close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Абстрактные вольтерровы операторы.

код для вставкиСкачать
2008
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (550)
УДК 517.988
Е.С. ЖУКОВСКИЙ, М.Ж. АЛВЕШ
АБСТРАКТНЫЕ ВОЛЬТЕРРОВЫ ОПЕРАТОРЫ
Аннотация.
Сформулировано новое общее определение вольтерровости операторов. Этому
определению удовлетворяют многие типы эволюционных операторов, включая вольтерровы по А.Н. Тихонову операторы. Для уравнений с обобщенно вольтерровыми операторами
введены понятия локального, глобального, предельно продолженного решений. Получены
условия существования, единственности и продолжаемости решений нелинейных уравнений.
Следствием доказанных в работе теорем являются известные и новые утверждения о разрешимости конкретных уравнений. Приведен пример использования полученных результатов
к исследованию задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений.
Введение
В статье Тихонова А.Н. [1] было определено свойство вольтерровости операторов: \Функциональный оператор V (t; ') мы будем называть функциональным оператором типа Volterra, если
его величина определена значениями функции '( ) в промежутке 0 6 < t." Операторы, обладающие сформулированным свойством, возникают при описании динамики явлений, процессов,
поскольку они отражают зависимость настоящего состояния объекта от его развития, его \прошлого" и независимость от \будущего". Вольтерровы операторы подробно изучены благодаря
работам V. Volterra, L. Tonelli, D. Gra, S. Cinquini, А.Н. Тихонова, Н.Н. Красовского. Абстрактные трактовки свойства вольтерровости операторов предложены в работах М.С. Бродского,
А.Л. Бухгейма, Ю.А. Дядченко, И.Ц. Гохберга, С.А. Гусаренко, П.П. Забрейко, Г.Э. Киселевского,
М.С. Крейна, В.Г. Курбатова, М.С. Лившица, А.В. Поносова, В.И. Сумина, C. Corduneanu,
A. Feintuch, R. Saeks, M. Vath и др. авторов. Большинство рассматриваемых определений относятся к линейным операторам и означают, что вольтерров оператор обладает цепочкой инвариантных подпространств. Литература, посвященнная обобщению свойства вольтерровости для
нелинейных операторов, менее многочислена. Как правило, исследуется композиция оператора
Немыцкого и линейного абстрактного вольтеррова оператора.
В данной работе сформулировано новое общее определение вольтерровости операторов, из
которого могут быть получены известные определения. Исследуется разрешимость нелинейных уравнений с обобщенно вольтерровыми операторами. Следствием доказанных в работе
теорем являются известные и новые утверждения о разрешимости конкретных уравнений.
Ключевые слова:
абстрактные вольтерровы операторы, вольтеррова обратимость операторов, ло-
кальные решения, продолжение решений, единственность решения, функционально-дифференциальные
уравнения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проекты ЄЄ 04-01-00324, 07-01-00305), Норвежского комитета по развитию университетской науки и
образования (NUFU) (research grant PRO 06/2002).
3
4
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
Приведены примеры использования полученных результатов к исследованию функциональнодифференциальных уравнений.
Введем обозначения: Rm | пространство векторов (столбцов), имеющих m вещественных
компонент, с нормой jxj; Lp ([a; b]; Rm ) | пространство суммируемых в p-й степени, 1 6 p < 1,
Rb
1=p
вектор-функций y : [a; b] ! Rm с нормой kykLp = jy(s)jp ds ; L1 ([a; b]; Rm ) | пространa
ство измеримых ограниченных в существенном вектор-функций y : [a; b] ! Rm с нормой
kykL1 = vrai sup jy(s)j; ACp([a; b]; Rm ) | пространство таких абсолютно непрерывных векторs2[a;b]
функций x : [a; b] ! Rm , что x0 2 Lp ([a; b]; Rm ), 1 6 p 6 1; с нормой kxkACp = kx0 kLp + jx(c)j,
c 2 [a; b]; C ([a; b]; Rm ) | пространство непрерывных вектор-функций x : [a; b] ! Rm с нормой
kxkC = smax
jx(s)j; C0([a; b]; Rm ) | подпространство пространства C ([a; b]; Rm ) вектор-функций,
2[a;b]
удовлетворяющих условию x(a) = 0. В обозначениях пространств будем опускать индексы
m = 1, p = 1; в обозначениях функциональных пространств не будем писать, где определены и
в каких множествах имеют значения функции | элементы пространств, если это не вызовет
недоразумений.
1. Основное определение
Пусть каждому 2 [0; 1] поставлено в соответствие отношение эквивалентности ( ) на
множестве B . Назовем элементы x; y 2 B , удовлетворяющие этому бинарному отношению, ( )эквивалентными. Будем предполагать, что совокупность V = f( )j 2 [0; 1]g рассматриваемых
отношений удовлетворяет трем условиям:
V0 ) = 0 соответствует отношение (0) = B 2 (т. е. любые два элемента являются (0)эквивалентными);
V1 ) = 1 соответствует отношение равенства (т. е. никакие два разных элемента не вступают
в отношение (1));
V2 ) если > , то ( ) () (другими словами, любые два ( )-эквивалентные элемента
x; y 2 B будут ()-эквивалентными, если > ).
Определение 1. Оператор F : B ! B будем называть вольтерровым на системе V, если
для каждого 2 (0; 1) и любых x; y 2 B из (x; y) 2 ( ) следует (Fx; Fy) 2 ( ).
Анализируя это определение, прежде всего заметим, что ему удовлетворяют классическое
определение А.Н. Тихонова и его обобщения, трактующие эволюцию операторов.
Пример 1. Согласно определению А.Н. Тихонова [1] оператор F , действующий в некотором
множестве B функций y : [a; b] ! Rm , является вольтерровым тогда и только тогда, когда для
каждого 2 (a; b) и для любых x; y 2 B из x(s) = y(s) на [a; ] следует (Fx)(s) = (Fy)(s) на [a; ].
Это означает, что оператор F : B ! B является вольтерровым на системе V = f( )j 2 [0; 1]g
отношений
(x; y) 2 ( ) , x(t) = y(t) 8t 2 [a; a + (b ; a)]:
(1)
Пример 2. Рассмотрим предложенное в [2]{[4] определение вольтерровости оператора, действующего в некотором множестве B измеримых функций y : [a; b] ! Rm . Пусть каждому
2 [0; b ; a] соответствует измеримое множество e [a; b] с мерой (e ) = , причем для любых
; 2 [0; 1], < , выполнено e e . Оператор F : B ! B назван вольтерровым на системе
множеств v = fe g, если для каждого 2 (0; b ; a) и любых x; y 2 B из x(s) = y(s) на e
следует (Fx)(s) = (Fy)(s) на e . Если e = [a; a + ], то получаем классическое определение
А.Н. Тихонова [1]. Если e = [b ; ; b], то оператор называют опережающим [5]. Вольтерровость
на системе множеств равносильна вольтерровости на системе отношений
(x; y) 2 ( ) , x(t) = y(t) 8t 2 e ; = (b ; a):
(2)
Абстрактные вольтерровы операторы
Интегральный оператор K : B ! B ,
(Ky)(t) =
b
Z
a
K(t; s)y(s)ds; t 2 [a; b];
5
(3)
является вольтерровым на системе (2) отношений эквивалентности тогда и только тогда, когда
K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2 [a; b]([a; b]neb(t)), где eb(t) является пересечением всех множеств
e , содержащих точку t [3].
Оператор внутренней суперпозиции S : B ! B ,
(
(Sy)(t) = A(t)y(h(t)); если h(t) 2 [a; b];
(4)
0;
если h(t) 2= [a; b];
является вольтерровым на системе (2) отношений эквивалентности тогда и только тогда, когда
при почти каждом t 2 [a; b] n ( [ ) выполнено h(t) 2 eb(t) [3]. Здесь = ft 2 [a; b] j h(t) 2= [a; b]g,
= ft 2 [a; b] j A(t) = 0g.
b;a целое. Обозначим i = a + i , i = 0; k . На некотором
Пример 3. Пусть > 0, k =
множестве B измеримых функций y : [a; b] ! Rm определим следующую систему отношений
эквивалентности: если 2 (i;1 ; i ], то
(x; y) 2 ( ) , x(t) = y(t) 8t 2 [a; a + i ]:
(5)
Интегральный оператор (3), действующий в множестве B , будет вольтерровым на системе (5),
если его ядро K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2 (i;1 ; i ] [i ; b], i = 1; k (см. рис. 1).
Оператор внутренней суперпозиции (4) будет вольтерровым на системе отношений (5), если
h(t) 6 i при t 2 (i; ; i ] n ( [ ), i = 1; k . Такому условию отвечает, например, функция,
1
график которой представлен на рис. 2. Отметим, что приведенные условия не обеспечивают
вольтерровость по А.Н. Тихонову операторов (3), (4).
Пример 4. Пусть в банаховом пространстве B выделена упорядоченная по вложению система подпространств B , 2 (0; 1). Согласно [6], [7] оператор F : B ! B является вольтерровым, если из x ; y 2 B следует Fx ; Fy 2 B . При каждом 2 (0; 1) определим отношение
эквивалентности ( ): 8x; y 2 B (x; y) 2 ( ) , x ; y 2 B . Тогда приведенное определение
будет означать, что оператор F отображает ( )-эквивалентные элементы пространства B в
( )-эквивалентные, т. е. является вольтерровым на системе отношений эквивалентности.
В работах [8]{[10] определение вольтерровости использует цепочки проекторов P :B ! B ,
2 [0; 1]. Оператор F : B ! B считается вольтерровым, если из P x = P y, x; y 2 B , следует
6
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
P Fx = P Fy. Такое определение равносильно предлагаемому здесь, если определить отношение эквивалентности ( ):
8x; y 2 B ((x; y) 2 ( ) , P x = P y):
(6)
(
если u > 0; Рассмотрим опе;1; если u < 0:
Rb
Rt
ратор (Ky)(t) = y(s)ds f (t; s; jy(s)j)ds в предположении, что он действует в некотором
a
a
множестве B функций y : [a; b] ! R. Этот оператор не обладает свойством вольтерровости по
А.Н. Тихонову. Однако этот оператор будет вольтерровым на сиcтеме отношений
(x; y) 2 ( ); 2 (0; 1) , jx(t)j = jy(t)j 8t 2 [a; a + (b ; a)]:
(7)
Отметим следующее важное отличие отношений эквивалентности (7) от рассмотренных выше:
для (x; xb) 2 ( ) и (y; yb) 2 ( ) может оказаться, что (x + y; xb + yb) 2= ( ).
Следует заметить, что приведенному определению удовлетворяет, вообще говоря, любой оператор, если взять систему V, состоящую лишь из двух тривиальных отношений эквивалентности: ( ) = (0) = B 2 , 2 [0; 0:5]; и ( ) = (1) = f(x; x) 2 B 2g, 2 (0:5; 1]. Но, конечно же,
такая вольтерровость совершенно бесполезна при изучении операторов. Очевидно, чем \шире"
система отношений, тем большей информацией о вольтерровом операторе мы располагаем.
Пример 5.
Пусть f : [a; b] [a; b] R ! R, (u) = 1;
2. Вольтерровы операторы в произвольных множествах
Вначале не будем накладывать никаких ограничений на множество B и выясним, какие
можно получить результаты о разрешимости уравнений, предполагая лишь вольтерровость соответствующих операторов. Итак, пусть на множестве B задана система V отношений эквивалентности, удовлетворяющая условиям V0 ){V2 ). При каждом фиксированном 2 (0; 1) обозначим B=( ) | фактор-множество, x | класс элементов, ( )-эквивалентных элементу x 2 B ,
т. е. x 2 B=( ). Оператор F : B ! B является вольтерровым на системе V, если для каждого
2 (0; 1) и любых x; y 2 B из y 2 x следует Fy 2 Fx . Здесь Fx | класс ( )-эквивалентности
элемента Fx. Если для некоторых 0 2 (0; 1), u 2 B окажется выполненным включение Fu 2 u0 ,
то множество u0 будет инвариантным подмножеством вольтеррова оператора F . Отношение
( ) можно рассматривать не на всех элементах B , а лишь на элементах подмножества u0 .
Таким образом, на u0 оказывается заданной система отношений эквивалентности, удовлетворяющая условиям V0 ){V2 ). Из вольтерровости оператора F : B ! B на совокупности V следует
вольтерровость его сужения F 0 : u0 ! u0 на (сужении) V.
Определим при любом 2 (0; 1) каноническую проекцию : B ! B=( ) равенством
x = x . Для вольтеррова на системе V оператора F : B ! B обозначим F : B=( ) ! B=( ),
F x = Fx; где x | любой элемент класса x . Это определение корректно, поскольку вследствие вольтерровости оператора F образы любых двух ( )-эквивалентных элементов x; y 2 B
принадлежат одному классу ( )-эквивалентности, т. е. Fx = Fy. Отметим, что натуральную степень (F )i : B=( ) ! B=( ) оператора F можно находить с помощью равенства
(F )i x = F i x, x 2 x , т. е. (F )i = (F i ) .
Зафиксируем 2 (0; 1). Система отношений V множества B порождает отношения эквивалентности в фактор-множестве B=( ). Пусть 2 (0; ), и пусть элементы x; y 2 B ( )-эквивалентны. Тогда любые элементы z 2 x = x , w 2 y = y будут также ( )-эквивалентными.
Действительно, (x; z ) 2 ( ) ( ), (y; w) 2 ( ) ( ), и поэтому (z; w) 2 ( ). Это позволяет говорить об эквивалентности классов x , y . Итак, x ; y 2 B=( ) назовем ( )эквивалентными, 2 (0; 1), если существуют (а значит, и все) элементы x 2 x , y 2 y , удовлетворяющие отношению ( ), = . Таким образом, на B=( ) задана система V = f ( )g
Абстрактные вольтерровы операторы
7
отношений эквивалентности. Если оператор F : B ! B вольтерров на системе V, то оператор
F : B=( ) ! B=( ) будет вольтерровым на V .
Предварим описание основных результатов следующими очевидными замечаниями. Вопервых, композиция вольтерровых на фиксированной совокупности V операторов также обладает таким свойством. Во-вторых, тождественный оператор вольтерров на любой совокупности
отношений эквивалентности. И последнее, оператор, обратный к вольтеррову на V оператору,
может и не обладать таким свойством. В подтверждение приведем построенный в [11] пример
вольтеррова по А.Н. Тихонову оператораpS : C ([0; 1]; R) ! C ([0; 1]; R), (Sy)(t) = y(t2 ). Обратный оператор существует, (S ;1 y)(t) = y( t), но не является вольтерровым по А.Н. Тихонову.
Следующий критерий вольтерровости обратного оператора является аналогом утверждения о
вольтерровых по А.Н. Тихонову операторах, предложенного А.И. Булгаковым [12].
Теорема 1. Пусть вольтерров на системе V оператор F : B ! B обратим. Тогда, чтобы
обратный оператор F ;1 был вольтерровым на системе V, необходимо и достаточно обратимости операторов F : B=( ) ! B=( ) для каждого 2 (0; 1).
Пусть оператор F ;1 : B ! B вольтерров на системе
: B=( ) ! B=( ), (F ;1 ) y = F ;1 y. Покажем,
что этот оператор является обратным к оператору F : B=( ) ! B=( ). Найдем композицию
(F ;1 ) F : B=( ) ! B=( ). Имеем (F ;1 ) F x = (F ;1 ) Fx = F ;1 Fx = x = x . Аналогично доказывается, что композиция F (F ;1 ) также является тождественным оператором.
Доказательство. Необходимость.
V. Тогда можем определить оператор (F ;1)
Выберем произвольно g 2 B , f 2 g B . Определим элементы x = F ;1 f ,
y=
которые являются единственными решениями соответственно уравнений Fx = f ,
Fy = g. Тогда классы x , y эквивалентности этих элементов удовлетворяют уравнениям F x =
f , F y = g. Так как f = g = g , и вследствие обратимости оператора F получаем
x = y , то x 2 y . Итак, оператор F ;1 является вольтерровым.
Достаточность.
F ;1 g,
Замечание.
то (F ;1 )
При доказательстве теоремы установлено, что если оператор F ;1 вольтерров,
= (F );1 .
= (F );1 , что позволяет обозначать F ;1 = (F ;1 )
Определение 2. Пусть > 0. Оператор T : B ! B будем называть -вольтерровым на
системе V, если для любых x; y 2 B выполнено Ty 2 Tx, и для каждого 2 (; 1] из
y 2 ; x следует Ty 2 Tx.
Пример 6. Сформулируем условия -вольтерровости интегрального оператора и оператора
внутренней суперпозиции на рассмотренных выше конкретных системах отношений эквивалентности.
Пусть в множестве B функций y : [a; b] ! Rm задана система (1) отношений эквивалентности. В этом случае \ -вольтерровость на системе отношений" имеет общепринятое значение. Как
известно, интегральный оператор (3) является -вольтерровым на этой системе, если K(t; s) = 0
при почти всех таких (t; s) 2 [a; b]2 , что s > t ; . Оператор внутренней суперпозиции (4) -вольтерров на системе (1), если при почти каждом t 2 [a; b] n ( [ ) выполнено h(t) 6 t ; .
Зададим теперь в множестве B функций y : [a; b] ! Rm систему отношений (2). Тогда
интегральный оператор (3) будет -вольтерровым, если K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2
[a; b] ([a; b] n eb (t)), где eb (t) является пересечением всех таких множеств e , что 0 6 6 b ; a ; ,
t 2 e+ . Оператор внутренней суперпозиции (4) обладает свойством -вольтерровости на системе (2), если при почти каждом t 2 [a; b] n ( [ ) выполнено h(t) 2 eb (t).
8
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
Пусть в множестве B определены отношения эквивалентности (5). Тогда интегральный
оператор будет -вольтерровым, если K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2 (i;1 ; i ] [i;1 ; b],
i = 1; k (см. рис. 3). Оператор внутренней суперпозиции -вольтерров, если h(t) 6 i;1 при
t 2 (i;1 ; i ] n ( [ ), i = 1; k (возможный график функции h() представлен на рис. 4). Отметим,
что эти условия не достаточны для -вольтерровости на системе отношений (1) операторов (3),
(4).
Приведем некоторые свойства -вольтерровых операторов
1. композиция (в любом порядке) вольтеррова и -вольтеррова на системе V операторов
является -вольтерровым на V оператором;
2. для любого -вольтеррова на системе V оператора T : B ! B существует такое натуральное i, что T i = const;
3. если оператор T : B ! B является -вольтерровым на системе V, то уравнение x = Tx
однозначно разрешимо;
4. для -вольтеррова на системе V оператора T : B ! B оператор T : B=( ) ! B=( ),
T x = Tx при любом 2 (0; 1) является -вольтерровым на системе V , где = .
Следующее утверждение означает, что -вольтерровы возмущения не влияют на вольтеррову
обратимость операторов.
Теорема 2. Пусть отображение Q : B B ! B при каждом фиксированном втором аргументе y 2 B , как оператор первого аргумента Q( ; y) : B ! B , является вольтерровым на V и
имеет вольтерров на V обратный оператор Q( ; y);1 : B ! B . Далее, при каждом фиксированном первом аргументе y 2 B , отображение Q(y; ) : B ! B по второму аргументу обладает
свойством -вольтерровости на V. Тогда оператор F : B ! B , Fx = Q(x; x) обратим, причем
оператор F ;1 : B ! B вольтерров на V.
Доказательство.
уравнение
В силу теоремы 1 достаточно показать, что при любых f 2 B , 2 (0; 1]
F x = f (8)
имеет единственное решение.
Пусть 2 (0; ]. Возьмем произвольно y 2 B . Вследствие -вольтерровости по второму
аргументу оператора Q при всех x 2 B=( ) выполнено F x = (x; x) = (x; y), где
x 2 x . Так как по первому аргументу оператор Q вольтеррово обратим, то уравнение (8)
однозначно разрешимо. Обозначим решение уравнения (8) при = через z , z 2 z .
Абстрактные вольтерровы операторы
9
Если 2 (; 2 ], то уравнение (8) равносильно уравнению G x = f , где G x = (x; z ),
x 2 x . Это уравнение также однозначно разрешимо вследствие вольтерровой обратимости оператора Q.
Продолжая аналогичные построения и рассуждения, докажем однозначную разрешимость
уравнения (8) при всех 2 (0; 1].
Утверждения об обратимости линейных вольтерровых (по А.Н. Тихонову) операторов и
их приложения к функционально-дифференциальным уравнениям рассматривались в работах
Н.В. Азбелева, Л.М. Березанского, В.Г. Курбатова, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной. В [7],
[11] показано, что вполне непрерывные и слабо вполне непрерывные линейные возмущения не
влияют на вольтеррову (по А.Н. Тихонову) обратимость линейных операторов в пространствах
суммируемых функций. В [13] предлагается описание всего класса таких линейных возмущений,
действующих в пространствах суммируемых функций. В ([3], c. 25{29) показано, что улучшающие и -вольтерровы возмущения не влияют на вольтеррову на системе (2) обратимость линейных операторов в произвольных банаховых функциональных пространствах. Приведенные
здесь теоремы 1, 2 интересны не только общностью определения вольтерровости, но и тем, что
не требуют снабжения множества B топологией и линейными операциями.
Иллюстрацией существенности в формулировке теоремы 2 требования вольтерровости оператора Q( ; y);1 служит
Пример 7. Зададим оператор Q : L1 ([0; 1]; R) L1 ([0; 1]; R) ! L1 ([0; 1]; R) равенством
(
3
1
;
Q(x; y) (t) = x(t2) ; A(t)y(t2 ), где A(t) = 0; если t 2 [01; 43) [ ( 4 ; 1]; Этот оператор по первому
1; если t 2 [ 4 ; 4 ]:
аргументу вольтерров на системе; (1) (т. е.вольтерров
и обратим, но обратный
p
p по А.Н. Тихонову)
оператор Q;1 ( ; y) : L1 ! L1 , Q;1 (f; y) (t) = A( t)y(t) + f ( t) не обладает свойством вольтерровости на системе (1). По второму аргументу оператор Q(y; ) является
-вольтерровым на
;
p
(1), где = 14 . В данном случае оператор F : L1 ! L1 , (Fx)(t) = 1 ; A(t) x( t) не обладает
свойствами инъективности и сюръективности, так как (Fx)(t) = 0 на [ 14 ; 34 ] при всех x 2 L.
Укажем одно приложение теоремы 2.
m
Пример 8. Пусть B | линейное пространство функций y : [a; b] ! R . Докажем, что если
интегральный оператор (3) действует в B и K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2 (i;1 ; i ] [i;1 ; b],
i = 1; k, то его спектральный радиус равен нулю. Действительно (см. пример 6), в этих условиях оператор K является -вольтерровым на системе отношений (5). Тождественный оператор
I : B ! B вольтерров на этой системе отношений, обратим, обратный оператор I ;1 = I тоже
вольтерров. Согласно теореме 2 при любом комплексном оператор I ; K обратим. Аналогично доказывается, что спектральный радиус оператора внутренней суперпозиции (4) равен нулю,
если h(t) 6 i;1 при t 2 (i;1 ; i ] n ( [ ), i = 1; k . Для пространства суммируемых функций
последнее утверждение может быть получено из результатов Л.М. Березанского [14].
3. Вольтерровы операторы в нормированных пространствах
Здесь предполагается, что B является линейным вещественным или комплексным нормированным пространством, на котором задана система V отношений эквивалентности, удовлетворяющая условиям V0 ){V2 ). Кроме того, будем считать, что отношения ( ) 2 V сохраняются при
сложении векторов и умножении их на числа, т. е. при каждом 2 (0; 1), для любых элементов
x; xb; y; yb 2 B и всякого числа ,
(x; xb) 2 ( ); (y; yb) 2 ( ) ) (x + y; xb + yb) 2 ( ); (x; xb) 2 ( ):
Последнее предположение превращает фактор-множество B=( ) в фактор-пространство. Нулевой элемент фактор-пространства 0 = fy 2 B j (y; 0) 2 ( )g является подпространством пространства B . Зададим в фактор-пространстве B=( ) норму ([15], с. 128) kx kB=( ) = xinf
kxkB .
2x
10
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
При таком определении каноническая проекция : B=( ) ! B=( ) | линейное ограниченное отображение, k k = 1.
Определение 3. Если пространство B банахово и если для любого 2 (0; 1) всякая сходящаяся последовательность ( )-эквивалентных элементов имеет пределом также ( )-эквивалентный элемент, т. е.
8fxi g B; 8x 2 B 8i k(xxii ;;x1x)k2B !(0) ) (x; x1 ) 2 ( );
то будем говорить, что пространство B удовлетворяет V -условию (относительно системы отношений V). Для того чтобы банахово пространство B удовлетворяло V -условию, необходимо
и достаточно, чтобы при любом 2 (0; 1) подпространство 0 было замкнутым. Если выполнено
V -условие, то фактор-пространство B=( ) является банаховым. Согласно ([15], с. 128{130) это
следует из замкнутости подпространства 0 . Отметим, что V -условию удовлетворяют пространства C ([a; b]; R), Lp ([a; b]; R), 1 6 p 6 1, другие \традиционные" пространства определенных на
[a; b] вещественных функций, в которых задана система отношений (1). Этот факт существенно
используется при исследовании вольтерровых по А.Н. Тихонову операторов. Пример функционального пространства, не удовлетворяющего V -условию относительно системы (1), предложен
в ([3], с. 18{19).
Теорема 3. Пусть в банаховом пространстве B выполнено V -условие; fFi g | последовательность вольтеровых на системе V операторов Fi : B ! B . Если kFi y ; FykB ! 0 при
каждом y 2 B , то и предельный оператор F : B ! B также вольтерров на системе V.
Доказательство вытекает непосредственно из определения вольтерровости.
Из этого утверждения следуют известные теоремы о предельном переходе в классе вольтерровых по А.Н. Тихонову операторов ([16], с. 85, теорема 2.1), в классе операторов, вольтерровых
на системе отношений (2) ([3], с. 18, теорема 3.1), на системе отношений (6) ([17], с. 114).
Рассмотрим уравнение
Fx = 0
(9)
с вольтерровым на системе V оператором F : B ! B .
Определение 4. Если существуют число 2 (0; 1) и класс эквивалентности z 2 B= ( ),
удовлетворяющий равенству F z = 0 , то уравнение (9) будем называть локально разрешимым,
а класс z | его ( )-локальным решением. Элемент z 2 B , удовлетворяющий уравнению
(9), назовем глобальным решением. Сопоставляя элементу z 2 B класс (1)-эквивалентности
z1 = fzg, содержащий лишь один этот элемент, класс z 1 также будем считать глобальным
решением. Если 0 < < 6 1 и если z ; z | соответственно ( )-локальное (или глобальное
при = 1) и ( )-локальное решения, удовлетворяющие включению z z , то будем называть
решение z продолжением решения z , а решение z | частью решения z . Заметим, что для
произвольного локального или глобального решения z , вследствие условия V2 ), при любом
2 (0; ) существует единственный класс z 2 B=( ), для которого имеет место z z .
Класс z будет частью решения z . Этот факт позволяет отождествить каждое локальное или
глобальное решение z с отображением, ставящим в соответствие 2 (0; ] такой класс z 2
B=(), что z z . Отображение 2 (0; ) 7! z 2 B=( ), удовлетворяющее условиям
8; 0 < < < ) z z ; !lim
kz k
= 1;
;0 B=()
будем называть предельно продолженным решением. Любое сужение такого отображения на
(0; ] (0; ) (конечно, являющееся локальным решением) будем называть частью предельно
продолженного решения.
Абстрактные вольтерровы операторы
11
Определенные здесь понятия локального, глобального, предельно продолженного решений
являются естественным обобщением понятий решений дифференциальных уравнений, интегральных уравнений Вольтерра, функционально-дифференциальных уравнений эволюционного
типа, других уравнений с вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами. Для перечисленных
уравнений решение ищется в каком-либо множестве функций, определенных на [a; b]. Под локальным решением понимают функцию zc , определенную на [a; c], c < b, и удовлетворяющую
на этом отрезке заданному уравнению. Функцию zc можно отождествить с классом функций,
являющихся всевозможными ее продолжениями на весь [a; b]. Таким образом, \классические"
определения решений эволюционных уравнений равносильны приведенным выше, если на соответствующем множестве функций определить систему отношений (1).
Пусть B | нормированное пространство. Зададим отображение Z : (0; 1) B ! R, Z (; y) =
k ykB=(). При каждом y 2 B функция Z (; y) не убывает, и поэтому существует !lim
Z (; y) =
0+0
z0 (y). Доопределим отображение Z значением Z (0; y) = z0 (y). Далее, будем считать Z (1; y) =
kykB . Таким образом, отображение Z теперь задано на [0; 1] B .
Рассмотрим утверждения о неподвижных точках вольтеррова на V оператора K : B ! B ,
т. е. исследуем разрешимость уравнения
x ; Kx = 0;
(10)
являющегося частным случаем уравнения (9).
Определение 5. Оператор K : B ! B назовем локально сжимающим на системе V, если
существуют такие числа q < 1, > 0, что выполнены условия
1. 8 2 (0; ), 8x; y 2 B Z (; Kx ; Ky) 6 q Z (; x ; y);
2. 8; 2 (0; 1], < < + , 8x; y 2 B x 2 y ) Z (; Kx ; Ky) 6 q Z (; x ; y).
Класс локально сжимающих на системе V операторов достаточно широк. Ему, конечно же,
принадлежат не только сжимающие операторы. К локально сжимающим операторам относятся
также, например, -вольтерровы операторы. Важно заметить, что свойством локальной сжимаемости могут обладать даже операторы, не являющиеся непрерывными и ограниченными.
Пример 9. Оператор K : C ([0; 1]; R) ! C ([0; 1]; R),
8
>
если t 2 [0; 0:5];
>
<0:5x(t);
(Kx)(t) = >0:5x(0:5) + x(0)(t ; 0:5); если t 2 (0:5; 1]; x(0) | рациональное число;
>
:0:5x(0:5);
если t 2 (0:5; 1]; x(0) | иррациональное число,
ни в какой точке x 2 C ([0; 1]; R) не является непрерывным. Любая его степень K n : C ([0; 1]; R) !
C ([0; 1]; R) также разрывна в каждой точке. Тем не менее, этот оператор вольтерров и локально
сжимающий на системе (1). А -вольтеррров на такой же системе, и потому локально сжимающий оператор K : C ([0; 1]; R) ! C ([0; 1]; R),
8
>
если t 2 [0; 0:5];
>
<0;
t
;
0:5
(Kx)(t) = > x(0) ; если t 2 (0:5; 1]; x(0) 6= 0;
>
:0;
если t 2 (0:5; 1]; x(0) = 0;
переводит всякий шар с центром в нуле в неограниченное множество.
Теорема 4. Пусть в банаховом пространстве B выполнено V -условие, оператор K :B ! B
является вольтерровым и локально сжимающим на системе V. Тогда при любом 2 (0; 1] существует единственное решение уравнения x = K x . Другими словами, существует единственное глобальное решение уравнения (10), и всякое локальное решение является частью
этого решения.
12
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
Доказательство. Так как выполнено V -условие, пространство B= ( ) при любом 2 (0; 1]
является банаховым. Возьмем числа q < 1, > 0, удовлетворяющие всем условиям из определения локальной сжимаемости оператора K . Пусть = 2 . Уравнение x = K x имеет единственное решение z 2 B=( ), так как оператор K : B=( ) ! B=( ) является сжимающим.
Пусть z 2 B | некоторый представитель класса z . Для нахождения продолжения решения z в уравнении (10) сделаем замену y = x ; z . Получим уравнение
y = K (y + z) ; z:
(11)
Определяемый равенством K y = K (y + z ) ; z оператор K действует в подпространстве 0 B .
Определим оператор K2 : 0 =(2 ) ! 0 =(2 ), K2 y2 = 2 K y, где y | любой представитель класса y2 2 0 =(2 ). Класс (2 )-эквивалентности, которому априори принадлежит
решение уравнения (11), удовлетворяет уравнению
y2 = K2 y2 ; 2 z:
(12)
Поскольку оператор K2 : 0 =(2 ) ! 0 =(2 ) является сжимающим, уравнение (12) однозначно
разрешимо. Обозначим его решение w2 . Тогда z 2 = 2 z + w2 является (2 )-локальным
решением уравнения (10).
Продолжая аналогичные рассуждения, за конечное число b; a шагов построим единственное глобальное решение z 1 2 B уравнения (10). Любое ( )-локальное решение z с помощью
таких же построений может быть продолжено до глобального решения. Из единственности решения z 1 следует единственность локального решения z .
Следствие. Если линейный оператор K : B ! B удовлетворяет условиям теоремы 4, то для
его спектрального радиуса имеет место оценка (K ) 6 q.
Доказательство следует из однозначной разрешимости уравнения x ; Kx = f при любых
f 2 B , jj > q.
Аналогичные оценки спектрального радиуса линейного вольтеррова на системе (6) оператора
получены в работе [18], линейного вольтеррова на системе (2) оператора | в книге [3].
Для получения следующих утверждений о неподвижных точках вольтеррова на V оператора
K : B ! B потребуется
Определение 6. Оператор K : B ! B назовем улучшающим на системе V, если
9Z 8x 2 B Z (0; Kx) 6 Z ;
(13)
8% > 0, 8" > 0 9 > 0 8x 2 B , 81; 2 2 [0; 1]
j ; j < ) jZ ( ; Kx) ; Z ( ; Kx)j < ":
kxk 6 %
2
1
2
1
(14)
Термин \улучшающий" употреблялся в близком смысле применительно к оператору Немыцкого в пространстве суммируемых функций в [19]. Приведем простейшие свойства улучшающих
операторов.
1. Улучшающий на системе V оператор K : B ! B ограничен, т. е. для любого ограниченного множества U B его образ KU B также ограничен. Нелинейный улучшающий оператор
может не обладать свойством непрерывности. Например, оператор
(
(Kx)(t) = 1; если x(0) | рациональное число; K : C ([0; 1]; R) ! C ([0; 1]; R) явля0; если x(0) | иррациональное число;
ется вольтерровым и улучшающим на системе (1), но в любой точке не является непрерывным.
2. Если операторы K1 ; K2 : B ! B улучшающие на V, то для любых чисел 1 , 2 оператор
1 K1 + 2K2 : B ! B также улучшающий.
Абстрактные вольтерровы операторы
13
3. Если оператор K : B ! B является вольтерровым и улучшающим на системе V, то
оператор K : B=( ) ! B=( ) также будет улучшающим на V .
4. Если оператор M : B ! B ограничен, оператор K : B ! B улучшающий на системе V,
то оператор KM : B ! B будет улучшающим на системе V.
5. Если оператор K : B ! B удовлетворяет условию (13), ограниченный оператор
M : B ! B является вольтерровым на системе V, то MK : B ! B будет также удовлетворять условию (13).
Теорема 5. Пусть в банаховом пространстве B выполнено V -условие, оператор K :B ! B
является вполне непрерывным, вольтерровым и улучшающим на системе V. Тогда уравнение
(10) локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобального решения,
либо предельно продолженного решения.
Доказательство. Прежде всего отметим, что при любом 2 (0; 1) оператор K : B= ( ) !
B=( ) наследует от оператора K : B ! B свойства непрерывности, улучшаемости и компактности. Для доказательства последнего из перечисленных свойств возьмем r > 0. Обозначим
через U[0 ;r], U[0;2r] замкнутые шары соответственно радиуса r в пространстве B=( ) и радиуса
2r в пространстве B с центром в нуле. Для любого x 2 U[0 ;r] существует такой x 2 x , что
kxk 6 2r. Поэтому и вследствие вольтерровости оператора K выполнено K U[0 ;r] KU[0;2r].
Из компактности множества KU[0;2r] следует компактность множества K U[0;r].
Теперь покажем, что уравнение (10) локально разрешимо. Вследствие улучшаемости оператора K существует число Z , для которого выполнено неравенство (13). Пусть % = 2Z , " = Z2 .
Найдем , удовлетворяющее условию (14). Обозначим = 2 . Для любого x 2 B , kxk < 2Z имеет
место
;
Z (; Kx) = Z (; Kx) ; Z (0; Kx) + Z (0; Kx) < Z2 + Z = 23 Z :
(15)
В пространстве B=( ) выделим замкнутый шар U[0 ;r] с центром в нуле радиуса r = 32 Z . Для
любого x 2 U[0 ;r] существует такой x 2 x , что kxk 6 r + Z2 = %. Отсюда и из неравенства (15)
следует включение K U[0 ;r] U[0 ;r]. А так как оператор K : B=( ) ! B=( ) вполне непрерывен, то он имеет неподвижную точку z , являющуюся ( )-локальным решением уравнения
(10).
Осталось доказать, что любое (1 )-локальное решение z 1 2 B=(1 ) продолжаемо до глобального или предельно продолженного. Выберем % = kz 1 k + Z , " = Z2 и найдем 2 , являющееся
точной верхней границей всевозможных чисел , удовлетворяющих условию (14). Обозначим
2 = 1 + 22 . Для любого такого x 2 z 1 , что kxk < kz 1 k + Z , выполнено
Z ( ; Kx) = Z ( ; Kx) ; Z ( ; Kx) + Z ( ; Kx) < Z2 + kz 1 k:
;
2
2
1
1
(16)
В пространстве B=(2 ) выделим замкнутый шар U[02;r] радиуса r = kz1 k + Z . Пусть U2 = fx2 U[02;r]jx2 z1 g. Множество U2 выпукло и замкнуто. В любом классе x2 2 U2 существует такой
x 2 x2 , что kxk 6 r+ Z2 . Для таких представителей можем воспользоваться неравенством (16), из
которого будет следовать включение K2 U2 U2 . Кроме того, так как оператор K2 : B=(2 ) !
B=(2 ) вполне непрерывен, то он имеет неподвижную точку z 2 . Это (2 )-локальное решение
уравнения (10), являющееся продолжением решения z 1 . Аналогично найдем (3 )-локальное
решение z 3 уравнения (10), являющееся продолжением решения z 2 , и т. д.
Докажем, что, продолжая описанные построения, получим глобальное или предельно продолженное решение. Вычислим ilim
!1 i = . Возьмем любое 2 (0; ) и найдем номер i, для
которого 2 (i;1 ; i ]. Пусть z 2 B=( ), z = z , где z | это некоторый представитель класса z i | локального решения уравнения (10). Таким образом, построено отображение
14
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
2 (0; ) 7! z 2 B=( ). Если это отображение не является предельно продолженным решением, то найдется такое число N , что при всех натуральных i имеет место kz i k 6 N . Возьмем
% = N + Z , " = Z2 и найдем , являющееся точной верхней границей всевозможных чисел , удовлетворяющих условию (14). Так как kz i k + Z 6 N + Z , то при любом i выполнено i > . Это
означает, что за конечное число шагов будет построено глобальное решение уравнения (10).
Отметим, что для пространств Lp ([a; b]; Rm ), C0 ([a; b]; Rm ) свойство улучшаемости на системе
(1) необходимо для полной непрерывности оператора ([3], с. 25). Таким образом, из теоремы 5
следуют известные результаты [12] о локальной разрешимости и продолжаемости решений уравнения (10) с вполне непрерывным вольтерровым по А.Н. Тихонову оператором, действующим в
L([a; b]; Rm ) или C0 ([a; b]; Rm ). Аналог теоремы 5 в ситуации, когда оператор K , действующий
в банаховом пространстве B функций y : [a; b] ! Rm , вольтерров на системе (2), получен в
[20]. В исследованиях [8], [10], [21] разрешимости уравнения (10) с вполне непрерывным вольтерровым на системе (6) оператором накладываются дополнительные условия на проекторы
P : B ! B . Эти условия обеспечивают некоторое \топологическое сходство" рассматриваемого банахова пространства с пространством суммируемых функций и позволяют применять
известную технику доказательства разрешимости классических уравнений Вольтерра. Используемое в данной работе требование улучшаемости оператора в ряде случаев оказывается менее
обременительным. Например, из условий [21]
1. P 0 = 0;
2. найдется такое A, что kP k 6 A при всех ;
3. lim
! kP x ; P xk = 0 для каждого x 2 B
и компактности оператора K : B ! B следует его улучшаемость на системе (6).
4. Функционально-дифференциальные уравнения
с вольтерровыми операторами
Сведение задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений к уравнению (10)
позволяет применить к исследованию разрешимости этой задачи теоремы 4, 5.
Пример 10.
Рассмотрим уравнение
;
x0 (t) = cos x0 (h(t))
Z
t
0
x(s)ds + f (t); t 2 (;1; +1);
(17)
где функции f; h : (;1; +1) ! R измеримы, f суммируема на каждом конечном отрезке,
h(t) = fkt ; 0:5g ; 0:5 (символом fg обозначена дробная часть числа), k 2 (;1; 1), k 6= 0.
Абстрактные вольтерровы операторы
15
Решением считаем абсолютно непрерывную функцию, имеющую суммируемую на каждом конечном отрезке производную, и удовлетворяющую при почти всех t уравнению (17). Мы потребовали, чтобы k 6= 0, иначе композицию x0 (h(t)) нельзя было бы рассматривать в пространствах
измеримых функций ([22], с. 706). При любых значениях k 2 (;1; 0)[(0; 1) в каждом из множеств
h(0; +1), h(;1; 0) есть и положительные, и отрицательные числа (см. рис. 5), что не позволяет
воспользоваться теорией уравнений с запаздыванием и теорией уравнений с опережением.
Относительно производной решения x0 = y задача Коши с начальным условием
x(0) = (18)
для уравнения (17) равносильна уравнению
y(t) = cos y(h(t))
t;
Z
0
+ (t ; s)y(s) ds + f (t):
(19)
Rt ;
Пусть b > 0. Определяемый равенством (Ky)(t) = cos y(h(t)) + (t ; s)y(s) ds оператор K
0
непрерывно действует в L([;b; b]; R) и является вольтерровым на системе отношений (2), где
e = [;b; b]. Но применить полученные выше результаты непосредственно к уравнению (19)
нельзя, так как оператор K не является ни компактным, ни локально сжимающим. Построим
уравнение, равносильное (19) и обладающее необходимыми свойствами.
Rt
Если y | решение уравнения (19), то jy(t)j 6 tjy(s)jds + jt + f (t)j. Вследствие монотон0
ности и улучшаемости на системе (2) линейного интегрального оператора K : L([;b; b]; R) !
Rt
L([;b; b]; R), (Ku)(t) = tu(s)ds, выполнено неравенство [4] jy(t)j 6 y(t). Здесь
0
y(t) = jt + f (t)j +
t
Z
0
t exp(0:5(t ; s ))j s + f (s)jds
2
2
| единственное решение \мажорантного" уравнения u(t) = (Ku)(t) + j t + f (t) j. Итак, получена априорная оценка решения уравнения (19). Определим отображение : L([;b; b]; R) !
L([;b; b]; R) равенством
8
>
>
<
y(t); если jy(t)j 6 y(t);
(y)(t) = >y(t); если y(t) > y(t);
>
:;y (t); если y (t) 6 ;y (t):
Уравнение (19) и соответственно задача Коши (17), (18) равносильны уравнению y(t) = (K y)(t)+
+f (t). Докажем, что оператор K локально сжимающий. Для любого > 0 имеем
=
Z
k K y ; K y kL e =
Z
;
t;
;
t;
cos (y )(h(t))
+ (t ; s)(y )(s) ds ; cos (y )(h(t))
+ (t ; s)(y )(s) dsdt =
e Z
=
e
1
Z
1
2
1
0
;
(
)
2
t
Z
2
0
;
; sin u(t)I (t) (y )(h(t)) ; (y )(h(t)) + cos u(t) (t ; s) (y )(s) ; (y )(s) ds dt:
1
2
0
1
2
16
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
Здесь u(t) содержится между (y1 )(t) и (y2)(t), I (t) | между
Rt ;
0
Rt ;
Rt ;
+ (t ; s)(y )(s) ds и
1
0
+ (t ; s)(y )(s) ds, поэтому jI (t)j 6 + (t ; s)y(s) ds. Таким образом, получаем
2
0
k K y ; K y kL e 6
1
+
Z
+
b
Z
;b
Z
t
0
b
;b
2
(
b
Z
)
;b
(t ; s)jy1 (s) ; y2 (s)jds dt 6
b
Z
0
t;
Z
0
Z
2
1
bk
Z
b
jj + by(s)ds k1 y (t) ; y (t)dt +
2
(
1
;bk ;b
1
2
;
bjy (s) ; y (s)jds dt 6 ky ; y kL e
1
+ (t ; s)y(s) dsy (kt) ; y (kt)dt +
2 b + k1
Zb
2 2
)
;b
;
2
jj + by(s) ds :
Вследствие равномерной непрерывности интеграла для любого q 2 (0; 1) найдется такое > 0,
Rb ;
что 2 2 b2 + k1 jj + by (s) ds < q. Таким образом, проверено первое условие в определении ло;b
кальной сжимаемости оператора K . Для доказательства второго условия заметим, что существует такое положительное , что ;t + b 6 h(t) 6 t ; b при всех t > b, и t + b 6 h(t) 6 ;t ; b
при всех t 6 ;b. Следовательно, для всех таких ; 2 [; 1], что < < + , и всех
y1; y2 2 L([;b; b]; R), удовлетворяющих требованиям y1(t) = y2 (t), t 2 e , выполнено
k K y ; K y kL e =
1
6
Z
b Z t
b
b
2
(
)
Z
e
;
cos (y1)(h(t))
(t ; s)jy1 (s) ; y2 (s)jds dt +
;b Z t
Z
;b
;b
t
Z
0
;
(t ; s) (y1 )(s) ; (y2 )(s) dsdt 6
(t ; s)jy1 (s) ; y2 (s)jdsdt 6 22 b2 ky1 ; y2 k:
Итак, согласно теореме 4 задача (17), (18) при любом имеет единственное глобальное
решение, всякое локальное решение является частью этого глобального решения.
Авторы выражают благодарность профессору А.И. Булгакову за обсуждение результатов,
советы и замечания.
Литература
1. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым
задачам математической физики // Бюлл. МГУ. Секц. А. { 1938. { Т. 1. { Вып. 8. { С. 1{25.
2. Жуковский Е.С. К теории уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. { 1989. { Т. 25.
- Є 9. { С. 1599{1605.
3. Жуковский Е.С. Линейные эволюционные функционально-дифференциальные уравнения в
банаховом пространстве. { Тамбов: Изд-во Тамбовск. ун-та, 2003. { 140 с.
4. Жуковский Е.С. Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах // Матем. сб.
{ 2004. { Т. 195. { Є 9. { С. 3{18.
5. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки и техн. Матем. анализ. { М.: ВИНИТИ, 1982. {
Т. 19. { С. 55{126.
6. Забрейко П.П. Об интегральных операторах Вольтерра // УМН. { 1967. { Т. 22. { Вып. 1. {
С. 167{168.
7. Курбатов В.Г. Об обратимости запаздывающих операторов // Теория операторных уравнений. { Воронеж, 1979. { С. 43{52.
8. Feintuch A., Saeks R. System Theory. A Hilbert space approach. { New York, London: Academic
Press, 1982. { 310 p.
9. Гусаренко С.А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора // ДАН СССР. { 1987.
{ Т. 295. { Є 5. { С. 1046{1049.
Абстрактные вольтерровы операторы
17
10. V^ath M. Abstract Volterra equations of the second kind // J. Equat. Appl. { 1998. { V. 10. { Є 9.
{ P. 125{144.
11. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Рахматуллина Л.Ф. О линейном функциональнодифференциальном уравнении эволюционного типа // Дифференц. уравнения. { 1977. {
Т. 13. { Є 11. { С. 1915{1925.
12. Булгаков А.И. Элементы теории краевых задач для функционально-дифференциальных
включений: Дис. : : : докт. физ.-матем. наук. { Тамбов, Тамбовск. ин-т химич. машиностроения, 1993. { 300 с.
13. Курбатов В.Г. О радикале алгебры запаздывающих операторов // Функциональнодифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики. { Пермь, 1978.
{ С. 126{127.
14. Березанский Л.М. О спектральном радиусе оператора внутренней суперпозиции // Краевые задачи. { Пермь: Изд-во Пермского политехн. ин-та, 1977. { С. 60{61.
15. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. { М.: Наука, 1984. { 752 с.
16. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. { М.: Наука, 1991. { 280 с.
17. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории
функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. { М.: Ин-т компьютерных исслед., 2002. { 384 с.
18. Gusarenko A. On linear equations with generalized Volterra operators // Funct. Dierent.
Equations. { 2000. { V. 7. { Є 1{2. { P. 109{120.
19. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные
операторы в пространствах суммируемых функций. { М.: Наука, 1966. { 500 с.
20. Жуковский Е.С. Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве // Изв. вузов. Математика. { 2005. { Є 10. { С. 37{48.
21. Гусаренко С.А. Функционально-дифференциальные уравнения с вольтерровыми операторами: Дис. : : : канд. физ.-матем. наук. { Пермь, Пермск. политехн. ин-т, 1987. { 130 с.
22. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. { М.: Ин. лит., 1962. {
896 с.
Е.С. Жуковский
доцент, заведующий кафедрой математической экономики и информатики,
Тамбовский государственный университет,
392000, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33
E-mail: zukovskys@mail.ru
М.Ж. Алвеш
профессор, доцент кафедры математики и информатики,
Университет Эдуардо Мондлане,
г. Мапуту, Мозамбик
E-mail: mjalves@tvcabo.co.mz
Поступила
24:11:2006
([a; b]; Rm ) | пространство непрерывных вектор-функций x : [a; b] ! Rm с нормой
kxkC = smax
jx(s)j; C0([a; b]; Rm ) | подпространство пространства C ([a; b]; Rm ) вектор-функций,
2[a;b]
удовлетворяющих условию x(a) = 0. В обозначениях пространств будем опускать индексы
m = 1, p = 1; в обозначениях функциональных пространств не будем писать, где определены и
в каких множествах имеют значения функции | элементы пространств, если это не вызовет
недоразумений.
1. Основное определение
Пусть каждому 2 [0; 1] поставлено в соответствие отношение эквивалентности ( ) на
множестве B . Назовем элементы x; y 2 B , удовлетворяющие этому бинарному отношению, ( )эквивалентными. Будем предполагать, что совокупность V = f( )j 2 [0; 1]g рассматриваемых
отношений удовлетворяет трем условиям:
V0 ) = 0 соответствует отношение (0) = B 2 (т. е. любые два элемента являются (0)эквивалентными);
V1 ) = 1 соответствует отношение равенства (т. е. никакие два разных элемента не вступают
в отношение (1));
V2 ) если > , то ( ) () (другими словами, любые два ( )-эквивалентные элемента
x; y 2 B будут ()-эквивалентными, если > ).
Определение 1. Оператор F : B ! B будем называть вольтерровым на системе V, если
для каждого 2 (0; 1) и любых x; y 2 B из (x; y) 2 ( ) следует (Fx; Fy) 2 ( ).
Анализируя это определение, прежде всего заметим, что ему удовлетворяют классическое
определение А.Н. Тихонова и его обобщения, трактующие эволюцию операторов.
Пример 1. Согласно определению А.Н. Тихонова [1] оператор F , действующий в некотором
множестве B функций y : [a; b] ! Rm , является вольтерровым тогда и только тогда, когда для
каждого 2 (a; b) и для любых x; y 2 B из x(s) = y(s) на [a; ] следует (Fx)(s) = (Fy)(s) на [a; ].
Это означает, что оператор F : B ! B является вольтерровым на системе V = f( )j 2 [0; 1]g
отношений
(x; y) 2 ( ) , x(t) = y(t) 8t 2 [a; a + (b ; a)]:
(1)
Пример 2. Рассмотрим предложенное в [2]{[4] определение вольтерровости оператора, действующего в некотором множестве B измеримых функций y : [a; b] ! Rm . Пусть каждому
2 [0; b ; a] соответствует измеримое множество e [a; b] с мерой (e ) = , причем для любых
; 2 [0; 1], < , выполнено e e . Оператор F : B ! B назван вольтерровым на системе
множеств v = fe g, если для каждого 2 (0; b ; a) и любых x; y 2 B из x(s) = y(s) на e
следует (Fx)(s) = (Fy)(s) на e . Если e = [a; a + ], то получаем классическое определение
А.Н. Тихонова [1]. Если e = [b ; ; b], то оператор называют опережающим [5]. Вольтерровость
на системе множеств равносильна вольтерровости на системе отношений
(x; y) 2 ( ) , x(t) = y(t) 8t 2 e ; = (b ; a):
(2)
Абстрактные вольтерровы операторы
Интегральный оператор K : B ! B ,
(Ky)(t) =
b
Z
a
K(t; s)y(s)ds; t 2 [a; b];
5
(3)
является вольтерровым на системе (2) отношений эквивалентности тогда и только тогда, когда
K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2 [a; b]([a; b]neb(t)), где eb(t) является пересечением всех множеств
e , содержащих точку t [3].
Оператор внутренней суперпозиции S : B ! B ,
(
(Sy)(t) = A(t)y(h(t)); если h(t) 2 [a; b];
(4)
0;
если h(t) 2= [a; b];
является вольтерровым на системе (2) отношений эквивалентности тогда и только тогда, когда
при почти каждом t 2 [a; b] n ( [ ) выполнено h(t) 2 eb(t) [3]. Здесь = ft 2 [a; b] j h(t) 2= [a; b]g,
= ft 2 [a; b] j A(t) = 0g.
b;a целое. Обозначим i = a + i , i = 0; k . На некотором
Пример 3. Пусть > 0, k =
множестве B измеримых функций y : [a; b] ! Rm определим следующую систему отношений
эквивалентности: если 2 (i;1 ; i ], то
(x; y) 2 ( ) , x(t) = y(t) 8t 2 [a; a + i ]:
(5)
Интегральный оператор (3), действующий в множестве B , будет вольтерровым на системе (5),
если его ядро K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2 (i;1 ; i ] [i ; b], i = 1; k (см. рис. 1).
Оператор внутренней суперпозиции (4) будет вольтерровым на системе отношений (5), если
h(t) 6 i при t 2 (i; ; i ] n ( [ ), i = 1; k . Такому условию отвечает, например, функция,
1
график которой представлен на рис. 2. Отметим, что приведенные условия не обеспечивают
вольтерровость по А.Н. Тихонову операторов (3), (4).
Пример 4. Пусть в банаховом пространстве B выделена упорядоченная по вложению система подпространств B , 2 (0; 1). Согласно [6], [7] оператор F : B ! B является вольтерровым, если из x ; y 2 B следует Fx ; Fy 2 B . При каждом 2 (0; 1) определим отношение
эквивалентности ( ): 8x; y 2 B (x; y) 2 ( ) , x ; y 2 B . Тогда приведенное определение
будет означать, что оператор F отображает ( )-эквивалентные элементы пространства B в
( )-эквивалентные, т. е. является вольтерровым на системе отношений эквивалентности.
В работах [8]{[10] определение вольтерровости использует цепочки проекторов P :B ! B ,
2 [0; 1]. Оператор F : B ! B считается вольтерровым, если из P x = P y, x; y 2 B , следует
6
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
P Fx = P Fy. Такое определение равносильно предлагаемому здесь, если определить отношение эквивалентности ( ):
8x; y 2 B ((x; y) 2 ( ) , P x = P y):
(6)
(
если u > 0; Рассмотрим опе;1; если u < 0:
Rb
Rt
ратор (Ky)(t) = y(s)ds f (t; s; jy(s)j)ds в предположении, что он действует в некотором
a
a
множестве B функций y : [a; b] ! R. Этот оператор не обладает свойством вольтерровости по
А.Н. Тихонову. Однако этот оператор будет вольтерровым на сиcтеме отношений
(x; y) 2 ( ); 2 (0; 1) , jx(t)j = jy(t)j 8t 2 [a; a + (b ; a)]:
(7)
Отметим следующее важное отличие отношений эквивалентности (7) от рассмотренных выше:
для (x; xb) 2 ( ) и (y; yb) 2 ( ) может оказаться, что (x + y; xb + yb) 2= ( ).
Следует заметить, что приведенному определению удовлетворяет, вообще говоря, любой оператор, если взять систему V, состоящую лишь из двух тривиальных отношений эквивалентности: ( ) = (0) = B 2 , 2 [0; 0:5]; и ( ) = (1) = f(x; x) 2 B 2g, 2 (0:5; 1]. Но, конечно же,
такая вольтерровость совершенно бесполезна при изучении операторов. Очевидно, чем \шире"
система отношений, тем большей информацией о вольтерровом операторе мы располагаем.
Пример 5.
Пусть f : [a; b] [a; b] R ! R, (u) = 1;
2. Вольтерровы операторы в произвольных множествах
Вначале не будем накладывать никаких ограничений на множество B и выясним, какие
можно получить результаты о разрешимости уравнений, предполагая лишь вольтерровость соответствующих операторов. Итак, пусть на множестве B задана система V отношений эквивалентности, удовлетворяющая условиям V0 ){V2 ). При каждом фиксированном 2 (0; 1) обозначим B=( ) | фактор-множество, x | класс элементов, ( )-эквивалентных элементу x 2 B ,
т. е. x 2 B=( ). Оператор F : B ! B является вольтерровым на системе V, если для каждого
2 (0; 1) и любых x; y 2 B из y 2 x следует Fy 2 Fx . Здесь Fx | класс ( )-эквивалентности
элемента Fx. Если для некоторых 0 2 (0; 1), u 2 B окажется выполненным включение Fu 2 u0 ,
то множество u0 будет инвариантным подмножеством вольтеррова оператора F . Отношение
( ) можно рассматривать не на всех элементах B , а лишь на элементах подмножества u0 .
Таким образом, на u0 оказывается заданной система отношений эквивалентности, удовлетворяющая условиям V0 ){V2 ). Из вольтерровости оператора F : B ! B на совокупности V следует
вольтерровость его сужения F 0 : u0 ! u0 на (сужении) V.
Определим при любом 2 (0; 1) каноническую проекцию : B ! B=( ) равенством
x = x . Для вольтеррова на системе V оператора F : B ! B обозначим F : B=( ) ! B=( ),
F x = Fx; где x | любой элемент класса x . Это определение корректно, поскольку вследствие вольтерровости оператора F образы любых двух ( )-эквивалентных элементов x; y 2 B
принадлежат одному классу ( )-эквивалентности, т. е. Fx = Fy. Отметим, что натуральную степень (F )i : B=( ) ! B=( ) оператора F можно находить с помощью равенства
(F )i x = F i x, x 2 x , т. е. (F )i = (F i ) .
Зафиксируем 2 (0; 1). Система отношений V множества B порождает отношения эквивалентности в фактор-множестве B=( ). Пусть 2 (0; ), и пусть элементы x; y 2 B ( )-эквивалентны. Тогда любые элементы z 2 x = x , w 2 y = y будут также ( )-эквивалентными.
Действительно, (x; z ) 2 ( ) ( ), (y; w) 2 ( ) ( ), и поэтому (z; w) 2 ( ). Это позволяет говорить об эквивалентности классов x , y . Итак, x ; y 2 B=( ) назовем ( )эквивалентными, 2 (0; 1), если существуют (а значит, и все) элементы x 2 x , y 2 y , удовлетворяющие отношению ( ), = . Таким образом, на B=( ) задана система V = f ( )g
Абстрактные вольтерровы операторы
7
отношений эквивалентности. Если оператор F : B ! B вольтерров на системе V, то оператор
F : B=( ) ! B=( ) будет вольтерровым на V .
Предварим описание основных результатов следующими очевидными замечаниями. Вопервых, композиция вольтерровых на фиксированной совокупности V операторов также обладает таким свойством. Во-вторых, тождественный оператор вольтерров на любой совокупности
отношений эквивалентности. И последнее, оператор, обратный к вольтеррову на V оператору,
может и не обладать таким свойством. В подтверждение приведем построенный в [11] пример
вольтеррова по А.Н. Тихонову оператораpS : C ([0; 1]; R) ! C ([0; 1]; R), (Sy)(t) = y(t2 ). Обратный оператор существует, (S ;1 y)(t) = y( t), но не является вольтерровым по А.Н. Тихонову.
Следующий критерий вольтерровости обратного оператора является аналогом утверждения о
вольтерровых по А.Н. Тихонову операторах, предложенного А.И. Булгаковым [12].
Теорема 1. Пусть вольтерров на системе V оператор F : B ! B обратим. Тогда, чтобы
обратный оператор F ;1 был вольтерровым на системе V, необходимо и достаточно обратимости операторов F : B=( ) ! B=( ) для каждого 2 (0; 1).
Пусть оператор F ;1 : B ! B вольтерров на системе
: B=( ) ! B=( ), (F ;1 ) y = F ;1 y. Покажем,
что этот оператор является обратным к оператору F : B=( ) ! B=( ). Найдем композицию
(F ;1 ) F : B=( ) ! B=( ). Имеем (F ;1 ) F x = (F ;1 ) Fx = F ;1 Fx = x = x . Аналогично доказывается, что композиция F (F ;1 ) также является тождественным оператором.
Доказательство. Необходимость.
V. Тогда можем определить оператор (F ;1)
Выберем произвольно g 2 B , f 2 g B . Определим элементы x = F ;1 f ,
y=
которые являются единственными решениями соответственно уравнений Fx = f ,
Fy = g. Тогда классы x , y эквивалентности этих элементов удовлетворяют уравнениям F x =
f , F y = g. Так как f = g = g , и вследствие обратимости оператора F получаем
x = y , то x 2 y . Итак, оператор F ;1 является вольтерровым.
Достаточность.
F ;1 g,
Замечание.
то (F ;1 )
При доказательстве теоремы установлено, что если оператор F ;1 вольтерров,
= (F );1 .
= (F );1 , что позволяет обозначать F ;1 = (F ;1 )
Определение 2. Пусть > 0. Оператор T : B ! B будем называть -вольтерровым на
системе V, если для любых x; y 2 B выполнено Ty 2 Tx, и для каждого 2 (; 1] из
y 2 ; x следует Ty 2 Tx.
Пример 6. Сформулируем условия -вольтерровости интегрального оператора и оператора
внутренней суперпозиции на рассмотренных выше конкретных системах отношений эквивалентности.
Пусть в множестве B функций y : [a; b] ! Rm задана система (1) отношений эквивалентности. В этом случае \ -вольтерровость на системе отношений" имеет общепринятое значение. Как
известно, интегральный оператор (3) является -вольтерровым на этой системе, если K(t; s) = 0
при почти всех таких (t; s) 2 [a; b]2 , что s > t ; . Оператор внутренней суперпозиции (4) -вольтерров на системе (1), если при почти каждом t 2 [a; b] n ( [ ) выполнено h(t) 6 t ; .
Зададим теперь в множестве B функций y : [a; b] ! Rm систему отношений (2). Тогда
интегральный оператор (3) будет -вольтерровым, если K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2
[a; b] ([a; b] n eb (t)), где eb (t) является пересечением всех таких множеств e , что 0 6 6 b ; a ; ,
t 2 e+ . Оператор внутренней суперпозиции (4) обладает свойством -вольтерровости на системе (2), если при почти каждом t 2 [a; b] n ( [ ) выполнено h(t) 2 eb (t).
8
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
Пусть в множестве B определены отношения эквивалентности (5). Тогда интегральный
оператор будет -вольтерровым, если K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2 (i;1 ; i ] [i;1 ; b],
i = 1; k (см. рис. 3). Оператор внутренней суперпозиции -вольтерров, если h(t) 6 i;1 при
t 2 (i;1 ; i ] n ( [ ), i = 1; k (возможный график функции h() представлен на рис. 4). Отметим,
что эти условия не достаточны для -вольтерровости на системе отношений (1) операторов (3),
(4).
Приведем некоторые свойства -вольтерровых операторов
1. композиция (в любом порядке) вольтеррова и -вольтеррова на системе V операторов
является -вольтерровым на V оператором;
2. для любого -вольтеррова на системе V оператора T : B ! B существует такое натуральное i, что T i = const;
3. если оператор T : B ! B является -вольтерровым на системе V, то уравнение x = Tx
однозначно разрешимо;
4. для -вольтеррова на системе V оператора T : B ! B оператор T : B=( ) ! B=( ),
T x = Tx при любом 2 (0; 1) является -вольтерровым на системе V , где = .
Следующее утверждение означает, что -вольтерровы возмущения не влияют на вольтеррову
обратимость операторов.
Теорема 2. Пусть отображение Q : B B ! B при каждом фиксированном втором аргументе y 2 B , как оператор первого аргумента Q( ; y) : B ! B , является вольтерровым на V и
имеет вольтерров на V обратный оператор Q( ; y);1 : B ! B . Далее, при каждом фиксированном первом аргументе y 2 B , отображение Q(y; ) : B ! B по второму аргументу обладает
свойством -вольтерровости на V. Тогда оператор F : B ! B , Fx = Q(x; x) обратим, причем
оператор F ;1 : B ! B вольтерров на V.
Доказательство.
уравнение
В силу теоремы 1 достаточно показать, что при любых f 2 B , 2 (0; 1]
F x = f (8)
имеет единственное решение.
Пусть 2 (0; ]. Возьмем произвольно y 2 B . Вследствие -вольтерровости по второму
аргументу оператора Q при всех x 2 B=( ) выполнено F x = (x; x) = (x; y), где
x 2 x . Так как по первому аргументу оператор Q вольтеррово обратим, то уравнение (8)
однозначно разрешимо. Обозначим решение уравнения (8) при = через z , z 2 z .
Абстрактные вольтерровы операторы
9
Если 2 (; 2 ], то уравнение (8) равносильно уравнению G x = f , где G x = (x; z ),
x 2 x . Это уравнение также однозначно разрешимо вследствие вольтерровой обратимости оператора Q.
Продолжая аналогичные построения и рассуждения, докажем однозначную разрешимость
уравнения (8) при всех 2 (0; 1].
Утверждения об обратимости линейных вольтерровых (по А.Н. Тихонову) операторов и
их приложения к функционально-дифференциальным уравнениям рассматривались в работах
Н.В. Азбелева, Л.М. Березанского, В.Г. Курбатова, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной. В [7],
[11] показано, что вполне непрерывные и слабо вполне непрерывные линейные возмущения не
влияют на вольтеррову (по А.Н. Тихонову) обратимость линейных операторов в пространствах
суммируемых функций. В [13] предлагается описание всего класса таких линейных возмущений,
действующих в пространствах суммируемых функций. В ([3], c. 25{29) показано, что улучшающие и -вольтерровы возмущения не влияют на вольтеррову на системе (2) обратимость линейных операторов в произвольных банаховых функциональных пространствах. Приведенные
здесь теоремы 1, 2 интересны не только общностью определения вольтерровости, но и тем, что
не требуют снабжения множества B топологией и линейными операциями.
Иллюстрацией существенности в формулировке теоремы 2 требования вольтерровости оператора Q( ; y);1 служит
Пример 7. Зададим оператор Q : L1 ([0; 1]; R) L1 ([0; 1]; R) ! L1 ([0; 1]; R) равенством
(
3
1
;
Q(x; y) (t) = x(t2) ; A(t)y(t2 ), где A(t) = 0; если t 2 [01; 43) [ ( 4 ; 1]; Этот оператор по первому
1; если t 2 [ 4 ; 4 ]:
аргументу вольтерров на системе; (1) (т. е.вольтерров
и обратим, но обратный
p
p по А.Н. Тихонову)
оператор Q;1 ( ; y) : L1 ! L1 , Q;1 (f; y) (t) = A( t)y(t) + f ( t) не обладает свойством вольтерровости на системе (1). По второму аргументу оператор Q(y; ) является
-вольтерровым на
;
p
(1), где = 14 . В данном случае оператор F : L1 ! L1 , (Fx)(t) = 1 ; A(t) x( t) не обладает
свойствами инъективности и сюръективности, так как (Fx)(t) = 0 на [ 14 ; 34 ] при всех x 2 L.
Укажем одно приложение теоремы 2.
m
Пример 8. Пусть B | линейное пространство функций y : [a; b] ! R . Докажем, что если
интегральный оператор (3) действует в B и K(t; s) = 0 при почти всех (t; s) 2 (i;1 ; i ] [i;1 ; b],
i = 1; k, то его спектральный радиус равен нулю. Действительно (см. пример 6), в этих условиях оператор K является -вольтерровым на системе отношений (5). Тождественный оператор
I : B ! B вольтерров на этой системе отношений, обратим, обратный оператор I ;1 = I тоже
вольтерров. Согласно теореме 2 при любом комплексном оператор I ; K обратим. Аналогично доказывается, что спектральный радиус оператора внутренней суперпозиции (4) равен нулю,
если h(t) 6 i;1 при t 2 (i;1 ; i ] n ( [ ), i = 1; k . Для пространства суммируемых функций
последнее утверждение может быть получено из результатов Л.М. Березанского [14].
3. Вольтерровы операторы в нормированных пространствах
Здесь предполагается, что B является линейным вещественным или комплексным нормированным пространством, на котором задана система V отношений эквивалентности, удовлетворяющая условиям V0 ){V2 ). Кроме того, будем считать, что отношения ( ) 2 V сохраняются при
сложении векторов и умножении их на числа, т. е. при каждом 2 (0; 1), для любых элементов
x; xb; y; yb 2 B и всякого числа ,
(x; xb) 2 ( ); (y; yb) 2 ( ) ) (x + y; xb + yb) 2 ( ); (x; xb) 2 ( ):
Последнее предположение превращает фактор-множество B=( ) в фактор-пространство. Нулевой элемент фактор-пространства 0 = fy 2 B j (y; 0) 2 ( )g является подпространством пространства B . Зададим в фактор-пространстве B=( ) норму ([15], с. 128) kx kB=( ) = xinf
kxkB .
2x
10
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
При таком определении каноническая проекция : B=( ) ! B=( ) | линейное ограниченное отображение, k k = 1.
Определение 3. Если пространство B банахово и если для любого 2 (0; 1) всякая сходящаяся последовательность ( )-эквивалентных элементов имеет пределом также ( )-эквивалентный элемент, т. е.
8fxi g B; 8x 2 B 8i k(xxii ;;x1x)k2B !(0) ) (x; x1 ) 2 ( );
то будем говорить, что пространство B удовлетворяет V -условию (относительно системы отношений V). Для того чтобы банахово пространство B удовлетворяло V -условию, необходимо
и достаточно, чтобы при любом 2 (0; 1) подпространство 0 было замкнутым. Если выполнено
V -условие, то фактор-пространство B=( ) является банаховым. Согласно ([15], с. 128{130) это
следует из замкнутости подпространства 0 . Отметим, что V -условию удовлетворяют пространства C ([a; b]; R), Lp ([a; b]; R), 1 6 p 6 1, другие \традиционные" пространства определенных на
[a; b] вещественных функций, в которых задана система отношений (1). Этот факт существенно
используется при исследовании вольтерровых по А.Н. Тихонову операторов. Пример функционального пространства, не удовлетворяющего V -условию относительно системы (1), предложен
в ([3], с. 18{19).
Теорема 3. Пусть в банаховом пространстве B выполнено V -условие; fFi g | последовательность вольтеровых на системе V операторов Fi : B ! B . Если kFi y ; FykB ! 0 при
каждом y 2 B , то и предельный оператор F : B ! B также вольтерров на системе V.
Доказательство вытекает непосредственно из определения вольтерровости.
Из этого утверждения следуют известные теоремы о предельном переходе в классе вольтерровых по А.Н. Тихонову операторов ([16], с. 85, теорема 2.1), в классе операторов, вольтерровых
на системе отношений (2) ([3], с. 18, теорема 3.1), на системе отношений (6) ([17], с. 114).
Рассмотрим уравнение
Fx = 0
(9)
с вольтерровым на системе V оператором F : B ! B .
Определение 4. Если существуют число 2 (0; 1) и класс эквивалентности z 2 B= ( ),
удовлетворяющий равенству F z = 0 , то уравнение (9) будем называть локально разрешимым,
а класс z | его ( )-локальным решением. Элемент z 2 B , удовлетворяющий уравнению
(9), назовем глобальным решением. Сопоставляя элементу z 2 B класс (1)-эквивалентности
z1 = fzg, содержащий лишь один этот элемент, класс z 1 также будем считать глобальным
решением. Если 0 < < 6 1 и если z ; z | соответственно ( )-локальное (или глобальное
при = 1) и ( )-локальное решения, удовлетворяющие включению z z , то будем называть
решение z продолжением решения z , а решение z | частью решения z . Заметим, что для
произвольного локального или глобального решения z , вследствие условия V2 ), при любом
2 (0; ) существует единственный класс z 2 B=( ), для которого имеет место z z .
Класс z будет частью решения z . Этот факт позволяет отождествить каждое локальное или
глобальное решение z с отображением, ставящим в соответствие 2 (0; ] такой класс z 2
B=(), что z z . Отображение 2 (0; ) 7! z 2 B=( ), удовлетворяющее условиям
8; 0 < < < ) z z ; !lim
kz k
= 1;
;0 B=()
будем называть предельно продолженным решением. Любое сужение такого отображения на
(0; ] (0; ) (конечно, являющееся локальным решением) будем называть частью предельно
продолженного решения.
Абстрактные вольтерровы операторы
11
Определенные здесь понятия локального, глобального, предельно продолженного решений
являются естественным обобщением понятий решений дифференциальных уравнений, интегральных уравнений Вольтерра, функционально-дифференциальных уравнений эволюционного
типа, других уравнений с вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами. Для перечисленных
уравнений решение ищется в каком-либо множестве функций, определенных на [a; b]. Под локальным решением понимают функцию zc , определенную на [a; c], c < b, и удовлетворяющую
на этом отрезке заданному уравнению. Функцию zc можно отождествить с классом функций,
являющихся всевозможными ее продолжениями на весь [a; b]. Таким образом, \классические"
определения решений эволюционных уравнений равносильны приведенным выше, если на соответствующем множестве функций определить систему отношений (1).
Пусть B | нормированное пространство. Зададим отображение Z : (0; 1) B ! R, Z (; y) =
k ykB=(). При каждом y 2 B функция Z (; y) не убывает, и поэтому существует !lim
Z (; y) =
0+0
z0 (y). Доопределим отображение Z значением Z (0; y) = z0 (y). Далее, будем считать Z (1; y) =
kykB . Таким образом, отображение Z теперь задано на [0; 1] B .
Рассмотрим утверждения о неподвижных точках вольтеррова на V оператора K : B ! B ,
т. е. исследуем разрешимость уравнения
x ; Kx = 0;
(10)
являющегося частным случаем уравнения (9).
Определение 5. Оператор K : B ! B назовем локально сжимающим на системе V, если
существуют такие числа q < 1, > 0, что выполнены условия
1. 8 2 (0; ), 8x; y 2 B Z (; Kx ; Ky) 6 q Z (; x ; y);
2. 8; 2 (0; 1], < < + , 8x; y 2 B x 2 y ) Z (; Kx ; Ky) 6 q Z (; x ; y).
Класс локально сжимающих на системе V операторов достаточно широк. Ему, конечно же,
принадлежат не только сжимающие операторы. К локально сжимающим операторам относятся
также, например, -вольтерровы операторы. Важно заметить, что свойством локальной сжимаемости могут обладать даже операторы, не являющиеся непрерывными и ограниченными.
Пример 9. Оператор K : C ([0; 1]; R) ! C ([0; 1]; R),
8
>
если t 2 [0; 0:5];
>
<0:5x(t);
(Kx)(t) = >0:5x(0:5) + x(0)(t ; 0:5); если t 2 (0:5; 1]; x(0) | рациональное число;
>
:0:5x(0:5);
если t 2 (0:5; 1]; x(0) | иррациональное число,
ни в какой точке x 2 C ([0; 1]; R) не является непрерывным. Любая его степень K n : C ([0; 1]; R) !
C ([0; 1]; R) также разрывна в каждой точке. Тем не менее, этот оператор вольтерров и локально
сжимающий на системе (1). А -вольтеррров на такой же системе, и потому локально сжимающий оператор K : C ([0; 1]; R) ! C ([0; 1]; R),
8
>
если t 2 [0; 0:5];
>
<0;
t
;
0:5
(Kx)(t) = > x(0) ; если t 2 (0:5; 1]; x(0) 6= 0;
>
:0;
если t 2 (0:5; 1]; x(0) = 0;
переводит всякий шар с центром в нуле в неограниченное множество.
Теорема 4. Пусть в банаховом пространстве B выполнено V -условие, оператор K :B ! B
является вольтерровым и локально сжимающим на системе V. Тогда при любом 2 (0; 1] существует единственное решение уравнения x = K x . Другими словами, существует единственное глобальное решение уравнения (10), и всякое локальное решение является частью
этого решения.
12
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
Доказательство. Так как выполнено V -условие, пространство B= ( ) при любом 2 (0; 1]
является банаховым. Возьмем числа q < 1, > 0, удовлетворяющие всем условиям из определения локальной сжимаемости оператора K . Пусть = 2 . Уравнение x = K x имеет единственное решение z 2 B=( ), так как оператор K : B=( ) ! B=( ) является сжимающим.
Пусть z 2 B | некоторый представитель класса z . Для нахождения продолжения решения z в уравнении (10) сделаем замену y = x ; z . Получим уравнение
y = K (y + z) ; z:
(11)
Определяемый равенством K y = K (y + z ) ; z оператор K действует в подпространстве 0 B .
Определим оператор K2 : 0 =(2 ) ! 0 =(2 ), K2 y2 = 2 K y, где y | любой представитель класса y2 2 0 =(2 ). Класс (2 )-эквивалентности, которому априори принадлежит
решение уравнения (11), удовлетворяет уравнению
y2 = K2 y2 ; 2 z:
(12)
Поскольку оператор K2 : 0 =(2 ) ! 0 =(2 ) является сжимающим, уравнение (12) однозначно
разрешимо. Обозначим его решение w2 . Тогда z 2 = 2 z + w2 является (2 )-локальным
решением уравнения (10).
Продолжая аналогичные рассуждения, за конечное число b; a шагов построим единственное глобальное решение z 1 2 B уравнения (10). Любое ( )-локальное решение z с помощью
таких же построений может быть продолжено до глобального решения. Из единственности решения z 1 следует единственность локального решения z .
Следствие. Если линейный оператор K : B ! B удовлетворяет условиям теоремы 4, то для
его спектрального радиуса имеет место оценка (K ) 6 q.
Доказательство следует из однозначной разрешимости уравнения x ; Kx = f при любых
f 2 B , jj > q.
Аналогичные оценки спектрального радиуса линейного вольтеррова на системе (6) оператора
получены в работе [18], линейного вольтеррова на системе (2) оператора | в книге [3].
Для получения следующих утверждений о неподвижных точках вольтеррова на V оператора
K : B ! B потребуется
Определение 6. Оператор K : B ! B назовем улучшающим на системе V, если
9Z 8x 2 B Z (0; Kx) 6 Z ;
(13)
8% > 0, 8" > 0 9 > 0 8x 2 B , 81; 2 2 [0; 1]
j ; j < ) jZ ( ; Kx) ; Z ( ; Kx)j < ":
kxk 6 %
2
1
2
1
(14)
Термин \улучшающий" употреблялся в близком смысле применительно к оператору Немыцкого в пространстве суммируемых функций в [19]. Приведем простейшие свойства улучшающих
операторов.
1. Улучшающий на системе V оператор K : B ! B ограничен, т. е. для любого ограниченного множества U B его образ KU B также ограничен. Нелинейный улучшающий оператор
может не обладать свойством непрерывности. Например, оператор
(
(Kx)(t) = 1; если x(0) | рациональное число; K : C ([0; 1]; R) ! C ([0; 1]; R) явля0; если x(0) | иррациональное число;
ется вольтерровым и улучшающим на системе (1), но в любой точке не является непрерывным.
2. Если операторы K1 ; K2 : B ! B улучшающие на V, то для любых чисел 1 , 2 оператор
1 K1 + 2K2 : B ! B также улучшающий.
Абстрактные вольтерровы операторы
13
3. Если оператор K : B ! B является вольтерровым и улучшающим на системе V, то
оператор K : B=( ) ! B=( ) также будет улучшающим на V .
4. Если оператор M : B ! B ограничен, оператор K : B ! B улучшающий на системе V,
то оператор KM : B ! B будет улучшающим на системе V.
5. Если оператор K : B ! B удовлетворяет условию (13), ограниченный оператор
M : B ! B является вольтерровым на системе V, то MK : B ! B будет также удовлетворять условию (13).
Теорема 5. Пусть в банаховом пространстве B выполнено V -условие, оператор K :B ! B
является вполне непрерывным, вольтерровым и улучшающим на системе V. Тогда уравнение
(10) локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобального решения,
либо предельно продолженного решения.
Доказательство. Прежде всего отметим, что при любом 2 (0; 1) оператор K : B= ( ) !
B=( ) наследует от оператора K : B ! B свойства непрерывности, улучшаемости и компактности. Для доказательства последнего из перечисленных свойств возьмем r > 0. Обозначим
через U[0 ;r], U[0;2r] замкнутые шары соответственно радиуса r в пространстве B=( ) и радиуса
2r в пространстве B с центром в нуле. Для любого x 2 U[0 ;r] существует такой x 2 x , что
kxk 6 2r. Поэтому и вследствие вольтерровости оператора K выполнено K U[0 ;r] KU[0;2r].
Из компактности множества KU[0;2r] следует компактность множества K U[0;r].
Теперь покажем, что уравнение (10) локально разрешимо. Вследствие улучшаемости оператора K существует число Z , для которого выполнено неравенство (13). Пусть % = 2Z , " = Z2 .
Найдем , удовлетворяющее условию (14). Обозначим = 2 . Для любого x 2 B , kxk < 2Z имеет
место
;
Z (; Kx) = Z (; Kx) ; Z (0; Kx) + Z (0; Kx) < Z2 + Z = 23 Z :
(15)
В пространстве B=( ) выделим замкнутый шар U[0 ;r] с центром в нуле радиуса r = 32 Z . Для
любого x 2 U[0 ;r] существует такой x 2 x , что kxk 6 r + Z2 = %. Отсюда и из неравенства (15)
следует включение K U[0 ;r] U[0 ;r]. А так как оператор K : B=( ) ! B=( ) вполне непрерывен, то он имеет неподвижную точку z , являющуюся ( )-локальным решением уравнения
(10).
Осталось доказать, что любое (1 )-локальное решение z 1 2 B=(1 ) продолжаемо до глобального или предельно продолженного. Выберем % = kz 1 k + Z , " = Z2 и найдем 2 , являющееся
точной верхней границей всевозможных чисел , удовлетворяющих условию (14). Обозначим
2 = 1 + 22 . Для любого такого x 2 z 1 , что kxk < kz 1 k + Z , выполнено
Z ( ; Kx) = Z ( ; Kx) ; Z ( ; Kx) + Z ( ; Kx) < Z2 + kz 1 k:
;
2
2
1
1
(16)
В пространстве B=(2 ) выделим замкнутый шар U[02;r] радиуса r = kz1 k + Z . Пусть U2 = fx2 U[02;r]jx2 z1 g. Множество U2 выпукло и замкнуто. В любом классе x2 2 U2 существует такой
x 2 x2 , что kxk 6 r+ Z2 . Для таких представителей можем воспользоваться неравенством (16), из
которого будет следовать включение K2 U2 U2 . Кроме того, так как оператор K2 : B=(2 ) !
B=(2 ) вполне непрерывен, то он имеет неподвижную точку z 2 . Это (2 )-локальное решение
уравнения (10), являющееся продолжением решения z 1 . Аналогично найдем (3 )-локальное
решение z 3 уравнения (10), являющееся продолжением решения z 2 , и т. д.
Докажем, что, продолжая описанные построения, получим глобальное или предельно продолженное решение. Вычислим ilim
!1 i = . Возьмем любое 2 (0; ) и найдем номер i, для
которого 2 (i;1 ; i ]. Пусть z 2 B=( ), z = z , где z | это некоторый представитель класса z i | локального решения уравнения (10). Таким образом, построено отображение
14
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
2 (0; ) 7! z 2 B=( ). Если это отображение не является предельно продолженным решением, то найдется такое число N , что при всех натуральных i имеет место kz i k 6 N . Возьмем
% = N + Z , " = Z2 и найдем , являющееся точной верхней границей всевозможных чисел , удовлетворяющих условию (14). Так как kz i k + Z 6 N + Z , то при любом i выполнено i > . Это
означает, что за конечное число шагов будет построено глобальное решение уравнения (10).
Отметим, что для пространств Lp ([a; b]; Rm ), C0 ([a; b]; Rm ) свойство улучшаемости на системе
(1) необходимо для полной непрерывности оператора ([3], с. 25). Таким образом, из теоремы 5
следуют известные результаты [12] о локальной разрешимости и продолжаемости решений уравнения (10) с вполне непрерывным вольтерровым по А.Н. Тихонову оператором, действующим в
L([a; b]; Rm ) или C0 ([a; b]; Rm ). Аналог теоремы 5 в ситуации, когда оператор K , действующий
в банаховом пространстве B функций y : [a; b] ! Rm , вольтерров на системе (2), получен в
[20]. В исследованиях [8], [10], [21] разрешимости уравнения (10) с вполне непрерывным вольтерровым на системе (6) оператором накладываются дополнительные условия на проекторы
P : B ! B . Эти условия обеспечивают некоторое \топологическое сходство" рассматриваемого банахова пространства с пространством суммируемых функций и позволяют применять
известную технику доказательства разрешимости классических уравнений Вольтерра. Используемое в данной работе требование улучшаемости оператора в ряде случаев оказывается менее
обременительным. Например, из условий [21]
1. P 0 = 0;
2. найдется такое A, что kP k 6 A при всех ;
3. lim
! kP x ; P xk = 0 для каждого x 2 B
и компактности оператора K : B ! B следует его улучшаемость на системе (6).
4. Функционально-дифференциальные уравнения
с вольтерровыми операторами
Сведение задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений к уравнению (10)
позволяет применить к исследованию разрешимости этой задачи теоремы 4, 5.
Пример 10.
Рассмотрим уравнение
;
x0 (t) = cos x0 (h(t))
Z
t
0
x(s)ds + f (t); t 2 (;1; +1);
(17)
где функции f; h : (;1; +1) ! R измеримы, f суммируема на каждом конечном отрезке,
h(t) = fkt ; 0:5g ; 0:5 (символом fg обозначена дробная часть числа), k 2 (;1; 1), k 6= 0.
Абстрактные вольтерровы операторы
15
Решением считаем абсолютно непрерывную функцию, имеющую суммируемую на каждом конечном отрезке производную, и удовлетворяющую при почти всех t уравнению (17). Мы потребовали, чтобы k 6= 0, иначе композицию x0 (h(t)) нельзя было бы рассматривать в пространствах
измеримых функций ([22], с. 706). При любых значениях k 2 (;1; 0)[(0; 1) в каждом из множеств
h(0; +1), h(;1; 0) есть и положительные, и отрицательные числа (см. рис. 5), что не позволяет
воспользоваться теорией уравнений с запаздыванием и теорией уравнений с опережением.
Относительно производной решения x0 = y задача Коши с начальным условием
x(0) = (18)
для уравнения (17) равносильна уравнению
y(t) = cos y(h(t))
t;
Z
0
+ (t ; s)y(s) ds + f (t):
(19)
Rt ;
Пусть b > 0. Определяемый равенством (Ky)(t) = cos y(h(t)) + (t ; s)y(s) ds оператор K
0
непрерывно действует в L([;b; b]; R) и является вольтерровым на системе отношений (2), где
e = [;b; b]. Но применить полученные выше результаты непосредственно к уравнению (19)
нельзя, так как оператор K не является ни компактным, ни локально сжимающим. Построим
уравнение, равносильное (19) и обладающее необходимыми свойствами.
Rt
Если y | решение уравнения (19), то jy(t)j 6 tjy(s)jds + jt + f (t)j. Вследствие монотон0
ности и улучшаемости на системе (2) линейного интегрального оператора K : L([;b; b]; R) !
Rt
L([;b; b]; R), (Ku)(t) = tu(s)ds, выполнено неравенство [4] jy(t)j 6 y(t). Здесь
0
y(t) = jt + f (t)j +
t
Z
0
t exp(0:5(t ; s ))j s + f (s)jds
2
2
| единственное решение \мажорантного" уравнения u(t) = (Ku)(t) + j t + f (t) j. Итак, получена априорная оценка решения уравнения (19). Определим отображение : L([;b; b]; R) !
L([;b; b]; R) равенством
8
>
>
<
y(t); если jy(t)j 6 y(t);
(y)(t) = >y(t); если y(t) > y(t);
>
:;y (t); если y (t) 6 ;y (t):
Уравнение (19) и соответственно задача Коши (17), (18) равносильны уравнению y(t) = (K y)(t)+
+f (t). Докажем, что оператор K локально сжимающий. Для любого > 0 имеем
=
Z
k K y ; K y kL e =
Z
;
t;
;
t;
cos (y )(h(t))
+ (t ; s)(y )(s) ds ; cos (y )(h(t))
+ (t ; s)(y )(s) dsdt =
e Z
=
e
1
Z
1
2
1
0
;
(
)
2
t
Z
2
0
;
; sin u(t)I (t) (y )(h(t)) ; (y )(h(t)) + cos u(t) (t ; s) (y )(s) ; (y )(s) ds dt:
1
2
0
1
2
16
Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш
Здесь u(t) содержится между (y1 )(t) и (y2)(t), I (t) | между
Rt ;
0
Rt ;
Rt ;
+ (t ; s)(y )(s) ds и
1
0
+ (t ; s)(y )(s) ds, поэтому jI (t)j 6 + (t ; s)y(s) ds. Таким образом, получаем
2
0
k K y ; K y kL e 6
1
+
Z
+
b
Z
;b
Z
t
0
b
;b
2
(
b
Z
)
;b
(t ; s)jy1 (s) ; y2 (s)jds dt 6
b
Z
0
t;
Z
0
Z
2
1
bk
Z
b
jj + by(s)ds k1 y (t) ; y (t)dt +
2
(
1
;bk ;b
1
2
;
bjy (s) ; y (s)jds dt 6 ky ; y kL e
1
+ (t ; s)y(s) dsy (kt) ; y (kt)dt +
2 b + k1
Zb
2 2
)
;b
;
2
jj + by(s) ds :
Вследствие равномерной непрерывности интеграла для любого q 2 (0; 1) найдется такое > 0,
Rb ;
что 2 2 b2 + k1 jj + by (s) ds < q. Таким образом, проверено первое условие в определении ло;b
кальной сжимаемости оператора K . Для доказательства второго условия заметим, что существует такое положительное , что ;t + b 6 h(t) 6 t ; b при всех t > b, и t + b 6 h(t) 6 ;t ; b
при всех t 6 ;b. Следовательно, для всех таких ; 2 [; 1], что < < + , и всех
y1; y2 2 L([;b; b]; R), удовлетворяющих требованиям y1(t) = y2 (t), t 2 e , выполнено
k K y ; K y kL e =
1
6
Z
b Z t
b
b
2
(
)
Z
e
;
cos (y1)(h(t))
(t ; s)jy1 (s) ; y2 (s)jds dt +
;b Z t
Z
;b
;b
t
Z
0
;
(t ; s) (
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
280 Кб
Теги
абстрактную, вольтерровыми, оператора
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа