
57
Поэтому совокупность нулей функции Fn (ζ), совпадающая с совокупностью нулей P2n (ζ),
образует такую последовательность
M
−1
ζ
с
порядком
n
.
ζ1 , ζ2 , . . . , ζn ; 1/ζ 1 , 1/ζ 2 , . . . , 1/ζ n = {ζm с порядком nm }M
m
m
1
1
Значит,
P2n (ζ) = (cn − idn )
M M
−1
nm = n, |ζm | > 1, m = 1, M .
(ζ − ζm )nm (ζ − ζ m )nm ,
m=1
u(θ) ⇒ u
(t) = u(−i ln t) ⇒ u
(ζ) =
m=1
Q2n (ζ)
2ζ n
P2n (ζ)
2ζ n
=
Q2n (ζ)
,
P2n (ζ)
причем последняя дробь тоже несократима. По теореме Лиувилля
nm
nm
M M cml
dml
Q2n (ζ)
=
+
−1 + C ⇒
P2n (ζ)
(ζ − ζm )l
(ζ − ζ )l
m=1 l=1
⇒ f (ζ) =
+C
1
2πi
|t|=1
1
2πi
|t|=1
m=1 l=1
M nm
m=1 l=1
m
1
cml t + ζ dt
+
l
(t − ζm ) t − ζ t
2πi
|t|=1
M nm
m=1 l=1
dml
(t −
−1
ζ m )l
t + ζ dt
+
t−ζ t
nm M t + ζ dt
ω+ζ 1
ω+ζ 1
cml
cml
=
+
выч
−
вычζ
0
t−ζ t
(ω − ζm )l ω − ζ ω
(ω − ζm )l ω − ζ ω
m=1 l=1
−
=2
M nm
m=1 l=1
nm
M
m=1 l=1
выч∞
ω+ζ 1
ω+ζ 1
−1 l ω − ζ ω − Cвыч∞ ω − ζ ω =
(ω − ζ )
dml
m
cml
+C
= (C
+C
обозначаем через D) =
+C
(ζ − ζm )l
n (ζ) + D
Q
0
=
M
(ζ − ζm )nm
m=1
M
(ζ − ζm )nm
=
Qn1 (ζ)
,
Pn (ζ)
m=1
где степень n1 = n, если D = 0; если D = 0, то n1 = n0 < n.
Следствие. При n = 1 получим
a0 + a1 cos θ + a2 sin θ
Aζ + B D > 1 ⇔ u(θ) =
, b0 + b1 cos θ + b2 sin θ = 0. (3)
f (ζ) =
Cζ + D
C
b0 + b1 cos θ + b2 sin θ
2. При постановке основных обратных краевых задач [2], [3] в качестве параметров часто используются декартовы и полярные координаты. Пусть граничное значение искомой
аналитической функции F (z) на неизвестном контуре Lz задается в форме
F (z)|Lz = F1 (x) + iF2 (x), x = Re z.
Тогда уравнение искомого контура получается с помощью функции (1), причем u(θ) =
Re z(eiθ ) = x(θ). Зависимость x(θ) определяется из равенства F1 (x) + iF2 (x) = ω(eiθ ), где
ω(ζ) отображает единичный круг на данную область Dw , и влияет на форму контура Lz .
58
Н.Р. АБУБАКИРОВ, Л.А. АКСЕНТЬЕВ
Теорема 2. Критерием того, что искомый контур Lz — окружность, является равенство x(θ) = u(θ), где u(θ) имеет вид (3).
Для доказательства теоремы 2 нужно применить следствие из теоремы 1 и круговое
свойство дробно-линейных функций.
Аналогичные утверждения для Lz в виде окружности справедливы и для краевых функций F |Lz , зависящих от y = Im z или r = |z|, или от ϑ = arg z.
Замечание. Теорему 2 можно обобщить на случай двусвязных и многосвязных областей,
когда в качестве искомой границы Lz получается набор окружностей.
3. Геометрический анализ интегралов Шварца (1) с непрерывной функцией u(θ) становится более прозрачным, если учесть, что образ круга под действием функции (1) не
выходит за пределы полосы
{f : a ≤ Re f ≤ b} ,
(4)
где a = min u(θ), b = max u(θ) на отрезке [0, 2π]. Тогда
2π
b − a 1 + ψ(ζ) b + a
eiθ + ζ
1
dθ =
ln
+
.
(5)
u(θ) iθ
f (ζ) =
2π 0
πi
1 − ψ(ζ)
2
e −ζ
1+ζ
b+a
Функция b−a
πi ln 1−ζ + 2 (ветвь логарифма фиксируется условием ln 1 = 0) отображает
круг |ζ| < 1 на полосу (4), а ψ(ζ) — функция из леммы Шварца, т. е. |ψ(ζ)| ≤ 1 при |ζ| < 1.
Равенство (5) можно считать одним из видов явного представления интеграла Шварца,
если будет известна функция ψ(ζ).
Для простоты предположим, что a = −1, b = 1. Тогда (5) запишется в форме
1 + ψ(ζ)
2
1 + ψ(ζ)
2 1 − ψ(ζ) 2
ln
= arg
+ i ln , f (0) = 0.
(6)
f (ζ) =
πi 1 − ψ(ζ)
π
1 − ψ(ζ)
π
1 + ψ(ζ) Точные оценки, характеризующие представление (6), приведены в ([4], c. 330).
Формула (6) свидетельствует, что самыми сильными особенностями для интеграла Шварца (1), (6) могут быть только логарифмические вида ln(1 − ψ(ζ)), ψ(1) = 1. Анализ конкретных особенностей у Im f (ζ) при непрерывной функции u(θ) с возможным разрывом
при одном значении θ дадим в двух теоремах.
Если
1 − ψ(ζ)
= 0, α > 0,
(7)
lim
ζ→1 (ζ − 1)α
то
arg 1 − ψ ei(−0) − arg 1 − ψ ei(+0) = α arg(1 − eiθ )|−0
+0 = πα.
Поэтому при переходе точки eiθ от значений θ, меньших нуля, к значениям, большим нуля,
будем иметь разрыв у
2
Re f (eiθ ) = arg 1 + ψ eiθ / 1 − ψ(eiθ ) ,
π
равный 2α. Мнимая часть функции около точки ζ = 1 будет вести себя так:
ln |1 − ψ(ζ)| ∼ ln |ζ − 1|α ∼ ln |ζ − 1|.
Поэтому справедлива
Теорема 3. Если выполняется условие (7) по всем путям стремления точки ζ к 1 в
замкнутом круге |ζ| ≤ 1, то Re f (eiθ ) будет иметь разрыв при θ = 0, а Im f (eiθ ) будет
содержать особенность вида ln |ζ − 1|.
ЯВНЫЕ ФОРМЫ ИНТЕГРАЛА ШВАРЦА
59
Обобщением теоремы 3 является
Теорема 4. Пусть функция ψ(ζ) является регулярной в круге |ζ| < 1 и непрерывной в замкнутом круге |ζ| ≤ 1, ψ(1) = 1, |ψ(ζ)| ≤ 1, а производная этой функции ψ (ζ) непрерывна
в замкнутом круге за исключением точки ζ = 1, в которой ψ (1) = ∞. Если
lim [(1 − ψ(ζ)) lnn (ζ − 1)] = 0 (lnk w = ln(lnk−1 w), ln0 w = w)
ζ→1
при n ≥ 1, то Re f (eiθ ) окажется непрерывной в точке θ = 0, а Im f (eiθ ) будет содержать
n+1 |ζ − 1|.
особенность вида Re lnn+1 (ζ − 1) ∼ ln | ln | · · · | ln |1 − ζ || · · · | = ln
!"
n+1
4. Поясним определение и геометрические свойства суперпозиции логарифмических функций.
Пусть w1 = ln w0 является регулярной функцией в плоскости w0 с разрезом по положительной части вещественной оси от 0 до ∞, причем ln(−1) = iπ. Эта ветвь логарифмической функции будет отображать плоскость w0 с указанным разрезом на полосу
0 < Im w1 < 2π. Левая полуплоскость Re w0 < 0 (т. е. π/2 < arg w0 < 3π/2) перейдет в
полосу π/2 < Im w1 < 3π/2. Круг |w0 + 1| < 1(который входит в полуплоскость Re w0 < 0)
отобразится в часть этой полосы. Граница образа круга является цепной линией постоянной прочности ([5], с. 90) и напоминает параболу, ветви которой идут от вершины ln 2 + iπ
влево, асимптотически приближаясь к прямым Im w1 = π/2 и Im w1 = 3π/2.
Функцию wk+1 = ln wk , k = 1, . . . , n, определим как такую же регулярную ветвь логарифмической функции, действующую в плоскости wk с разрезом по положительной части
действительной оси. Она отображает полосу 0 < Im wk < 2π и включенную в нее полосу
0 < Im wk < π на часть полосы 0 < Im wk+1 < π. Эта часть полосы будет отображаться
функцией ln wk+1 на часть полосы 0 < Im wk+2 < π и так далее. Таким образом, последовательность функций
w1 = ln w0 , w2 = ln w1 , . . . , wn = ln wn−1
будет однолистно переводить плоскость w0 с разрезом по положительной части действительной оси от 0 до ∞ на часть полосы 0 < Im wn < π. Полученная последовательность определяет функцию, которую обозначим через lnn w0 = ln(ln(· · · (ln w0 ) · · · )). Эта функция одно ! "
n−1
листно отображает любую плоскую область, составляющую часть области 0 < arg w0 < 2π
или совпадающую с ней самой. В частности, такое однолистное отображение определяет
функция
(8)
wn = lnn (ζ − 1)
для круга |ζ| < 1 в плоскости ζ. Предварительное отображение w0 = ln0 (ζ − 1) = ζ − 1
переводит круг |ζ| < 1 с дополнительным разрезом по вещественной оси от 1 до ∞ в круг
|w0 + 1| < 1, который составляет часть плоскости w0 с разрезом по положительной части
действительной оси.
Функция (8) при любом целом n ≥ 1 имеет логарифмическую особенность в точке ζ = 1,
которая с увеличением n становится все слабее. Точнее, это означает, что
lnn+1 (ζ − 1)
ln ω
= lim
= 0.
ω→∞ ω
ζ→1 lnn (ζ − 1)
lim
Если записать lnn (ζ − 1) = Re lnn (ζ − 1) + i Im lnn (ζ − 1), то
Re lnn (ζ − 1) ∼ ln | ln | · · · |ζ − 1|| · · · |
60
Н.Р. АБУБАКИРОВ, Л.А. АКСЕНТЬЕВ
имеет слабую логарифмическую особенность в точке ζ = 1, а Im lnn (ζ − 1), как увидим
ниже, при n ≥ 2 является непрерывной в точке ζ = 1.
5. Теоремы 3 и 4 согласуются с поведением граничного значения Im f (ζ), которое отражено в статье Р.Б. Салимова [6]. Отметим, что асимптотика функции
π
1
θ−γ
iγ
dθ
u(θ) ctg
Im f (e ) = −
2π −π
2
в условиях теорем 3 и 4 вблизи γ = 0 видна из оценки
−ε π −ε π u(γ) − u(−γ)
γ ctg dγ
+
+
ctg
2
2
−π
ε
−π
ε
γ dγ ≤ C = 0
2
с конечной величиной C, определяющей верхнюю границу величины |u(θ) − u(−θ)| при
0 ≤ θ ≤ π. Это значит, что
−ε π #
$−2
γ
u(γ)
−
u(−γ)
≤ 2C ln sin ε
ctg
dγ
+
.
2
2 2
−π
ε
Однолистная функция (8) может проявиться в качестве значения интеграла Шварца, но
плотность такого интеграла будет сложной. Так, даже при n = 2 для плотности интеграла
2π
#
$ eiθ + ζ
1
dθ
Im ln2 (eiθ − 1) iθ
−i ln2 (ζ − 1) =
2π 0
e −ζ
получим
θ+π
θ+π
θ
, 0 ≤ θ ≤ 2π.
+i
= arctg
Im ln ln 2 sin
2
2
2 ln 2 sin 2θ
Разрыв, который дает arg(eiθ −1) = (θ+π)/2 при переходе через θ = 0, гасится знаменателем
ln(2 sin θ2 ) с бесконечным значением в 0 и 2π. Поэтому при непрерывной вещественной части
функции −i ln2 (ζ − 1) на граничной окружности получим, что мнимая часть ведет себя как
2 |ζ − 1| около ζ = 1.
ln | ln |ζ − 1|| = ln
Вернемся к интегральному представлению, которое решает обратную краевую задачу по
декартовой координате x = Re z,
2π
eiθ + ζ
1
dθ.
x(θ) iθ
z(ζ) =
2π 0
e −ζ
Граничное значение этого представления
i
z(e ) = x(γ) −
2π
iγ
2π
x(θ) ctg
0
θ−γ
dθ
2
задает параметрическое уравнение искомой границы Lz в плоскости z при дополнительных
условиях на x(θ).
Если периодически продолженная функция x(θ) удовлетворяет условию Гёльдера или
обладает модулем непрерывности ω(θ), для которого
θ − γ 1 2π+γ
dθ < ∞
(9)
ω(θ − γ) ctg
2π γ
2
при всех γ, 0 ≤ γ ≤ 2π, то искомая область Dz будет конечной ([7], [8], гл. I, части D, E). Бесконечно удаленная точка появится на границе области Dz , если это условие не выполнится
ЯВНЫЕ ФОРМЫ ИНТЕГРАЛА ШВАРЦА
в одной точке γ = γ0 , т. е.
61
θ − γ0 1 2π+γ0
ω(θ − γ0 ) ctg
dθ = ∞,
2π γ0
2
а в остальных точках 0 ≤ γ ≤ 2π условие (9) будет выполнено.
Проведенные исследования функции lnn (ζ − 1) позволяют получить такое утверждение.
Теорема 5. Если функция x(θ) обладает модулем непрерывности ω(θ), удовлетворяющим
условию (9), за исключением одного значения γ0 , причем функция
x1 (θ) = x(θ) − Re − i lnn ei(θ−γ0 ) − 1
имеет модуль непрерывности ω1 (θ) с условием (9) во всех точках 0 ≤ θ ≤ 2π, то функция
z(ζ) будет содержать граничную особенность lnn (ζ/ζ0 − 1) в точке ζ0 = eiγ0 .
В заключение отметим, что следствие из теоремы 1 можно обосновать способом, который отличается от случая любого n ≥ 1 и который получен Л.И. Вафиной в выпускной
математической работе К(П)ФУ 2012 года.
Литература
[1] Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши (Наука, Новосибирск, 1980).
[2] Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения (Изд-во Казанск. ун-та, Казань,
1965).
[3] Гахов Ф.Д. Краевые задачи (Наука, М., 1977).
[4] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного (Наука, М., 1966).
[5] Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения и их приложения (УРСС, М., 2002).
[6] Салимов Р.Б. О поведении сингулярного интеграла с ядром Гильберта вблизи точки слабой непрерывности плотности, Изв. вузов. Матем., № 6, 61–66 (2012).
[7] Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных
функций, Тр. Моск. матем. о-ва 5, 483–522 (1956).
[8] Кусис П. Введение в теорию пространств H p (Мир, М., 1984).
Н.Р. Абубакиров
доцент, кафедра общей математики,
Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия,
e-mail: Nail.Abubakirov@ksu.ru
Л.А. Аксентьев
профессор, кафедра математического анализа,
Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия,
e-mail: Leonid.Aksentev@ksu.ru
N.R. Abubakirov and L.A. Aksent’ev
Explicit forms of the Schwarz integral and their application in inverse boundary-value
problems
Abstract. We obtain new explicit forms of the Schwarz integral in the unit circle. With the help
of superpositions of logarithms we establish criteria that characterize the appearance of singular
points on the boundary in inverse boundary value problems, as well as criteria for the appearance
of boundary circles.
62
Н.Р. АБУБАКИРОВ, Л.А. АКСЕНТЬЕВ
Keywords: Schwarz integral, inverse boundary-value problems, modulus of continuity.
N.R. Abubakirov
Associate Professor, Chair of General Mathematics,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: Nail.Abubakirov@ksu.ru
L.A. Aksent’ev
Professor, Chair of Mathematical Analysis,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: Leonid.Aksentev@ksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
175 Кб
Теги
интеграл, обратный, применению, явных, формы, краевых, шварц, задача
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа