close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Алгебры инвариантных аффиноров однородных пространств вещественных простых групп Ли типа al с регулярными подгруппами изотропии.

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (456)
УДК 514.765
С.Г. КОНОНОВ
АЛГЕБРЫ ИНВАРИАНТНЫХ АФФИНОРОВ ОДНОРОДНЫХ
ПРОСТРАНСТВ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП ЛИ ТИПА
С РЕГУЛЯРНЫМИ ПОДГРУППАМИ ИЗОТРОПИИ
Al
e вычисляем алгебры EndGe T (M )
В работе, следуя [1], для однородных пространств M = G=G
инвариантных аффиноров (т. е. тензорных полей типа (1.1) или эндоморфизмов касательного
расслоения) в случае, когда Ge | одна из простых вещественных групп Ли типа Al , а G |
связная регулярная полупростая подгруппа группы Ge . Алгебра EndGe T (M ) является важной
характеристикой пространства M , ее знание позволяет, например, выделить те пространства
указанного выше типа, которые допускают инвариантные почти комплексную, почти кватернионную и другие часто встречающиеся в геометрии аффинорные структуры.
1. Регулярные подалгебры и подгруппы
Подалгебра g вещественной полупростой алгебры Ли eg называется регулярной [2], если существует подалгебра Картана eh алгебры eg такая, что комплексификация gC алгебры g нормализуется подалгеброй Картана heC комплексной полупростой алгебры egC , т. е. [heC ; gC ] gC . Если
потребовать дополнительно полупростоту алгебры g, то ее регулярность означает, что
X ; ; gC =
[eg ; eg ] + eg
2R0
для некоторой регулярной (т. е. замкнутой относительно сложения и симметричной) подсистемы R0 системы корней R алгебры egC относительно подалгебры Картана ehC ; здесь eg | корневое
подпространство в egC , отвечающее корню 2 R. Подгруппа G вещественной полупростой группы Ли Ge называется регулярной, если алгебра Ли g группы G является регулярной подалгеброй
алгебры Ли eg группы Ge .
Полупростые регулярные подалгебры комплексных простых алгебр Ли классифицированы
в [2]. Основываясь на методе классификации регулярных подалгебр в вещественном случае,
предложенном в [1], опишем полупростые регулярные подалгебры вещественных форм алгебры
Ли sl(l + 1; C ).
Пусть | антиинволюция комплексной полупростой алгебры Ли g, задающая вещественную форму g , и пусть h | подалгебра Картана алгебры g такая, что (h) = h. Тогда преобразование пространства h , заданное формулой
( )(H ) = ((H )) 8H 2 h; 2 h ;
индуцирует автоморфизм второго порядка системы корней R = R(g; h). Каждой полупростой
подалгебре алгебры g , регулярной относительно подалгебры Картана h алгебры g , соответствует регулярная подсистема R0 системы корней R, для которой (R0 ) = R0 . Если две такие
регулярные подалгебры сопряжены в g , то соответствующие им регулярные подсистемы переводятся друг в друга элементами группы Вейля W = W (R), перестановочными с , т. е.
принадлежащими централизатору ZW ().
40
Пусть "1 ; : : : ; "l+1 | канонический базис пространства Rl+1 , R = f("i ; "j ) j 1 6 i < j 6 l +1g
| система корней типа Al . Известно, что группа Вейля W (R) отождествляется с симметрической группой Sl+1 , при этом автоморфизм fs 2 W , соответствующий подстановке s 2 Sl+1 , определяется формулой fs ("i ; "j ) = "s(i) ; "s(j) . Отсюда следует, что каждый изоморфизм второго
порядка системы корней R типа Al W -сопряжен единственному автоморфизму = w(k; m),
где
w(k; m) = (1; k + 1)(2; k + 2) (k; 2k); 2k + m = l + 1;
является произведением k независимых транспозиций.
Каждая регулярная подсистема R0 системы корней R есть конечная сумма неприводимых
подсистем вида A(T ) = f"i ; "j j i 6= j; i; j 2 T g для некоторого набора попарно не пересекающихся подмножеств T множества f1; : : : ; l + 1g; jT j > 2 [1]. Если jT j = s + 1, то подсистема A(T )
имеет тип As . Обозначим через A(su;v) подсистему вида A(T ) такую, что
jT \ f1; : : : ; kgj = u; jT \ f2k + 1; : : : ; l + 1gj = v;
T \ fk + 1; : : : ; 2kg = i + k j i 2 T \ f1; : : : ; kg :
Легко видеть, что любая неприводимая регулярная -инвариантная подсистема совпадает с
As(u;v) . Произвольная регулярная -инвариантная подсистема есть сумма неприводимых инвариантных, а также пар регулярных неприводимых подсистем R0 + R00 таких, что (R0 ) = R00 ,
(R00 ) = R0 , где R0 = A(T ), T f1; : : : ; kg, R00 = A(T 0 ), T 0 = fi + k j i 2 T g. Обозначим такую
пару At + A0t , если jT j = t + 1. Таким образом, получаем
Предложение 1. Каждая регулярная подсистема R0 системы корней R типа Al , инвариантная относительно автоморфизма второго порядка = w(k; m), имеет вид
R =
0
2ui + vi = si + 1; 0 6
p
X
i=1
p
X
i=1
ui +
Asui i ;vi +
(
)
r
X
j =1
r
X
j =1
(Atj + A0tj );
(tj + 1) 6 k; 0 6
p
X
i=1
vi 6 m; 2k + m = l + 1:
Две подсистемы вида ZW () сопряжены в R тогда и только тогда, когда у них совпадают
наборы пар чисел f(ui ; vi )g, i = 1; : : : ; p, и наборы чисел ftj g, j = 1; : : : ; r.
Дальнейшее рассмотрение проведем отдельно для каждого типа A I{A III вещественных
форм g алгебры Ли g = sl(l + 1; C ). При этом воспользуемся описанием подалгебр Картана
в вещественных полупростых алгебрах Ли в работах [3] и [4].
Тип A I. g = sl(l + 1; R ), : sl(l + 1; C ) ! sl(l + 1; C ), X ! X | переход к комплексносопряженной матрице. В алгебре Ли sl(l +1; R ) имеется l+1
+1 классов сопряженных подалгебр
2
Картана, представителей этих классов можно взять в виде
diag(h ; : : : ; h ) diag(;h ; : : : ; ;h ) 1
k
k+1
2k
hk = H = diag
;
diag(hk+1 ; : : : ; h2k ) diag(h1 ; : : : ; hk )
l + 1
hk+1 ; : : : ; hl+1 hi 2 R; Tr H = 0 ; k = 0; : : : ; 2 :
С помощью внутреннего автоморфизма X ! SXS ;1 , где
0 1 Ek iEk 1
0 A;
S = @ p2 ;iEk Ek
0
Em
C
алгебры sl(l + 1; C ) переведем
подалгебру Картана hk в стандартную подалгебру Картана hC0 =
P
fdiag(h1 ; : : : ; hl+1 ) j hi 2 C ; hi = 0g и отождествим;систему корней R(g; hCk ) с системой корней
R = f("i ; "j ) j 1 6 i < j 6 l +1g = R(g; hC0 ); здесь "i diag(h1 ; : : : ; hl+1 ) = hi , i = 1; : : : ; l +1. При
41
этом отождествлении полуинволюция индуцирует автоморфизм = w(k; m) системы корней
R(g; hCk ). Далее для произвольной регулярной -инвариантной подсистемы R0 из предложения 1
строим подалгебру
X ; ; g(R0 )C =
[g ; g ] + g
2R0
и, выбирая -неподвижные элементы в g(R0 )C , находим регулярную полупростую подалгебру в
sl(l +1; R ), отвечающую подалгебре Картана hk и регулярной подсистеме R0 . Опуская очевидные
вычисления, сформулируем окончательный результат.
Теорема 1. Каждая регулярная полупростая подалгебра алгебры Ли sl(l + 1; R ) с точностью до внутреннего автоморфизма алгебры sl(l + 1; R ) есть алгебра
g=
p
M
i=1
sl(si ; R)
r
M
sl(tj ; C ) ;
j =1
канонически вложенная в sl(l + 1; R ),
p
X
i=1
B ;C B ;C p
Ai + (Bj + ;1Cj ) ;! diag A ; : : : ; Ap ; C B ; : : : ; Cr Br ; 0 ;
r
r
r
X
1
j =1
0<
p
X
i=1
si + 2
r
X
j =1
1
1
1
1
tj 6 l + 1:
Тип A II. l + 1 = 2k,
A B A;
B
2
gl
(
k;
C ); Re Tr A = 0 ;
;B A
0 ;E 0 E : sl(2k; C ) ! sl(2k; C ); X ! E 0 k X ;E 0k :
k
k
g = sl(k; H ) =
Все подалгебры Картана в sl(k; H ) сопряжены; если взять подалгебру Картана в виде
h0
k X
o
= H = diag(h ; : : : ; hk ; h ; : : : ; hk ) hi 2 C ; Re
hi = 0 ;
n
1
1
i=1
то hC0 есть стандартная подалгебра Картана в sl(l +1; C ). В этом случае = w(k; 0); вычисления,
аналогичные случаю A I, показывают, что справедлива
Теорема 2. Каждая регулярная полупростая подалгебра алгебры Ли sl(k; H ) с точностью
до внутреннего автоморфизма алгебры sl(k; H ) есть алгебра
g=
p
M
i=1
sl(ki ; H )
r
M
sl(tj ; C ) ;
j =1
вложенная в sl(l + 1; H ) следующим образом:
diag(A ; : : : ; A ; C ; : : : ; C ; 0) diag(B ; : : : ; B ; 0)
p r
X
Ai Bi + X
p
r
p
diag(A ; : : : ; Ap ; C ; : : : ; C r ; 0) ;
;Bi Ai j Cj ;! diag(;B ; : : : ; ;B p; 0)
i
p
r
X
X
0 < ki + 2 tj 6 2k:
1
=1
=1
1
1
1
1
i=1
j =1
42
1
l + 1 неизоморфных вещественных форм алгебры sl(l + 1; C ) типа
gm =su(m; q)= tAB B
A
2
gl
(
m;
C ); A + t A = 0; C 2gl(q; C ); C + t C = 0; B 2L(m; q; C ) ;
C
E 0 E 0 l +1 m
m
t
m : sl(l + 1; C ) ! sl(l + 1; C ); X ! ; 0 ;E X 0 ;E ; m =0; 1; : : : ; 2 ; m + q = l +1:
q
q
Тип A III. Существуют
A III
+1
2
В алгебре su(m; q) имеется m + 1 классов сопряженных подалгебр Картана, представителей
которых можно взять в виде
diag(u ; : : : ; u )
diag(h1 ; : : : ; hk ; 0; : : : ; 0)
1
m
hm;k = H = diag
diag(h1 ; : : : ; hk ; 0; : : : ; 0) diag(u1 ; : : : ; uk ; um+k+1 ; : : : ; u2m ) ;
u m ; : : : ; ul
2
+1
+1
p
hi 2 R; ui 2 ;1R; Tr H = 0 ; k = 0; : : : ; m:
Внутренний автоморфизм X ! SXS ;1 , где
0
B
S=B
B@
pi2 Ek
pi2 Ek
Em;k
; p Ek
1
2
p12 Ek
E
1
CC
CA ;
алгебры su(m; q) переводит алгебру hCk;m в стандартную подалгебру Картана hC0 алгебры sl(l +
1; C ). Вычисления показывают, что m = ;w(k; l + 1 ; 2k) и что имеет место
Теорема 3. Каждая регулярная полупростая подалгебра алгебры Ли su(m; q ) с точностью
до внутреннего автоморфизма алгебры su(m; q) есть алгебра
g=
p
M
i=1
r
M
sl(tj ; C ) ;
su(mi ; qi )
j =1
вложенная в su(m; q) следующим образом:
r
p X
Ai Bi + X
Dj ;!
t
j =1
i=1 B i Ci
diag(A ; : : : ; A ; D ; t D ; : : : ; D ; t D ; 0)
1
1
r
r
;! diag(t B1 ; : : : ; tpB ; D
1
p 1 + t D1 ; : : : ; Dr + t Dr ; 0)
0
<
p
X
i=1
mi +
r
X
j =1
tj 6 m;
B ; : : : ; Bp ; D1 + t D1 ; : : : ; Dr + t Dr ; 0) ;
C ; : : : ; Cp ; D1 ; t D1 ; : : : ; Dr ; t Dr ; 0)
diag( 1
diag( 1
0
<
p
X
i=1
qi +
r
X
j =1
tj 6 q:
Связную подгруппу G групп Ge = SL(l + 1; R); Ge = SL(m; H ), 2m = l + 1; Ge = SU(a; b), a + b =
l + 1, отвечающую подалгебре g в теоремах 1{3 соответственно, будем называть канонически
вложенной в Ge .
2. Алгебра
g-инвариантных
конечномерного модуля
V
V)
эндоморфизмов Endg (
над полупростой вещественной алгеброй Ли
g
Пусть V | конечномерный вещественный модуль над полупростой вещественной алгеброй
Ли g. Тогда V полупрост и, следовательно, допускает однозначное разложение V = V1 Vn
в сумму изотипных компонент Vi , i = 1; : : : ; n, Vi = Vi1 : : : Vimi | разложение на простые подмодули, Vi1 = = Vimi , i = 1; : : : ; n; Vij 6
= Vkl , если i 6= k. Число простых слагаемых mi определяется однозначно и называется длиной изотипной компоненты Vi . По лемме Шура для каждого
простого вещественного g-модуля W алгебра Endg W является телом над R и, следовательно,
43
изоморфна R, C или H . В соответствии с этим W будет называться простым g-модулем типа
R , C или H ; аналогично определяется тип изотипной компоненты. Если V = W1 W2 | сумма
простых g-модулей, то Endg V 6= W2, и Endg V = Mat2 (Endg W1)
= Endg W1 Endg W2 при W1 при W1 = W2 . Исходя из вышесказанного, алгебру g-инвариантных эндоморфизмов Endg V в
случае вещественного полупростого g-модуля V можно описать следующим образом: пусть
V=
r
s
t
M
M
M
Uili Vjmj Wknk
i=1
j =1
l
Ui i , Vjmj ,
| разложение на простые подмодули,
соответственно, li , mj , nk | их длины. Тогда
Wknk
k=1
| изотипные компоненты типа R, C ,
Yr
Ys
Yt
Endg V Mat(li ; R) Mat(mj ; C ) Mat(nk ; H ) :
=
i=1
j =1
H
(1)
k=1
Поскольку в рассматриваемом случае алгебра Ли g полупроста, удобно воспользоваться
хорошо развитой теорией полупростых комплексных алгебр Ли. Комплексную полупростую
алгебру Ли, являющуюся комплексификацией g, и комплексификацию вещественного g-модуля
V будем обозначать соответственно символами gC и V C . Для комплексного g-модуля (или gC модуля) V символом V будем обозначать сопряженный модуль. V совпадает с V как абелева
группа, а закон умножения элементов из V на комплексные числа определяется следующим
образом: c v = cv, v 2 V , c 2 C . Представление, соответствующее модулю V , имеет вид C :
gC ! gl(V ), X 7! (X ), где | представление, соответствующее модулю V , а черта над X
означает сопряжение в gC относительно g. Простые самосопряженные g-модули делятся на два
класса в зависимости от значения индекса Картана "(V ) [5], который может принимать значения
1 или ;1. В этих терминах можно охарактеризовать тип простого вещественного g-модуля V по
его комплексификации V C следующим образом.
Пусть W | простой подмодуль V C . Тогда
(i) V типа R () V C = W () W = W и "(W ) = 1;
C (ii) V типа C () V = W W , W 6= W ;
(iii) V типа H () V C = W W, W = W и "(W ) = ;1.
Простой комплексный g-модуль W будем называть g-модулем типа R, C или H , если W
удовлетворяет условию, подчеркнутому соответственно в (i){(iii).
Подводя итог сказанному в x 2, сформулируем в удобном для нас виде описание алгебры
Endg (V ).
Теорема 4. Пусть g | вещественная алгебра Ли, V | полупростой вещественный gмодуль. Тогда V C также полупрост; его разложение на изотипные компоненты имеет вид
VC =
r
s
t
M
M
M
Uili (Vjmj V mj j ) Wk nk ;
2
i=1
j =1
k=1
где Ui , Vj , Wk | простые попарно неизоморфные комплексные g-модули типа R,
соответственно; справедливо представление (1).
eT (M )
3. Вычисление алгебры EndG
C
и
H
Пусть eg | одна из алгебр sl(l +1; R ), sl(m; H ), su(p; q)T, 2m = p+q = l +1, g | полупростая регулярная подалгебра eg, m | g-инвариантное дополнение к g в eg, рассматриваемое как g-модуль
относительно ad jg . Нас будет интересовать алгебра g-инвариантных эндоморфизмов Endg (m)
e , где Ge | одна
g-модуля m, которая изоморфна алгебре EndGe T (M ) в случае, когда M = G=G
из групп SL(l + 1; R ), SL(m; H ), SU(p; q), а G | связная подгруппа в Ge , отвечающая подалгебре
g. Как вытекает из теоремы 4, алгебру Endg (m) можно вычислить, если знать разложение на
44
простые подмодули комплексного gC -модуля mC . Строение модуля такого типа исследовалось в
[1], [6], при этом использовалось разложение R mod R0 системы корней R алгебры egC по модулю
ее регулярной подсистемы R0 , связанной с алгеброй gC . Пусть в соответствии с x 1
R = f"i ; "j j 1 6 i; j 6 l + 1; i 6= j g;
R есть подсистема типа Al1 + + Alk , отвечающая набору попарно непересекающихся подмножеств T ; : : : ; Tk , jT j = l + 1, множества T = f1; : : : ; l + 1g;
0
1
R = f"i ; "j j i; j 2 T; i 6= j; = 1; kg:
0
k
Числа, принадлежащие множеству T [=1 T , занумеруем индексами k +1; : : : ; k + s и будем считать одноэлементными подмножествами Tk+1 ; : : : ; Tk+s множества T . Получим разбиение мноk+s
жества T : T = [=1 T . Обозначим R = f"i ; "j j i 2 T ; j 2 T ; 6= g, тогда
R mod R = R [
0
0
k[s
+
; =1
R :
Разложение egC как gC -модуля относительно ad jgC описывается следующим образом.
Предложение 2
([1], [6]).
egC = gC h?R 0
k s
X
+
; =1
g ;
где h?R0 | ортогональное дополнение в алгебре Картана
h алгебры egC подалгебры Картана h0
P
C
алгебры g относительно формы Киллинга, g =
g , g | корневое подпространство,
2R
отвечающее корню 2 R(egC ; h). При этом подмодули g просты, а h?r0 тривиален.
Далее, для того чтобы воспользоваться теоремой 4, необходимо знать, какие из простых
подмодулей g изоморфны и каков их тип. Считаем, что наборы индексов T , = 1; : : : ; k + s,
естественно упорядочены, т. е. если < , то для любых i 2 T , j 2 T выполняется условие
i < j . Поскольку каждый подмодуль g есть сумма корневых подпространств, то веса gC -модуля
g являются ограничениями на h0 корней 2 R . Поэтому старший вес !(g ) gC -модуля g
есть "i0 ; "j0 jh0 , где
1) i0 = min T , j0 = max T , если < ;
2) i0 = max T , j0 = min T , если > .
Обозначим через !m m-й фундаментальный вес подалгебры g типа Al из разложения
C
g = g1 gk относительно базиса системы корней R(gC ; h0 ), естественно получающегося
из канонического базиса системы корней R(egC ; h). Тогда для нетривиальных подмодулей g
старшие веса имеют вид
(
!(g ) = ! + !l ; если < ;
! + ! ; если < ; при jT j > 1; jT j > 1;
( l
!(g ) = ! ; если < ;
!l ; если < ; при jT j > 1; jT j = 1:
1
1
1
45
(2)
Отсюда вытекает, что между нетривиальными подмодулями g имеются только следующие
изоморфизмы:
(
g ; если jT j = jT j = 1;
g = g ; если jT j = jT j = 1;
(3)
( g
;
если
j
T
j
=
j
T
j
=
2;
g = g ; если jT j = 2; jT j = jT j = 1:
Для определения типа простого подмодуля g (R, C или H ) необходимо знать конкретный
вид регулярной подалгебры.
Тип A I. eg = sl(n + 1; R ),
g = sl
| (2; R ) {z sl(2; R )} sl(n1 + 1; R) sl(nk + 1; R) p раз
sl| (2; C ) {z sl(2; C )} sl(m + 1; C ) sl(mt + 1; C );
1
q раз
ni ; mj > 1; l = n ; 2p +
k
X
Xt
i=1
j =1
(ni + 1) + 4q + 2
(mi + 1) > 0:
(4)
Подсистема R0 системы корней R в этом случае имеет вид
R = pA +
0
1
k
X
i=1
Ani + q(A + A0 ) +
1
1
Xt
j =1
(Amj + A0mj ):
(5)
Пусть индексы , соответствуют первым двум группам слагаемых в (5) либо один из индексов соответствует первым двум группам слагаемых в (5), другой принадлежит одноэлементному
подмножеству. Тогда подмодуль g самосопряжен и его индекс Картана "(g ) равен единице.
Таким образом, все такие подмодули имеют тип R. Подмодуль g , где один из индексов соответствует третьей или четвертой группе слагаемых в (5), является самосопряженным тогда и
только тогда, когда его старший вес содержит в качестве слагаемых одни и те же старшие веса
для идеалов As и A0s . Из формул (2) вытекает, что это возможно только для подмодулей вида
g и g , соответствует третьей группе слагаемых в (5). В этом случае "(g ) = "(g ) = 1
и, следовательно, отмеченные подмодули имеют тип R. Все остальные подмодули g не являются самосопряженными и, значит, имеют тип C . С учетом изоморфности (3), получим описание
алгебры Endg (m), а следовательно, и алгебры EndGe T (M ).
Теорема 5. Пусть M = SL(n + 1; R )=G и
0
0
0
G = SL(2; R)p Yk
i=1
SL(ni + 1; R) SL(2; C )q Yt
j =1
0
SL(mj + 1; C )
| произвольная связная полупростая регулярная подгруппа группы Ge = SL(n + 1; R ) и выполняется (4) с заменой n на n + 1. Тогда алгебра инвариантных аффиноров на однородном
пространстве M имеет вид
2
2
EndGe T (M ) = Rk ;k+2pk Mat(2; R)1=2(p ;p)+q Mat(l1 ; R) Mat(l; R)2k Mat(2l; R)p C l2 Mat(2; C )q2 ;q+pq Mat(l; C )2t Mat(2l; C )q ;
где
l1 = l2 + p + k + 2(q + t) ; 1; l2 = 2t2 ; t + 2t(p + k) + 2qk + 4tq:
46
Следствие. Однородное пространство M = SL(n +1; R )=G со связной полупростой регулярной подгруппой изотропии G допускает инвариантную структуру указанных ниже типов тогда и
только тогда, когда G сопряжена относительно группы внутренних автоморфизмов SL(n + 1; R)
одной из следующих подгрупп:
(i) для почти комплексной структуры
G = SL(2; R)p Yt
j =1
SL(mj + 1; C ); n ; p четное;
либо G = SL(n1 + 1; R ) Yt
j =1
SL(mj + 1; C ); n1 > 1; n ; n1 четное;
(ii) для почти кватернионной структуры
G = SL(n1 + 1; R); n1 > 1; n ; n1 кратно четырем;
либо G = SL(2; R); n нечетное;
(iii) для почти касательной структуры
G = SL(n1 + 1; R); n1 > 1; n ; n1 четное;
либо G = SL(2; R)p SL(2; C )q ; n ; p четное:
Во всех случаях подгруппа G вложена в SL(n + 1; R ) каноническим образом.
В доказательстве следствия используется
Теорема 6 ([1], п. 10.3.1). Пусть g | вещественная форма полупростой комплексной ал
гебры Ли g и g0 | ее полупростая подалгебра, регулярная относительно подалгебры Картана
h такой, что (h) = h, R0 | регулярная подсистема системы корней R = R(g; h), соответствующая подалгебре g0 . Тогда
a) для того чтобы пара (g; g0 ) допускала почти комплексную структуру, необходимо и
достаточно, чтобы dim g ; dim g0 = 2k и для каждого неодноэлементного класса Ri 2
R mod R0, соответствующего подмодулю g типа R, число [Ri ] эквивалентных ему
классов было четно;
b) для того чтобы пара (g; g0 ) допускала почти кватернионную структуру, необходимо и
достаточно, чтобы dim g ; dim g0 = 4m и для каждого неодноэлементного класса Ri 2 R
mod R0 , соответствующего подмодулю g типа R, число [Ri ] было кратно четырем,
а для каждого класса Ri 2 R mod R0 , соответствующего подмодулю g типа C , число
[Ri ] было четным;
c) для того чтобы пара (g; g0 ) допускала почти касательную структуру, необходимо и
достаточно, чтобы dim g ; dim g0 = 2n и для каждого неодноэлементного класса Ri 2 R
mod R0 число [Ri ] было четным.
Условия теоремы 6 накладывают следующие ограничения на числа p, q, k, t, ni , mj , l:
(i) для C -структуры k2 ; k + 2pk = 0, l1 четное;
(ii) для H -структуры k2 ; k + 2pk = 0, 1=2(p2 ; p) + q = 0, l1 кратно четырем, l2 = 0, l четное;
(iii) для T-структуры k2 ; k + 2pk = 0, l1 четное, l2 = 0, l четное.
Тип A II. eg = sl(m; H ), 2m = n + 1;
g = p sl(1; H ) k
X
i=1
sl(ni ; H ) q sl(2; C ) ni ; mj > 1; l = (n + 1) ; 2 p +
47
k
X
i=1
Xt
sl(mj + 1; C );
j =1
Xt
ni + 2q +
j =1
(mi + 1) > 0:
Подсистема R0 , соответствующая подалгебре g, системы корней R = An имеет в этом случае
вид
R = pA +
0
1
k
X
i=1
A ni ; + q(A + A0 ) +
2
1
1
1
Xt
j =1
(Amj + A0mj ):
(6)
Каждый подмодуль g , где и соответствуют первым двум группам слагаемых в (6),
является самосопряженным, и его индекс Картана равен единице. Таким образом, все такие
подмодули имеют тип R. Каждый подмодуль g , где один из индексов соответствует первой
или второй группе слагаемых в (6), а другой | одноэлементному подмножеству, самосопряжен,
и его индекс Картана равен ;1. Таким образом, все такие подмодули имеют тип H . Подмодуль
g , где один из индексов соответствует третьей или четвертой группе слагаемых в (6), является
самосопряженным тогда и только тогда, когда его старший вес содержит в качестве слагаемых
одни и те же старшие веса для A и A0 . Это возможно только для подмодулей вида g и g , отвечает третьей группе слагаемых в (6). В этом случае указанные подмодули имеют тип R. Все
остальные подмодули g не являются самосопряженными и, значит, имеют тип C . Используя
условия изоморфности (3), получаем описание алгебры Endg (m) = EndGe T (M ).
Теорема 7. Пусть M = SL(m; H )=G, где
0
G = SL(1; H )p Yk
i=1
SL(ni ; H ) SL(2; C )q Yt
j =1
0
SL(mj + 1; C )
| произвольная связная полупростая регулярная подгруппа группы Ge = SL(m; H ). Тогда алгебра
инвариантных аффиноров на однородном пространстве M имеет вид
2
2
EndGe T (M ) = Rk ;k+2pk Mat(2; R)1=2(p ;p)+q Mat(l1 ; R) C l2 Mat(2; C )q2 ;q+pq Mat(l; C )2t Mat(2l; C )q Mat(l=2; H )2k Mat(l; H )p ;
здесь
l1 = l2 + p + q + 2(q + t) ; 1; l2 = 2t2 ; t + 2t(p + k) + 2qk + 4tq:
Следствие. Однородное пространство M = SL(m; H )=G со связной полупростой регулярной
подгруппой изотропии G допускает инвариантную структуру указанных ниже типов тогда и
только тогда, когда G сопряжена относительно группы внутренних автоморфизмов SL(m; H )
одной из следующих подгрупп, вложенных в SL(m; H ) канонически,
(i) для почти комплексной структуры
G = SL(1; H )p либо G = SL(n1 ; H ) Yt
j =1
Yt
j =1
SL(mj + 1; C ); mj > 1; p нечетное;
SL(mj + 1; C ); n1 > 1; mj > 1;
(ii) для почти кватернионной структуры
G = SL(n1; H ); n1 > 1;
(iii) для почти касательной структуры
G = SL(1; H )p SL(2; C )q ; p нечетное,
либо G = SL(n1; H ); n1 > 1; m ; n1 четное:
48
Тип A III. eg = su(a; b), a + b = n + 1;
k
X
g = p su(1; 1) q su(2; 0) i=1
su(ai ; bi ) r sl(2; C ) ai + bi = ni + 1 > 2; l = (n + 1) ; 2p + 2q +
Подсистема R0 в этом случае имеет вид
R = pA + qA +
0
1
1
k
X
i=1
k
X
i=1
j =1
sl(mj + 1; C );
(ai + bi ) + 4r + 2
Ani + r(A + A0 ) +
1
Xt
1
Xt
j =1
Xt
j =1
(mi + 1) > 0:
(Amj + A0mj ):
(7)
Каждый подмодуль g , где и соответствуют первым двум группам слагаемых в (7), причем
и из одной группы, самосопряжен, и его индекс Картана равен единице. Следовательно,
все такие подмодули имеют тип R. Каждый подмодуль g , и соответствуют первым двум
группам слагаемых в (7), причем и из разных групп, самосопряжен, и его индекс Картана
равен ;1. То же самое относится к подмодулям g , где один из индексов соответствует второй
группе слагаемых в (7), а другой | одноэлементному подмножеству. Следовательно, все такие
подмодули имеют тип H . Подмодуль g , где один из индексов соответствует четвертой или
пятой группе слагаемых в (7), является самосопряженным тогда и только тогда, когда его
старший вес содержит в качестве слагаемых одни и те же старшие веса для A и A0 . Это возможно
только для подмодулей вида g и g , соответствует четвертой или пятой группе слагаемых
в (7). Самосопряженные подмодули g и g имеют тип R. Все остальные подмодули g не
являются самосопряженными и, следовательно, имеют тип C . С учетом условий изоморфности
(3) получаем описание алгебры Endg (m) = EndGe T (M ).
Теорема 8. Пусть M = SU(a; b)=G, где
0
0
0
G = SU(1; 1)p SU(2; 0)q Yk
i=1
0
SU(ai ; bi ) SL(2; C )r Yt
j =1
SL(mj + 1; C )
| произвольная связная полупростая регулярная подгруппа группы Ge = SU(a; b). Тогда алгебра
инвариантных аффиноров на однородном пространстве M имеет вид
2
2
EndGe T (M ) = R2t Mat(2; R )1=2(p +q ;p;q)+r Mat(2l; R )p Mat(l1 ; R) C l2 Mat(2; C )r2 ;r+(p+q)r Mat(l; C )k+2t Mat(2l; C )r H pq Mat(l; H )q ;
здесь
l1 = l2 + p + q + k + 2(r + t) ; 1; l2 = 1=2(k2 ; k) + k(p + q + 2r) + 2(t2 ; t) + 2t(p + q + k + 2r):
Следствие. Однородное пространство M = SU(a; b)=G со связной полупростой регулярной
подгруппой изотропии G допускает инвариантную структуру указанных ниже типов тогда и
только тогда, когда G сопряжена относительно группы внутренних автоморфизмов SU(a; b) одной из следующих подгрупп, вложенных в SU(a; b) канонически,
(i) для почти комплексной структуры
G=
Ys
i=1
SU(ai ; bi ) SL(2; C )r ; n ;
s
X
i=1
(ai + b1 ; 1) четно;
(ii) для почти кватернионной структуры
G = SU(a0 ; b0 ); n ; (a0 + b0 ) нечетно;
49
(iii) для почти касательной структуры
G = SU(a0 ; b0 ); a0 + b0 > 2; n ; (a0 + b0 ) нечетно;
либо G = SU(1; 1)p SU(2; C )r ; n ; p четное;
либо G = SU(2; 0)q SU(2; C )r ; n; q нечетные:
Литература
1. Комраков Б.П. Структуры на многообразиях и однородные пространства. { Минск: Наука
и техника, 1978. { 354 с.
2. Дынкин Е.Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли // Матем. сб. { 1952. { T. 30.
{ Є 2. { C. 349{462.
3. Sugiura M. Conjugate classes of Cartan subalgebras in real semi-simple Lie algebras // J. Math.
Soc. Japan. { 1959. { V. 11. { Є 4. { P. 374{434.
4. Carmona J. Les sous-algebres de Cartan reelles et la frontiere d'une orbite ouverte dans une variete
de drapeaux // Manuscr. math. { 1973. { V. 10. { Є 1. { P. 1{33.
5. Iwahori N. On real irreducible representation of Lie algebra // Nagoya Math. J. { 1959. { V. 14. {
P. 59{83.
6. Siebenthal J. de. Sur certains modules dans une algebre de Lie semi-simple // Comment. math.
helv. { 1969. { V. 44. { Є 1. { P. 1{44.
Белорусский государственный
университет
Поступила
02.02.1998
50
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа