close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем.

код для вставкиСкачать
Сер. 10. 2011. Вып. 1
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 517.929.4
А. П. Жабко, И. В. Медведева
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ
1. Введение. В настоящей работе предлагается новый подход к анализу экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем вида
ẋ(t) =
m
Aj x(t − hj ),
(1)
j=0
где x ∈ Rn ; Aj ∈ Rn×n , j = 0, 1, ..., m; 0 = h0 < h1 < ... < hm = h.
Первые результаты по применению второго метода Ляпунова для исследования
устойчивости систем с запаздывающим аргументом приведены в статье [1]. В ней
предложена структура квадратичного функционала, используемого для исследования устойчивости, но при этом остаются открытыми вопросы существования функционала такой структуры и проверки его положительной определенности. В статье
[2] сформулированы достаточные условия экспоненциальной устойчивости линейных
дифференциально-разностных систем, применение которых, однако, подразумевает построение функционала, допускающего квадратичную оценку снизу. Проверка же этой
оценки для квадратичных функционалов Ляпунова остается нерешенной проблемой.
Более того, в работе [3] в случае экспоненциальной устойчивости линейных систем
показано существование функционалов с производной, заданной в виде отрицательноопределенной квадратичной формы состояния системы, допускающих, однако, лишь
кубическую оценку снизу на классе непрерывных начальных функций. В статье [4]
в случае экспоненциальной устойчивости для линейных систем вида (1) приведены
необходимые и достаточные условия существования квадратичных функционалов, производная которых совпадает с наперед заданным квадратичным функционалом. Такие
функционалы называются функционалами полного типа и допускают квадратичную
оценку снизу. Но даже для функционалов полного типа построение конечного алгоритма проверки их положительной определенности по-прежнему остается нерешенной
проблемой.
Предлагаемый нами подход позволяет построить конечный алгоритм проверки положительной определенности функционала, используемого для исследования
Жабко Алексей Петрович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории управления факультета прикладной математики–процессов управления СанктПетербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 70. Научные направления: теория управления, робастная устойчивость, дифференциально-разностные уравнения.
E-mail: zhabko@apmath.spbu.ru.
Медведева Ирина Васильевна – студентка 5-го курса факультета прикладной математики–
процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 1. Научные направления: устойчивость, дифференциально-разностные уравнения.
E-mail: medv.irina@gmail.com.
c А. П. Жабко, И. В. Медведева, 2011
9
экспоненциальной устойчивости системы (1). Идеология этого подхода заимствована
из работы [5]. Данная статья является развитием и продолжением исследований, начатых в [6].
Рассмотрим линейную стационарную систему с запаздывающим аргументом вида
(1). Будем считать, что t0 = 0 – начальный момент времени, φ(θ) ∈ C([−h, 0]) –
начальная функция. Введем множество
SM = xt : x(t + σ) (1 + M )x(t) ∀ σ ∈ [−h, 0] .
В соответствии с [4] зададим квадратичную форму w(x(t)) = x∗ (t)W x(t) и построим
квадратичный функционал
∗
∗
v0 (xt ) = x (t)U (0)x(t) + 2x (t)
m 0
U (−θ − hj )Aj x(t + θ)dθ +
j=1−h
j
+
m m 0
k=1 j=1−h
∗
x (t +
θ1 )A∗k
0
U (θ1 + hk − θ2 − hj )Aj x(t + θ2 )dθ2 dθ1
(2)
−hj
k
такой, что его производная в силу системы (1) совпадает с −w(x(t)). Здесь U (τ ) –
матрица Ляпунова, ассоциированная с матрицей W, которая, согласно [4], может быть
построена как решение системы
U̇ (τ ) =
m
U (τ − hj )Aj , τ 0;
j=0
U (−τ ) = U ∗ (τ ), τ 0;
m
[U (−hj )Aj + A∗j U ∗ (−hj )] = −W.
j=0
В п. 2 будет показано, что для проверки положительной определенности квадратичного функционала v0 (xt ) достаточно проверить его положительную определенность
на множестве SM .
2. Основные результаты. Были получены следующие основные результаты.
Теорема 1. Пусть система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову. Тогда
для любой положительно-определенной матрицы Wn×n существует функционал v(xt )
такой, что dv(xt ) 1)
= −x∗ (t)W x(t);
dt (1)
2) для любого M 0 существует c1 > 0 такое, что v(xt ) c1 x(t)2 при xt ∈ SM .
З а м е ч а н и е. Предполагается, что начальная функция φ(θ) ∈ SM .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в качестве функционала v(xt ) функционал
v0 (xt ), определяемый формулой (2). Тогда, согласно [4], первое утверждение теоремы
верно по построению функционала. Пусть α = φh . Получим, что для любого t∗ > 0
справедлива оценка
x(t) N (t) N (t∗ ), t t∗ .
10
m
Здесь N (t) = αK1 eKt , K =
j=0
t 0. Значит,
m
Aj , K1 = 1+
Aj hj , при этом N (t) α для любого
j=1
ẋ(t) K N (t) K N (t∗ ),
Выберем t∗ из условия
∗
KK1 eKt =
t t∗ .
1
,
2t∗
1
φ(0)
t∗ .
обозначим D. Положим δ =
2t∗
2αD
φ(0)
при t δ.
Поскольку x(t)−x(0) αDt при t t∗ , то x(t) φ(0)−αDδ =
2
Тогда, в силу экспоненциальной устойчивости системы (1), получим, что
∗
а общее значение величин KK1 eKt и
∞
δ
∗
x (s)W x(s)ds v(φ) =
0
0
δ
λmin (W )
x∗ (s)W x(s)ds x(s)2 ds λmin (W )
φ(0)2
φ(0)3
δ = λmin (W )
.
4
8αD
0
α
1
φ(σ) ∀σ ∈ [−h, 0], то φ(0) .
1+M
1+M
λmin (W )
φ(0)2 , а значит,
Таким образом, v(φ) 8D(1 + M )
Поскольку φ(0) v(xt ) c1 x(t)2 ,
λmin (W )
> 0. Теорема доказана.
8D(1 + M )
Теорема 2 является утверждением, обратным к теореме 1.
Теорема 2. Пусть существует функционал v(xt ) такой, что
dv(xt ) = −x∗ (t)W x(t), где матрица W положительно определена;
1)
dt где c1 =
(1)
2) v(xt ) c1 x(t)2 при xt ∈ SM при некоторых M 0, c1 > 0.
Тогда система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть существует последовательность {tk }∞
−−−−→ +∞ такая, что x(tk ) β > 0. Рассмотрим
k=1 , tk − tk−1 h, tk −
k→+∞
два случая.
1. Пусть решение x(t) равномерно ограничено по t, т. е.
∃ G > 0 : x(t) G
Очевидно, что ẋ(t) KG, где K =
m
∀ t 0.
Aj .
j=0
Пусть t ∈ [ tk , tk + τ ], τ > 0. Проинтегрируем систему (1) на отрезке [tk , t]:
x(t) − x(tk ) =
t m
tk
Aj x(s − hj )ds,
j=0
11
а значит, x(t) − x(tk ) KG(t − tk ) KGτ. Поэтому
x(t) x(tk ) − KGτ Тогда
t
k +τ
β
β
при τ = min
; h , t ∈ [tk , tk + τ ].
2
2KG
x∗ (s)W x(s)ds λmin (W )
β2
τ
4
для любого k,
tk
следовательно,
t
∗
x (s)W x(s)ds k +τ
n(t) t
x∗ (s)W x(s)ds λmin (W )
k=1 t
k
0
β2
τ n(t) −−−−→ +∞,
t→+∞
4
где n(t) – количество промежутков [tk , tk +τ ], вошедших в промежуток [0, t]; n(t) −−−−→
t→+∞
+∞. Известно, что для функционала справедлива оценка |v(xt )| ηxt 2h ηG2 , где
η = const, т. е. v(xt ) −ηG2 . Отсюда, в силу первого условия теоремы,
t
v(φ) = v(xt ) +
β2
x∗ (s)W x(s)ds −η · G2 +λmin (W ) τ n(t) −−−−→ +∞.
t→+∞
4
0
=const
Полученное противоречие доказывает экспоненциальную устойчивость системы (1)
в первом случае. Заметим, что второе условие теоремы не было использовано при доказательстве первого случая.
2. Предположим теперь, что x(t) не является равномерно ограниченным по t. Это
значит, что существует последовательность {t̃k }∞
−−−−→ +∞, такая,
k=0 , t̃k − t̃k−1 h, t̃k −
k→+∞
что
x(t̃k ) = max x(t) −−−−−→ +∞.
tt̃k
k→+∞
Но тогда при M 0 имеем x(t̃k +σ) x(t̃k ) (1+M )x(t̃k ), σ ∈ [−h, 0]. Поэтому
v(φ) = v(xt̃k ) +
t̃k
x∗ (s)W x(s)ds c1 x(t̃k )2 −−−−−→ +∞.
k→+∞
0
Полученное противоречие доказывает теорему.
Приведенные утверждения открывают возможность конструктивного исследования
экспоненциальной устойчивости системы (1), что будет проиллюстрировано на примерах в п. 3.
Рассмотрим теперь функционал
w(xt ) = x∗ (t)W0 x(t) +
m
j=1
x∗ (t − hj )Wj x(t − hj ) +
m 0
x∗ (t + θ)Wm+j x(t + θ)dθ. (3)
j=1−h
j
Теоремы 3, 4 являются аналогами теорем 1, 2 в том случае, когда производная функционала v(xt ) задана в виде (3).
12
Теорема 3. Пусть система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову. Тогда
для любых положительно-определенных матриц W0 ,W1 ,...,W2m существует функционал v(xt ) такой, что
dv(xt ) = −w(xt );
1)
dt (1)
2) для любого M 0 существует c1 > 0 такое, что v(xt ) c1 x(t)2 при xt ∈ SM .
Согласно [4], функционал v(xt ), о котором идет речь в теореме 3, имеет вид
v(xt ) = v0 (xt ) +
m j=1
0
−hj
x∗ (t + θ) Wj + (hj + θ)Wm+j x(t + θ)dθ,
m где U (τ ) – матрица Ляпунова, ассоциированная с матрицей W = W0 + j=1 Wj +
hj Wm+j , и называется функционалом полного типа.
Теорема 4. Пусть существует функционал v(xt ) такой, что
dv(xt ) = −w(xt ), где матрицы W0 , W1 , ..., W2m положительно определены;
1)
dt (1)
2) v(xt ) c1 x(t)2 при xt ∈ SM при некоторых M 0, c1 > 0.
Тогда система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову.
Теоремы 3 и 4 справедливы, поскольку при положительно-определенных матрицах
W0 ,W1 ,...,W2m имеет место неравенство
w(xt ) x∗ (t)W0 x(t),
и их доказательства ничем не отличаются от доказательств теорем 1 и 2 при подстановке в последние W0 вместо W.
Сформулируем теперь две теоремы о неустойчивости.
Теорема 5. Пусть система (1) не имеет таких собственных чисел λ̃ и μ̃,
что λ̃ + μ̃ = 0, и имеет собственное число λ̄ такое, что Reλ̄ > 0. Тогда для любой
положительно-определенной матрицы Wn×n существует функционал v(xt ) такой,
что
dv(xt ) 1)
= −x∗ (t)W x(t);
dt (1)
2) для любого M 0 существует c1 > 0 такое, что для любого a 0
min v(xt ) −c1 a2 .
xt ∈SM
x(t)=a
Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно [3], что условие отсутствия собственных чисел,
сумма которых равна нулю, для системы (1) является необходимым и достаточным
условием существования матрицы Ляпунова при любом выборе симметрической матрицы W . Потому для функционала v(xt ), определяемого формулой (2), первое условие
теоремы выполняется по построению. Покажем выполнение второго условия для этого
функционала.
Пусть λ̄ = α > 0 – вещественный корень характеристического уравнения системы (1)
det(λE −
m
Aj e−λhj ) = 0.
j=0
13
Ясно, что в данном случае система (1) имеет решение x̃(t) = eαt c, где c – ненулевой
постоянный вектор. Рассмотрим равенство из первого условия теоремы на решении x̃(t)
и проинтегрируем его по отрезку [0, T ], где T = const > 0:
T
v(x̃T ) − v(x̃0 ) = −
x̃∗ (t)W x̃(t)dt.
(4)
0
С одной стороны, функционал (2) является квадратичным по своему аргументу. Поэтому, учитывая вид решения x̃(t), получим, что v(x̃T ) = e2αT v(x̃0 ). С другой стороны,
T
T
x̃∗ (t)W x̃(t)dt =
0
e2αt dt c∗ W c =
1 2αT
(e
− 1) c∗ W c.
2α
0
Таким образом, из равенства (4) следует, что
v(x̃0 ) = −
1 ∗
λmin (W )
c Wc −
c2 = −c1 x̃(0)2 ,
2α
2α
λmin (W )
= const > 0. А значит, поскольку x̃t ∈ SM для любого M 0 как
2α
строго возрастающая функция, при x̃(t) = a 0 получим
где c1 =
min v(xt ) −c1 a2 ,
xt ∈SM
x(t)=a
что доказывает второе условие теоремы.
Пусть теперь λ̄ = α + iβ, β = 0 – комплексный корень характеристического уравнения, α > 0. В этом случае система (1) имеет решение x̃(t) = eαt cos(βt)c = eαt cos(|β|t)c,
2π
и проинтегрируем равенство
где c – ненулевой постоянный вектор. Выберем T =
|β|
из первого условия, как и в случае вещественного λ̄. По выбору числа T по-прежнему
будем иметь v(x̃T ) = e2αT v(x̃0 ), поэтому
T
(e
2αT
− 1)v(x̃0 ) = −
e2αt cos2 (|β|t)dt c∗ W c,
0
а значит, v(x̃0 ) −c1 x̃(0) , т. е. поскольку x̃0 ∈ SM ,
2
min v(xt ) v(x̃t ) −c1 a2
xt ∈SM
x(t)=a
для любого a 0, где
c1 =
λmin (W )
T
2αt
cos2 (|β|t)dt
0 e
(e2αT − 1)
= const > 0.
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть существует непрерывный на функциях xt ∈ C([t − h, t]) функционал v(xt ) такой, что
14
dv(xt ) 1)
= −x∗ (t)W x(t), где матрица W положительно определена;
dt (1)
2) для любого a 0 имеет место неравенство min v(xt ) −c1 a2 при некоторых
xt ∈SM
x(t)=a
M 0, c1 > 0.
Тогда система (1) неустойчива по Ляпунову.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу непрерывности функционала v(xt ) и выполнения
для любого c > 0 свойства v(cxt ) = c2 v(xt ), справедлива оценка v(xt ) λxt 2h , где
λ = max |v(xt )| > 0.
xt h =1
Выберем начальную функцию φ(θ), удовлетворяющую второму условию теоремы,
c1
φ2h . Тогда для функционала v(xt ), раст. е. такую, что v(φ) −c1 φ(0)2 −
1+M
смотренного на решении, соответствующем выбранной начальной функции, получим,
что
t
c1
v(xt (φ)) = v(φ) − x∗ (s, φ)W x(s, φ)ds −
φ2h .
(5)
1+M
0
Поэтому
c1
φ2h |v(xt )| λxt (φ)2h ,
1+M
c1
φh = β.
xt (φ)h λ(1 + M )
а значит,
(6)
Покажем неустойчивость решения системы (1) с выбранной начальной функцией,
т. е. существование последовательности {ti }∞
i=1 , ti −−−−→ +∞ такой, что x(ti ) −−−−→
i→+∞
i→+∞
+∞. Предположим противное: пусть существует такое G > 0, что x(t) G при t 0.
m
Тогда ẋ(t) KG, где K =
Aj . Из условия (6) следует существование последовательности {tk }∞
k=1 ,
j=0
tk − tk−1 h,
tk −−−−−→ +∞
k→+∞
такой, что x(tk ) β > 0.
Тогда, аналогично тому, как это делалось в доказательстве теоремы 2, выбирая τ =
β
; h , получим, что
min
2KG
t
k +τ
x∗ (s)W x(s)ds λmin (W )
β2
τ
4
для любого k,
tk
а значит,
t
x∗ (s)W x(s)ds λmin (W )
β2
τ n(t) −−−−→ +∞,
t→+∞
4
0
где n(t) – количество промежутков [tk , tk +τ ], вошедших в промежуток [0, t]; n(t) −−−−→
t→+∞
+∞. Поэтому, согласно формуле (5), v(xt ) −−−−→ −∞, что противоречит предположеt→+∞
нию о равномерной ограниченности решения x(t), поскольку в этом случае |v(xt )| λxt 2h λG2 . Полученное противоречие доказывает теорему.
15
3. Примеры. Для иллюстрации применения предложенных результатов рассмотрим уравнение
ẋ(t) = ax(t) + bx(t − h), a, b = const, h > 0.
(7)
Будем исследовать экспоненциальную устойчивость этого уравнения, используя результаты теорем 2 и 4, т. е. с помощью оценки различных функционалов на множестве
кривых xt ∈ SM . Ясно, что для решений на множестве SM справедливы оценки
|ẋ(t + σ)| (|a| + |b|)(1 + M )|x(t)|, |ẍ(t + σ)| (|a| + |b|)2 (1 + M )|x(t)|, σ ∈ [−h, 0],
а потому будем оценивать соответствующие функционалы на множестве кривых, удовлетворяющих также этим условиям.
Применение результата теоремы 2. Выберем
w(x(t)) = wx2 (t),
w > 0.
Тогда функционал, удовлетворяющий первому условию теоремы 2 для рассматриваемого уравнения, имеет вид
0
2
v0 (xt ) = u(0)x (t) + 2bx(t)
u(h + θ)x(t + θ)dθ +
−h
0 0
+ b2
x(t + θ1 )u(θ2 − θ1 )x(t + θ2 )dθ1 dθ2 ,
(8)
−h−h
где u(τ ) – матрица Ляпунова, ассоциированная с w. Согласно результату теоремы 2,
для исследования экспоненциальной устойчивости уравнения (7) необходимо получить
оценку снизу для функционала v0 (xt ) на множестве кривых xt ∈ SM , где положим
h
M = 0. Для этого разобьем отрезок [t − h, t] на N частей одинаковой длины Δ =
N
точками
t − h = tN < tN −1 < . . . < t0 = t,
где tj = t − jΔ, и приблизим решение на данном отрезке кусочно-линейной функцией
следующего вида:
θ
lj (t, θ) = x(tj ) + x(tj ) − x(tj+1 )
,
Δ
θ ∈ [−Δ, 0],
j = 0, N − 1.
Тогда
x(tj + θ) = lj (t, θ) + ηj (t, θ),
θ ∈ [−Δ, 0],
j = 0, N − 1,
здесь ηj (t, θ) – погрешность такого приближения, оценка которой имеет вид
|ηj (t, θ)| d|x(t)|(θ2 − θΔ),
j = 0, N − 1,
d=
1
(|a| + |b|)2 .
2
(9)
Подставляя x(t + θ) в функционал (8) и используя (9), получим следующую оценку
для функционала (8):
16
v0 (xt ) x̂20
u(0) − 2|b|d
N 0
|u(s + jΔ)|(s2 − sΔ)ds −
j=1−Δ
− 2b d
2
N N 0 0
(1 +
k=1 j=1−Δ−Δ
s1 2
)(s − s2 Δ)|u(s2 − s1 + (j − k)Δ)|ds2 ds1 +
Δ 2
N N 0 0
s1 2
(s − s2 Δ)|u(s2 − s1 + (j − k)Δ)|ds2 ds1 −
+ 2b d
Δ 2
j=1
2
k=1
− b2 d2
−Δ−Δ
N 0 0
N (s21 − s1 Δ)(s22 − s2 Δ)|u(s2 − s1 + (j − k)Δ)|ds2 ds1 +
k=1 j=1−Δ−Δ
+
N
0
x̂0 x̂N −j 2b
j=1
+
−Δ
N N
N
x̂N −k x̂N −j b2
N N
0 0
x̂N −k+1 x̂N −j 2b
k=1 j=1
+
(1 +
−Δ−Δ
2
−Δ−Δ
N N
0
−Δ
0 0
k=1 j=1
−
s
u(s + jΔ)(1 + )ds −
x̂0 x̂N −j+1 2b
Δ
j=1
k=1 j=1
s
ds +
Δ
s2
s1
)(1 + )u(s2 − s1 + (j − k)Δ)ds2 ds1 −
Δ
Δ
s2
s1
(1 + )u(s2 − s1 + (j − k)Δ)ds2 ds1 +
Δ
Δ
0 0
x̂N −k+1 x̂N −j+1 b
u(s + jΔ)
2
−Δ−Δ
s1 s2
u(s2 − s1 + (j − k)Δ)ds2 ds1 ,
Δ2
где последнее выражение обозначим v1 (x̂),
⎞
⎞ ⎛
⎛ ⎞ ⎛
x(t)
x(t0 )
x̂0
⎜ x̂1 ⎟ ⎜ x(t1 ) ⎟ ⎜ x(t − Δ) ⎟
⎟
⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
x̂ = ⎜ . ⎟ = ⎜ . ⎟ = ⎜
⎟.
..
⎠
⎝ .. ⎠ ⎝ .. ⎠ ⎝
.
x(t − N Δ)
x̂N
x(tN )
Таким образом, оценкой снизу для функционала (8) является квадратичная форма относительно вектора x̂ размерности (N + 1), коэффициенты которой полностью
определяются параметрами a, b, h уравнения (7). Положительная определенность полученной квадратичной формы, согласно теореме 2, гарантирует экспоненциальную
устойчивость исходного уравнения.
Применение результата теоремы 4. Положим теперь
0
w(xt ) = w0 x (t) + w1 x (t − h) + w2
2
2
x2 (t + θ)dθ,
w0 > 0, w1 > 0, w2 > 0.
−h
17
Тогда функционал, удовлетворяющий первому условию теоремы 4 для рассматриваемого уравнения, имеет вид
0
x2 (t + θ)(w1 + (h + θ)w2 )dθ,
v(xt ) = v0 (xt ) +
(10)
−h
где u(τ ) ассоциирована уже с w = w0 + w1 + hw2 . Оценим добавленное слагаемое,
приближая, как и ранее, x(t + θ) кусочно-линейной функцией:
0
x2 (t + θ)(w1 + (h + θ)w2 )dθ −h
N
0
x̂2N −j
j=1
+
(1 +
−Δ
N
0
x̂2N −j+1
j=1
−
N
−Δ
θ2
(w1 + (θ + jΔ)w2 )dθ −
Δ2
0
2x̂N −j x̂N −j+1
j=1
(1 +
−Δ
− x̂20
N
N
j=1
+
x̂20
(θ2 − θΔ)2 (w1 + (θ + jΔ)w2 )dθ −
d2
−Δ
0
2d
(1 +
−Δ
N
j=1
θ θ
) (w1 + (θ + jΔ)w2 )dθ −
Δ Δ
0
j=1
− x̂20
θ 2
) (w1 + (θ + jΔ)w2 )dθ +
Δ
0
2d
−Δ
θ
)(θ2 − θΔ)(w1 + (θ + jΔ)w2 )dθ +
Δ
θ 2
(θ − θΔ)(w1 + (θ + jΔ)w2 )dθ,
Δ
где последнее выражение обозначим v2 (x̂).
Таким образом, в рассмотренном случае оценкой снизу для функционала v(xt ) также является квадратичная форма относительно вектора x̂:
v(xt ) v1 (x̂) + v2 (x̂) = v3 (x̂),
положительная определенность которой также гарантирует экспоненциальную устойчивость исходного уравнения.
Численные эксперименты. Сравнение результатов. Итак, будем исследовать
экспоненциальную устойчивость уравнений вида (7) предложенным методом: фиксируем параметры a и b и, изменяя N , будем находить такие значения запаздывания
h, для которых квадратичная форма v1 (x̂) или v3 (x̂) соответственно положительно
определена. В табл. 1 для некоторых конкретных примеров заведомо устойчивых уравнений приведены такие значения запаздывания h0 в зависимости от N, для которых
18
при 0 h h0 можно гарантировать положительную определенность соответствующей квадратичной формы – оценки для функционала, а значит, гарантировать и экспоненциальную устойчивость самих уравнений. Отметим, что при небольших значениях N предложенный метод эффективен лишь при малых запаздываниях. Однако
в обоих случаях с ростом N увеличиваются и соответствующие значения h0 : при более
точном приближении решения растет эффективность предложенного алгоритма. Так,
для уравнения с параметрами a = 0, b = −1 было отмечено стремление получаемых
значений запаздывания с ростом N к точной границе устойчивости h0 = π/2 ≈ 1.5708:
при w0 = 0.01, w1 = 10, w2 = 0.01 уже для N = 100 значение запаздывания, при котором
используемый метод гарантирует устойчивость рассматриваемого уравнения, приблизилось к 1.570.
Таблица 1. Значения h0 для различных N
Пример
Значения a, b, N
1
a = −1,
b = −1
2
a = −0.5,
b = −1
3
a = 1,
b = −2
4
a = −1.5,
b=1
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
=1
=2
=3
=1
=2
=3
=1
=2
=3
=1
=2
=3
w0 = 1,
w1 = 0,
w2 = 0
0.423
0.478
0.588
0.482
0.514
0.623
0.148
0.161
0.192
0.185
0.271
0.317
w0 = 1,
w1 = 1,
w2 = 1
0.430
0.710
0.957
0.521
0.857
1.112
0.228
0.327
0.404
0.468
0.641
0.782
Точная граница
устойчивости
+∞
Примерно 2.417
Примерно 0.604
+∞
Кроме того, видно, что квадратичная форма, полученная в результате оценки
функционала v(xt ), более отделена от нуля, чем квадратичная форма, определенная при оценке функционала v0 (xt ). Значит, при использовании теоремы 4 алгоритм
дает положительный результат при бо́льших, чем при применении теоремы 2, значениях запаздывания, что подтверждается численными экспериментами.
Рассмотрим теперь обратную задачу. Фиксируем параметры a, b, h и будем определять для них наименьшее значение N, при котором можно гарантировать экспоненциальную устойчивость рассматриваемого уравнения. В табл. 2 приведены найденные
таким образом значения N для различных h при фиксированных a и b. При этом значение N = N1 соответствует случаю оценки функционала v0 (xt ), а N = N2 – случаю
оценки функционала v(xt ).
Таблица 2. Значения N1 и N2 для различных h
Параметр
h
N1
N2
a = −1, b = −1
0.9
1
1.5
3
9
12
38
–
3
4
7
29
a = −0.5, b = −1
0.9
1
1.2 2.3
9
13
23
–
3
3
4
42
Таким образом, численные эксперименты показывают, что при использовании функционалов полного типа вывод об экспоненциальной устойчивости рассматриваемых
уравнений может быть сделан при меньших N и при бо́льших значениях запаздываний,
19
чем при использовании функционалов v0 (xt ), что объясняется большей отделенностью
функционалов полного типа от нуля.
4. Заключение. В работе приведены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных дифференциально-разностных
систем с постоянными коэффициентами, основанные на применении квадратичных
функционалов Ляпунова. Примеры подтверждают возможность построения конструктивного конечномерного алгоритма исследования экспоненциальной устойчивости таких систем на основе доказанных результатов.
Литература
1. Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика. 1962. Т. 26, вып. 1. С. 39–51.
2. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями
времени // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315–327.
3. Huang W. Generalization of Liapunov’s theorem in a linear delay systems // J. of Mathematical
Analysis and Applications. 1989. Vol. 142. P. 83–94.
4. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной // Вестн. С.-Петерб. ун-та.
Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1–2. С. 110–117,
199–207.
5. Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикл. математика и механика.
1956. Т. 20, вып. 4. С. 500–512.
6. Медведева И. В. Обращение прямого метода Ляпунова при анализе устойчивости систем с запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й Междунар. науч. конференции
аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.
ун-та, 2010. С. 33–38.
Статья принята к печати 14 октября 2010 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
288 Кб
Теги
анализа, дифференциальной, разностные, система, подход, устойчивость, алгебраический
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа