close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

0 гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных неунимодулярных неразложимых группах Ли.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 514.765
О гармоничности тензора Вейля
левоинвариантных римановых метрик
на четырехмерных неунимодулярных
неразложимых группах Ли∗
Е.Д. Родионов 1 , В.В. Славский 2 , О.П. Хромова 1
1
2
Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)
Югорский государственный университет (Ханты-Мансийск, Россия)
Harmonicity of Weyl Tensor of Left-Invariant
Riemannian Metrics on Four-Dimensional
Nonunimodular Nondecomposable Lie Groups
E.D. Rodionov 1, V.V. Slavskii 2, O.P. Khromova 1
1
2
Altai State University (Barnaul, Russia)
Yugra State University (Khanty-Mansiysk, Russia)
Исследуются римановы многообразия с гармоническим тензором Вейля. В общем случае задача
классификации римановых многообразий с гармоническим тензором Вейля представляется достаточно сложной. Естественно поэтому рассматривать ее в классе однородных римановых пространств в частности, в классе групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. В размерности 3 тензор Вейля тривиален. Четырехмерные
унимодулярные алгебры Ли групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим
тензором Вейля изучались ранее авторами.
Исследуются вещественные четырехмерные
неунимодулярные неразложимые группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля. Разработаны методы, которые позволяют свести задачу к решению системы полиномиальных уравнений в алгебрах Ли. Получена полная классификация
вещественных четырехмерных неунимодулярных
неразложимых алгебр Ли, группы Ли которых
наделены левоинвариантной римановой метрикой
с гармоническим тензором Вейля. Среди полученных в результате классификации алгебр Ли выделены те, метрические группы Ли которых не являются конформно плоскими, т.е. имеют нетривиальный тензор Вейля.
In this paper, Riemannian manifolds with
a harmonic Weyl’s tensor are investigated. The
problem of Riemannian manifolds classification
with a harmonic Weyl’s tensor is considered
to be complicated. Therefore, it is natural to study
it in a class of homogeneous Riemannian spaces
and, in particular, in a class of Lie groups with
a left invariant Riemannian metrics. When the
dimension equals to three the Weyl’s tensor is trivial.
Therefore, there is a question of the Weyl’s tensor
being harmonic in metric Lie groups with dimension
greater than three. Four-dimensional unimodular
Lie algebras of Lie groups with a left invariant
Riemannian metrics and a harmonic Weyl’s tensor
were studied by the authors of the paper.
In the paper we study four-dimensional nonunimodular nondecomposable Lie groups with a left
invariant Riemannian metrics and a harmonic Weyl’s
tensor. Some methods with possible reduction of this
problem to solution of the system of polynomial
equations in Lie algebras are obtained. As a result
of this classification, the Lie algebras with metric
Lie groups that are not conformally flat, i.e. have
non trivial Weyl’s tensor, are distinguished.
Key words: Lie algebras and Lie groups, leftinvariant Riemannian metrics, harmonic Weyl tensor.
Ключевые слова: алгебры и группы Ли, левоинвариантные римановы метрики, гармонический
тензор Вейля.
DOI 10.14258/izvasu(2014)1.2-10
∗ Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта
13-01-90716-мол_рф_нр), Совета по грантам Президента
РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих
научных школ (грант НШ–921.2012.1), ФЦП «Научные
и научно-педагогические кадры инновационной России»
на 2009–2013 гг. (гос. контракт №02.740.11.0457) и гранта ФЦПК (Соглашение № 8206, заявка № 2012-1.1-12-0001003-014).
62
О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик. . .
1
(rik gjt + rjt gik − rit gjk − rjk git ).
(1)
n−2
Дивергенцию тензора Вейля будем определять
формулой из [8]
1. Введение. Настоящая работа продолжает исследования по гармоничности тензора
Вейля на 4-мерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой, начатые в [2, 3],
в неунимодулярном неразложимом случае.
В данной работе применяется классификация
и система обозначений 4-мерных вещественных
алгебр Ли, полученные Г.М. Мубаракзяновым
в [5]. Также использованы результаты работы
А.Г. Кремлева и Ю.Г. Никонорова [4], в которой
доказано, что для каждой четырехмерной неунимодулярной вещественной алгебры Ли существует
ортонормированный базис, в котором структурные константы алгебры Ли имеют удобный для
вычисления вид. Определяя компоненты тензора Вейля и его дивергенции в указанном базисе,
решается вопрос о гармоничности тензора Вейля
на неунимодулярных неразложимых группах Ли.
2. Обозначения и предварительные сведения. Пусть (M, g) — риманово многообразие
размерности n ≥ 4; X, Y, Z, V — векторные поля
на M . Обозначим через ∇ связность Леви-Чивита,
через R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z
тензор кривизны Римана, через r = tr(V −→
R(X, V )Y ) тензор Риччи и через s = tr(r) скалярную кривизну. Разделив тензор кривизны R
на метрический тензор g в смысле произведения
∧ где
Кулкарни-Номидзу, получим R = W + Ag,
W — тензор Вейля, A — тензор одномерной кри∧
визны и (Ag)(X,
Y, Z, V ) = A(X, Z)g(Y, V ) +
A(Y, V )g(X, Z) − A(X, V )g(Y, Z) − g(Y, Z)P (X, V ).
Пусть далее G — группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, {g, [·.·]} — соответствующая алгебра Ли. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между множеством скалярных произведений в g и множеством левоинвариантных римановых метрик в G (см. [1]). Будем
обозначать соответствующее скалярное произведение через h·, ·i и называть пару {g, h·, ·i} метрической алгеброй Ли.
Фиксируем базис {e1 , e2 , . . . , en } левоинвариантных векторных полей в G. Положим [ei , ej ] =
ckij ek , ∇ei ej = Γkij ek , hei , ej i = gij , где {ckij } —
структурные константы алгебры Ли, {gij } — метрический тензор.
Пусть cijs = ckij gks , тогда символы Кристоффеля первого и второго родов вычисляются соответственно по формулам Γij,k = 12 (cijk − cjki +
ckij ), Γsij = Γij,k g ks , где kg ks k есть матрица обратная к kgks k.
Таким образом, тензоры Римана Rijkt , Риччи
rik , скалярная кривизна s и тензор Вейля Wijkt
являются функциями структурных констант ckij
и компонент метрического тензора gij (см. также
[2]). Например,
Wijkt = Rijkt −
−
divWjkt = g ip Wijkt,p ,
(2)
где Wijkt,p = Γlpi Wljkt + Γlpj Wilkt + Γlpk Wijlt +
Γlpt Wijkl — ковариантные производные тензора
Вейля.
Замечание 1. Воспользовавшись симметриями, которыми обладают тензор Вейля и дивергенция тензора Вейля (см. подробнее [3]), всюду далее будем приводить только существенные (нетривиальные) компоненты указанных тензоров.
Придерживаясь терминологии работ [1,6], введем следующее понятие.
Определение 1. Риманово многообразие
(M, g) размерности n ≥ 4 называется C-пространством или пространством с гармоническим тензором Вейля, если divW = 0.
Определение 2. Будем называть алгебру Ли
группы Ли неразложимой, если ее нельзя представить в виде прямой суммы алгебр Ли меньших
размерностей.
Определение 3. Алгебра Ли g называется
унимодулярной, если след любого внутреннего
дифференцирования алгебры Ли равен нулю, т.е.
tr(adX) ≡ 0, ∀X ∈ g, где adX(Y ) = [X, Y ], для
любых X, Y ∈ g.
Лемма. [4]. Для произвольного скалярного
произведения h·, ·i на четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной алгебре
Ли g существует h·, ·i-ортонормированный базис
с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 1.
3. Основные результаты. В данном разделе работы мы рассмотрим все 4-мерные действительные неразложимые неунимодулярные алгебры Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантной римановой метрикой c нулевой дивергенцией тензора Вейля.
Теорема. Пусть G — вещественная четырехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и неразложимой
алгеброй Ли g. Тогда divW = 0 в том и только
том случае, если алгебра Ли g и ее структурные
константы содержатся в таблице 2.
Доказательство. Рассмотрим последовательно каждую неунимодулярную неразложимую алгебру Ли из таблицы 1.
Алгебра Aα
4,2 , α 6= 0, α 6= −2. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы. Поскольку для компонент тензора Вейля в приведенном базисе имеются связи: W1212 = W3434 , W1213 = −W2434 ,
W1223 = W1434 , W1313 = W2424 , W1323 = −W1424 ,
s(gjk git − gjt gik )
−
(n − 1)(n − 2)
63
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Таблица 1
Четырехмерные действительные неразложимые неунимодулярные алгебры Ли
Алгебра Ли
Нетривиальные структурные константы
Ограничения
Aα
4,2
c11,4 = αL, c12,4 = A(α − 1)L, c22,4 = c33,4 = L, c23,4 = CL,
c13,4 = (B(α − 1) − AC)L
A4,3
c11,4 = L, c12,4 = AL, c13,4 = BL, c23,4 = CL
A4,4
c11,4 = c22,4 = c33,4 = L, c12,4 = AL,c13,4 = BL, c23,4 = CL,
Aα,β
4,5
c11,4
c13,4
Aα,β
4,6
L
, c13,4 = BL,
c11,4 = αL, c12,4 = AL, c22,4 = c33,4 = βL, c32,4 = − C
2
c3,4 = CL
C, L > 0, α 6= 0,
β≥0
A4,7
c11,4 = 2A, c12,3 = B, c12,4 = C, c22,4 = A, c13,4 = D, c23,4 = F , c33,4 = A
A, B, F > 0
Aβ4,9
c11,4
c23,4
Aα
4,11
c11,4 = 2Aα, c12,3 = B, c12,4 = C, c22,4 = Aα, c32,4 = −AD, c13,4 = F ,
A
c23,4 = D
, c33,4 = Aα
A, B, D, α > 0
A4,12
c11,3 = c22,3 = A, c11,4 = c22,4 = B, c21,4 = C, c12,4 = D, c13,4 = F ,
c23,4 = G
A, D > 0, C < 0
c12,4
c23,4
C, L > 0
c22,4
= L,
= A(α − 1)L,
= C(α − β)L,
= αL,
= (AC(α − 1) + B(β − 1))L, c33,4 = βL, −1 ≤ α ≤ β ≤ 1
= A(β + 1),
= F (1 − β),
c12,3
c33,4
= B,
= Aβ
c12,4
= C,
c22,4
= A,
C, L > 0, α 6= 0, −2
c13,4
= D,
A, C, L > 0
L > 0, αβ 6= 0,
α + β 6= −1
A, B > 0,
−1 < β ≤ 1
− 12A3 α2 + 4A3 α3 − 12α2 B 2 A + 16αB 2 A2 − 4AB 2
и W1414 = W2323 , то с учетом (1) существенными
являются следующие компоненты тензора Вейля:
+ 12αB 2 A + 16αA − 8α2 A − 2Aα3 − 8A2 B 2 α2
+ 4A3 B 2 α + 4AB 2 α3 − 4BC − 4A3 + BCα2 − 6A
+ 3BCα − 4BAC − BACα),
W1212 = (1/6)(A2 L2 α2 − 4L2 B 2 A − 2L2 B 2 α2
− 2A2 L2 α + 4L2 B 2 α + A2 L2 − 2L2 B 2 A2 + α2 L2
divW134 = −(1/8)L3(6B + 6AB + 4BA2 + 12B 3 A
− αL2 + 4L2 B 2 αA − 2L2 B 2 − 2C 2 L2 ),
+ 4B 3 − 16αB + 8α2 B − 12B 3 A2 α + 12B 3 α2 A
W1213 = (1/4)(AL2 Bα2 − 4AL2 Bα − 2A2 L2 αB
− 12B 3 α + 12B 3 A2 + 12B 3 α2 − 4B 3 α3 + 3Aα2 C
+ 2AL2 B + 2A2 L2 B − αL2 C + 2CL2 ),
+ 4A3 B + 4B 3 A3 + 4BC 2 − 3AαC − 4A2 Bα3
W1223 = (1/4)(3L2 Bα − L2 B − AL2 B − AL2 Cα
+ 12A2 Bα2 − 12A2 Bα + 4A3 Bα2 − 8A3 αB + 2Bα3
+ AL2 C − 2L2 Bα2 + 2AL2 Bα),
− 2BAα2 − 4BC 2 α − 24B 3 αA + 4BC 2 A − 10BAα),
W1313 = (1/6)(−A2 L2 α2 + 2L2 B 2 A + L2 B 2 α2
divW214 = (L3 /8)(6A3 α − 2A3 B 2 − 4A2 B 2 − 6A3 α2
+ 4A2 L2 α − 2L2 B 2 α − 2A2 L2 + L2 B 2 A2
+ 2A3 α3 − 6α2 B 2 A + 8αB 2 A2 + 6αB 2 A − 2AB 2
+ α2 L2 − αL2 − 2L2 B 2 αA + L2 B 2 + C 2 L2 ),
− AC 2 + 10αA − 2α2 A − 4Aα3 + AC 2 α − 4A2 B 2 α2
W1323 = (1/4)(−AL2 α + AL2 + 2AL2 α2 ),
+ 2A3 B 2 α + 2AB 2 α3 − BC − 2A3 + 4BCα2 − 4A
− 3BCα − BAC − 4BACα),
W1414 = (1/6)(A2 L2 α2 + 2L2 B 2 A + L2 B 2 α2
− 2A2 L2 α − 2L2 B 2 α + A2 L2 + L2 B 2 A2
divW224 = −(L3 /8)(4αB 2 − αC 2 − 2α2 B 2 − 9α2 A2
− 2α2 L2 + 2αL2 − 2L2 B 2 αA + L2 B 2 + C 2 L2 )
+ 6α3 A2 − 2A2 B 2 + 4αB 2 A − 4AB 2 − 4BACα2
и компоненты дивергенции тензора Вейля согласно (2) равны:
− 6C 2 + 4BA2 Cα − 2B 2 − 4BA2 C + 4α − 4BAC
divW114 = (1/8)L3 (2αC 2 + 4αB 2 + 4αA2 − 11α2 B 2
divW234 = (L3 /8)(4C 3 − A2 C − 5AB − 6ABα3
− 11α2 A2 + 6α3 B 2 + 6α3 A2 + A2 B 2 − 12α2 B 2 A
+ 8CB 2 A + 2Cα2 − 4Cα + 4CB 2 + 4CB 2 α2
+ 6αB 2 A2 + 10αB 2 A + 2AB 2 − BACα2 + BA2 Cα
− 8CB 2 α + 4CB 2 A2 − 8CB 2 αA − A2 Cα2
+ B 2 − BA2 C + 8α − BAC + A2 + 2BACα − 8α2 ),
+ 2A2 Cα + 6A2 Bα2 − A2 Bα + 4BAα + 7BAα2
divW124 = (1/8)L3 (−4A3 B 2 + 12A3 α − 8A2 B 2
− 4C − 5BA2 ),
+ 3A2 + 8BACα − 4α2 ),
64
О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик. . .
Таблица 2
Неразложимые четырехмерные действительные неунимодулярные алгебры Ли
с левоивариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля
Неразложимая
алгебра Ли
Нетривиальные структурные константы
Aα,β
4,5
c11,4 = c22,4 = c33,4 = L
Aα,β
4,6
Aα,β
4,6
Aβ4,9
c11,4
Aα
4,11
c11,4
A4,12
c11,3 = c22,3 = A, c11,4 = c22,4 = B, c21,4 = −c12,4 = −D
c32,4
= αL,
=
L>0
−c23,4
= −L
α 6= 0, L > 0
c11,4 = c22,4 = c33,4 = βL, c32,4 = −c23,4 = −L
c11,4
=
c12,3
=
c12,3
= 2A,
=
c22,4
Ограничения
=
2Aα, c22,4
c33,4
=A
c33,4
=
β > 0, L > 0
= Aα,
A>0
c32,4
=
−c23,4
=A
A > 0, α > 0
A > 0, D > 0
divW314 = −(L3 /8)(4B − CA + 4AB + 2BA2
1. A, B, C ∈ R, L = 0, α ∈ R.
+ 6B 3 A − 10αB + 2α2 B − 6B 3 A2 α + 6B 3 α2 A
2. A = B = C = 0, L ∈ R, α = 0.
3. A = C = 0, B, L ∈ R, α = 1.
+ 2B 3 − 6B 3 α + 6B 3 A2 + 6B 3 α2 − 2B 3 α3
+ 2Aα2 C + 2A3 B + 2B 3 A3 + 2BC 2 + 4Bα3
2
3
2
2
2
4. A, L ∈ R, B = C = 0, α = 1.
3
2
− AαC − 2A Bα + 6A Bα − 6A Bα + 2A Bα
Поскольку данные решения не удовлетворяют
ограничениям леммы, то для метрической алгебры Ли {Aα
4,2 , h·, ·i} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра A4,3 . Фиксируем ортонормированный базис леммы. Учитывая, что для компонент
тензора Вейля в исследуемом базисе выполняется
W1212 = W3434 , W1213 = −W2434 , W1223 = W1434 ,
W1313 = W2424 , W1323 = −W1424 , и W1414 =
W2323 , получаем, что существенными компонентами тензора Вейля согласно (1) являются
− 4A3 αB − 4BAα2 − 2BC 2 α − 12B 3 αA
+ 2BC 2 A − 6BAα),
divW324 = (L3 /8)(2C 3 − 5AB − 6ABα3 + 4CB 2 A
+ 2Cα2 − 4Cα + 2CB 2 + 2CB 2 α2 − 4CB 2 α
+ 2CB 2 A2 − 4CB 2 αA − 4C + 6A2 Bα2
− A2 Bα + 4BAα + 7BAα2 − 5BA2 ),
divW334 = (L3 /8)(9α2 B 2 − 3αC 2 − 4αA2 + 2α2 A2
− 6α3 B 2 − 3A2 B 2 + 12α2 B 2 A − 6αB 2 A2 − 6AB 2
− 6αB 2 A − 6C 2 − 3BACα2 + 3BA2 Cα − 3B 2
W1212 = (1/6)L2 (A2 + 1) − (1/3)L2(B 2 + C 2 ),
− 3BA2 C − 4α − 3BAC + 2A2 + 6BACα + 4α2 ),
W1213 = (1/2)AL2 B − (1/4)L2 C,
divW412 = L3 (1 − α)(2α2 (A + B 2 A + A3 ) + 3BC
W1223 = −(1/4)AL2 C − (1/2)L2B,
− 4α(A3 + B 2 A + A + B 2 A2 ) − 3BCα + 2A(A2
W1313 = (1/6)L2 (1 + B 2 + C 2 ) − (1/3)A2 L2 ,
+ 1 + A2 B 2 + B 2 ) + 3BAC + 4A2 B 2 − AC 2 )/8,
W1323 = (1/2)L2 A,
divW413 = (L3 /8)(CA + 2B(1 + A + A2 ) + 2B 3
W1414 = −(1/3)L2 + (1/6)L2 (1 + B 2 + C 2 ),
+ 6B 3 A − 6αB + 6α2 B − 6B 3 A2 α + 6B 3 α2 A
− 6B 3 α + 6B 3 A2 + 6B 3 α2 − 2B 3 α3 + Aα2 C
а компоненты дивергенции тензора Вейля из (2)
можно записать в виде
+ 2A3 B + 2B 3 A3 + 2BC 2 − 2Bα3 − 2AαC
divW114 = (1/8)L3(6A2 + 2C 2 − BAC + 6B 2 ),
− 2A2 Bα3 + 6A2 B(α2 − α) + 2A3 Bα2 + 2BC 2 A
divW124 = (1/8)L3(4AB 2 + 4A3 + BC − 2A),
− 4A3 αB + 2B(Aα2 − C 2 α) − 12B 3 αA − 4BAα),
divW134 = (L3 /8)(4B(A2 + B 2 + C 2 ) − 3AC − 2B),
divW423 = CL3 (−2C 2 + A2 − 2B 2 (1 + 2A + α2
divW224 = −(1/8)L3(6A2 − C 2 − 4BAC),
− 2α + A2 − 2αA) + α2 A2 − 2αA2 )/8.
Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант A, B, C, L и параметра α, получим следующие действительные
решения:
L3
(A(C 2 − 4 + 2A2 + 2B 2 ) + 4BC),
8
L3
=
(C(2 − A2 + 4B 2 + 4C 2 ) − 6AB),
8
= (L3 /4)(B 3 + B(C 2 + A2 − 2) − AC),
divW214 =
divW234
divW314
65
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
divW324 = −(1/4)L3(3AB − C − CB 2 − C 3 ),
3
2
1. A, B, C ∈ R, L = 0.
2. A = B = C = 0, L ∈ R.
2
divW334 = −(3/8)L (2B + C + BAC),
L3
(3BC + A(C 2 − 2B 2 − 2A2 − 2)),
8
= (L3 /8)(AC − 2B(1 + A2 + B 2 + C 2 )),
Данные решения не удовлетворяет ограничениям
леммы. Следовательно, для метрической алгебры
Ли {A4,4 , h·, ·i} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра Aα,β
4,5 , αβ 6= 0, −1 ≤ α ≤ β ≤ 1,
α + β 6= −1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы и заметим, что в этом базисе выполняются
соотношения: W1212 = W3434 , W1213 = −W2434 ,
W1223 = W1434 , W1313 = W2424 , W1323 = −W1424 ,
и W1414 = W2323 . Значит, существенными компонентами тензора Вейля, учитывая (1), будут
divW412 =
divW413
divW423 = (1/8)CL3 (A2 − 2B 2 − 2C 2 ).
Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант A, B, C, L, получим
следующие действительные решения:
1. A, B, C ∈ R, L = 0.
2. A = B = C = 0, L ∈ R.
Данные решения не удовлетворяет ограничениям
леммы. Следовательно, для метрической алгебры
Ли {A4,3 , h·, ·i} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра A4,4 . Фиксируем ортонормированный базис леммы. Заметим, что в данном базисе имеют место соотношения:W1212 = W3434 ,
W1213 = −W2434 , W1223 = W1434 , W1313 = W2424 ,
W1323 = −W1424 , и W1414 = W2323 . Поэтому существенные компоненты тензора Вейля согласно
(1) примут вид
W1212 = (1/6)(L2 β − 2C 2 L2 β 2 − 2C 2 L2 α2 + αL2 β
+ 4C 2 L2 βα + α2 L2 − 2L2 α + A2 L2 + A2 L2 α2 + L2
− 2L2 (β 2 + B 2 β 2 − 2B 2 β + A2 [α + C 2 + C 2 α2 ])
+ 4L2 A2 C 2 α − 4L2 BAC − 2L2 B 2 − 4L2 ACαBβ
+ 4L2 ACαB + 4L2 ACBβ),
W1213 = (1/4)(2L2(A2 Cα2 + AβBα − ABβ + A2 C)
− A2 L2 Cα − 2AL2 Bα + 2AL2 B − L2 Cα + L2 Cβ
+ 2L2 Cα2 − 2L2 Cαβ),
W1212 = (1/6)A2 L2 − (1/3)B 2 L2 − (1/3)C 2 L2 ,
W1223 = (L2 /4)(αBβ − 2αAC − αB + ACβα − ACβ
W1213 = (1/2)AL2 B + (1/4)L2C,
− 2Bβ + 2AC + 2B),
W1223 = −(1/4)L B − (1/4)AL C,
W1313 = (L2 /6)(C 2 β 2 + C 2 α2 + αβ − 2β − 2C 2 βα
W1313 = (1/6)B 2 L2 − (1/3)A2 L2 + (1/6)C 2 L2 ,
+ α − 2A2 − 2A2 α2 + 4A2 α + B 2 β 2 − 2B 2 β + A2 C 2
W1323 = (1/4)L2 A,
+ A2 C 2 α2 − 2A2 C 2 α + 2BAC + B 2 + β 2 + 2ACαBβ
W1414 = (1/6)A2 L2 + (1/6)B 2 L2 + (1/6)C 2 L2 ,
− 2ACαB − 2ACBβ − 2α2 + 1),
2
2
W1323 = (1/4)(−AL2 βα + AL2 β + 2AL2 α − 2AL2 ),
а существенными компонентами дивергенции тензора Вейля согласно (2) будут
W1414 = (L2 /6)(C 2 β 2 + C 2 α2 − 2αβ + β − 2C 2 βα
+ A2 + A2 α2 + β 2 + B 2 β 2 − 2B 2 β + A2 C 2 − 2 + B 2
divW114 = (1/8)L3 (7A2 + 7B 2 + 2C 2 − BAC),
+ A2 C 2 α2 − 2A2 C 2 α − 2A2 α + 2BAC + 2ACαBβ
divW124 = (1/8)L3 (4AB 2 + 4A3 − 6A + 5BC),
divW134 = (L3 /8)(4B(A2 + B 2 + C 2 ) − 3AC − 6B),
divW214 = (L3 /8)(A(C 2 − 6 + 2B 2 ) + 5BC + 2A3 ),
− 2ACαB − 2ACBβ + α2 + α).
divW114 = (1/8)L3(12BAC + 6A2 + 6B 2 + 4α2
+ A2 β − 4α − 4β + 6A2 α2 + 2C 2 α2 + ACαβ 2 B
divW224 = −(1/8)L3(−2B 2 + 9A2 − 7C 2 − 4BAC),
divW234 = (L3 /8)(4C 3 − 11AB + C(4B 2 − 6 − A2 )),
− ACβ 2 B − 11ACBβ − 11ACαB + 10ACαBβ
divW314 = (L3 /8)(2B(A2 − 3 + C 2 ) − 3AC + 2B 3 ),
Компоненты дивергенции тензора Вейля в выбранном базисе согласно (2) примут вид
3
2
3
divW324 = −(1/8)L (11AB + 6C − 2CB − 2C ),
divW334 = (1/8)L3 (−9B 2 + 2A2 − 9C 2 − 3BAC),
+ α2 ACBβ − α2 ACB + A2 C 2 α2 β − 2A2 C 2 αβ
divW412 = −(1/8)AL3(−C 2 + 2B 2 + 2A2 ),
− 2B 2 βα + B 2 β 2 α + A2 C 2 β − 12B 2 β + A2 βα2
divW413 = −(1/4)BL3(A2 + B 2 + C 2 ),
+ 2C 2 β 2 + 4β 2 + 6B 2 β 2 − 12A2 α − 12A2 C 2 α
divW423 = (1/8)CL3 (A2 − 2B 2 − 2C 2 ).
+ 6A2 C 2 + 6A2 C 2 α2 − 4C 2 βα + B 2 α − 2A2 βα),
divW124 = (L3 /8)(2A − 4Cα2 B − 8A2 BC − C 2 Aα
Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант A, B, C, L, получим
следующие действительные решения:
+ 12A3 C 2 α + CBβ + 8A2 Cα2 Bβ + 8A2 CBβ
− 4A3 + C 2 βA + 16A2 CαB + 4Cα2 Bβ + 4A3 C 2 α3
66
О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик. . .
+ 8AB 2 β + 4A(C 2 + 1)α3 − 12A3 C 2 α2 − 3AC 2 α2
+ 2Cα + 4Cαβ − 6A2 C − 6AB − 8C 2 Aαβ 2 B
+ 4AB 2 α + 4A3 α3 + 12A3 α − 12A3 α2 − 4Aαβ
+ 8C 3 A2 αβ + 8C 2 Aβ 2 B + 8C 2 AαB − 8C 2 ABβ
+ 3AC 2 βα − 4A3 C 2 − 4AC 2 βα2 − 4Cαβ 2 B
− 3A2 α2 βC − 2A2 Cα2 − 4β 3 (C 3 + C) − 4α2 Cβ),
+ 5CαBβ − 8AB 2 βα + 4AB 2 β 2 α − 16A2 CαBβ
divW314 = (1/8)L3(4B − 2A2 B + 4AC + 2ACα
− 8A2 Cα2 B + 4Aα − 4AB 2 β 2 − CBβ 2 − 4AB 2
− 2Bα2 + 2B 3 β 3 − 6B 3 (β 2 − β) + 2β 3 B + 2βBα2
− CαB − 10Aα2 + 2Aαβ 2 − 2Aβ 2 + 4Aβ),
− 8ACα2 + 2A3 Cα3 − 6A3 Cα2 + 6A3 Cα − 2B 3
divW134 = (1/8)L3 (2B − 4A2 B + 2AC + 5ACα
− 2A2 α2 B + 4A2 αB + 2ACα3 − 4Bβ 2 + 4Bα
− 2Bα2 + 4B 3 β 3 − 12B 3 β 2 − 11ACα2 + 3ACβ
− 4βBα − 2A3 C 3 − 2A3 C − 2Bβ − 12A2 C 2 αBβ
+ 4A3 Cα3 − 12A3 Cα2 + 12A3 Cα − 4A2 α2 B
− 6A2 C 2 α2 B + 12A2 C 2 αB + ACαβ + 2A2 α2 Bβ
+ 8A2 αB + 4ACα3 − 10Bβ 2 + 4Bα − 4βBα
− 4A2 αBβ − ACα2 β − 3β 2 AC + 6A3 C 3 α
− 4A3 C + 4Bβ − 24A2 C 2 αBβ − 12A2 C 2 α2 B
+ 2C 3 α3 A − 2C 3 α2 A − 2C 3 β 2 A + 2C 2 α2 Bβ
− 4A3 C 3 + 24A2 C 2 αB + ACαβ + 4A2 α2 Bβ
+ 2C 3 β 2 Aα + 6B 2 ACα + C 2 Bβ(6A2 α2 + 4α)
− 8A2 αBβ − 4ACα2 β − 6β 2 AC + 12A3 C 3 α
+ 3β 2 ACα + 6B 2 β 2 AC(α − 1) − 12B 2 βACα
+ 4C 3 α3 A − 4C 3 α2 A − 4C 3 β 2 A + 4C 2 α2 Bβ
+ 12B 2 βAC − 4C 3 βα2 A + 4C 3 βαA − 4C 2 β 2 αB
+ 4C 3 β 2 Aα + 12(B 2 ACα + A2 C 2 α2 Bβ) − 4B 3
+ 6A2 C 2 Bβ + 2βBA2 + 2C 2 β 3 B − 6B 2 AC
+ 6β 2 (ACα + 2B 2 ACα − 2B 2 AC) + 8C 2 βαB
+ 2A3 C 3 (α3 − 3α2 ) − 2C 2 B(3A2 + α2 + β 2 )),
− 24B 2 βACα + 24B 2 βAC − 8C 3 βα2 A + 8C 3 βαA
divW324 = (L3 /8)(2C 3 α3 − 4Cα3 + 4C 2 Aα2 Bβ
− 8C 2 β 2 αB + 12A2 C 2 Bβ + 4βBA2 + 4C 2 β 3 B
+ 2C 3 A2 α − A2 Cβ − 4A2 α3 C + 8A2 Cα + 5ABβ
− 12A3 C 3 α2 − 12B 2 AC + 4A3 C 3 α3 − 12A2 C 2 B
− 4C 3 A2 α2 + Aβ 2 B + 4Aα2 B + 2AαB − 4Cα2
− 4C 2 α2 B − 4C 2 β 2 B),
+ 2C 3 A2 α3 − 6C 3 (βα2 − β 2 α) + 2CB 2 α − 2Cβ 3
divW214 = (L3 /8)(4A − Cα2 B − 4A2 BC + 6A3 C 2 α
− 2CB 2 β 3 + 4CB 2 β 2 − 2CB 2 β − 2C 3 A2 β
+ 4C(CβA − CAα − Bβ 2 + Bβ + A2 α2 Bβ
+ 2A2 Cαβ − ABβ(4α2 + α + βα) − 4CB 2 βα
+ 2A2 αB + A2 Bβ) + Cα2 Bβ + 2A3 C 2 α3 + 2A3 α3
+ 2CB 2 β 2 α − 4C 2 Aα2 B − 2C 3 A2 α2 β + 4C 3 A2 αβ
+ 2A(2B 2 β + C 2 α3 − 3A2 C 2 α2 + C 2 α2 + B 2 α
+ 4Cαβ 2 − 2Cβ + 2Cα + 4Cαβ − 6A2 C − 6AB
+ α3 + 3A2 α − 3A2 α2 − A2 ) − AC 2 βα − 3AC 2 βα2
− 4C 2 Aαβ 2 B + 4C 2 Aβ 2 B + 4C 2 AαB − 4C 2 ABβ
αβ(5CB − CβB + 2A(B 2 β − 2B 2 − 4ACB − 2))
− A2 α2 βC + 2A2 Cα2 − 2C 3 β 3 + 2α2 Cβ),
− 4A2 Cα2 B − 2AB 2 β 2 − 2AB 2 − 4CαB − A(4α2
divW334 = −(L3 /8)(12BAC − 4βα2 + 6B 2 − 4β
+ β 2 (C 2 − C 2 α − 2α + 2) − 4β − 2Aα + 2A2 C 2 )),
− 2A2 β + 3C 2 α2 − 3ACαβ 2 B + 3ACβ 2 B
divW224 =)(1/8)L3 (4α − 4βα2 − 6A2 − 4α2 − 3A2 β
− 15ACBβ − 3ACαB + 6ACαBβ + 9α2 ACBβ
− 6A2 α2 + C 2 α2 − 4ABC(αβ 2 − β 2 ) − 4ACBβ
− 9α2 ACB − 3A2 C 2 α2 β + 6A2 C 2 αβ + 6A2 C 2 α3
+ 8ACαB − 4ACαBβ + 8α2 ACBβ − 8α2 ACB
− 6B 2 βα + 3B 2 β 2 α − 3A2 C 2 β − 12β(B 2 + C 2 α2 )
− 4A2 C 2 α2 β + 8A2 C 2 αβ + 6A2 C 2 α3 − 4B 2 βα
+ 4β 2 α + 6A2 C 2 + 6C 2 α3 + 3C 2 β 2 + 4β 2 + 6B 2 β 2
+ 2B 2 β 2 α − 4A2 C 2 β − 12C 2 α2 β + 4β 2 α + 6C 2 α3
− 6C 2 (A2 α + A2 α2 + βα − αβ 2 ) − 2A2 βα2
+ C 2 β 2 + 12A2 α + 6A2 C 2 α − 12A2 C 2 α2 − 2C 2 βα
+ 4A2 βα + 3B 2 α),
+ 6αC 2 β 2 + 2B 2 α − 3A2 βα2 + 6A2 βα),
divW412 = (L3 /8)(1 − α)(2A + 4A2 BC − 4A3 C 2 α
divW234 = (L3 /8)(4C 3 (A2 α + α3 ) − 4Cα2 − 2Cα3
− 3C 2 Aα + 3C 2 βA − 3CBβ 2 + 3CBβ − 4A2 CαB
+ 8C 2 Aα2 Bβ − 3A2 Cβ − 2A2 α3 C + 10A2 Cα
− 4A2 CBβ − 4AB 2 β + 2A3 C 2 α2 + 2AC 2 α2 + 2A3
+ 2ABβ − 8C 3 A2 α2 + 4Aβ 2 B + Aα2 B + 5AαB
− 4A3 α + 2A3 α2 − AC 2 βα + 3CαBβ + 4A2 CαBβ
+ 4C 3 A2 α3 − 12C 3 (βα2 − β 2 α) + 4CB 2 (α − β 3 )
+ 2AB 2 β 2 + 2AB 2 − 3CαB − AC 2 β 2 + 2Aα2
+ 8CB 2 β 2 − 4CB 2 β − 4C 3 A2 β + 6A2 Cαβ
− 4Aα + 2A3 C 2 ),
− Aα2 Bβ − AαBβ − 4Aβ 2 αB − 8CB 2 βα − 2Cβ
divW413 = −(L3 /8)(3ACα − 2B − 2A2 B − 2AC
+ 4CB 2 β 2 α − 8C 2 Aα2 B − 4C 3 A2 α2 β + 10Cαβ 2
+ 2B 3 β 3 − 6B 3 β 2 + 6B 3 β + 2β 3 B − 3AC(α2 − β)
67
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
3
3
3
2
2 2
а компоненты дивергенции тензора Вейля из (2)
равны
2
+ 2A Cα − 6A C(α − α) − 2A α B + 4A αB
+ 2ACα3 − 6Bβ 2 − 2A3 (C 3 + C) − 12A2 C 2 αBβ
2
2 2
2
2
divW114 = (1/8)L3(BAC + 2α + A2 C 2 β + 6A2 C 2 α
2 2
+ B 2 C 2 β − BC 3 A + 6B 2 C 2 α − 8C 2 α2 β − 4αC 2
3
− 4A αBβ − 3ACα β − 3β AC + 6A C α
+ 8αC 2 β 2 + 2αC 4 )/C 2 ,
+ 2C 3 α3 A − 2C 3 α2 A − 2C 3 β 2 A + 2C 2 α2 Bβ
divW124 = (1/8)L3(4A3 C 2 − 10AC 2 βα − 2AC 2
+ 2C 3 β 2 Aα + 6B 2 ACα + 6A2 C 2 α2 Bβ + 4C 2 βαB
+ 6AC 2 β 2 + BC 3 α + 3CαB + 4AB 2 C 2 + 4BC 3 β
+ 3β 2 ACα + 6ACB 2 (β 2 α − β 2 − 2βα) − 2B 3
− 2AC 2 α2 + 4A)/C 2 ,
+ 12B 2 βAC − 4C 3 βα2 A + 4C 3 βαA − 4C 2 β 2 αB
divW134 = (1/8)L3(4A2 BC − 3C 2 Aα − Aα − 4Aβ
+ 6A2 C 2 Bβ + 2βBA2 + 2C 2 β 3 B − 6B 2 AC
+ 2C(3Bβ 2 − 5αBβ + 2B 3 + 2BC 2 − B − α2 B))/C,
+ 2A3 C 3 α3 − 6A3 C 3 α2 − 2C 2 B(α2 + β 2 + 3A2 )),
divW214 = (1/8)L3(2A + CBβ − 4AC 2 α2 − 6AC 2 βα
divW423 = (L3 /8)(β − α)(2C 3 α2 + 2Cα2 + 2A2 Cα2
+ AC 4 + 2CαB + 4AC 2 β 2 − AC 2 + 2A3 C 2 + BC 3
+ 6Bβ − 6A C α B + 12A C αB + 2A α Bβ
2
3
2
2 2
3
2
3
3
2
+ 2C A α − 4C αβ − 4C A α + 3AαBβ + 3AB
2
2
+ 2AB 2 C 2 β + 4BC 3 α)/C 2 ,
2
− 4C AαB − 4A Cα + 4AC αBβ − 4Cαβ − 3AαB
3
2
3 2
2
2
2
2
+ 2C A + 2C β + 2C(A + B + β − 2B β)
2
2
divW224 = −L3 (3α − 3BAC + 6β + 3A2 C 2 β − 2αC 2
− 4C 2 α2 β + 6A2 C 2 α − 4BC 3 A − 2B 2 C 2 β + 4αC 2 β 2
2 2
+ 4C AB − 4C ABβ − 3ABβ + 2CB β ).
− αC 4 − 6C 4 β)/(8C 2 ),
Решая подсистему из двух уравнений
divW412 = 0 и divW423 = 0 относительно параметров α и β, получим единственное решение
α = 1 и β = 1. Подстановка этих значений
в систему divW = 0 обращает в нуль каждое ее
уравнение. Таким образом, единственным решением системы divW = 0 является следующий
набор структурных констант:
divW234 = −L3 (4C 4 β 2 − 2C 4 α2 + 2 + 2C 2 α2 + 4C 4 βα
+ 2A2 C 2 + 2C 4 − 4C 2 β 2 + 5BC 3 Aβ + 6BC 3 Aα − 4C 6
− 4B 2 C 4 + A2 C 4 − 4C 2 βα)/(8C 3 ),
divW314 = (1/8)L3(B − BC 2 − 4ACα + 2B 3 C 2 + 2BC 4
− ACβ − AC 3 β − 2AC 3 α − 6C 2 βαB + 2A2 C 2 B
− 4C 2 α2 B + 4C 2 β 2 B)/C 2 ,
divW324 = −L3 (6BC 3 Aα − 2C 4 α2 + 2C 2 α2
A, B, C, L ∈ R, α = 1, β = 1.
+ 4C 4 βα − 4C 2 βα − B 2 C 2 + 5BC 3 Aβ + 4C 4 β 2
При L > 0 данное решение удовлетворяет
ограничением леммы, и поэтому для алгебры
Ли {Aα,β
4,5 , h·, ·i} тензор Вейля является гармоническим в том и только в том случае, если
нетривиальные стуктурные константы имеют вид
c11,4 = c22,4 = c33,4 = L, где L > 0.
+ 4 − 2C 2 (−2A2 + 2β 2 − C 4 + B 2 C 2 ))/(8C 3 ),
divW334 = (1/8)L3(α − 4BAC + 6β + 2A2 C 2 β
+ 4C 2 α2 β + 2αC 2 − 6B 2 C 2 α − 3BC 3 A − 3αC 4
− 4αC 2 β 2 − 3B 2 C 2 β − 6C 4 β)/C 2 ,
divW412 = −(1/8)L3(2AC 2 α2 − CBβ − 4AC 2 βα
Алгебра Aα,β
4,6 , α 6= 0, β ≥ 0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы. Принимая во внимание, что
в этом базисе W1212 = W3434 , W1213 = −W2434 ,
W1223 = W1434 , W1313 = W2424 , W1323 = −W1424 ,
и W1414 = W2323 , получаем, что существенными
компонентами тензора Вейля согласно (1) являются
+ 2A − AC 4 + CαB + 2AC 2 β 2 − AC 2 + 2A3 C 2
+ 2AB 2 C 2 + 3BC 3 β − 3BC 3 α)/C 2 ,
divW413 = −L3 (2B 3 C 2 − BC 2 + 3ACα + 2BC 4
− 3ACβ + AC 3 β − AC 3 α − 4C 2 βαB + 2A2 C 2 B
− B + 2C 2 α2 B + 2C 2 β 2 B)/(8C 2 ),
divW423 = (1/8)L3(B 2 C 2 + 2C 2 − 2A2 C 2 + 2C 4
− 2 − 2C 6 − 2B 2 C 4 + A2 C 4 )/C 3 .
L2 2
1
(A − βα − 2B 2 + α2 + 1 − 2C 2 + 2 ),
6
C
= (L2 /(4C))(2BAC + (2β − α)(C 2 − 1)),
W1212 =
W1213
2
W1223 = −(1/4)L (−Bβ + AC + 2Bα),
L2 2
2
(B − βα − 2A2 + α2 + C 2 + C 1 − 2 ),
6
C
= (L2 /(4C))(−B − ACβ + 2ACα),
W1313 =
W1323
W1414 =
Найдем решение системы уравнений divW = 0.
Рассмотрим уравнение divW423 = 0 и запишем его
в виде
2C 6 + (2B 2 − A2 − 2)C 4 + (2A2 − 2 − B 2 )C 2 + 2 = 0.
Заметим, что если C = 1 данное равенство имеет
место лишь при A = B = 0. В этом случае система
L2 2
1
(A + B 2 + 2βα − 2α2 + C 2 − 2 + 2 ),
6
C
68
О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик. . .
уравнений divW = 0 эквивалентна равенству вида
αβ(α − β) = 0. Откуда учитывая, что α 6= 0, β ≥ 0
получаем два решения α = β > 0 и α 6= 0, β = 0.
Если C 6= 1, то при заданных ограничениях
на структурные константы(C > 0, L > 0, α 6= 0,
β ≥ 0) уравнение divW423 = 0 не имеет решений
удовлетворяющих условиям леммы.
Таким образом, для алгебры Ли {Aα,β
4,6 , h·, ·i}
тензор Вейля является гармоническим в том
и только том случае, если ее нетривиальные
структурные константы имеют вид: c11,4 = αL,
c32,4 = −c23,4 = −L, где α 6= 0, L > 0, или
c11,4 = c22,4 = c33,4 = βL, c32,4 = −c23,4 = −L, где
β > 0, L > 0.
Замечание 2. Отметим, что для алгебра Ли
1
Aα,β
4,6 с набором структурных констант c1,4 =
αL, c32,4 = −c23,4 = −L, α 6= 0, L > 0 ковариантная производная тензора кривизны DR = 0 и, согласно теореме Э. Картана (см., например, [1])
указанная алгебра является локалоно симметрической. В то время как, для алгебры Ли Aα,β
4,6 с набором структурных констант c11,4 = c22,4 = c33,4 =
βL, c32,4 = −c23,4 = −L, β > 0, L > 0 ковариантная
производная тензора кривизны DR 6= 0.
Алгебра A4,7 . Фиксируем ортонормированный базис леммы и заметим, что в рассматриваемом базисе выполнено: W1212 = W3434 ,
W1213 = −W2434 , W1214 = W2334 , W1223 = W1434 ,
W1224 = −W1334 , W1234 = −W1324 , W1313 =
W2424 , W1314 = −W2324 , W1323 = −W1424 ,
и W1414 = W2323 . Значит, существенными компонентами тензора Вейля согласно (1) будут
divW134 = (D/2)(B 2 + C 2 + D2 + F 2 )
− (3/4)ACF − (11/4)DA2 ,
divW212 = (1/2)BF A,
divW213 = (1/8)B(F 2 − 8A2 + 2C 2 + 2D2 + 2B 2 ),
divW214 = −3CA2 + (1/8)CF 2 + (1/4)CB 2
+ (9/8)F AD + (1/4)(C 3 + CD2 ),
divW223 = −(1/8)B(13AC − 4F D),
divW224 = (1/4)A(D2 − B 2 ) − (15/8)AC 2 + AF 2
+ (1/2)DCF + A3 ,
divW234 = −(17/8)ACD − (1/8)(B 2 F + C 2 )F
+ (1/2)(F D2 + F 3 − F A2 ),
divW312 = (1/8)B(F 2 + 8A2 − 2C 2 − 2D2 − 2B 2 ),
divW313 = −(1/2)BF A,
divW314 = (1/4)D(B 2 + C 2 + D2 + F 2 ) − 3DA2
− (5/8)ACF,
divW323 = −(1/8)B(13AD − CF ),
divW324 = −(17/8)AC(D) − (1/8)B 2 F − (1/2)F A2
+ (1/4)(F D2 + F 3 ),
divW334 = (1/4)A(C 2 − B 2 ) − (15/8)AD2 + A3
− (3/2)AF 2 − (3/8)DCF,
divW412 = (1/8)[3F AD − 2C(A2 − (1/2)F 2 + B 2
+ D2 + C 2 )],
divW413 = −(1/4)D(A2 + C 2 + B 2 + D2 + F 2 )
(1/8)ACF,
W1212 = (1/6)B 2 + (1/6)C 2 + (1/3)(A2 − D2 − F 2 ),
W1213 = CD/2,
W1214 = −BD/2,
W1223 = −(3AD + CF )/4,
divW423 = −(1/8)F (−C 2 + 2D2 + 2F 2 ),
divW424 = (1/8)B(4AD − CF ),
divW434 = −(1/8)B(4AC − 3F D).
Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант A, B, C, D, F , получим следующие действительные решения:
W1224 = BF/4,
W1234 = BA/2,
W1313 = (1/6)(B 2 + D2 + F 2 ) + (1/3)A2 − (1/3)C 2 ,
1. A ∈ R, B = −2A, C = D = F = 0.
W1314 = BC/2,
W1323 = 3AC/4,
2. A ∈ R, B = 2A, C = D = F = 0.
2
2
2
2
2
W1414 = (1/6)(C + D + F ) − (2/3)A − (1/3)B ,
и компоненты дивергенции тензора Вейля согласно (2) примут вид
divW112 = −(9/8)BDA,
divW113 = (1/8)B(9AC − F D),
divW114 = (1/8)A[4(B 2 + F 2 ) + 13(C 2 + D2 )]
− 2A3 − (1/8)DCF,
Данные решения не удовлетворяет ограничениям
леммы, и поэтому для алгебры Ли {A4,7 , h·, ·i} тензор Вейля не является гармоническим.
Алгебра Aβ4,9 , −1 < β ≤ 1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы. Тогда W1212 = W3434 ,
W1213 = −W2434 , W1214 = W2334 , W1223 = W1434 ,
W1224 = −W1334 , W1313 = W2424 , W1314 =
−W2324 , W1323 = −W1424 , и W1414 = W2323 . Учитывая (1), получаем, что существенные компоненты тензора Вейля равны
divW123 = −(1/2)B(4A2 − C 2 − D2 − B 2 ),
W1212 = (1/6)(B 2 + C 2 + 2A2 β − 2D2 − 2F 2
divW124 = (1/2)C(B 2 + D2 + C 2 ) − (11/4)CA2
+ (3/4)F AD,
− 2F 2 β 2 + 4F 2 β),
W1213 = (1/4)(2CD + AF β 2 + AF − 2AF β),
69
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
W1214 = −(1/2)BD,
+ 2D3 + 2DF 2 + 2DF 2 β 2 − 4DF 2 β),
W1223 = −(1/4)(AD + CF − CF β) − (1/2)AβD,
W1224 = −(1/4)BF (−1 + β),
divW323 = −(1/8)B(4AβD + 9AD − CF + CF β),
W1234 = (1/2)BAβ,
+ 6F A2 β 2 + 4F A2 β − 2F D2 β − 4A2 β 3 F − 2F 3 β 3
2
2
2
2
divW324 = (1/8)(F B 2 β − 7DCAβ − 10DAC
2 2
W1313 = (1/6)(B + D + 2A β − 2C + F β
2
− 6F 3 β + 6F 3 β 2 − 6A2 F + 2F D2 − F B 2 + 2F 3 ),
2
+ F − 2F β),
W1314 = (1/2)BC,
divW334 = (1/8)(8A3 β − 9AD2 − 9AF 2 + 2C 2 Aβ
W1323 = (1/4)CAβ + (1/2)AC,
W1324 = −(1/2)BA,
− 3DCF − 2B 2 Aβ),
+ 15AF 2 β − 3AF 2 (β 3 + β 2 ) − 6AD2 β + 3DCF β
divW412 = (1/8)(3DAF β − 3DAF β 2 − 2CF 2 β
W1414 = −(2/3)A2 β + (1/6)(C 2 + D2 − 2B 2 + F 2
+ C(F 2 β 2 − 2A2 β 2 − 2C 2 − 2B 2 + F 2 − 2D2 )),
+ F 2 β 2 − 2F 2 β).
divW413 = (1/8)(−F AC − 2F CAβ 2 − 2A2 D
Компоненты дивергенции тензора Вейля в данном
базисе согласно (2) имеют вид
+ 3F CAβ − 2DC 2 − 2DB 2 − 2D3 − 2DF 2
− 2DF 2 β 2 + 4DF 2 β),
divW424 = (1/8)B(4AD − CF + CF β),
divW112 = −(1/8)ABD(5 + 4β),
divW434 = −(1/8)B(4CAβ − 3F D + 3F Dβ),
divW113 = (1/8)B(5CAβ + 4AC − F D + F Dβ),
divW423 = (1/8)(β − 1)(2F A2 β 2 + 2F 3 β 2 − 4F A2 β
divW114 = (1/8)(6AC 2 − 8A3 β + 2B 2 A + 7AD2
− 4F 3 β + 2F D2 − F C 2 + 2A2 F + 3DAC + 2F 3 ).
+ 2AF 2 + 7C 2 Aβ − 2AF 2 β + 2AF 2 β 3 − 2AF 2 β 2
+ 6AD2 β + DCF β − A3 β 2 − DCF + 2B 2 Aβ,
2
2
2
2
Решая систему уравнений divW = 0 относительно структурных констант A, B, C, D, F и параметра β, получим следующие действительные
решения:
2
divW123 = (B/2)(C + D + B − A (1 + β) ),
divW124 = (1/8)(−4DAF β − DAF β 2 − 14CA2 β
+ 4C(D2 − A2 − A2 β 2 ) + 5DAF + 4C 3 + 4B 2 C),
divW134 = (1/8)(4DF 2 − 14DA2 β + 4DF 2 β 2 + 4D3
2
2 2
2
2
− 8DF β − F AC − 1/2A β D + 4DB − 4A (D)
1.A ∈ R, B = C = D = F = 0, β = 0.
2.A, F ∈ R, B = −2A, C = D = 0, β = 1.
3.A, F ∈ R, B = 2A, C = D = 0, β = 1.
4.A = B = C = D = 0, F ∈ R, β = 1.
+ 4DC 2 − 4F CAβ + 5F CAβ 2 ),
divW212 = (1/8)BAF (β + 3)(1 − β),
5.A = B = C = D = F = 0, β ∈ R.
divW213 = −(1/8)B(4A2 − F 2 − F 2 β 2 + 2F 2 β
− 2C 2 + 4A2 β − 2D2 − 2B 2 ),
Поскольку при A > 0 только третье решение удовлетворяет ограничениям леммы, то для метрической алгебры Ли {Aβ4,9 , h·, ·i} тензор Вейля яв2
2 2
3
2
− 14CA β − 6CA β + 5DAF + 2C + 2B C
ляется гармоническим в том и только в том слу+ 2CD2 − 4A2 C − 2CF 2 β + CF 2 ),
чае, если ее нетривиальные структурные констанdivW223 = −(B/8)(9CAβ + 4AC − 4F D + 4F Dβ),
ты имеют вид: c11,4 = c12,3 = B, c22,4 = c33,4 = A, при
B = 2A > 0, β = 1.
divW224 = (1/8)(2AD2 − 6AC 2 − 2B 2 A − 9C 2 Aβ
Алгебра Aα
4,11 , α > 0. Для рассматриваемо+ 7AF 2 − 13AF 2 β + AF 2 β 3 + 5AF 2 β 2 − 4DCF β
го семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы и заметим, что в указанном ба+ 8A3 β 2 + 4DCF ),
2
2
divW234 = (1/8)(F β(B + C ) − 7DAC − 10DCAβ зисе имеют место соотношения W1212 = W3434 ,
W1213 = −W2434 , W1214 = W2334 , W1223 = W1434 ,
+ 12F A2 β 2 − 2F A2 β − 4F D2 β − 6A2 β 3 F − 4F 3 β 3 W1224 = −W1334 , W1234 = −W1324 , W1313 =
− 12F 3 (β − β 2 ) − F (C 2 − 4D2 + B 2 − 4F 2 + 4A2 )), W2424 , W1314 = −W2324 , W1323 = −W1424 , и
W1414 = W2323 . Поэтому существенными компоdivW312 = (1/8)B(F 2 + F 2 β 2 − 2F 2 β + 4A2 β 2
нентами тензора Вейля согласно (1) будут
+ 4A2 β − 2C 2 − 2D2 − 2B 2 ),
divW214 = (1/8)(CF 2 β 2 − DAF β − 4DAF β 2
divW313 = (1/8)BAF (β + 3)(−1 + β),
W1212 = (B 2 D2 + C 2 D2 + 2A2 α2 D2 − 2F 2 D2
divW314 = (1/8)(3F CAβ 2 − 2F AC − 14DA2 β
− 2A2 + A2 D2 + A2 D4 )/(6D2 ),
W1213 = (1/2)CF,
− 6A2 D − 4A2 β 2 D − F CAβ + 2DB 2 + 2DC 2
70
О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик. . .
W1214 = −(1/2)BF,
+ 2F 2 D2 + 4A2 α2 D4 )/(8D3 ),
W1223 = −(1/4)A(3αF D + C)/D,
divW334 = −A(15αF 2 D2 − 2C 2 D2 α + 12A2 α
W1224 = −AB(D2 − 1)/(4D),
W1234 = (1/2)BAα,
− 8αA2 D4 + 3CF D + 2B 2 αD2 − 8A2 α3 D2
2
2
2
2
− 4A2 αD2 + 4CD3 F )/(8D2 ),
2 2
2
2
2
2
W1313 = (B D + F D + 2A α D − 2C D + A
2
2
2
4
divW412 = −(A2 αD3 F + 2A2 α2 D2 C − CA2
2
+ A D − 2A D )/(6D ),
+ (2B 2 C + 2CF 2 + 2C 3 − CA2 )D2 + 2CA2 D4
W1314 = (1/2)BC,
W1323 = (1/4)A(−F D + 3αC),
− 3A2 αF D)/(8D2 ),
divW413 = −(2F A2 α2 D2 − A2 DαC − F A2 D2
W1414 = (C 2 D2 + F 2 D2 − 2B 2 D2 + A2 − 2A2 D2
− F A2 D4 + 2C 2 F D2 + 3A2 D3 αC + 2F B 2 D2
+ A2 D4 − 4A2 α2 D2 )/(6D2 ).
+ 2F 3 D2 + 2F A2 )/(8D2 ),
Компоненты дивергенции тензора Вейля с учетом (2) в рассматриваемом базисе примут вид
divW423 = A(C 2 + D2 F 2 + 2A2 + 2A2 D2 − 2C 2 D2
divW112 = −(1/8)AB(9αF + CD),
divW113 = (1/8)AB(9αCD − F )/D,
divW424 = (1/8)AB(4αF D − C + 3CD2 )/D,
− 2A2 D3 − 2F 2 − 2A2 )/(8D3 ),
divW434 = −(1/8)AB(4αCD + F D2 − 3F )/D.
divW114 = A(4B 2 αD2 + CD3 F + 13C 2 D2 α
Из уравнения divW313 = 0 и ограничений
на структурные константы (A > 0, B > 0, D > 0,
α > 0) получаем, что D=1. Решая систему
уравнений divW = 0 (добавив к нему уравнение
D = 1) относительно структурных констант A,
B, C, D, F и параметра α, получаем следующие
действительные решения:
− 16A2 α3 D2 + 13αF 2 D2
+ 4A2 α − 8A2 αD2 − CF D + 4αA2 D4 )/(8D2 ),
divW123 = (1/2)B(C 2 + F 2 + B 2 − 4A2 α2 ),
divW124 = (1/4)(2B 2 CD + 2CF 2 D − 11A2 α2 DC
+ 2C 3 D − CA2 (D − 2D3 ) + 3A2 αF (D2 + 1))/D,
divW134 = (1/4)(D2 (2F B 2 + 2C 2 F − 11F A2 α2
1.A = B = C = F = 0, D = 1, α ∈ R.
2.A ∈ R, B = C = F = 0, D = 1, α = 0.
− F A2 + 2F 3 ) − 3A2 α(D + D3 )C + 2F A2 )/D2 ,
divW212 = −(1/2)BA2 α(D2 − 1)/D,
2
4
2
3.A ∈ R, B = −2Aα, C = F = 0, D = 1, α ∈ R.
4.A ∈ R, B = 2Aα, C = F = 0, D = 1, α ∈ R.
2
divW213 = (1/8)B(A (1 − D − 8α D )
+ 2D2 (C 2 + F 2 + B 2 ))/D2 ,
2
3
2
2
2
divW214 = (5A αD F + CA + (2C + 2F + 2B
При A > 0 и α > 0 лишь четвертое решение удовлетворяет ограничениям леммы. Следовательно,
для метрической алгебры Ли {Aα
4,11 , h·, ·i} тензор
Вейля является гармоническим в том и только
в том случае, если ее нетривиальные структурные константы имеют вид: c11,4 = 2Aα, c12,3 = B,
c22,4 = c33,4 = Aα, c32,4 = −AD, c23,4 = A/D, при
A > 0, B = 2Aα, D = 1, α > 0.
Алгебра A4,12 . Фиксируем ортонормированный базис леммы. В виду того, что в выбранном базисе: W1212 = W3434 , W1213 = −W2434 ,
W1214 = W2334 , W1223 = W1434 , W1224 = −W1334 ,
W1313 = W2424 , W1323 = −W1424 , и W1414 = W2323
заключаем из (1), что существенными компонентами тензора Вейля являются
2
− 24A2 α2 − A2 + 2A2 D2 )CD2 + 9A2 αF D)/(8D2 ),
divW223 = −(1/8)AB(13αCD + F D2 − 4F )/D,
divW224 = −A(15C 2 D2 α − 2αF 2 D2 + 12αA2 D4
− 8A2 α − 3CD3 F − 4CF D + 2B 2 αD2 − 8A2 α3 D2
− 4A2 αD2 )/(8D2 ),
divW234 = A(B 2 D4 − 17D3 F αC − B 2 D2 − C 2 D2
− 4A2 α2 D2 − 2A2 D2 + 4A2 + 4F 2 D2 + 4A2 α2 D4
− 2C 2 D4 − 2A2 D6 )/(8D3 ),
divW312 = B(A2 − A2 D4 + 8A2 α2 D2 − 2C 2 D2
− 2F 2 D2 − 2B 2 D2 )/(8D2 ),
2
W1212 = (1/6)(2DC + D2 + C 2 − 2F 2 − 2G2 ,
2
divW313 = (1/2)B(A (D − 1)α)/D,
W1213 = (1/2)F D + (1/4)(F C + BG),
W1214 = −91/4)AG,
divW314 = (−24F A2 α2 D2 − 5A2 DαC − F A2 D2
+ F A2 D4 + 2F B 2 D2 − 9A2 D3 αC + 2C 2 F D2
+ 2F D + 2F A )/(8D ),
W1223 = −(1/4)(BF + GD) − (1/2)GC,
W1224 = 1/4AF,
divW323 = −(1/8)AB(13αF D − C + 4CD2 )/D,
W1313 = (1/6)(F 2 − 2D2 + C 2 + G2 − DC,
divW324 = A(−17D3 F αC − B 2 D2 + B 2 D4 + D4 F 2
W1323 = (1/2)(BC + BD),
3
2
2 2
2
2
2
2
4
2
4
2
6
2
W1414 = (1/6)(D2 + F 2 + G2 − DC − 2C 2 ).
− 4A α D + 2A D − 4C D − 4A D + 2A
71
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
При этом компоненты дивергенции тензора Вейля
согласно (2) примут вид
− 3BF D − BF C − 2B 2 G − 2GF 2 − 2G3 ,
divW112 = (1/8)AF (3C + 5D),
divW424 = (1/8)(8BG + 3F C + 9F D),
divW113 = (1/8)A(−2C 2 + 2D2 + 7F 2 + 2G2 ,
divW434 = (9/8)A(F 2 + G2 ).
divW114 = (1/4)(BG2 + 3BD2 − 3BC 2 )
Из уравнения divW213 = 0 данной системы
и ограничений на структурные константы (A > 0,
C < 0, D > 0), получаем что F = 0 или G = 0.
Если F = 0, то из равенства divW313 = 0 и C < 0
находим, что G = 0. Если G = 0, то из divW323 = 0
и D > 0 заключаем, что F = 0. Это означает, что
система уравнений divW = 0 имеет решение, только если F и G равны нулю одновременно. Решая
приведенную выше систему уравнений divW = 0
(добавив условия F = 0 и G = 0) относительно
структурных констант A, B, C, D, F , G, получим
следующие действительные решения:
− (1/8)(F GD − 7BF 2 − 4F GC),
divW123 = (5/8)AGF,
divW124 = (4F 2 D + F 2 C + 4D3 + 2D2 C + 2G2 C
− 4(A2 + B 2 )(C + D) + 2C 3 + 5F BG)/8,
divW134 = (F CD − BGD − 7BGC − F C 2
+ 4(F D2 − A2 F − B 2 F + F 3 + F G2 ))/8,
divW212 = −(1/8)AG(5C + 3D),
divW213 = (5/8)AGF,
divW214 = (1/2)(G2 C − A2 D − A2 C − B 2 C + C 3
− B 2 D) + (1/8)(G2 D + 5F BG) + (1/4)(D3
2
1. A = D, B = F = G = 0, C = D, D ∈ R.
2
2. A = −D, B = F = G = 0, C = D, D ∈ R.
3. A, B, D ∈ R, C = −D, F = G = 0.
p
4. A = D2 − B 2 , B, D ∈ R, C = D, F = G = 0.
p
5. A = − D2 − B 2 , B, D ∈ R, C = D, F = G = 0.
+ F D + DC ),
2
2
2
2
divW223 = (1/8)A(2C − 2D + 2F + 7G ),
divW224 = (1/4)(BF 2 − 3BD2 + 3BC 2 )
+ (1/8)(7BG2 + 4F GD − F GC),
divW234 = (1/8)(4G(G2 − A2 + C 2 + F 2 − B 2 )
Так как при A > 0 и D > 0 только третье решение
удовлетворяет ограничениям леммы, то для метрической алгебры Ли {A4,12 , h·, ·i} тензор Вейля
является гармоническим в том и только в том случае, если нетривиальные структурные константы
имеют вид c11,3 = c22,3 = A, c11,4 = c22,4 = B,
c21,4 = −c12,4 = −D, где A > 0, D > 0. Теорема
доказана.
Замечание 3. Среди четырехмерных действительных неунимодулярных неразложимых алгебр
Ли конформно плоскими являются лишь алгебры
α,β
Aα,β
4,5 при A, B, C ∈ R, L > 0, α = β = 1; A4,6 при
A = B = 0, C = 1, L > 0, α = β > 0, а также A4,12
при A > 0, C = −D, D > 0, F = G = 0.
Замечание 4. Решение систем алгебраических уравнений настоящей работы проводилось
с использованием пакетов аналитических расчетов, что позволило оптимизировать вычислительную часть исследования.
− 7BF D − BF C − GD2 + GCD),
divW313 = −(1/2)A(2BF + GC),
divW314 = (1/4)(F G2 − 5BGC − BGD + A2 F
+ F 3 − 3B 2 F + F D2 ),
divW323 = −(1/2)A(2BG + F D),
divW324 = (2GC 2 − 10BF D − 6B 2 G + 2A2 G
− 2BF C + 2GF 2 + 2G3 )/8,
divW334 = −(3/8)(3BF 2 + 3BG2 + F GC + F GD),
divW412 = (2DC 2 − 2D3 + 2C 3 − F 2 C − 2F 2 D
+ 2G2 C + G2 D − 2D2 C)/8,
divW413 = (1/8)(F C 2 − 3BGC − BGD − 2B 2 F
− F CD + 6A2 F − 2F D2 − 2F 3 − 2F G2 ),
divW414 = (1/8)A(8BF + 3GD + 9GC),
divW423 = (1/8)(6A2 G − GCD − 2GC 2 + GD2
Библиографический список
1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. /
пер. с англ. — М., 1990.
3. Гладунова О.П., Славский В.В. Гармонический тензор Вейля левоинвариантных римановых
метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли // Мат. труды. — 2011. — Т. 14, № 1.
2. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой
метрикой // ДАН. — 2008. — Т. 419, № 6.
4. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура
кривизны Риччи левоинвариантных римановых
72
О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных римановых метрик. . .
метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды. — 2009. — Т. 12,
№ 1.
5. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. вузов. Сер. Математика. — 1963. —
Т. 32, № 1.
6. Listing M. Conformal Einstein spaces in Ndimensions // Ann. Global Anal. Geom. — 2001. —
V. 20.
7. Milnor J. Curvature of left invariant metrics
on Lie groups //Advances in mathematics. — 1976. —
№ 21.
8. Yano K. Differential geometry on complex
and almost complex spaces. — Oxford, 1965.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа