close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ гибкости оптимального проекта колонны дебутанизации.

код для вставкиСкачать
УДК 66.048.3
Н. Н. Зиятдинов, Т. В. Лаптева, Н. Ю. Богула
АНАЛИЗ ГИБКОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТА КОЛОННЫ ДЕБУТАНИЗАЦИИ
Ключевые слова: ректификационная колонна, оптимальное проектирование, работоспособность, индекс гибкости, функция
гибкости.
Дается постановка и решение задачи определения индекса гибкости для спроектированной колонны
дебутанизации. Приводятся алгоритмы вычисления индекса гибкости.
Keywords: distillation column, optimal design, performance, flexibility index, flexibility function.
We give a formulation of the designed debutanizer flexibility index calculation problem. We present the algorithms of
flexibility index calculation.
Известно,
что
задачи
проектирования
технологических процессов решаются при наличии
частичной неопределенности исходной внешней и
внутренней информации. Методы теории гибкости,
которые были заложены в 1980-е годы, позволяют
оценить
способность
химико-технологической
системы сохранять работоспособность и найти
оптимальную
конструкцию,
гарантирующую
сохранение
работоспособности,
несмотря
на
изменение внутренних и внешних факторов на этапе
функционирования.
Выделяя
в
жизни
спроектированной системы этапы проектирования и
функционирования,
отметим,
что
на
этапе
функционирования
могут
изменяться
условия
эксплуатации ректификационной колонны.
В [1] было приведено решение задачи
оптимального проектирования ректификационной
колонны для выделения бутановой фракции, с
использованием метода, предложенного в работах [23].
Проведем
оценку
работоспособности
спроектированной колонны. Будем предполагать, что
изменения условий эксплуатации происходят в виде
изменения
состава
сырья.
Тогда,
в
число
неопределенных параметров  i войдут массовые доли
н-бутана ( i  1), н-пентана ( i  2 ), н-гексана ( i  3 ),
т.е. размерность вектора неопределенных параметров
n  3 .
Тогда
определим
вид
области
неопределенности как:
nθ
T(δ )  {θ i :θ iL  θ iN  θ iU ,i  1,...,n θ , θ i  1}
i 1
где 1N  0,35 ,  2N  0,3 ,  3N  0,35 взяты из
характеристик состава сырья задачи проектирования
[1].
Параметры
 iL   iN   iL , iU   iN   iU ,
i  1,..., n , с учетом условия нормирования состава
n

i
1
определяют
размер
области
i 1
неопределенности.
Для
оценки
работоспособности
ректификационной колонны будем использовать
подход, основанный на вычислении индекса гибкости
спроектированной
колонны.
Оптимальные
конструктивные
параметры
ректификационной
148
колонны, найденные при решении задачи
проектирования включают: число и диаметр тарелок
в укрепляющей m1, d1 и исчерпывающей секциях
m 2 , d 2 колонны; межтарельчатое расстояние htray ;
размеры поверхностей теплообмена конденсатора
Scond
и ребойлера S rebr . Введем вектор
конструктивных
параметров
колонны
v  {m1 , m 2 , d 1 , d 2 , htray , S cond , S rebr } .
При оценке работоспособности колонны
необходимо
определить
требования
на
функционирование ректификационной колонны,
которые не должны нарушаться на этапе
эксплуатации. В число таких требований входят
ограничения:
на качество целевого продукта:
xCC4H
4
10
 0,98 ,
на коэффициент захлебывания в колонне:
k flood  0,82 ,
на максимальную тепловую нагрузку
конденсатора и кипятильника:
max
Qcond  Qcond
,
(3)
max
Qrebr  Qrebr
,
(4)
max
Qcond
max
В ограничениях (3), (4)
, Qrebr
–
предельные тепловые нагрузки для конденсатора и
кипятильника, значения
которых найдены в
результате
решения
задачи
оптимального
проектирования колонны дебутанизации.
Задача определения индекса гибкости
заключается в нахождении такого размера области
  { iL ,  iU , i  1,...,3} ,
неопределенности
при
котором
ректификационная
колонна,
характеризуемая конструктивными параметрами v ,
остается работоспособной, то есть на всей области
неопределенности T ( ) выполняется требование
гибкости:
max min max  j (v , u, )  0 ,
 T ( ) u
где j  1,...,4
j 1,...,4
– номера ограничений  j (v , u, ) ,
представленных неравенствами (1) – (4); u – режим
работы колонны, определяется флегмовым числом
R и температурой Trebr в кипятильнике колонны,
u  {R ,Trebr } .
Тогда задача определения индекса гибкости
ректификационной колонны примет вид:
F (v )  max
L U
3
 ( iL   iU ) ,
 i , i i 1
max min max  j (v , u, )  0 ,
 T ( ) u
j 1,...,4
где T ( )  { i :  iL   iN   iU , i  1,..., n ,
n

i
 1}
метода задача (9) будет заменяться на нижнюю
оценку решаемой задачи. Для ее формирования
заменим непрерывные области Tl k дискретными
(5)
множествами Slk . В [5] показано, задача нижней
(6)
оценки задачи (9) имеет вид:
L,U ,k

(v )  min
w
l
u ,w
–
 j (v , u , l )  w ,  l jq  S lk , l  1,..., Lk ,
i 1
область неопределенности.
Задача (5) представляет собой задачу
многоэкстремальной
недифференцируемой
оптимизации, поскольку ограничение (6) является
недифференцируемой многоэкстремальной функцией.
Для решения задачи (5) будем использовать
двухуровневый подход, где на верхнем уровне будет
проводиться изменение поисковых переменных
 iL ,  iU , i  1,...,3 , а на нижнем уровне будет
вычисляться
значение
функции
гибкости
 (v )  max min max  j (v ,u, )
 T ( ) u
j  1,...,4
Тогда задача (5) примет вид:
3
F(v)  max
L U
δi ,δi
 (v )  0 .
 (δ
L
i
 δ Ui )
i1
Для решения задачи (7) на верхнем уровне
можно использовать любой поисковый метод, в том
числе метод сканирования.
Рассмотрим более подробно вычисление
значения функции гибкости, проводимое на нижнем
уровне.
Вычисление
функции
гибкости
(6)
представляет собой задачу многоэкстремальной
недифференцируемой оптимизации, для решения
которой неприменимы методы решения задач
нелинейного программирования. Поэтому будем
использовать для нахождения значения функции  (v )
метод разбиения и границ, предложенный в [4, 5].
Метод разбиения и границ представляет собой
двухуровневую итерационную процедуру, которая
основывается на разбиении области неопределенности
на подобласти, а также на вычислении верхней и
нижней оценок на полученном разбиении.
Верхняя оценка, предложенная в [4, 5], для
данной задачи на k -ом шаге метода примет вид:
χ U,k (v)  min
w
l
u ,w
max
ψ j (v,u l ,θ )  w , l  1,..., Lk , j  1,...,4 ,
k
где Tl
j  1,...,4 , q  1,...,Qlk ,
где
есть подобласть, принадлежащая разбиению
Lk
T ( )  Tl k , полученному к k -му шагу метода,
l 1
n
Tl k  { i :  iL,l ,k   iN   iU ,l ,k , i  1,..., n ,   i  1}
i 1
. В [5] показано, что  (v )   U ,k (v ) .
Задача (9) является задачей полубесконечного
программирования, для ее решения будем применять
метод внешней аппроксимации. На каждой итерации
149
Qlk
–
 l jq  { i :
число
n

i
точек
в
Slk ,
множестве
 1} .
i 1
Рассмотрим построение множества Slk .
Пусть {u *,w *} есть решение задачи (10). Тогда
множество
Slk  { l jq :  j (v , u l , l jq )  w *} . Точки
 l jq будем называть критическими точками.
Алгоритм вычисления верхней оценки на
k -ом шаге метода имеет следующий вид [5].
Алгоритм 1.
(7)
Шаг 1. Задание стартовых значений: номер
r 1,
итерации
разбиение
области
(8)
k
неопределенности
Tl ;
Rl   ;
S l0   ,
l  1,..., Lk ; u lr , w 0 . k – номер итерации внешнего
метода разбиения и границ.
Шаг 2. Построение множеств
Rl ,
l  1,..., Lk , критических точек решением 4Lk задач:
lj  maxk  j (v , u lr 1, ) ,
l  1,..., Lk ,
 Ti
j  1,...,4 .
В результате получаем решение {lj ; i j } .
Если lj  w r 1  0 , l  1,..., Lk , j  1,...,4 ,
то
соответствующая
точка
lj
заносится
в
множество Rl .
Шаг 3. Если множество
Lk
 R l   , то
l 1
переходим на шаг 1, иначе
Шаг 4. Построение множеств S lk
правилу
{
θTi
k
jq
l
LU ,r
S lk

S lk 1
 R l , l  1,..., Lk .
Шаг 5. Решение задачи
, u lr } – решение задачи (10).
по
(9)
(10).
Пусть
Присвоение w r   LU ,r (v ) .
Шаг 6. r  r  1 . Перейти на шаг 2.
Шаг 7. Построить множество номеров
областей V k , в которых присутствуют активные
ограничения V k  {l : j ( j  1,...,4) : lj  w r 1  0} .
В работе [5] показано, что итерационная
процедура алгоритма действительно сходится к
верхней оценки функции гибкости  U (v ) .
В качестве нижней оценки функции гибкости
используется решение задачи:
 L,k (v )  min
w
ql
u ,w
q
q
 j (v , u , )  w
 q  S k , j  1,...,4 , q  1,...,Qlk ,
где
Sk
– множество точек
n
 q  { i :   i  1} ,
Gk
–
количество
 q  T ( ) ,
точек
в
i 1
множестве S k . В [5] показано, что  (v )   L,k (v ) .
Поскольку множество S k содержит конечное
количество точек  , задача (11) является обычной
задачей нелинейного программирования, для ее
решения
можно
использовать
хорошо
зарекомендовавшие
себя
методы
нелинейной
оптимизации, например, метод последовательного
квадратичного программирования.
Для реализации алгоритма разбиения и границ
используется разбиение области неопределенности на
подобласти. Разбиению подвергаются не все
подобласти. На k -ом шаге выбираются для разбиения
такие подобласти Tl k для которых на последней
итерации алгоритма вычисления верхней оценки хотя
бы одно ограничение  j (v , u lr , ) стало активным. То
есть, подобласть подвергается дроблению,
выполняется следующее условие:
j  J maxk ψ j (v,ulr ,θ )  w r
если
θTi
где u lr , w r – решение задачи (9), полученное на шаге 5
алгоритма вычисления верхней оценки.
Разбиение областей, для которых условие (6)
выполняется, приведёт, вообще говоря, к удалению
соответствующих активных ограничений, что в свою
очередь улучшит значение верхней оценки функции
гибкости.
Поскольку при вычислении индекса гибкости
нас интересует допустимость имеющейся конструкции
на рассматриваемой на каждом шаге области
неопределенности, то точное значение функции
гибкости нас не интересует. Поэтому в качестве
критерия окончания итерационной процедуры метода
разбиения и границ при вычислении значения функции
гибкости можно использовать выполнение одного из
следующих условий:
 L,k (v )  0 ,
 U ,k (v )  0
Выполнение условия (13) означает, что
найдена такая точка  , для которой невозможно
подобрать управление u , чтобы нижняя оценка
функции гибкости была неположительной. Поскольку
верно  (v )   L (v ) , значение самой функции
гибкости будет заведомо неотрицательным и
v
будет
рассматриваемая
конструкция
неработоспособной на рассматриваемой области
неопределенности T ( ) .
150
При выполнении условия (14), поскольку
 (v )   U ,k (v ) ,
конструкция
v
является
(11)
работоспособной на рассматриваемой области
неопределенности T ( ) .
Алгоритм метода разбиения и границ
примет следующий вид.
Алгоритм 2.
Шаг 1. Положим
k  1 . Выбираем
начальное разбиение области T ( ) на подобласти
Tl , начальные значения u l0 , w 0 , l  1,..., Lk , малые
величины  1  0 ,  2  0 .
Шаг 2. Вычисление верхней оценки
функции гибкости, решением задачи (9), используя
алгоритм 3.1. Пусть {χ LU,r ;u lr } – решение этой
задачи, V k – множество активных областей на
последней итерации алгоритма 3.1.
Шаг 3. Вычисление нижней оценки
функции гибкости, решением задачи (13). В
качестве множества точек S k используется набор
критических точек, полученных при решении задачи
вычисления верхней оценки функции гибкости.
Lk
S l k   S lk , G k 
l 1
Lk
Q
k
l
.
l 1
Шаг 4. Если выполняется одно из условий
(13), (14), то решение найдено. При выполнении
условия (13)  (v )   L,k (v ) , при выполнении
условия (14)  (v )   U ,k (v ) . Останов.
(12)
Если условия (13), (14) не выполняются, то
проверить условие:
 U ,k (v )   L,k (v )  1 .
Если условие (15) выполняется, то решение
найдено,  (v )   U ,k (v ) , останов.
Шаг 5. Если выполняется условие:
r (Tl k )   2 , l  1,..., Lk , Tl k  V k
то значение  (v )   U ,k (v ) , останов. В противном
случае, заносим область, для которой нарушается
условие (16), в W k .
Шаг 6. Если выполняется условие W k   ,
то  (v )   U ,k (v ) , останов.
Шаг 7. Разбиение подобластей. Разбить
(13)
каждую подобласть Tl k  W k на две подобласти
так,
что
Tl k  Ti 1k  Ti k2
.
Образовать (14)
новое
множество подобластей T k 1 из старого множества
T k , заменяя подобласть Tl k новыми подобластями
Ti 1k и Ti k2 .
Шаг 8. Положить k  k  1 и перейти к
шагу 2.
На шаге 7 подобласть Tl k  W k , l  1,..., Lk
разбивается
на
две
подобласти
Ti 1k
и
Ti k2 :
Ti 1k  { :   Tl k , s  c s } ,
Ti k2  { :   Tl k ,  s  cs } ,
где  s – переменная разбиения, c s – точка разбиения.
Верхний уровень алгоритма решения задачи
(15)
заключается
в
определении
предельно
допустимых
значений
переменных
 iL,max ,  iU ,max , i  1,...,3, , задающих размер области
неопределенности
n
T ( )  { i :  iL   iL,max   iN   iU   iU ,max , i  1,..., n ,   i  1} , на
i 1
которой
спроектированная
колонна
остается
работоспособной. Определение значений параметров
 iL,max ,  iU ,max , i  1,...,3,
проводилось
последовательным увеличением значений параметров
 iL ,  iU , i  1,...,3,
на
постоянную
величину.
Использование градиентных методов на верхнем
уровне алгоритма решения задачи невозможно в силу
недифференцируемости ограничения (11) на функцию
гибкости.
Результаты
В результате решения задачи вычисления
индекса гибкости были выявлены индивидуальные
диапазоны изменения неопределенных параметров,
представленные в таблице 1. В то же время, решение
задачи
показало,
что
итоговая
область
работоспособности формируется из индивидуальных
диапазонов по следующему правилу
Таблица
1 –
Индивидуальные диапазоны
изменения неопределенных параметров
Неопределенный
 iN   iL,max  iN   iU ,max
параметр
Массовая доля н-бутана
0,11
0,87
Массовая доля н-пентана
0,05
0,75
Массовая доля н-гексана
0,05
0,65
Правые
границы
индивидуальных
диапазонов на массовые доли н-бутана и н-пентана
были определены нарушением ограничения (4) на
фактор захлебывания в колонне, т.е. при
превышении указанных правых границ области
неопределенности было выявлено захлебывание в
колонне.
Левые
границы
индивидуальных
диапазонов на массовые доли н-бутана и н-пентана
были определены также нарушением ограничения
(4) на фактор захлебывания в колонне, т.е. при
нарушении указанных левых границ области
неопределенности были выявлены сухие тарелки в
колонне.
Литература
1. Н.Н. Зиятдинов. Н.Ю. Богула, Т.В. Лаптева, Г.М.
Островский, Вестник Казанского технологического
университета, 5, 118-123 (2011).
2. Г.М. Островский, Н.Н. Зиятдинов, Т.В. Лаптева, Н.Ю.
Богула, Доклады Академии Наук, 431, 6, 768-771
(2010).
3. Г.М. Островский, Н. Н. Зиятдинов, Т. В. Лаптева,
Н.Ю. Богула, Теоретические основы химической
технологии, 45, 1, 88-97 (2010).
4. Г.М. Островский, Н.Н. Зиятдинов, Т.В. Лаптева.
Оптимизация технических систем, КНОРУС, Москва,
2012. 432 с.
5. Первухин И.Д. Автореф. дисс. канд. тех. наук, КГТУ,
Казань, 2011.
_____________________________________________________________________________
© Н. Н. Зиятдинов – д-р техн. наук, проф., зав. каф. системотехники КНИТУ, nnziat@yandex.ru; Т. В. Лаптева - канд. техн.
наук, доц. той же кафедры; Н. Ю. Богула - канд. техн. наук, асс. той же кафедры, nellybog@gmail.com.
151
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
248 Кб
Теги
анализа, оптимальное, дебутанизации, проект, колонна, гибкости
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа