close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Адсорбция сернистых соединений из трансформаторного масла на алюмосиликатах.

код для вставкиСкачать
ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 544.35.03:665.7
С. В. Анаников
АДСОРБЦИЯ СЕРНИСТЫХ СОЕДИНЕНИЙ ИЗ ТРАНСФОРМАТОРНОГО МАСЛА
НА АЛЮМОСИЛИКАТАХ
Ключевые слова: модель, адсорбция, нефтяные масла, массоперенос, преобразование Лапласа, энергоресурсосбережение.
В статье рассматриваются линейная, симметричная и ассиметричная модели адсорбции сернистых
соединений на алюмосиликатах из трансформаторного масла при его производстве или регенерации без
учета продольной диффузии. Решение получено методом преобразования Лапласа. Оно может быть
распространено на аналогичные задачи при кусочно-линейной аппроксимации нелинейной изотермы
адсорбции. Данное решение позволяет более точно рассчитать параметры процесса. Это дает
возможность сэкономить затраты материальных и энергетических ресурсов, т.е. использовать энерго- и
ресурсосберегающие технологии.
Keywords: model, adsorption, petroleum oil, masstransfer, transformation of Laplace, resource and energy-saving technologies.
In the article is described leniar, symmetrical, unsymmetrical models of adsorption of sulphurous compounds out
of transformer oil when it produced or regenerated. It is taked into considerationl masstransfer without calculation
longitudinal diffusion (masstransfer). Solution of the task was obtained by method transformation of Laplace and
can be disseminate on analogy task at part-lineat approximation unlinear isotherm of adsorption. Presented
solution do possible more precise calculate parameters of process and economize expenses material and energy
resources, in another way use technologies of resource and energy-saving.
Описание процесса адсорбции в неподвижном слое базируется на уравнениях баланса массы
целевого компонента (адсорбтива) для бесконечно
малого элемента слоя, кинетики адсорбции, уравнении изотермы адсорбции. Поэтому при постановке и
решении задач по динамике адсорбции приходится
решать два дифференциальных уравнения в частных
производных одновременно. При этом имеет существенное значение математическая форма записи изотермы адсорбции, которая может быть либо линейной, либо нелинейной (выпуклой или вогнутой). При
нелинейной изотерме динамика адсорбции может
быть описана в аналитической форме лишь приближенно [1-4] или численным способом [2]. При линейной форме изотермы адсорбции аналитическое решение рассматриваемой задачи было получено в работах
[1, 2]. Однако при этом, форма изотермы была наиболее простой в виде прямой, исходящей из начала координат, что фактически означало принятие допущения о применимости закона Генри при малых изменениях концентрации абсортива, в потоке и адсорбенте
(начальный участок изотермы адсорбции).
В настоящей работе аналитически решается
задача динамики адсорбции с использованием линейной изотермы наиболее общего вида. Это позволит
при кусочно-линейной аппроксимации нелинейной
изотермы адсорбции выяснить физическую картину
изучаемого процесса и без проблем описать любую
часть изотермы сложной формы.
Для трансформаторного масла гидрокрекинга марки ГК экспериментальное уравнение изотермы
адсорбции получено в виде [5]
где С м – концентрация серы в масле, равновесная со
средним содержанием адсорбтива Са в слое; A и B –
константы, имеющие разные численные значения при
аппроксимации различных участков изотермы. При
B  0 уравнение аппроксимирует начальный участок
изотермы. В частности, для диапазона изменения
концентраций серы в масле от 1,82 до 9,1 кг/м 3
значения констант соответственно равны: A  0,825 ;
B  1,281 .
Разрешая, представленное выше, уравнение
относительно С м можно дать общую систему уравнений, описывающих динамику адсорбции в одномерном потоке без учета продольной диффузии, т.е. с
учетом только внешнего массопереноса [1-3]
C x,  
С м x,  
C м x,  
 a
W
 0,
(1)


x
x  0,   0
C x,  B 
C a x, 

 k C м x,   a
 ,
A
A


x  0,   0,
при краевых условиях
Cмx, 0  0,
x  0,
(2)
(3)
x  0,
(4)
С м 0,    C0   0.
(5)
Здесь Сa x,   – количество адсорбированного вещества единицей объема сорбента в сечении x в
момент времени  ;
С м x,   – концентрация сорбента в потоке на расстоянии x в момент времени  ;
Сa x, 0  0,
С а  АС м  B кг/м  ,
3
247
W – скорость потока; k – коэффициент массообмена;
1    – коэффициент;  – доля свободного се
где A1  s 
W

чения адсорбента (постоянная по объему порозность
неподвижного слоя).
Первые два слагаемых уравнения (1) представляют собой скорость изменения массы целевого
компонента (сернистых соединений) в зазорах между
частицами и внутри частиц соответственно. Третье
слагаемое в уравнении (1) соответствует приращению
количества компонента (сернистых соединений) за
счет конвективного переноса со скоростью потока.
Таким образом уравнение (1) представляет связь между концентрациями целевого компонента в дисперсной фазе в неподвижном слое и в потоке сплошной
среды в любой момент времени и в любой точке неподвижного слоя.
Краевые условия задачи (3)-(5) выражают
следующее. В начальном сечении колонки в произвольный момент времени  концентрация целевого
компонента постоянна и равна С0 ; в начальный момент времени   0 колонка свободна от адсорбируемого вещества: условия (3), (4).
Задачу (1)-(5) будем решать с использованием
преобразования Лапласа (здесь приняты обозначения
по работе [6]).
LCм x,    F x, s  
Значок s выполняет роль параметра.
Решением (12) с условием (10) будет
F  x, s  
 Cм  x,   e
d ,



 S 
W
e 


 KS 
x
W  S  K  
A 


(6)
k B

sA s  k 1   A


 KS 
x
 S 
 W W  S  K  
A 

e 
,
(7)
0
Ф  x, s  
Тогда уравнения (1), (2) приобретают вид
F x, s 
 0,
(8)
sF x, s    sФx, s   W
x
Ф  x, s  B 1 

(9)
s Ф  x, s   k  F  x , s  
,

A
A s 

При этом оставшееся граничное для уравнения (8)
условие примет вид
C
(10)
F 0, s   0
s
Из (9) найдем Фx, s 
k
kB
1
Ф  x, s  
F  x, s  
(11)
k
k
A 

s  
s  s
A
A



e
e
и подставим его в (8). Тогда получим совместно с условием (10) задачу с начальным условием для обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка
dF x, s 
 A1 F x, s   B1  0,
dx
C
F 0, s   0 ,
s
(13)
Заменив в решениях (13), (14) константы
A1 , B1 их значениями из ранее записанных соотношений, получим выражения, разрешенные относительно
параметра s
k B
C
 0
F  x, s  
sA s  k 1   A s
0

LCa x,    Фx, s   Ca x,   e  s d .

1 
 A1 C0

 B1  e  A1 x .
 B1  
A1 
s



Подставив (13) в соотношение (11), получим
kB
1
Ф  x, s   1
1  e  A1 x 
k
A0 
s  
A

kB 
1

(14)

 k C0 e  A1 x 
.
k
A 


s s   
A


 s
k B
 ks
; B1 
.
k
k


Ws  
AW  s  
A
A




(15)
k 2 B

k

A s  ks1   A  s  
A

2
k 2 B

k

A s  ks1   A  s  
A

2



KS 
 S 
x
 W W  S  K  
A  





 KS 
 S 
x
 W W  S  K  
A 






k C0

k

s s  
A

kB
k

A s s  
A

.
(16)
Приведем выражения (15), (16) к виду удобному для обратного преобразования Лапласа с помощью таблиц изображений. Для этого запишем (15),
(16) в виде
(12)
(10)
248
F  x, s  
k B
C
 0 e
sA s  k 1   A s
k B

e
sA s  k 1   A
W

e
kB
Kx
S
W  S  K 
A


W

e
 K xS
W  S  K 
A


e
(15 a )


e
.

k

A s s  
A

Выполним также очевидную замену в (15 а),
(16 а)

Kx
W  S  K 
A

Kx
C0  Wx S 
e
e
s
а к (16 а)
W
x
 S 
k B
,
e W e
sA s  k 1   A
2
k B
k

sAs  k 1   A s  
s

e
x
 S 
k C0
e W e
k

s s  
A

F  x, s  
x

x
 S
W
e

e
C0  W S 
e
e
s

Kx
W
xS
W


Kx

Kx
W

Kx
W
x
(15 б)
;
W
e


e



W

k 2 B
k

sA s  k 1   A s  
s

 S
kC0
e W e
k

s s  
A

1
AW 
 S  K 
A
 K2 x
x

xS
W

Kx
x
W

 S 
k C0
e W e
k

s s  
A



Kx

W
Kx
 S 
k C0
kB
. (16 б)
e W e W 
k
k


As s  
s s  
A
A


Выражения (15 б), (16 б) вновь преобразуем к
виду
,
F  x, s  

Kx
W
1
AW 
 S  K 
A
 K2 x
Kx

.
C0  Wx S 
e
e
s
e

,
Kx
W
xS
W
Kx
Kx
W

e
W
e
k B
C x s
 0 eW 
sA s  k 1   A s
1
AW 
Kx
 S  K 
A 
 K 2x
e
e W

1
AW 
Kx
 S  K 
A 
 K 2x
e
e W .
e

(17)
Ввиду исключительной сложности обратного
преобразования приведем с использованием (17) эти
зависимости к следующему виду путем прибавления
и вычитания к (15 а) дополнительных членов
W
k

sA s  k 1   A s  
s

e
Kx

e W
x
 S
k 2 B


W
k

sA s  k 1   A s  
s

e
(16 a )
Kx
k

sA s  k 1   A s  
s

 K xS
W  S  K 
A


k 2 B

x
 S
e
k 2 B
Ф x , s  

W
e
W
1
AW 
 S  K 
A
 K2 x
x
 S 
k B
e W e
sA s  k 1   A

k C0
e
k

s s  
A

x
 S
k B
e
sA s  k 1   A

W  S  K 
A,

k

sA s  k 1   A s  
s

k

sA s  k 1   A s  
s

x
 S
e
W
k 2 B
e

x
 S
xS
 K xS
k 2 B
Ф  x, s  



e
s

x
W
S
_
k B

sA s  k 1   A

249
B
k B
A

1
 C0 e
 k 1   A 
s s 

A


Kx
W

 AW 1

x
 S  K 
Kx


 S
e  K 2 x  A   1  C0 e  W e W 


s




1   A
e

Kx
W
k 1   A  Wx S
e
A

 k 1   A 
s s 

A


 AW 1

 S  K 
Kx



A
2 
B
 e  K x
 1 
e W 

 1   A




k 1  A   Wx S
e
A

;
 k 1   A 
s s 

A


Ф  x, s  
k 2 B
A

1  e
L 


(15 в)
A

k
k  Wx S
e
kB
1
Bk
A



k
k  1   A
A 

s s  
s s  
A
A




1
L 1 
  k 1   A 
 s s 

A

 

(16 в)
(19)
x
.
W
 k2
e

K

A

(20)


A2


k   k 2 1   A


s


A  

A
 k 2 1   A
e

K 1  A 

A
.


 1 
K
 

e A .
k 

 s  A  


(21)
(22)
 k xS  
x
e W  0 при 0    ,
W
L A
  


k  
K
 
x
   
 s s  A   1  e A  W  ,

 
1 
тором L 1 .
при  


K 1 A 




A
1
1
e
1 


L
K 1 A 
  k 1   A  
A

 s s 

A

 
K 1  A 

A
A
L 1
Теперь, после приведения отдельных частей
выражений (15 в) и (16 в) к табличному виду выпишем соответствующие изображения и оригиналы,
воспользовавшись известными справочниками [6-8].
Здесь как в [6] переход к оригиналу обозначен опера-

A
A

e
k 1   A k 1   A
(18)

,


при  
Kx

s
 0 при 0    x ,
 
W

x
 1 при   .
 
W

x  
Здесь I1  2k

– бесселева функция

AW 

мнимого аргумента первого рода первого порядка.
x
 k 1   A  x S  
e W  0 при 0    W ,

A
  
L 1 
K 1  A  

  k 1   A   

  x 
A
 W

 s s 

A
,
  1  e
 
xS
k 1  A  Wx S
e

1
A
e W

k
 k 1   A  
s s 
 s  A
A
 


1
k  Wx S  A W  K  
Kx


e
S 

A
A
e  K 2 x  A   1.
 kC0 e W

k 
k 
s s   

A



S

x

 I1  2k

AW

1

k
 k 1   A  
s s 
 s  A
A



Kx
x
W

 AW 1

S K 


A
2
K
x
L 1 e  K x
e A 
 1  k
AW






k 1  A  W
e
A
W

 k 1   A 
s s 

A


1
 AW

 S  K 


Kx
A
2



1
e  K x

 1  kC0 e W 

k 

s   

A 



k B
e

1   A

x
.
W


K

 e A   1
1
1 


L
k
k 
 

 s s  A  
A

 
A A K
  e A .
k k
(17)
250
(23)
(24)
Поскольку в решениях (15 в), (16 в) имеет
место произведение изображений, то для получения
окончательного решения (в оригиналах) необходимо
выполнить свертку соответствующих оригиналов.
Как известно свертка двух оригиналов может
быть записана в форме [8]
F1  F2  F2  F1.
(25)
Или



x
F1 t  F2   t  dt  k
W



x
 I1  2 k
  t   dt  k
AW


x
2
2
W
K 1 A   x 
 t 
 K  t )  
A
 W
e A
e
1
0


x
 I1 2k
  t  dt.
AW


Заметим, что
Рассмотрим последовательно свертку функций, которые необходимы для получения окончательных решений исходной системы дифференциальных
уравнений.
Произведение изображений
 K   t ) 
e A
k
x
K 1  A   x 
t 
A
 W
e
x
 K   1  A 
A
W
e  K t . (29)
x
свертка (28) равна нулю.
W
Произведем некоторые операции над функцией Фx, s  , прежде чем перейти от нее в пространство оригиналов.
Выполним следующую свертку согласно выражениям (20), (22)
 k 1   A  x S

e W

1 
A
L 1 

k 
  k 1   A  


s
s
s


 

A
A  
 
 


x F t  F   t dt 
1
2
W


 K   t ) 
x
e A

AW   t 
K 1   A  


t x
A
 W
1  e

x 

W


W


x
 I1 2k
  t  dt.
AW


e

(28)
Для 0   
 AW 1

 S  K 
x S 

W
2 
A
e
e  K x
 1


s




x
при 0   
(26)
W
дает свертку функций равную нулю, что соответствует соотношению (18).
Свертка этих же функций, соответствующая
произведению указанных изображений согласно (18),
x
, т.е. для другого интервала изменения
(19) для  
W
 , дает
1



  Wx S  A W  S  K   
e
e  K 2 x  A   1   1  F2 
L 1 


 s






x

AW   t 

 F t  F   t dt   F t  F   t dt. (25а)
1
x
 K   t ) 
x
e A

AW   t 
W

0

x
 K   t ) 
e A
dt


W
(27)

Здесь выполнена свертка с единицей и нижний предел интегрирования взят в соответствии с областью определения свертываемых функций.
Аналогично для произведения изображений
x
имеем согласно (19), (20) при  
W
1
 k 1   A  x S 

AW 
K


e W 
 S  

A
e  K 2 x  A   1  
L 1 

 s  s  k 1   A  

 
 
A




x
e

K
e A
x
K
eA
t


e
 K   t ) 
A
dt
K 1  A   x 
t 
A
 W
W




K
dt  e
e
 K   t 
A
dt
x  A x W  
AW
x e
 K t
dt


(30)
W
W
Здесь было учтено выражение (29). Вычисление интегралов в (30) дает

Kx 
K
K t
A 
e A dt  e A  e AW ,
k



x

W

x
e  K t dt 
1
k
 Kx

e W  e   K   .


W
В результате вместо (30) получим
251

 k 1   A  x S
e W
 

1
1 
A
  F1 t  F2   t  dt 
L
k 
  k 1   A  
 s s 
 s  A  x
A
 
 W
 
k xS
 e W

L 1  A
 s s  k 
 
A



A 1   A

k
k


 K   x 
e A W

1
k
K 1  A  


  x 
A
 W .
e
K


 t x  

 F1 t  F2   t  dt  1  e A  W   



x
x

(31)

k



 K   t 
x
x
  t  dt 
 k
e A
 I1 2k
AW
 AW   t 
 


   x 
x
e A  W  
AW   t 
W


x
 I1  2 k
  t   dt 
AW



x
x

AW   t 
x


x
x
  t  dt.
e  K t I1 2k
AW
AW   t 


x
 K   t 
 x
e A

A W   t 
L 1Фx, s   Ca x,    Ca   
(34)
k 2B

A

A2
A  KA 
A
e




2
2
2
 k 1   A  k
 k 1   A


 K   1  A  x 


x
W
  t  dt  1 e A 

 I1 2k

AW




K 1   A  


B 
A

1  e
.
1   A 

W

AW
x
свертка этих функций также равна нулю.
W
Теперь, если подставить полученные результаты в виде выражений (17)-(33) в решения (15 в), (16
в), то будем иметь
x
При 0   
W
k B

L 1F x, s   C м x,    C м  
A
K 1  A  



A
A
A
e



k
A
k
A

1



1






W



  t  dt 


x
  t   dt.
(33)
 I1  2 k
AW


В интервале изменения времени  между 0 и


 
 K   x 
A W
e
x
W
 A 1   A  K    x  1  K 1 A     x  
A
 W 
  
e A W 
e
k
k
k


x
1   A
x
k
W
x

1  2k

 K   t  
x
x
  t  dt 
e A
I1 2k
AW
AW   t 



2
K
K
   t 
e A
I
W

A
W
x
AW   t 
k
x F t  F   t dt 


W

1


Свертка этих же функций для интервала
x
0    , как видно из (20), (22), равна нулю.
W
Найдем оригинал для следующего произведения изображений, используя только что полученное выражение (31)
 k 1   A  x S
 AW 1

 S  K 



e W
1

A
e  K 2 x  A   1  
L 1 

 s  s  k 1   A   s  k  



 
A
A
 



 AW 1

 S  K 


2
A



e  K x
 1  






e
(32)

W

K 1  A 

A
K

A B
B
 Be A 
e
1  A
1  A
 B  Be
Свертка оригиналов для произведения слеx
будет согласно (19),
дующих изображений при  
W
(23) вычисляться следующим образом
 kB A A K 
A

  e

A k
k


K
A

K 1  A 

A

A B
B

e
1  A 1  A

K 1  A 

A
K 1  A  
 1 



A
 B  B
  1.
 A  e
 
1   A 
252

(35)
При  
e

K x

B   W
 e
 k  C0 
1  A 

 K   t 
x
e A

AW   t 
x
x


x
AW



Bk
e
1  A
 
K   x


A
W 
x
x
x

AW   t 

  t  dt 

x
e  K t 
AW   t 
AW


 t   dt .

x


x
x
  t  dt.
e  K t I1 2k
AW
AW   t 


Литература




W

 I1  2 k

x

AW   t 
W
W
 K   t  
e A
I1 2k


x
  t   dt  k  AC0  B 
I1 2k
AW



K
   x 


x
 I1  2 k
  t   dt  k B e A  W  
AW
1  A


K 1  A  


B 
A
_
1  e
1   A 


K x 
W
x
x

AW   t 
W
K x


x
  t   dt  C0 e  W 
 I1 2k
AW



B  
 k C0 
e
1  A 

Kx 
W
x
W
K 1  A  

K x


  x   
A
 W e W

 1 e




  KA   x   K x 
e  W  e W 





K x 
 K   x  
A W
e
e W
x
e  K t 


AW   t
x
K A
W
W
 K   t 
e A
K x


x
  t   dt  B k  e  W 
 I1 2k
AW
1  A



 
 K   1  A  x 
A
W
Kx
K 1  A 


1   A   AW

e
 B 1 
 1  
e


 1   A 



B  
e
 Ak  C0 
1   A 

W

K x
W


 A 1  e


K 1  A  

K x
K x

  x   

B 
A
 W  e W  C e
W 
1  e
0
1  A 



e

K 1  A  


B 
A

1
e


1   A 

L 1 F x, s   C м x,   

x
W
(36)
И, наконец, после громоздких преобразований было получено



 K   x  
L 1 Фx, s   Ca x,    AC0 1  e A  W   




1. Федоткин И.М. Математическое моделирование технологических процессов / И.М. Федоткин. – Киев: Выша шк.,
Головное изд-во, 1988. – 415 с.
2. Романков П.Г. Массообменные процессы химической
технологии / П.Г. Романков, В.Ф. Фролов. – Л.: Химия,
1990. – 384 с.
3. Золотарев П.П. К кинетике адсорбции смеси двух веществ,
когда лимитирующая стадия – внешний массообмен / П.П.
Золотарев // Изв. АН СССР, сер. хим. – 1971. – №9. – с.
2055.
4. Золотарев П.П. О приближенном решении задачи равновесной динамики сорбции с учетом продольной диффузии
для нелинейной изотермы / П.П. Золотарев // Изв. АН
СССР, сер. хим. – 1971. – №10. – с. 2403.
5. Гайнутдинова Л.Р. Регенерация и очистка трансформаторных масел для электрических аппаратов высокого напряжения: дис… канд. техн. наук / Л.Р. Гайнутдинова. – Казань, 2004. – 172 с.
6. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. – М.:
Высшая школа, 1967. – 600 с.
7. Диткин В.А. Справочник по операционному исчислению /
В.А. Диткин, П.И. Кузнецов. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. – 256
с.
8. ДЁЧ Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа / Г. ДЁЧ – М.: ГИФМЛ, 1958.
– 208 с.
__________________________________________________________________
© С. В. Анаников – д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ, ananikovsv@rambler.ru.
253
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
254 Кб
Теги
сернистым, масло, соединений, адсорбция, алюмосиликатной, трансформаторного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа