close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Cходимость степенных рядов в методе начальных функций.

код для вставкиСкачать
Сер. 10. 2012. Вып. 1
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 519.6+539.3
А. В. Матросов
CХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
В МЕТОДЕ НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Введение. В методе начальных функций (МНФ) [1, 2] для плоских задач линейной теории упругости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy решение
строится в виде линейной комбинации начальных функций, определенных на одной
из координатных линий x = 0 или y = 0. Если в качестве начальных функций выбираются тригонометрические функции, то коэффициенты пропорциональности суть
степенные ряды по второй независимой координате. В случае изотропного тела эти
ряды просуммированы в работе [3]. Для ортотропного тела при задании начальных
функций на линии y = 0 и при условии, что координатные линии совпадают с главными направлениями упругости ортотропного материала, их суммы вычислены в статье
[4]. В обоих случаях они представляются в виде комбинаций гиперболических функций. Полученная замкнутая форма коэффициентов пропорциональности показывает,
что в данных случаях степенные ряды сходятся на всей вещественной оси. В настоящей работе показана сходимость степенных рядов МНФ для материала с произвольной
анизотропией, что включает в себя и случай несовпадения координатных линий с главными направлениями упругости ортотропного материала.
Уравнения равновесия Ламе. Уравнения равновесия в перемещениях (уравнения Ламе) для плоской задачи теории упругости в декартовой ортогональной системе координат Oxy в отсутствие массовых сил для прямолинейно-анизотропного тела
в матрично-операторной форме могут быть записаны следующим образом:
W ū = 0,
(1)
где ū = {ū (x, y) , v̄ (x, y)} – вектор-столбец перемещений соответственно вдоль осей x
и y, а матрица W операторов Ламе представляется в виде
&
%
H16 ∂x2 + (H12 + H66 ) ∂x ∂y + H26 ∂y2
H11 ∂x2 + 2H16 ∂x ∂y + H66 ∂y2
.
W=
H16 ∂x2 + (H12 + H66 ) ∂x ∂y + H26 ∂y2 H66 ∂x2 + 2H26 ∂x ∂y + H22 ∂y2
Символы ∂x и ∂y обозначают операторы дифференцирования соответственно по переменным x и y, а константы Hqr являются коэффициентами пропорциональности в обобщенном законе Гука для плоской задачи линейной теории упругости
σ̄ = H̄ ε.
(2)
Матросов Александр Васильевич – кандидат технических наук, доцент кафедры информационных систем факультета прикладной математики–процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 58. Научные направления: численноаналитические алгоритмы механики деформируемого твердого тела, вычислительная устойчивость
алгоритмов. E-mail: avmatrosov@mail.ru.
c А. В. Матросов, 2012
41
Здесь σ̄ = {σ̄y , τ̄xy , ⎡
σ̄x } – вектор-столбец
⎤ напряжений, ε = {εx , εy , γxy } – вектор-столбец
H12 H22 H26
деформаций, H̄ = ⎣ H16 H26 H66 ⎦.
H11 H12 H16
Компоненты матрицы H̄ выражаются через упругие константы Aij анизотропного
материала. Это представление зависит от типа плоского состояния, в котором находится тело: плоская деформация или обобщенное плоское напряженное состояние. Оно
получается из уравнений обобщенного закона Гука в декартовой ортогональной системе координат Oxyz для пространственной задачи теории упругости. При этом следует
учесть, что плоское состояние в анизотропном теле реализуется только в случае наличия в каждой его точке плоскости упругой симметрии, нормальной к образующей
бесконечного цилиндра (плоская деформация) или параллельной срединной плоскости
тонкой пластинки (обобщенная плоская деформация) [5, 6].
Общее решение через две функции. Уравнение (1) будет удовлетворено тождественно, если по аналогии с пространственной
задачей
[7] вектор перемещений ū
представить через вектор-столбец F̄ = F̄1 (x, y) , F̄2 (x, y) так:
ū = W̄ F̄.
(3)
Элементы W̄ij , i, j = 1, 2, матрицы W̄ являются алгебраическими дополнениями
элементов Wji матрицы W. Функции F̄1 (x, y) и F̄2 (x, y) должны удовлетворять дифференциальному уравнению
det W̄ F̄i = 0, i = 1, 2.
(4)
Здесь через det W̄ обозначен определитель матрицы W̄.
Вектор напряжений σ̄ также выражается через две введенные функции
y)
⎡ F̄1 (x, ⎤
∂x 0
∂y ⎦,
и F̄2 (x, y), используя закон Гука (2) и соотношения Коши ε = C u, C = ⎣ 0
∂y ∂x
с учетом (3) в виде
σ̄ = S̄ F̄,
(5)
где матрица дифференциальных операторов S̄ представляется как произведение трех
матриц: S̄ = H̄ CW̄.
По существу соотношениями (3) и (5) представлено общее решение уравнений линейной теории упругости прямолинейно анизотропного тела в прямоугольной декартовой
системе координат. Оно не упрощает нахождение решений краевых задач для произвольной области, но его можно использовать для построения решения задач теории
упругости для прямоугольной области с удовлетворением силовых, кинематических
или смешанных граничных условий (ГУ) на двух противоположных гранях, параллельных координатной линии x = 0. На оставшихся гранях ГУ будут диктоваться
выбранным представлением функций компонентов напряженно-деформированного состояния (НДС) на гранях, на которых ГУ будут удовлетворяться точно.
Функции F̄1 (x, y) и F̄2 (x, y), входящие в полученное общее решение уравнений
теории упругости, удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производных (4). Для его решения воспользуемся символическим способом составления
решения уравнений в частных производных, предложенным А. И. Лурье [8]. Существо этого подхода заключается в рассмотрении уравнения в частных производных
42
как обыкновенного дифференциального уравнения по одной из независимых переменных, «заморозив» остальные и рассматривая операции дифференцирования по ним
как некие константы, входящие в указанное обыкновенное дифференциальное уравнение. Правда, эти константы не совсем обычные – на определенном этапе построения
решения они должны снова рассматриваться как соответствующие операции дифференцирования. Их называют символическими константами, так как по существу они
суть символы соответствующих операций дифференцирования.
«Заморозим» в уравнении (4) переменную x. Тогда (4) как обыкновенное дифференциальное уравнение записывается следующим образом [9]:
(6)
D̄0 ∂y4 + D̄1 ∂y3 + D̄2 ∂y2 + D̄3 ∂y + D̄4 F̄i = 0
с коэффициентами D̄j , j = 0, . . . , 4, выраженными через коэффициенты пропорциональности Hqr из закона Гука (2) и символ дифференцирования ∂x :
D̄0
D̄1
D̄2
D̄3
D̄4
2
= H22 H66 − H26
,
= 2 (H16 H22 − H12 H26 ) ∂x ,
2
2
∂x ,
= H11 H22 + 2H16 H26 − 2H12 H66 − H12
3
= 2 (H11 H26 − H12
H
)
∂
,
16
x
4
2
∂x .
= H11 H66 − H16
(7)
Функции F̄i , удовлетворяющие обыкновенному дифференциальному уравнению (6),
будем искать в виде рядов Маклорена по переменной y
F̄i =
∞
k=0
k
y
f¯ki ,
k!
i = 1, 2.
(8)
Подстановка (8) в уравнение (6) приводит к рекуррентному соотношению для нахождения коэффициентов f¯ki
i
i
i
i
D̄0 f¯k+4
+ D̄1 f¯k+3
+ D̄2 f¯k+2
+ D̄3 f¯k+1
+ D̄4 f¯ki = 0,
i = 1, 2,
k = 0, . . . , ∞.
(9)
Полученное рекуррентное соотношение (9) является уравнением четвертого порядка. Это означает, что первые четыре коэффициента в представлении (8) для каждой
искомой функции могут быть выбраны произвольно. Данные коэффициенты, называесамой функции и ее первых
мые начальными значениями функций F̄i , суть значения
трех производных на линии y = 0: f¯pi = ∂yp F̄i (x, y)y=0 , p = 0, 1, 2, 3.
Остальные коэффициенты рядов (8) однозначно определятся из рекуррентного соотношения (9) как линейные комбинации начальных значений соответствующих функций F̄i . Подставив полученные коэффициенты f¯ki в (8) и приведя подобные члены при
начальных значениях функций F̄i , имеем представление функций F̄i (x, y) в виде
F̄i = M̄0 f¯0i + M̄1 f¯1i + M̄2 f¯2i + M̄3 f¯3i ,
где M̄p =
∞
k=0
(10)
+
m̄pk y k k!, p = 0, . . . , 3, суть степенные ряды по переменной y с коэффициен-
тами, зависящими от упругих констант материала и символа дифференцирования ∂x .
Эти ряды легко вычисляются с использованием рекуррентного соотношения (9), если
заметить, что коэффициенты ряда M̄p при начальном значении f¯pi находятся из решения указанного рекуррентного уравнения со следующими начальными условиями:
43
m̄pk = 1, если p = k, иначе m̄pk = 0, k = 0, 1, 2, 3 [10]. Учитывая такой факт, получаем
ряды-коэффициенты в представлении (10)
M̄p = y p /p! +
∞
+
m̄pk y k k!.
(11)
k=4
Вводя в рассмотрение вектор-столбец %F̄0 = f¯01 , f¯11 , f¯21 , f¯31 , f¯02 , f¯12 , f¯22 , f¯32 начальных
&
M̄0 M̄1 M̄2 M̄3 0
0
0
0
значений функций F̄i и матрицу M̄ =
,
0
0
0
0
M̄0 M̄1 M̄2 M̄3
вектор F̄ функций общего решения можно выразить так:
F̄ = M̄F̄0 .
(12)
Подстановка (12) в (3) и (5) позволяет представить перемещения и напряжения
в упругой среде через начальные значения функций общего решения F̄i (x, y) в символическом смысле, так как для получения окончательного представления компонентов
НДС следует выполнить операции дифференцирования по переменной x, определенные через символ ∂x в рядах M̄p , над начальными значениями f¯pi , которые являются
функциями «замороженной» переменной x.
Метод начальных функций. Начальные значения f¯pi функций общего решения
F̄i (x, y) не имеют никакого механического смысла, однако их можно связать с началь0
(x) и перемещения
ными функциями [7], представляющими напряжения σ̄x0 (x) и τ̄xy
ū0 (x) и v̄0 (x) на линии y = 0. Для этого сначала представим матрицы W̄ и S̄ с учетом
структуры их элементов через произведение двух матриц: элементы первой не будут
содержать символ операции дифференцирования ∂y , тогда как элементы второй будут
составлены только из него.
Каждый элемент матрицы W̄ может быть записан в виде скалярного произведения вектора-строки
три, элементы которого не содержат символа ∂y ,
размерности
на вектор-столбец 1, ∂y , ∂y2 . Вводя в рассмотрение матрицу B̄ с элементами B̄ij =
3−rem(j,3)
b̄ij ∂x
, i = 1, 2, j = 1, . . . , 6, где через rem (j, 3) обозначен остаток от деления
j на 3, а b̄ij зависят только от коэффициентов пропорциональности в законе Гука:
b̄11 = b̄26 = H66 , b̄12 = 2H26 , b̄13 = H22 , b̄14 = b̄21 = −H16 , b̄%15 = b̄22 = − (H12 + H66 ),
&
1 ∂y ∂y2 0 0
0
T
b̄16 = b̄23 = −H26 , b̄24 = H11 , b̄25 = 2H16 и матрицу D̄W =
0 0
0
1 ∂y ∂y2
(T – символ транспонирования), матрица W̄ записывается следующим образом:
W̄ = B̄D̄W .
Аналогично можно представить и матрицу S̄ = ḠD̄S как произведение матрицы
4−rem(j,4)
Ḡ с коэффициентами Ḡij = ḡij ∂x
, i = 1, 2, 3, j = 1, . . . , 8, где через rem (j, 4)
обозначен остаток от деления j на 4, ḡ11 = ḡ27 = ḡ38 = −H16 H26 + H12 H66 , ḡ12 =
2
,
−ḡ17 /2 = −ḡ23 = −ḡ34 = −H16 H22 + H12 H26 , −ḡ13 = ḡ18 = ḡ24 = H22 H66 − H26
ḡ14 = ḡ21 = ḡ28 = ḡ35 = 0, ḡ15 = ḡ26 = ḡ32 /2 = −ḡ37 = H11 H26 − H12 H16 , ḡ16 =
2
+ %H16 H26 , ḡ22 = H16 H26 − H12 H66 , &ḡ25 = ḡ31 = −ḡ36 =
ḡ33 = H11 H22 − H12 H66 − H12
1 ∂y ∂y2 ∂y3 0 0
0
0
2
H11 H66 − H16
, и матрицы D̄TS =
.
0 0
0
0
1 ∂y ∂y2 ∂y3
Теперь компоненты векторов перемещений u и напряжений σ̄ через начальные значения функций F̄i представятся как
u = B̄M̄W F̄0 ,
σ̄ = ḠM̄S F̄0 .
44
(13)
⎡
&
M̄0
M̄1
M̄2
m̄W 0
Здесь M̄W = D̄W M̄ =
, m̄W = ⎣ ∂y M̄0 ∂y M̄1 ∂y M̄2
0
m̄W
∂y2 M̄0 ∂y2 M̄1 ∂y2 M̄2
⎤
⎡
M̄0
M̄1
M̄2
M̄3
%
&
⎢ ∂y M̄0 ∂y M̄1 ∂y M̄2 ∂y M̄3 ⎥
m̄S 0
⎥
D̄S M̄ =
, m̄S = ⎢
⎣ ∂y2 M̄0 ∂y2 M̄1 ∂y2 M̄2 ∂y2 M̄3 ⎦.
0
m̄S
∂y3 M̄0 ∂y3 M̄1 ∂y3 M̄2 ∂y3 M̄3
%
⎤
M̄3
∂y M̄3 ⎦, M̄S =
∂y2 M̄3
Соотношения (13) выполняются в любой точке упругой области, в том числе на линии y = 0, на которой определены начальные функции. Чтобы вычислить компоненты
НДС на указанной линии, достаточно рассчитать при y = 0 значения матриц M̄W
и M̄S , так как только их компоненты зависят от переменной y. В силу вида (11) рядов
M̄p эти матрицы в точке y = 0 будут иметь значения
⎡
⎤
1 0 0 0 0 0 0 0
⎡
⎤
⎢ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎥
1 0 0 0 0 0 0 0
⎢
⎥
⎢ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎥
⎢ 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎥
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎥
⎢ 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎥
⎢
⎥ , M̄S ⎥
M̄W y=0 = ⎢
=
⎢ 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎥
⎢ 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎥.
y=0
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 1 0 0 ⎥
⎣ 0 0 0 0 0 1 0 0 ⎦
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 0 0 0 1 0 ⎦
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0
(x) представится
Тогда вектор начальных функций Ū0 = ū0 (x) , v̄0 (x) , σ̄y0 (x) , τ̄xy
через начальные значения функций F̄i следующим образом:
Ū0 = T̄F̄0 ,
⎡
b̄11 ∂x2
⎢ b̄21 ∂x2
где T̄ = ⎢
⎣ ḡ11 ∂x3
ḡ21 ∂x3
b̄12 ∂x
b̄22 ∂x
ḡ12 ∂x2
ḡ22 ∂x2
b̄13
b̄23
ḡ13 ∂x
ḡ23 ∂x
0
0
ḡ14
ḡ24
b̄14 ∂x2
b̄24 ∂x2
ḡ15 ∂x3
ḡ25 ∂x3
b̄14 ∂x
b̄25 ∂x
ḡ16 ∂x2
ḡ26 ∂x2
(14)
b̄16
b̄26
ḡ17 ∂x
ḡ27 ∂x
⎤
0
0 ⎥
⎥.
ḡ18 ⎦
ḡ28
Соотношения (14) можно рассматривать как систему линейных уравнений (в символическом смысле) для нахождения представления начальных значений f¯pi , p = 0, . . . , 4,
i = 1, 2, функций общего решения F̄i через начальные функции. В этой системе из четырех уравнений содержится восемь неизвестных f¯pi – начальных значений функций F̄i .
Для получения однозначного решения следует любые четыре из них выбрать в качестве
параметров, назначив им значения, исходя из каких-либо соображений.
Анализ матрицы системы (14) приводит к единственному выбору в качестве параметров начальных значений f¯01 , f¯11 , f¯02 и f¯12 , так как только в этом случае в выражение определителя матрицы системы (14) не будет входить символ дифференцирования
по переменной x, а это необходимо, чтобы в решении системы данная операция не попала в знаменатель.
Итак, в качестве «рабочих» неизвестных выбираем f¯21 , f¯31 , f¯22 и f¯32 , а остальные
параметры примем равными нулю: f¯01 = f¯11 = f¯02 = f¯12 = 0. Тогда система уравнений
(14) будет иметь вид
T̄0 F̄0 = Ū0 ,
45
⎤
0
b̄16
0
b̄13
⎢ b̄23
0
b̄26
0 ⎥
⎥
здесь F̄0 = f¯21 , f¯31 , f¯22 , f¯32 , T̄0 = ⎢
⎣ ḡ13 ∂x ḡ14 ḡ17 ∂x ḡ18 ⎦.
ḡ23 ∂x ḡ24 ḡ27 ∂x ḡ28
Решая ее, получаем представление искомых начальных значений f¯21 , f¯31 , f¯22 , f¯32 через
начальные функции
F̄0 = P̄0 Ū0 ,
⎡ 0
⎤
0
P̄11
P̄12
0 0
0
⎢ P̄ 0
⎥
P̄
22 ∂
⎢ 21 ∂x
0 1 ⎥
x
⎢ Δ̄
⎥ 0
1
0
0
0
Δ̄
где P̄0 =
= H26 , P̄31
= H26 , P̄32
= H22 ,
⎢ 0
⎥; P̄ = H66 , P̄12
0
P̄32
0 0 ⎥ 11
Δ̄ ⎢ P̄31
⎣ 0
⎦
0
P̄41
P̄42
∂x
∂
1 0
Δ̄
Δ̄ x
0
2
0
2
P̄21 = −H16 H22 H66 − H16 H26 + 2H12 H26 H66 , P̄22
= −2H16 H22 H26 + H12 H26
+ H12 H22 H66 ,
0
2
2
2
0
2
P̄41 = −2H16 H22 H26 + 2H12 H26 − H26 H66 + H22 H66 , P̄42 = 2H12 H22 H26 − 2H16 H22
+
3
2
H22 H26 H66 − H26 ; Δ̄ = H22 H66 − H26 .
Для получения представления вектора начальных значений F̄0 через вектор начальных функций Ū0 следует в матрицу P̄0 добавить по две нулевых строки перед ее
первой и третьей строками (так как начальные значения f¯01 = f¯11 = f¯02 = f¯12 = 0)
⎡
F̄0 = P̄Ū0 .
(15)
/
.
(1)
(2)
(3)
(4)
(i)
Здесь P̄ = 0, 0, P̄0 , P̄0 , 0, 0, P̄0 , P̄0 , через P̄0 обозначена i-я строка матрицы
P̄0 , а через 0 – нулевая вектор-строка размерности 4.
Подставляя (15) в (13), получим основное соотношение МНФ – выражение вектора
НДС Ū = {ū (x, y) , v̄ (x, y) , σ̄y (x, y) , τ̄xy (x, y) , σ̄x (x, y)} через вектор начальных функций Ū0 в матрично-операторной форме
%
в котором матрица L̄ =
следующие компоненты:
B̄M̄W P̄
ḠM̄S P̄
&
Ū = L̄Ū0 ,
, называемая матрицей операторов МНФ, имеет
#
3 0"
P̄ 0
0 k−1
P̄1j
∂y M̄2 + Δ̄2j ∂x ∂yk−1 M̄3 b̄ik ∂x3−k +
k=1 "
#
1
P̄ 0
0 k−1
+ P̄3j
∂y M̄2 + Δ̄4j ∂x ∂yk−1 M̄3 b̄i,k+3 ∂x3−k ,
#
4 0"
P̄ 0
1 0 k−1
L̄ij = Δ̄
P̄1j
∂y M̄2 + Δ̄2j ∂x ∂yk−1 M̄3 ḡik ∂x4−k +
k=1 "
#
1
P̄ 0
0 k−1
+ P̄3j
∂y M̄2 + Δ̄4j ∂x ∂yk−1 M̄3 ḡi,k+3 ∂x4−k ,
3
1 L̄ij = Δ̄
b̄i,12−3j+k ∂x3−k ∂yk−1 M̄3 , i = 1, 2, j = 3, 4,
L̄ij =
L̄ij =
1
Δ̄
1
Δ̄
k=1
4
ḡi,16−4j+k ∂x4−k ∂yk−1 M̄3 ,
i = 3, 4, 5,
i = 1, 2,
j = 1, 2,
(16)
i = 3, 4, 5,
j = 1, 2,
j = 3, 4.
k=1
Из представления (16) видно, что элементы матрицы операторов МНФ L̄ представляют собой степенные ряды по переменной y с коэффициентами, в выражения которых
46
входят упругие константы материала через коэффициенты пропорциональности Hqr ,
а также символ ∂x операции дифференцирования по переменной x:
L̄ij =
∞
¯
lkij (Hqr , ∂x ) y k ,
k=0
что следует из представления (11) рядов M̄2 , M̄3 в виде степенных рядов по переменной y.
Подобные формулы для операторов МНФ могут быть получены и в случае задания
начальных функций на линии x = 0, если полностью повторить приведенный выше алгоритм вывода операторов МНФ с переменой местами компонентов σ̄y и σ̄x в векторе
напряжений σ̄ и очевидными изменениями в записи закона Гука. При этом в представлениях операторов МНФ символы дифференцирования поменяются местами: ∂x
перейдет в ∂y и наоборот – ∂y в ∂x . Ряды M̄2 и M̄3 перейдут в степенные ряды
¯ = xp /p! +
M̄
p
∞
+
¯ pk xk k!,
m̄
p = 2, 3,
k=4
¯ pk которых получаются из решения рекуррентного соотношения (9),
коэффициенты m̄
но со следующими коэффициентами:
D̄0
D̄1
D̄2
D̄3
D̄4
2
= H11 H66 − H16
,
= 2 (H11 H26 − H12 H16 ) ∂y ,
2
2
∂y ,
= H11 H22 + 2H16 H26 − 2H12 H66 − H12
3
= 2 (H16 H22 − H12
H
)
∂
,
26
y
4
2
∂y .
= H22 H66 − H26
(17)
Компоненты постоянных матриц P̄0 , B̄ и Ḡ изменятся в соответствии с измененной
матрицей в записи закона Гука и в результате использования в качестве символьной
постоянной при построении общего решения по методу А. И. Лурье символа дифференцирования ∂y .
Корни характеристического уравнения. Видим, что основную роль в формировании вида операторов МНФ для двух случаев задания начальных функций (соответственно на линиях y = 0 и x = 0) играют степенные ряды M̄2 , M̄3 , коэффициенты
которых получаются из решения рекуррентных соотношений типа (9) с соответствующими начальными условиями
D0 fk+4 + D1 fk+3 + D2 fk+2 + D3 fk+1 + D4 fk = 0,
k = 0, . . . ∞,
(18)
где Dp , p = 0, . . . , 4, может принимать значения либо (7), либо (17).
Если все коэффициенты этого уравнения постоянные, то, зная корни его характеристического уравнения
D0 λ4 + D1 λ3 + D2 λ2 + D3 λ + D4 = 0,
(19)
общее решение рекуррентного соотношения запишется в виде [11]
fk =
m
λki Pi (k),
(20)
i=1
где λi – корень характеристического уравнения кратности pi ; Pi – многочлен степени pi − 1, коэффициенты которого определяются так, чтобы равенство (20) было
47
справедливо для первых четырех членов рассматриваемой последовательности,
m
pi = 4.
i=1
Если ввести переменную μ = λ/∂, где оператор ∂ = ∂x в случае, когда начальные функции заданы на линии y = 0, или ∂ = ∂y , когда начальные функции заданы
на линии x = 0, то уравнение (19) примет вид
d0 μ4 + d1 μ3 + d2 μ2 + d3 μ + d4 = 0,
(21)
здесь коэффициенты dp (p = 0, . . . , 4) суть постоянные величины, которые соответственно для двух рассматриваемых случаев будут равняться либо d¯p , либо d¯p : d¯0 =
2
, d¯1 = d¯3 = 2 (H16 H22 − H12 H26 ), d¯3 = d¯1 = 2 (H11 H26 − H12 H16 ),
d¯4 = H22 H66 − H26
¯
2
2
¯
, d¯2 = d¯2 = H11 H22 + 2 (H16 H26 − H12 H66 ) − H12
.
d4 = d0 = H11 H66 − H16
Деформации анизотропного тела в условиях плоской задачи теории упругости выражаются через напряжения таким образом:
εx = a11 σx + a12 σy + a16 τxy , εy = a12 σx + a22 σy + a26 τxy , τxy = a16 σx + a26 σy + a66 τxy .
Коэффициенты apq являются компонентами обратной матрицы H̄−1 из обобщенного
закона Гука (2) и имеют вид
d¯0
d¯1
d¯3
d¯4
H16 H26 − H12 H66
a11 = ¯ , a16 = − ¯, a26 = − ¯, a22 = ¯ , a12 =
,
2d
2d
d
d
d¯
a66 =
2
H11 H22 − H12
2
2
2
H22 − H12
H66 + H11 H22 H66 − H11 H26
.
, d¯ = 2H16 H12 H26 − H16
d¯
Используя это представление, коэффициенты уравнения (21) для случая начальных функций, заданных на линии y = 0, выразятся через упругие коэффициенты apq
¯ d¯1 = −2a16 d,
¯ d¯2 = 2a12 + a66 , d¯3 = −2a26 d,
¯ d¯4 = a22 d,
¯
следующим образом: d¯0 = a11 d,
а само уравнение запишется как
a11 μ4 − 2a16 μ3 + (2a12 + a16 ) μ2 − 2a26 μ + a22 = 0.
(22)
В [6] показано, что это уравнение не может иметь вещественных корней.
Для случая начальных функций, заданных на линии x = 0, уравнение (21) через
упругие коэффициенты apq записывается так:
a22 μ4 − 2a26 μ3 + (2a12 + a16 ) μ2 − 2a16 μ + a11 = 0.
Выполняя в нем замену переменных μ = 1/δ, приходим к уравнению (22) относительно
новой переменной δ. Таким образом доказана
Теорема. Характеристическое уравнение (21) не может иметь вещественных
корней.
Следовательно, корнями этого уравнения могут быть либо четыре неравных комплексных корня (μ1,2 = η1 ± iγ1 , μ3,4 = η2 ± iγ2 ), либо два комлексно-сопряженных
корня каждый второй кратности (μ1,2 = η1 ± iγ1 ).
В случае четырех неравных комплексных корней общее решение рекуррентного
уравнения (18) будет иметь вид
fk = C1 μk1 + C2 μk2 + C3 μk3 + C4 μk4 ∂ k , k = 0, . . . , ∞,
48
а в случае двух комлексно-сопряженных корней второй кратности
fk = (C1 + C2 k) μk1 + (C3 + C4 k) μk2 ∂ k , k = 0, . . . , ∞.
¯ , M̄
¯ вычис¯ pk степенных рядов-операторов M̄2 , M̄3 и M̄
Коэффициенты m̄pk и m̄
2
3
ляются с использованием полученных формул с произвольными коэффициентами Ci
¯ 20 = 0, m̄21 = m̄
¯ 21 = 0,
(i = 1, . . . , 4), определяемыми из начальных условий m̄20 = m̄
¯
2
2
2
2
3
3
3
¯ 2 = 1, m̄3 = m̄
¯ 3 = 0 для операторов M̄2 , M̄2 и m̄0 = m̄
¯ 0 = 0, m̄1 = m̄
¯ 31 = 0,
m̄2 = m̄
¯
¯ 32 = 0, m̄33 = m̄
¯ 33 = 1 для операторов M̄3 , M̄3 .
m̄32 = m̄
В случае четырех неравных комплексных корней произвольные постоянные определятся в следующем виде (верхний индекс соответствует номеру ряда-оператора):
C12 =
μ2 + μ3 + μ4
,
(μ1 − μ2 ) (μ1 − μ3 ) (μ1 − μ4 ) ∂ 2
μ1 + μ2 + μ4
,
(μ3 − μ1 ) (μ3 − μ2 ) (μ3 − μ4 ) ∂ 2
1
C13 =
,
(μ1 − μ2 ) (μ1 − μ3 ) (μ1 − μ4 ) ∂ 3
1
C33 =
,
(μ3 − μ1 ) (μ3 − μ2 ) (μ3 − μ4 ) ∂ 3
μ1 = μ̄2 ,
C32 = −
C22 =
μ1 + μ3 + μ4
,
(μ2 − μ1 ) (μ2 − μ3 ) (μ1 − μ4 ) ∂ 2
μ1 + μ2 + μ3
,
(μ4 − μ1 ) (μ4 − μ2 ) (μ4 − μ3 ) ∂ 2
1
C23 =
,
(μ2 − μ1 ) (μ2 − μ3 ) (μ1 − μ4 ) ∂ 3
1
C43 =
,
(μ4 − μ1 ) (μ4 − μ2 ) (μ4 − μ3 ) ∂ 3
μ3 = μ̄4 ,
C42 = −
а в случае двух комплексно-сопряженных корней второй кратности они будут выглядеть так:
3 (μ1 + μ2 )
μ1 + 2μ2
C12 =
C22 = −
,
3 2,
2
(μ1 − μ2 ) ∂
μ1 (μ1 − μ2 ) ∂ 2
C32 = −
3 (μ1 + μ2 )
p
M̄p = y /p! +
∞
+
˜ pk y k ∂xk−p k!,
m̄
∂2
,
C42 = −
2μ1 + μ2
,
(μ1 − μ2 )
μ2 (μ1 − μ2 )2 ∂ 2
2
1
C13 = −
, C23 =
,
3
2
(μ1 − μ2 ) ∂ 3
μ1 (μ1 − μ2 ) ∂ 3
2
1
C33 =
C43 =
,
3 3,
2
(μ1 − μ2 ) ∂
μ2 (μ1 − μ2 ) ∂ 3
μ1 = μ̄2 .
¯ , M̄
¯ могут быть представлены слеТаким образом ряды-операторы M̄2 , M̄3 и M̄
2
3
дующим образом:
3
¯ = xp /p! +
M̄
p
k=4
∞
+
˜¯ p xk ∂ k−p k!,
m̄
y
k
p = 2, 3,
(23)
k=4
˜
¯ pk = fk /∂yk .
˜ pk = fk /∂xk , m̄
где m̄
Регулярность операторов МНФ. Для операторов дифференцирования, имеющих вид степенных рядов, важным свойством является регулярность.
∞
ai ∂ i , где ∂ есть оператор дифференцирования
Определение [12]. Оператор L =
i=0
по какой-либо независимой переменной, называется регулярным, если числовой ряд
∞
l=
ai z i сходится во всей (конечной) плоскости комплексной переменной z.
i=0
49
Докажем, что операторы M̄2 и M̄3 регулярные. Рассмотрим в соответствии с определением регулярного оператора степенные ряды
Mp = y p /p! +
∞
+
˜ pk y k z k−p k!,
m̄
p = 2, 3,
(24)
k=4
и покажем, что они сходятся на всей (конечной) плоскости комплексной переменной z.
В случае четырех неравных комплексных корней имеем оценку
˜ pk | = C1p μk1 + C2p μk2 + C3p μk3 + C4p μk4 |m̄
|C1p | μk1 + |C2p | μk2 + |C3p | μk3 + |C4p | μk4 4Cmax μkmax ,
Cmax = max Cjp , μmax = max (|μj |) ,
j=1,...,4
j=1,...,4
и в соответствии с признаком Даламбера сходимости числовых рядов в предельной
k
μk |y| (k + 1)!
форме радиус сходимости рядов (21) R = max k+1 k+1 = k + 1 → ∞ стремится
μmax |y| k→∞
k!μmax |y|
к бесконечности при любом конечном y.
При двух комплексно-сопряженных корнях второй кратности оценка коэффициента
˜ pk рядов (21) представляется в виде
m̄
˜ pk | = (C1p + C2p k) μk1 + (C3p + C4p k) μk2 |m̄
k
k
(|C1p | + |C2p | k) |μ1 | + (|C3p | + |C4p | k) |μ2 | (1 + k) Cmax μkmax ,
и их радиус сходимости стремится к бесконечности R =
(k + 1) μkmax |y|k (k + 1)!
=
k+1
k! (k + 2) μk+1
max |y|
(k + 1)2
→ ∞ при любом конечном y.
(k + 2) μmax |y| k→∞
Из сходимости числовых рядов следует, что операторы M̄2 и M̄3 являются регулярными, а следовательно, в соответствии с доказанным в [12] регулярными операторами
что производная
являются и их производные ∂yq M̄2 , ∂yq M̄3 , q = 1, . . . , l, так как очевидно,
+ ˜ pk /k! ) dy l Npl
любого конечного порядка l членов рядов M̄2 и M̄3 ограничена dl (m̄
2
˜ pk /k! ) /dy l | = 0 при конечном y. Причем в этих рядах
для любого k и lim k |dl (m̄
k→∞
допускается почленное дифференцирование.
¯
¯ и их производных ∂ q M̄
¯ , M̄
Аналогично доказывается регулярность операторов M̄
2
3
x 2,
q ¯
∂x M̄3 , q = 1, . . . , l, при любом конечном l.
Операторы МНФ для случаев задания начальной линии y = 0 или x = 0 также
регулярные, так как представляются в виде линейных комбинаций соответственно ре¯ , M̄
¯ и их первых трех производных.
гулярных операторов M̄2 , M̄3 или M̄
2
3
Сходимость степенных рядов. Если каждую начальную функцию задать в виде
линейной комбинации тригонометрических функций синуса и косинуса одной переменной с одним и тем же аргументом, то все компоненты вектора НДС будут выражены
в виде линейной комбинации этих же синуса и косинуса, в которой коэффициенты
уже не будут постоянными величинами, но будут представлять собой в случае произвольной анизотропии степенные ряды по второй переменной как результат воздействия
операторных рядов на тригонометрические функции [9].
50
Для использования тригонометрических функций синуса и косинуса в качестве начальных функций следует рассмотреть вопрос о сходимости степенных рядов, получаемых в результате воздействия операторного степенного ряда на тригонометрический
синус или косинус.
В [12] доказана теорема о сходимости функционального ряда, представляющего результат воздействия регулярного степенного операторного ряда на бесконечно-дифференцируемую функцию f (x), заданную на некотором множестве Ω и удовлетворяющую
на нем следующим ограничениям:
i
∂x f (x) B · Ai , x ∈ Ω, i = 0, . . . , ∞,
(25)
где A и B – положительные постоянные. Полученный функциональный ряд сходится
в области Ω.
Если начальные функции выражаются в виде линейной комбинации функций
sin (αx) и cos (αx), то получаемые в результате воздействия на них операторов МНФ степенные ряды будут сходящимися в силу указанной теоремы, так как операторы МНФ
суть регулярные операторы
оси x ∈ (−∞, +∞) выполняют и на i всей
вещественной
i
ся неравенства ∂xi sin (αx) |α| и ∂xi cos (αx) |α| , соответствующие неравенствам (22), в которых B = 1, а A = α.
Заключение. В работе показана сходимость степенных рядов в решении плоской
задачи теории упругости для тела с произвольной анизотропией при помощи МНФ.
Этот факт подтверждается наличием замкнутых форм операторов МНФ для изотропии и ортотропии (частных случаев анизотропии) [3, 4], приводящих к гиперболотригонометрическим решениям со сходящимися на всей вещественной оси степенными
рядами.
Литература
1. Малиев А. С. О выборе функций в общих решениях задачи равновесия изотропного упругого
тела // Труды ЛЭТИИЖТа. М.: Трансжелдориздат, 1952. Вып. 4. С. 180–244.
2. Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Гос. изд-во
физ.-мат. лит., 1960. 491 с.
3. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики.
М.: Стройиздат, 1975. 223 с.
4. Елпатьевский А. Н., Зимаков Н. Н. Метод начальных функций в плоской задаче теории упругости для тела с прямолинейной ортотропией // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1973. № 1.
С. 127–134.
5. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. Изд. 2-е. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1957. 464 с.
6. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. 2-е. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1977. 416 с.
7. Galileev S. M., Matrosov A. V. Method of initial functions in the computation of sandwich plates //
International Applied Mechanics. 1995. Vol. 31, N 6. P. 413–500.
8. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955.
491 с.
9. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейноупругого анизотропного прямоугольника // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика,
информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 55–65.
10. Galileev S. M., Matrosov A. V., Verizhenko V. E. Method of initial functions for layered and
continuously inhomogeneous plates and shells // Mechanics of Composite Materials. 1995. Vol. 30, N 4.
P. 313–415.
11. Чашкин А. В. Лекции по дискретной математике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007. 260 с.
12. Агарев В. А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости.
Киев: Изд-во АН УССР, 1963. 203 с.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.
Статья принята к печати 20 октября 2011 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
282 Кб
Теги
начальных, метод, функции, степенных, cходимость, рядом
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа