close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ двухфазной задачи Стефана для процесса перемещения криобота.

код для вставкиСкачать
Анализ двухфазной задачи Стефана
для процесса перемещения криобота
Г.В. Парфенова, Е.Н. Чумаченко
Кафедра Математического Моделирования
Московский государственный институт электроники и математики
anilag59@mail.ru
При исследовании объектов, закрытых большой массой льда, используются
специализированные зонд-роботы глубоколедного проникновения - криоботы. В
настоящее время с помощью подобного рода аппаратов планируется изучение
спутника Юпитера – Европы. Поверхность рассматриваемого спутника представляет
большой интерес, так как под ледяной коркой предположительно находится океан
жидкой воды глубиной около 100 км, создающий условия, подходящие для жизни.
Учёные, предполагая существование на Европе органической жизни, исходят из
того, что на этом спутнике Юпитера наличествуют все условия, необходимые для её
зарождения, а именно - наличие воды в жидком состоянии, мощный источник
энергии (гравитация Юпитера) и органические химические соединения. Если жизнь
там действительно существует, то, скорее всего, это организмы, сходные с теми, что
обитают в гидротермальных источниках на дне земных океанов.
Передвижение криобота осуществляется за счет нагрева и расплавления льда
непосредственно перед носовой его частью. Образующаяся жидкость обтекает
устройство и вновь замерзает позади него. Под действием силы тяжести зонд-робот
продвигается вниз.
Рассмотрим процесс перемещения криобота более подробно.
Имеется игла, в которой поддерживается постоянная температура в нижней
части, благодаря источнику тепла. В верхней части криобота температура меньше,
чем температура источника тепла.
Данная модель распадается на 3 ключевых момента:
1.
Процесс взаимодействия нагретого криобота и льда (протаивание).
- 232 -
Игла соприкасается со льдом. Под действием тепла криобота лед начинает
таять, образуется тонкий слой талой воды и игла опускается, вытесняя талую воду
наверх.
2.
Процесс замерзания талой воды.
Наверху скапливается слой воды и самая удалённая от криобота точка
(прослойка) воды претерпевает теплообмен со льдом ("слив" тепла в окружающую
среду). Тем самым происходит замораживание воды.
3.
Движения криобота до подповерхностного океана и границы нового
льда.
За основу идеи построения математической модели перемещения криобота
взят циклический процесс 1-2.
Так как лед то оттаивает, то замерзает можно рассматривать фазовые
превращения с участием твердой фазы: твердое тело - жидкость. Двухфазная
задача Стефана характеризуется тем, что исследуются процессы в обеих фазах.
Фазовый переход происходит при заданной постоянной температуре фазового
перехода T*.
- 233 -
Пусть фазовый переход происходит на границе раздела фаз, которую
обозначим S, причем S=S(t). Эта граница разделяет расчетную область Ω на две
подобласти. Область Ω + (t ) = {x, y ∈ Ω, T ( x, y , t ) > T * } занята жидкой фазой, где
температура превышает температуру фазового перехода. Соответственно, область
Ω − (t ) = {x, y ∈ Ω, T ( x, y, t ) < T * } занята твердой фазой.
Выпишем соответствующие уравнения теплопроводности для случая,
представленного на Рис.2 б). В твердой фазе имеем:
∂T −
с ρ
= div (k − ⋅ gradT − ) + f − , ( x, y, t ) ∈ Q −
∂t
−
−
(1)
где Q − = {( x, y, t ) | x, y ∈ Ω − , 0 < t < t max }, k – коэффициент теплопроводности, с удельная теплоемкость, f определяет мощность внутренних источников и стоков
теплоты, - плотность среды [1]. Учитывая конвективный перенос в жидкой фазе,
получим:
⎞
⎛ ∂T +
с ρ ⎜⎜
+ vgradT + ⎟⎟ = div(k + ⋅ gradT + ) + f + , ( x, y, t ) ∈ Q +
(2)
⎠
⎝ ∂t
Фазовый переход сопровождается выделением (поглощением) определенного
количества тепла, поэтому тепловой поток на границе фазового перехода
определяется величиной
⎡ ∂T ⎤
(3)
⎢k ∂n ⎥ = − LVn , ( x, y ) ∈ S
⎣
⎦
Здесь L- энтальпия фазового перехода, а - скорость движения границы
фазового перехода по нормали. Как уже отмечалось, предполагается, что фазовый
переход происходит при постоянной температуре T*. Поэтому сама граница
фазового перехода S определяется на каждый момент времени следующим
образом: S = S (t ) = {x, y ∈ Ω, T ( x, y, t ) = T * } или, в другой форме, на границе
фазового перехода выполнены условия первого рода:
T ( x, y, t ) = T * , ( x, y ) ∈ S (t )
(4)
Условия (3)-(4) есть условия Стефана, которые являются связующими
условиями между уравнениями 2-х сред [1].
Для завершения постановки задачи Стефана для процесса перемещения
криобота в ледяной структуре необходимо задать начальное распределение
температур и начальные граничные условия:
+
+
⎧ T ( x, y,0) = T0 ( x, y )
⎪
⎪ ∂T = 0,
⎪ ∂n S 3
⎪
⎪⎪ ∂T
=0
⎨ ∂n S 4
⎪
0
⎪ T S 1 = T1 ,
⎪
0
⎪ T S 2 = T2 ,
⎪
0
⎪⎩ T S 5 = T5 .
- 234 -
Численные методы решения задач теплопроводности для сложных тел и
систем тел являются в настоящее время наиболее эффективными. Данную задачу
предполагается решать методом конечных элементов [2]. В процессе движения
криобота нам необходимо рассчитать температурные поля в его окрестности, время
плавления-затвердевания ледяной структуры соответствующую скорость
перемещения криобота.
Список литературы:
1. А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич « Вычислительная теплопередача»
2. Л. Сегерлинд «Применение метода конечных элементов».
- 235 -
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
278 Кб
Теги
анализа, перемещении, криобота, процесс, двухфазная, задачи, стефана
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа