close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

H2 норма передаточной функции уравнения нейтрального типа.

код для вставкиСкачать
Сер. 10. 2012. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.929.2
В. А. Сумачева
H2 НОРМА ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
1. Введение. Норма передаточной функции играет важную роль в исследовании
динамических систем. Она является количественной оценкой того, насколько система
усиливает или ослабляет входной сигнал.
К сферам применения нормы передаточной функции относится оптимальное управление. Так как входные сигналы часто рассматривают как внешние возмущающие воздействия, то качество управления определяется их подавлением, и в роли критерия оптимальности выступает норма передаточной функции замкнутой системы. Например,
синтез H2 оптимального управления заключается в выборе управления, при котором
для замкнутой им системы достигается минимум H2 нормы.
Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что H2 норма
передаточной функции линейной стационарной системы может быть вычислена с помощью решения вспомогательного матричного уравнения Ляпунова. В статье [1] эта
теория была расширена для систем с запаздываниями. Результат аналогичен известному: H2 норма может быть найдена с помощью обобщения теории Ляпунова на системы
с запаздываниями. Авторами [1] описана система, входной и выходной сигналы которой не имеют запаздываний. В настоящей работе изучим случай, когда эти сигналы
содержат запаздывания.
2. Постановка задачи. Рассмотрим скалярное линейное стационарное уравнение
с запаздываниями нейтрального типа
1m
2
m
d dk x(t − kh) =
[ak x(t − kh) + bk v(t − kh)] ,
(1)
dt
k=0
k=0
y(t) =
m
ck x(t − kh),
(2)
k=0
Сумачева Виктория Александровна – студентка V курса факультета прикладной математики–
процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, проф. В. Л. Харитонов. Количество опубликованных работ: 3.
Научные направления: теория управления, системы с запаздываниями. E-mail: buktorina@mail.ru.
c В. А. Сумачева, 2012
117
где d0 = 1, d1 , . . . , dm ; a0 , . . . , am ; b0 , . . . , bm ; c0 , . . . , cm – вещественные коэффициенты;
h > 0 – положительное запаздывание. Предположим, что x(t)+ d1 x(t− h)+ . . .+ dm x(t−
mh) непрерывна по t при t > 0.
Функция v(t) является входным сигналом системы, функция y(t) – выходным, x(t) –
состояние системы.
Введем начальную функцию φ такую, что
x(t) = ϕ(t), t ∈ [−mh, 0].
Соответствующее решение будем обозначать x(t, ϕ).
Определение 1 [1]. Уравнение (1) называется экспоненциально устойчивым, если
существуют γ 1 и α > 0 такие, что при v(t) ≡ 0 решение удовлетворяет
x(t, ϕ) γe−αt ϕh , t 0.
Норма решения x(t, φ) евклидова, норма начальной функции
ϕh =
sup
ϕ(θ) .
θ∈[−mh,0]
Определение 2 [2]. Фундаментальным решением уравнения (1) называется решение уравнения
⎡
⎤
m
m
d ⎣
dj k(t − jh)⎦ =
aj k(t − jh)
(3)
dt j=0
j=0
с начальной функцией
k(0) = 1,
k(θ) = 0,
θ < 0.
Лемма 1. Если уравнение (1) экспоненциально устойчиво, справедлива оценка
k(t) γe−αt , t 0.
3. Норма передаточной функции. Одним из способов исследования систем является метод преобразования Лапласа.
Определение 3. Образом по Лапласу функции f (t) называется функция комплексной переменной, определяемая по формуле
∞
f (t)est dt.
F (s) =
0
Для того чтобы преобразование Лапласа существовало, необходимо, чтобы функция
f (t) удовлетворяла условию
∃L, p : |f (t)| Lept ,
т. е. имела ограниченный показатель роста.
Так как уравнение (1) экспоненциально устойчиво, это условие выполнено для фундаментального решения, состояния системы, входного и выходного сигналов, и образами k(t), x(t), v(t), y(t) являются K(s), X(s), V (s), Y (s) соответственно.
118
Определение 4 [3]. Передаточной функцией системы (1), (2) называется функция
комплексной переменной, являющаяся отношением преобразования Лапласа выходного
сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях
H(s) =
Y (s)
.
V (s)
Лемма 2. Передаточная функция системы (1), (2) имеет вид
⎛
⎞
m m
H(s) = ⎝
bj ck e−(j+k)hs ⎠ K(s).
(4)
j=0 k=0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим преобразование Лапласа к системе (1), (2):
m
dj se−jhs X(s) =
j=0
m
aj e−jhs X(s) +
j=0
Y (s) =
m
bj e−jhs V (s),
j=0
m
cj e−jhs X(s)
j=0
и выразим
m
V (s) =
j=0
m
dj se−jhs − j=0 aj e−jhs
m
X(s),
−jhs
j=0 bj e
Y (s) =
m
cj e−jhs X(s).
j=0
Отсюда находим передаточную функцию
m
m
−jhs
−jhs
j=0 bj e
j=0 cj e
H(s) = m
.
m
−jhs −
−jhs
j=0 dj se
j=0 aj e
Проделав то же с уравнением (3)
m
dj se−jhs K(s) =
j=0
m
aj e−jhs K(s),
j=0
установим, что знаменатель передаточной функции (4) представляет собой образ Лапласа фундаментального решения
⎡
K(s) = ⎣
m
j=0
dj se−khs −
m
⎤−1
aj e−jhs ⎦
,
j=0
откуда и получаем искомое представление.
Определение 5 [3]. Импульсной характеристикой системы (1), (2) h(t) называется прообраз Лапласа ее передаточной функции.
119
Лемма 3. Импульсная характеристика системы (1), (2) имеет вид
h(t) =
m m
bj ck k(t − (j + k)h).
(5)
j=0 k=0
Д о к а з а т е л ь с т в о непосредственно вытекает из леммы 2.
Определение 6 [3]. H2 нормой передаточной функции экспоненциально устойчивой системы (1), (2) называется
2
G2
1
=
2π
∞
|G(iω)|2 dω.
(6)
−∞
Определение 7 [3]. Матрицей Ляпунова u(τ ) будем называть
∞
k(t)k(t + τ )dt.
u(τ ) =
(7)
0
Теорема 1. H2 норма передаточной функции экспоненциально устойчивой системы (1), (2) может быть вычислена по формуле
m
2
H2 =
bj bk cl cr u((j + l − k − r)h).
(8)
j,k,l,r=0
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме Парсеваля во временной области интеграл (6)
∞
2
H2
h2 (t)dt.
=
0
Согласно лемме 3, импульсная характеристика системы имеет вид (5), тогда норма
2
H2
=
∞ m
bj bk cl cr k(t − (j + l)h)k(t − (k + r)h)dt.
0 j,k,l,r=0
Используя функцию Ляпунова (8), получим искомую формулу (7).
Например, для одного запаздывания, m = 1, формулу (7) можно записать следующим образом:
H22 = u(0)[c20 b20 + (c0 b1 + c1 b0 )2 + c21 b21 ] +
+ 2u(h)[c0 b0 (c0 b1 + c1 b0 ) + (c0 b1 + c1 b0 )c1 b1 ] + 2u(2h)c0 c1 b0 b1 .
Таким образом, расчет нормы передаточной функции сводится к нахождению функции Ляпунова.
4. Функция Ляпунова. Определение 8 неконструктивно, так как вычисление матриц Ляпунова по нему затрудненo из-за несобственного интеграла и применимо только
для экспоненциально устойчивых уравнений. Но функцию Ляпунова можно определить
по-другому.
Определение 8 [4]. Функцией Ляпунова будем называть функцию, удовлетворяющую следующим трем свойствам:
120
• динамическое свойство
⎡
⎤
m
m
d ⎣
dj u(t − jh)⎦ =
aj u(t − jh), τ 0;
dτ j=0
j=0
• свойство симметрии
u(−τ ) = u(τ ), τ 0;
• алгебраическое свойство
m m
j=1 k=1
1
dj ak u(|j − k|h) = − .
2
Нетрудно доказать, что в случае экспоненциальной устойчивости определения 7 и 8
равносильны [4].
Используем новое определение для поиска функции Ляпунова. На промежутке [0, h]
введем вектор
z(τ ) = (u(τ + (m − 1)h), . . . , u(τ ), . . . , u(τ − mh))T .
Лемма 4 [4]. Вектор z(τ ) удовлетворяет следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
z = D−1 Az,
(9)
где матрицы D и A имеют
⎛
1 · · · dm−1
dm
⎜ ..
.
..
.
..
..
⎜ .
.
⎜
⎜ 0 ···
1
d
1
D =⎜
⎜dm · · ·
d
1
1
⎜
⎜ .
..
..
..
⎝ ..
.
.
.
dm−1
0 ···
dm
вид
···
..
.
···
···
..
.
···
⎛
⎞
a0
0
⎜ ..
.. ⎟
⎜ .
. ⎟
⎜
⎟
⎜ 0
⎟
dm ⎟
⎜
,
A
=
⎜−am
⎟
0⎟
⎜
⎜ .
⎟
..
⎝ ..
⎠
.
1
0
a1
−a0
..
.
···
..
.
···
···
..
.
⎞
0
.. ⎟
. ⎟
⎟
am ⎟
⎟.
0 ⎟
⎟
.. ⎟
. ⎠
−am−1
···
−a0
···
..
.
···
···
..
.
am−1
..
.
am
..
.
a0
−a1
..
.
···
−am
Матрица D суть матрица результанта полиномов q(z) и z m q(z −1 ). Они не имеют
общих корней, так как в случае экспоненциальной устойчивости исходного уравнения
полином q(z) устойчив по Шуру. Следовательно, матрица D неособая.
Решение системы (9) находится как решение стационарной линейной системы
по формуле Коши
−1
z(τ ) = eD Aτ z(0).
Для его определения необходимо найти начальный вектор z(0).
Лемма 5 [4]. Начальный вектор z(0) удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений
−1
(M + N eD Ah )z(0) = (−1, 0, . . . , 0)T .
121
Матрицы
⎛
0
⎜1
⎜
⎜ ..
⎜.
⎜
M =⎜
⎜0
⎜0
⎜
⎜.
⎝ ..
M и N имеют вид
···
···
..
.
0
0
..
.
p0
0
..
.
···
···
..
.
pm−1
0
..
.
···
···
..
.
1
0
..
.
0
1
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
0 ···
0
0
···
1
⎞
⎛
pm
pm
⎜0
0⎟
⎟
⎜
⎜ ..
.. ⎟
⎜ .
. ⎟
⎟
⎜
⎜0
0⎟
,
N
=
⎟
⎜
⎜0
0⎟
⎟
⎜
⎜ .
.. ⎟
⎠
⎝ ..
.
0
0
где
pj =
m
pm−1
−1
..
.
···
···
..
.
p0
0
..
.
0
0
..
.
···
···
..
.
···
−1
0
..
.
0
0
0
0
..
.
···
···
..
.
0 ···
−1 · · ·
..
..
.
.
0 ···
0
0
..
.
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟,
0⎟
⎟
.. ⎟
. ⎠
−1
dk al .
l,k=0
|l−k|=j
Теорема 2. Вектор z(τ ) на промежутке [0, h] может быть найден с помощью
формулы
−1
−1
z(τ ) = eD Aτ (M + N eD Ah )−1 (−1, 0, . . . , 0)T .
Зная z(τ ) на [0, h], можно определить u(τ ) при τ ∈ [−mh, mh], откуда для формулы
нормы получаем u(0), . . . , u(mh).
Чтобы найти значения u(τ ) для τ > mh, следует воспользоваться стандартной процедурой интегрирования уравнения (1) по шагам.
5. Пример. Рассмотрим экспоненциально устойчивое уравнение
d
[x(t) − x(t − 1) + 0.5x(t − 2)] = −3x(t)+ 2x(t− 1)− 2x(t− 2)+ v(t)+ 2v(t− 1)+ 3v(t−2),
dt
y(t) = x(t) + 2x(t − 1).
Норма передаточной функции, согласно формуле (5), будет иметь вид
2
G2 = u(0)[c20 b20 + (c0 b1 + c1 b0 )2 + (c0 b1 + c1 b1 )2 + c21 b22 ] +
+ 2u(1)[c0 b0 (c0 b1 + c1 b0 ) + (c0 b1 + c1 b0 )(c0 b2 + c1 b1 ) + (c0 b2 + c1 b1 )c1 b2 ] +
+ 2u(2)[c0 b0 (c0 b2 + c1 b1 ) + (c0 b1 + c1 b0 )c1 b2 ] + 2u(3)c0 b0 c1 b2 =
= 102u(0) + 148u(1) + 62u(2) + 12u(3).
Вектор z(τ ) в данном случае имеет вид z(τ ) = (u(τ + 1), u(τ ), u(τ − 1), u(τ − 2))T ,
матрицы для определения z(0)
⎛
⎞
⎛
⎞
1 −1 0.5 0
−3 2 −2 0
⎜0
⎜
⎟
1 −1 0.5⎟
⎟ , A = ⎜ 0 −3 2 −2⎟ ,
D=⎜
⎝0.5 −1 1
⎝ 2 −2 3
0⎠
0⎠
0 0.5 −1 1
0
2 −2 3
⎞
⎛
⎛
⎞
0 −3.5 8 −6
−6 8 −3.5 0
⎜
⎜ 0 −1
0
0 0⎟
0
0⎟
⎟,
⎟ , M = ⎜1
N =⎜
⎝
⎝0
⎠
0
1
0 0⎠
0
−1
0
0
0
1 0
0
0
0
−1
122
тогда сама система будет такой:
⎞ ⎛ ⎞
⎛
⎞⎛
−1
u(1)
−53.7328 109.3965 −130.9228 59.1459
⎜ 11.9770 −15.0877
⎟ ⎜u(0)⎟ ⎜ 0 ⎟
16.6973
0.1543
⎟ = ⎜ ⎟.
⎜
⎟⎜
⎝ −0.1543
12.3296
−15.6167 17.0499⎠ ⎝u(1)⎠ ⎝ 0 ⎠
0
u(2)
−17.0499 38.8170
−46.1273 23.3546
Решением является z(0) = (0.2756, 0.5225, 0.2756, −0.1229)T . Таким образом, u(0) =
0.5225, u(1) = 0.2756, u(2) = −0.1229. Методом интегрирования по шагам находим
u(3) = −0.2928. Тогда норма передаточной функции будет
G2 = 9.1072.
6. Заключение. В данной работе приведена явная формула для вычисления H2
нормы передаточной функции линейного стационарного уравнения с запаздываниями
нейтрального типа, которая включает в себя только коэффициенты исходного уравнения и значения функции Ляпунова в нескольких точках. Предложен способ вычисления функции Ляпунова, заключающийся в решении системы уравнений, что полностью
определяет выражение для нормы.
Литература
1. Jarlebring E., Vanbierviet J., Michiels W. Explicit expression for the H2 norm of time-delay system
based on the delay Lyapunov equation // Proc. of the 49th IEEE Conference on Decision and Control.
Atlanta, USA, 2010. P. 164–169.
2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ. А. М. Зверкина, Г. А. Каменского. М.: Мир, 1967. 548 с. (Bellman Richard, Cooke Kenneth. Differential-differebce
equation).
3. Zhou К., Doyle J. C., Glover K. Robust and Optimal Control. New York, Prentice Hall: Engelwood
Cliffs, 1996. 586 p.
4. Velazquez-Velazquez J. E., Kharitonov V. L. Lyapunov-Krasovskii functionals for scalar neutral
type time delay equations // System & Control Letters. 2009. Vol. 58. P. 17–25.
Статья рекомендована к печати проф. В. Л. Харитоновым
Статья принята к печати 21 июня 2012 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
232 Кб
Теги
норм, типа, уравнения, нейтральной, функции, передаточную
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа