close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Автоморфизмы обобщенной унипотентной группы udt(k).

код для вставкиСкачать
ћатематика, механика, информатика
–езультаты распознавани¤ фонем [а], [о], [и], [в], [з], [ж], [ф], [ш], [с], %
є эксперимента
1
2
3
4
5
—редний
коэффициент
распознавани¤
¬сего
[а]
90
94
97
92
87
92
[о]
99
99
94
96
100
97,6
[и]
98
100
100
98
99
99
[в]
99
92
95
99
95
96
[з]
97
99
100
80
100
95,2
[ж]
87
93
85
87
87
87,8
[ф]
95
97
97
94
95
95,6
[с]
97
91
89
100
90
93,4
[ш]
100
99
96
98
90
96,6
94,8
M. S. Medvedev
USING THE WAVELET TRANSFORM
IN RUSSIAN PHONEME MODEL CONSTRUCTION
Tthe using of different wavelet basis for the phoneme model forming for Russian speech to text system is considered. For
the extraction of the phoneme descriptive features the wavelet transform (Daubechies wavelet of order 8) was used. Computing
was realized by using MatLAB 7. The results of phoneme recognition analysis has allowed well quality (95 %).
ѕрин¤та к печати в декабре 2006 г.
”ƒ 512.5
Ћ.†ј.†ћартынова
ј¬“ќћќ–‘»«ћџ ќЅќЅў≈ЌЌќ… ”Ќ»ѕќ“≈Ќ“Ќќ… √–”ѕѕџ UD√(K)
ƒано описание автоморфизмов обобщенной унипотентной группы UD√(K) над полем K характеристики ? 2,
где √ Ц цепь натуральных чисел.
Ќормальные подгруппы и автоморфизмы унитреугольной группы UT(n, K) были рассмотрены в 1974†г.
¬.†ћ.†Ћевчуком [1]. Ќесколько лет спуст¤, в 1982†г. результаты работ ¬.†ћ.†Ћевчука были перенесены ≈.†√.† османом на предельные унитреугольные группы над конечным полем [2]. ¬ 1987†г. ¬.†ћ.†Ћевчук опубликовал статью, посв¤щенную нормальному строению и автоморфизмам в более общей ситуации Ц дл¤ кольца NT(√, K) и
его присоединенной группы, где строки и столбцы нумеруютс¤ не конечным, а бесконечным линейно упор¤доченным множеством √ [3] (группе, рассматривавшейс¤
≈.†√.† османом, здесь соответствует случай цепи √ натуральных чисел). “акие группы, в частности, ¤вл¤ютс¤ известными источниками тонких примеров, публикуемых
врем¤ от времени уже в течение полувека. Ќа этом пути
были построены, исход¤ из унитреугольных групп, первые примеры p-группы, совпадающей с коммутантом [4],
и пример характеристической простой p-группы [5].
¬ [3; 6] были описаны автоморфизмы Ћиева кольца
UT(√, K) и его присоединенной группы дл¤ произвольной цепи √ и кольца K без делителей нул¤. Ѕолее частные
результаты в случае конечной цепи √ и конечного пол¤
характеристики ? 2 были получены ранее ѕ.†ѕ.†ѕавловым [7] и ј.†ƒж. ”иром [8]. ѕозднее ƒж. ј.†√иббс (1970)
[9] и ¬.†ћ.†Ћевчук (1990) описали автоморфизмы унипотентной группы U‘(K) над произвольным полем K дру-
гих типо↑. ¬ частности, в работе [10] были построены
обобщенные Ћиевы кольца NG(K) типов G = B√, —√, D√.
ƒадим описание автоморфизмов группы ND√(K) в
случае, когда Ц поле и √ Ц цепь.
Ќазовем стандартными автоморфизмами присоединенной группы ND√(K) диагональные, полевые, графовые и локально внутренние автоморфизмы.
ќсновным результатом будет ¤вл¤тьс¤ следующа¤ теорема.
“еорема. ¬с¤кий автоморфизм ND√(K) над полем K
характеристики ? 2†разложим в произведение стандартных автоморфизмов.
¬ведем обозначени¤ согласно [10]. —истема положительных корней ?+ и база в системе корней ? далее зафиксированы. ≈сли r ? ?, то совокупность s ? ?+, дл¤
которых s Ц r линейна¤ комбинаци¤ простых корней с неотрицательными коэффициентами, обозначим через {r}+.
орень s называетс¤ углом подмножества H ? N?(K),
если совокупность Hs всех s-координат элементов из H
отлична от нул¤ и Hr = 0†при s ? r ? ?+, s ? {r}+. ѕоложим
также, что
Tr = ? Kes || s ? {r}+ ? , Q(r) = ? Kes || s ? {r}+, s ? r ? , r ? ?.
“ак же как и в [10], назовем Dn-матрицей таблицу вида
a2, Ц1†a2, 1
a3, Ц2†a3, Ц1†a3, 1†a3, 2
. . . . . .
56
¬естник —ибирского государственного аэрокосмического университета имени академика ћ. ‘. –ешетнева
ѕусть xuv Ц образ относительно ? элемента x?i, i Ц1,
?1
i > 1, и xuv Ц образ относительно ? элемента x?2, Ц1. ”множим ? на сопр¤жение элементом из “(2, Ц1).
ќбозначим (?i, i Ц 1)? = A ?i, i Ц 1 B, где A, B ? T(2, Ц1),
A = 12, Ц1 ?2, Ц1 13, Ц2?3, Ц2 13, Ц1?3, Ц1 Е 1i, 1 Ц i ?i, 1 Ц i Е 1i, Ц1
?i, Ц1; B = 1i + 1, Цi ?i + 1, Цi Е 1i + 1, Ц1 ?i + 1, Ц1 Е;
фиксируем построчное упор¤дочение.
–ассмотрим
Цa?i Ц 1, Цk (?i, i Ц 1)? a?i Ц 1, Цk, i ? 2, k = 1, i ? 2 .
ќчевидно, что это произведение будет иметь вид
A ?i, i Ц 1 a?i, Цk B.
ѕоложим a = Ц1i, Ц k и получим, что сопр¤жением можi
но добитьс¤ условий на 1uv :
1ii , ? k = 0 , k = 1, i ? 2 , i = 3, 4, Е.
–ассмотрива¤ коммутатор
[(?i, i Ц 1)?, (?j + 1, j)?], где 2 < i < j,
имеем
an, 1 Ц n Е an, Ц1†an, 1 Е an, n Ц 1,
где aij ? K, 0 < | j | < i < n. Dn-матрицу, у которой на месте
(i, j) стоит единица, а на остальных местах нули, назовем
элементарной Dn-матрицей и обозначим как ?ij.
ћожно показать, что множество Dn(K) всех Dn-матриц над K ¤вл¤етс¤ Ћиевым кольцом относительно покоординатного сложени¤ и билинейного умножени¤, определенного по правилу
??il , если i > k , j = k ,
?
?ij ? ? kl = ?? kl ? ?ij = ???i , ? k , если i > k , j = ?l ,
?0, если i = k или j = k и j = ?l.
?
Ѕолее того, Dn(K) есть Ћиева алгебра (с обычным умножением матриц на скал¤ры), изоморфна¤ алгебре
NDn(K), причем элементарные матрицы ?ij соответствуют элементам базиса Ўевалле er, где r = pij = ?i Ц ?еs, j = ?s,
r ? ?. ѕоэтому естественно считать, что отображение р,
определенное дл¤ вс¤кого A ? U?(K):
?( A) =
?te
r?? +
r r
(i )
,
?1
определено на множестве Dn(K). ≈му соответствует такое
присоединенное умножение на Dn(K), что ?Ц 1†изоморфизм группы UDn(K) на группу ? Dn(K); ? .
–аспространим групповую операцию на ND√(K) с
произвольной цепью √.†ќсновные соотношени¤ в построенной присоединенной группе и коммутаторна¤ формула Ўевалле даны в работе [10].
ƒл¤ доказательства теоремы об автоморфизмах нам
потребуетс¤ следующа¤ лемма.
Ћемма. ѕусть ? Ц графовый автоморфизм, √ Ц цепь
натуральных чисел. “огда максимальными абелевыми
нормальными подгруппами в ND√(K) ¤вл¤ютс¤ “(2, Ц 1) и
“(2, Ц 1)? и только они.
ƒ о к а з а т е л ь с т в о. ѕусть ћ Ц максимальна¤
абелева нормальна¤ подгруппа. ѕусть ћ отлична от
“(2, Ц 1) и “(2, Ц 1)ф. —ледовательно, найдетс¤ угол (i, j)
группы ћ, где j > 0.
ѕусть j > 1. –ассмотрим коммутаторы
[[ M , ?i +1, i ], K ? j , j ?1 ] = K ?i +1, j ?1 ? M ,
s> j
s ,1? i
? s , ?1 ?
??1 j , ? k ? j +1, ? k ??1s , ? j ? s , ? j ?1
k =1
s> j
?1
?1
s = i +1
k =1
s ,1? i
i ?1, ? k
?i , ? k
? s , ? i 1 j ,1? i ? j +1,i = 0 .
ќчевидно, что
1s, 1 Ц i = 0,†s > j + 1,
Ц1j, Цk = 0, k = 1, Е, i Ц 1, i + 1, Е, j Ц 1,
Ц1s, Цj = 0, s > j,
Ц1s, 1 Ц i = 0, s = i + 1, j,
1i Ц 1, Цk = 0, i = 1, i Ц 2.
–ассмотрим проекцию коммутатора [(?i, i Ц 1)?, (?j + 1, j)?]
на (j + 1, Ц i):
1j + 1, 1 Ц i Ц 1j, Ц i + 1j, 1 Ц i = 0.
“ак как 1 Ц i ? j, то 1j + 1, 1 Ц i = 0. ”читыва¤, что 1s, 1 Ц i = 0,
s = i + 1, j, получим 1j, Ц i = 0.
“аким образом, элемент (?i, i Ц 1)? может иметь ненулевые элементы в i Ц 2, i Ц 1†строках и на (i, 1 Ц i) позиции.
–ассматрива¤ коммутаторы
[(?3†2)?, (?j + 1, j)?], j > 3,
[ K ?i +1, j ?1 , ? s , 1? j ] = K ? s , ? i ? 0 , s > i + 1.
ѕоскольку ?s, 1 Ц j ? M, то получаем противоречие с
абелевостью группы†ћ.
≈сли j = 1, то по описанию нормальных подгрупп
ND√(K) [10] следует, что либо K?i, Ц1, K?i, 1 ? M, либо
K(?m, 1 + c?m, Ц1) ? M, m > i, c ? 0, c ? K.
¬ первом случае рассмотрим коммутатор
[ K ?i , ?1 , ? s , 1 ] = K ? s , ? i ? 0 , s > i,
во втором Ц
[a? m, 1 bm, ?1 , a? s , 1b? s , ?1 ] = 2ab? s , ? m ? 0 , s > m.
“ак как характеристика пол¤ ? 2, то 2ab ? 0. ¬ обоих
случа¤х получаем противоречие с абелевостью группы†ћ.
Ћемма доказана.
ƒ о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. –ассмотрим
автоморфизм ? группы ND√(K). јвтоморфизм ц индуцирует автоморфизм фактор-группы ND√(K) / T(2, Ц1) ?
? UT(K). — точностью до умножени¤ на стандартный автоморфизм, ? тождественен по модулю “(2, Ц1).
[(?2†1)?, (?j + 1, j)?], j > 2,
[(?2, Ц1)?, (?j + 1, j)?], j > 2.
определим, что (?3†2)? может иметь ненулевые элементы
в 3-й и во 2-й строке, а также что
(?2, Ц1)? = ? 2, Ц 1,
(?2, 1)? = 12, Ц1 ? 2, Ц 1 ?2†1.
”точн¤¤ теперь значени¤ образов порождающих элементов относительно автоморфизма ?, отметим, что дл¤
любого i > 3
(?i, i Ц 1)? = 1i Ц 2, 3 Ц i ?i Ц 2, 3 Ц i 1i Ц 1, 2 Ц i?i Ц 1, 2 Ц i 1i, 1 Ц i?i, 1 Ц i ?i, i Ц 1.
–ассмотрим коммутатор
[(x?i, i Ц 1)?, (?j + 1, j)?], j > 1.
57
ћатематика, механика, информатика
“ак как z, y Ц произвольные элементы пол¤ K, то положим z = x = y. ѕолучаем 2yyi, 1 Ц i = 0†и, соответственно,
yi, 1 Ц i = 0. ѕо произвольности y следует, что дл¤ любой
матрицы xuv ее проекци¤ на (i, 1 Ц i) нулева¤:
xi, 1 Ц i = 1i, 1 Ц i = 0.
ѕо соотношению (2) следует, что xi + 1, 1 Ц i = 0†или, что то
же самое, xi, 2 Ц i = 0. ј по соотношению (4) вытекает, что
xi Ц 1, 2 Ц i = 0, т.†е. xi Ц 2, 3 Ц i = 0.
ќстаетс¤ неизвестным значение xi Ц 1, 2 Ц i. –авенство
нулю коммутатора [(x?i, i Ц 1)?, (?i, i Ц 1)?] даст соотношение
(1). “ак как [(x?i + 1, i)?, (?i, i Ц 1)?] = x ?i + 1, i Ц 1, то рассмотрим
коммутатор
[y ?i + 1, i Ц 1, xi Ц 1, 2 Ц i ?i Ц 1, 2 Ц i x ?i, i Ц 1] = 0.
¬ силу того, что [(y?i + 1, i Ц 1)?, (x?i, i Ц 1)?] = 0, получим
yxi Ц 1, 2 Ц i = 0. » поскольку y ? 0, то xi Ц 1, 2 Ц i = 0.
“еорема доказана.
¬ результате получим соотношение
? x1s,1?i ? s,?i
s > j +1
?x
j,k
k =1? j
?x
? j +1, k
s > j +1
? x1
? x1
s = i +1
k = 2?i
s ,1? i
i ?1, k
?
s , ? j s , ? j ?1
?i , k
? s , ? i x1 j ,1? i ? j +1, ? i = 0 .
—ледовательно, xjk = 0, j > i, k = 1 ? j , ?1 , т.†е. (x?i, i Ц 1)?
имеет нули ниже i-й строки.
–ассматрива¤ коммутатор
[(x?i, i Ц 1)?, (?j + 1, j)?], i Ц 1 > j + 1,
имеем
?
?
k =1? j
?
?
s= j+2
x j , k ? j +1, k ?
xs , ? j ? s , ? j ?1 xxi ?1, ? j ?i , ? j ?1 = 0
.
“аким образом, сформулировано и доказано, что вс¤кий автоморфизм группы UDг(K) над полем K характеристики ? 2†разложим в произведение диагональных, полевых, графовых и локально внутренних автоморфизмов.
”читыва¤, что x jk = 0, k = 1 ? j , ?1 , x s, Цj = 0,
s = j + 2, i ? 1 , скоммутируем два элемента (x?1, i Ц 1)? и
(y?j + 1, j)?, i < j. “ак как их коммутатор равен нулю, то
Цyj + 1, 1 Ц i x?j + 1, Ц i = 0,
а значит произвольный элемент (x?i, i Ц 1)? имеет в i-й строке не более, трех ненулевых элементов на позици¤х
(i, 1 Ц i), (i, 2 Ц i), (i, 3 Ц i).
–ассматрива¤ коммутаторы
[(x?i + 1, i)?, (y?i, i Ц 1)?],
Ѕиблиографический список
1. Ћевчук, ¬. ћ. ѕодгруппы унитреугольной группы /
¬. ћ. Ћевчук // »зв. јЌ ———–. —ери¤ математическа¤.
1974. “. 38. є 6. —. 1202Ц1220.
2. осман, ≈. √. ќ силовских p-подгруппах предельной
полной линейной группы над конечным полем / ≈. √. осман // ¬опросы теории групп и гомологической алгебры. ярославль, 1982. —. 38Ц47.
3. Ћевчук, ¬. ћ. Ќекоторые локально нильпотентные
кольца и их присоединенные группы / ¬. ћ. Ћевчук //
ћат. заметки. 1987. “. 42. є 5. —. 631Ц641.
4. јдо, ». ƒ. ќ нильпотентных алгебрах и p-группах /
». ƒ. јдо // ƒокл. јЌ ———–. 1943. “. 40. є 8. —. 339Ц342.
5. McLain, D. H. A characteristically-simple group /
D. H. McLain // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1954. Vol. 50.
P. 671Ц642.
6. Ћевчук, ¬. ћ. јвтоморфизмы некоторых нильпотентных матричных групп и колец / ¬. ћ. Ћевчук // ƒокл.
јЌ ———– / 1975. “. 222. є 6. —. 1279Ц1282.
7. ѕавлов, ѕ. ѕ. —иловские p-подгруппы полной линейной группы над простым полем характеристики p /
ѕ. ѕ. ѕавлов // »зв. јЌ ———–. —ери¤ математическа¤. 1952.
“. 16. є 5. —. 437Ц458.
8. Weir, A. J. Sylow p-subgroups of the general linear
group over finite fields of characteristic p / A. J. Weir // Proc.
Amer. Math. Soc. 1955. Vol. 6. є 3. P. 454Ц464.
9. Gibbs, J. A. Automorphisms of certain unipotent groups
/ J. A. Gibbs // J. Algebra. 1970. Vol. 14. є 2. P. 203Ц228.
10. Ћевчук, ¬. ћ. Ќормальное строение унипотентных подгрупп групп Ўевалле и идеалы ассоциированного кольца Ћи / ¬. ћ. Ћевчук, Ћ. ј. ћартынова // онструкции в алгебре и логике / “вер. гос. ун-т. “верь, 1990. —.
60Ц66.
[(xy?i + 1, i)?, (?i, i Ц 1)?],
получим, что yi,3 Ц i = 0. “аким образом, дл¤ произвольной
матрицы x?i, i Ц 1†ее образ относительно ц имеет вид
xi Ц 2, 3 Ц i ?i Ц2, 3 Ц i xi Ц 1, 2 Ц i ?i Ц1, 2 Ц i xi, 1 Ц i ?i, 1 Ц i
xi, 2 Ц i ?i, 2 Ц i x?i, i Ц 1.
“еперь уточним значени¤ xi Ц 2,3 Ц i, xi Ц 1,2 Ц i, xi,1 Ц i, xi,2 Ц i. ƒл¤
этого рассмотрим два коммутатора:
[(x?i + 1, i)?, (?i, i Ц 1)?],
[(?i + 1, i)?, (x?i, i Ц 1)?],
ќткуда следуют соотношени¤:
xi Ц 1, 2 Ц i = x Ј1Јi Ц 1, 2 Ц i,
(1)
x Ј 1i, 1 Ц i Ц xi + 1, 1 Ц i = Цxxi, 1 Ц I,
(2)
x Ј 1i, 1 Ц i = xi, 1 Ц i,
(3)
x Ј xi Ц 1, 2 Ц i = xi, 2 Ц i.
ѕо соотношени¤м (3) и (2) вытекает, что
xi, 1 Ц i Ц xi + 1, 1 Ц i = Цxxi, 1 Ц i,
(4)
(1 + x)xi, 1 Ц i = xi + 1, 1 Ц i.
ѕусть x = y + z, тогда
(1 + y + z)yi, 1 Ц i + (1 + y + z)zi, 1 Ц i = yi + 1, 1 Ц i + zi + 1, 1 Ц i,
(1 + y + z)yi, 1 Ц i + (1 + y + z)zi, 1 Ц i = (1 + y)yi, 1 Ц i + (1 + z) zi, 1 Ц i,
ќткуда следует, что
z yi, 1 Ц i + yzi, 1 Ц i = 0.
58
¬естник —ибирского государственного аэрокосмического университета имени академика ћ. ‘. –ешетнева
L. A. Martynova
AUTOMORPHISMS OF GENERALIZED UNIPOTENT GROUP UD√(K)
It is given the description of automorphisms of generalized unipotent group UD√(K) over the field K; char K ? 2 and
√ is chain.
ѕрин¤та к печати в декабре 2006 г.
”ƒ 517.9
Ќ.†ƒ.†ƒудинова
“»ѕ —»—“≈ћ ƒ»‘‘≈–≈Ќ÷»јЋ№Ќџ’ ”–ј¬Ќ≈Ќ»…,
—ќƒ≈–∆јў»’ ќЌ≈„Ќџ≈ —ќќ“ЌќЎ≈Ќ»я
–ассмотрена система из m Ц s квазилинейных дифференциальных уравнений первого пор¤дка, котора¤ имеет
s конечных соотношений на m функции и n переменных. Ќайдены характеристики этой системы. ѕриведены
примеры квазилинейных систем уравнений пластичности, содержащих конечные соотношени¤; и найдены их
характеристики.
m
?u ??1
fi ? i ?
+ ... = 0,
(t = 1,..., n; ? = 1,..., s . (5)
¬о многих работах, например [1. —. 193], определ¤етс¤
?
?x`1 ?xt
i =1
тип систем квазилинейных дифференциальных уравне¬ системе (4), (5) последние s(n Ц 1) уравнений есть
ний, но ничего не говоритс¤ об определении типа систем
дифференциальных уравнений, содержащих конечные линейна¤ комбинаци¤ предыдущих, поэтому их можно
соотношени¤ между искомыми функци¤ми, которые ча- исключить. ¬ результате получим систему m уравнений
сто встречаютс¤, например, в теории пластичности. ¬
?ui
данной статье мы восполн¤ем этот пробел и приводим на m функций ?x` , i = 1,..., m . Ёта система дифферен1
методику определени¤ типа таких систем уравнений.
циальных уравнений разрешена тогда и только тогда, ког1. –ассмотрим систему из m Ц s квазилинейных диф- да определитель
ференциальных уравнений и s конечных соотношений
cij = 0 ,
(6)
на функции ui ( x1 ,..., xn ), i = 1, 2,...m
где
m n
?u
(1)
aij( k ) i = b j ,
( j = 1,..., m ? s )
??
? n ( k ) ??1
?xk
i =1 k =1
, (i = 1,..., m; j = 1,..., m ? s )
?? aij
?xk
(2)
? k =1
f ? (u1 ,..., um ) = 0,
(? = 1,..., s )
cij = ?
.
1
m
где aij( k ) и b j Ц функции от u1 ,..., um и x1 ,..., xn , f ? Ц
? f ? ? ?? , j = m ? s + ? (t = 1,..., n; ? = 1,..., s )
i
некоторые гладкие функции. ѕоскольку эта система есть
??
?xt
? i =1
система первого пор¤дка, то задача оши сводитс¤ к за’арактеристическа¤ поверхность системы квазилинейданию начальных значений функций u1 ,..., um ? s на неко1
ных
дифференциальных уравнений (1), (2) определ¤етс¤
торой поверхности ? ( x1 ,..., xn ) = 0 .
по
уравнению
(6).
¬ведем новые независимые переменные по формулам
2.
¬
качестве
первого примера определим тип систеx`k = ?k ( x1 ,..., xn ) , (k = 1,..., n) ,
(3)
мы
дифференциальных
уравнений, содержащих одно
где функции ?2 ,..., ?n выбраны таким образом, чтобы конечное соотношение. –ассмотрим двумерные уравнеформулы (3) можно было разрешить относительно ни¤ теории пластичности с общим условием текучести:
x1 ,..., xn . ¬ыража¤ производные по старым переменным
?? x ??
?? ?? y
(7)
+
= 0,
+
= 0.
через производные по новым переменным, получим
?x ?y
?x ?y
t
n
?ui
?u ??
=? i
.
(8)
f ?x , ? y , ? = 0
?xk t =1 ?x`t ?xk
ѕодставим эти соотношени¤ в уравнени¤ (1) и выпи- где ? x , ? y , ? Ц компоненты тензора напр¤жений;
шем только те выражени¤, которые содержат производные f Ц некотора¤ гладка¤ функци¤, остальные ее свойства несущественны дл¤ определени¤ типа системы (7), (8).
?ui
:
ƒл¤ системы (7), (8) поставим задачу оши, котора¤
?x`1
сводитс¤
к заданию функций ? x , ? y на некоторой криm n
??1
( k ) ?ui
вой
.
(4)
...
,
1,...,
a
b
j
m
s
?
+
=
=
?
(
??
ij
j
?x`1 ?xk
i =1 k =1
(9)
?1 ( x, y ) = 0 .
“еперь продифференцируем уравнени¤ (2) по пере1
¬ведем
новые
переменные x`= ? ( x, y ) ,
менным x1 ,..., xn и выпишем только те выражени¤, кото2
2
, y`= ? ( x, y ) , где функци¤ ? выбрана так, чтобы фор?ui
рые содержат производные
:
мулу (9) можно было разрешить относительно x, y .
?x`1
59
(
)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
251 Кб
Теги
автоморфизмы, унипотентной, группы, обобщенные, udt
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа