close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ динамики численностей конкурирующих видов с периодически изменяющимися характеристиками процессов.

код для вставкиСкачать
 ќћѕ№ё“≈–Ќџ≈
Ќј” »
”ƒ 517.9
јЌјЋ»« ƒ»Ќјћ» »
„»—Ћ≈ЌЌќ—“≈…
ќЌ ”–»–”ёў»’ ¬»ƒќ¬
— ѕ≈–»ќƒ»„≈— »
»«ћ≈Ќяёў»ћ»—я
’ј–ј “≈–»—“» јћ»
ѕ–ќ÷≈——ќ¬
ƒ» ј–≈¬ ¬. ј., яЋќ¬≈√ј ». √.
ѕроводитс¤ численный анализ и моделирование динамики численностей двух конкурирующих попул¤ций при периодически измен¤ющихс¤ характеристиках процесса. ѕроизведенный численный анализ дает
представление о том, как измен¤ютс¤ численности
конкурирующих попул¤ций при периодическом изменении факторов, вли¤ющих на характеристики процессов рождени¤ и гибели каждой из них.
1. ¬ведение
Ѕиологические сообщества состо¤т из нескольких
попул¤ций биологических видов, живущих в общей среде. »зучение взаимодействи¤ конкурирующих видов, сосуществующих в общей среде,
¤вл¤етс¤ одной из основных задач биологии. ќбычно индивидуумы этих сообществ оспаривают одну
и ту же пищу или же одни виды живут за счет
других, которыми они питаютс¤. ќни могут также
взаимно оказывать друг другу помощь. лассический детерминистский анализ многих проблем между видами провели в начале ’’ века Ћотка и
¬ольтерра. ћатематический подход опираетс¤ на
изучение решений некоторых дифференциальных
или интегродифференциальных уравнений, поведение которых нужно детально исследовать либо
количественно, либо, чаще, только качественно.
Ќа биологическую систему, состо¤щую из нескольких различных попул¤ций, вли¤ют различные факторы. “ак, в каждой отдельной попул¤ции изменение
ее внутренних свойств влечет колебание ее численности. ѕри этом большое вли¤ние оказывает среда
обитани¤, свойства которой могут измен¤тьс¤ детерминировано или случайно. —уществуют также периодически мен¤ющиес¤ услови¤ среды, завис¤щие от
времени и причины внутреннего характера со своими
периодами, не завис¤щими от внешних причин или
дополн¤ющими их [1-3]. “акими причинами могут
быть, например, инфекционные болезни, которые
часто имеют периодический характер, не завис¤щий
от изменений условий среды. ¬нешние причины
возникают вследствие физических ¤влений, измен¤ющих свойства среды, внутренние ? завис¤т от
питани¤ и изменчивости сосуществующих особей.
96
÷елью данной работы ¤вл¤етс¤ рассмотрение процессов размножени¤ и гибели двух конкурирующих попул¤ций с различными периодически измен¤ющимис¤ характеристиками дл¤ вы¤влени¤ закономерности поведени¤ процессов.
¬ работе привод¤тс¤ результаты численного моделировани¤ процессов роста и гибели двух конкурирующих попул¤ций, сосуществующих в общей
среде. ѕроведенный анализ дает представление о
том, как измен¤ютс¤ численности конкурирующих
попул¤ций при периодическом изменении факторов, вли¤ющих на характеристики процессов рождени¤ и гибели каждой из них. ѕолучены данные
о промежутке времени, начина¤ с которого соотношени¤ численностей видов на последующих
периодах сохран¤ютс¤.
2. ѕостановка задачи
–ассмотрим модели роста двух видов, борющихс¤
за одну и ту же пищу. ƒл¤ того чтобы охарактеризовать единственным числом некоторую попул¤цию, обитающую в ограниченной области, сделаем
допущение, что индивидуумы каждого вида однородны (пренебрега¤ возрастом и размерами). Ѕудем
также считать, что тип индивидуума не мен¤етс¤ со
временем. ¬место разрывных целочисленных функций, представл¤ющих численность индивидуумов, рассматриваем дифференцируемые функции,
имеющие в каждый момент времени ту же целую
часть, что и разрывные.
–ассмотрим рост двух конкурирующих видов N 1
и N 2 , потребл¤ющих одну и ту же пищу. ѕусть
n 1 ( t ) и n 2 ( t ) ? численности индивидуумов в попул¤ци¤х видов N 1 и N 2 соответственно в момент t.
—истема дифференциальных уравнений, описывающа¤ данный процесс, имеет вид [1]:
dn 1 t
=( E1 f 1 ( n 1 , n 2 )) n 1 (t);
dt
(1)
dn 2 t
=( E 2 f 2 ( n 1 , n 2 )) n 2 (t).
dt
«десь положительные посто¤нные E1 и E 2 ¤вл¤ютс¤ интенсивност¤ми рождени¤, функции f1 и f 2 ?
скорост¤ми гибели видов N 1 и N 2 соответственно;
f1 и f 2 ¤вл¤ютс¤ строго возрастающими функци¤ми аргументов n 1 , n 2 , равными нулю при
n 1 = n 2 =0. Ёти функции учитывают вли¤ние окружающей среды, и их значени¤ фиксируют количество потребленной пищи или зан¤того пространства существующими индивидуумами в момент t.
Ѕудем рассматривать величины f 1 и f 2 как линейные функции размеров обеих попул¤ций [1,2]:
P i1n 1 P i 2 n 2 , i 1,2 .
(2)
»звестно [1], что уравнени¤ (1) имеют стационарfi
dn 1 t
dn 2 t
0 и
dt
dt
равновеси¤ [1] имеет координаты
ные решени¤ при
0 . “очка
І E P E 2 P12
E P E1P 21 Ј
ЄЄ
A, B { ®® 1 22
, 2 11
© P11P 22 P12 P 21 P11P 22 P12 P 21 є
(3)
–», 2004, є 3
при условии, что P11P 22 z P12 P 21 . «десь точка
равновеси¤ означает, что кривые роста попул¤ций
с течением времени попадают в эту точку и по
достижении станов¤тс¤ посто¤нными, т. е. численности в дальнейшем не измен¤ютс¤. –авновесие
¤вл¤етс¤ устойчивым при P11P 22 ! P12 P 21 . ≈сли же
P11P 22 P12 P 21 , то равновесие будет неустойчивым и точка n 1 , n 2 в конце концов переместитс¤
в зависимости от начальных условий на одну из
осей n 1 или n 2 .
— течением времени возможно изменение значений E1 , E 2 , P11 , P 22 , P12 , P 21 . »зменение этих
характеристик может иметь периодический характер и значительно вли¤ть на поведение процесса в
целом.
3. „исленный анализ процесса рождени¤ и гибели
двух конкурирующих попул¤ций при различных
периодически мен¤ющихс¤ характеристиках
»зучим поведение процесса рождени¤ и гибели
двух конкурирующих попул¤ций при воздействии
факторов периодического характера. –ассмотрим
период T=20, состо¤щий из 4 промежутков ѕ=5.
¬еличины ѕ ¤вл¤ютс¤ промежутками посто¤нства
характеристик процесса E1 , E 2 , P11 , P 22 , P12 , P 21 .
«аметим, что значени¤ характеристик выбраны так,
чтобы во врем¤ первого периода, т. е. за временной
промежуток 20, ни один из видов не погиб.
«апишем систему уравнений (1) в виде:
dn 1 t
= E1 n 1 (t) P11n 1 2 (t) P12 n 1 (t) n 2 (t);
dt
dn 2 t
= E 2 n 2 (t) P 22 n 2 2 (t) P 21 n 1 (t) n 2 (t). (4)
dt
«ададим численно значени¤ P11 , P 22 , P12 , P 21 , такие, чтобы выполн¤лось условие P11P 22 ! P12 P 21 .
ѕредполагаетс¤, что численности попул¤ций в
начальный момент времени равны и достаточно
велики, и с помощью соответствующей нормировки их можно считать равными единице.
–ассмотрим процессы рождени¤ и гибели двух
конкурирующих попул¤ций при условии периодически измен¤ющихс¤ характеристик. ѕриведем
численный пример такого процесса. Ќачальные
услови¤ n 1 (0) 1 , n 2 (0) 1 . ѕериод “=20 состоит
из следующих промежутков посто¤нства: на промежутке
ѕ1
значе ни¤
E1 = E 2 =1 ,
P11 0,025, P 22 0,02, P12 0,001, P 21 0,02 , на промеж утке
ѕ2
зн ачени ¤
E1 = E 2 =1 ,
P11 0,04, P 22 0,015, P12 0,001, P 21 0,02 ,
на
промежутке ѕ 3 значени¤ E1 =1,2, E 2 =1,
P11 0,04, P 22 0,015, P12 0,001, P 21 0,03 , на промеж утке ѕ 4 зн ачени ¤ E1 =1, E 2 =1 ,45,
P11 0,03, P 22 0,015, P12 0,002, P 21 0,03 .
–», 2004, є 3
¬оспользуемс¤ пакетом ЂMATHEMATICAї дл¤
решени¤ задачи численными методами и построени¤ графиков зависимости. ѕокажем на графиках
изменение численностей попул¤ций от времени.
√рафики зависимости численности попул¤ций от
времени на каждом промежутке посто¤нства ѕi
(i=1,2,3,4) за врем¤ первого периода T представлены на рис.1-4 (жирна¤ крива¤ на графиках ? вид
N 1 , тонка¤ ? вид N 2 ).
Ќа рис. 1-4 представлены графики роста попул¤ций
N 1 и N 2 за врем¤ первого периода “.
n11n2
35
30
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
t
–ис. 1. √рафик роста попул¤ций N 1 и N 2
на промежутке ѕ1
n1,n2
35
30
25
20
15
10
5
t
6
9
7
8
10
–ис. 2. √рафик роста попул¤ций N 1 и N 2
на промежутке ѕ2
n2,n2
35
30
25
20
15
10
5
t
11
12 13
14
15
–ис. 3. √рафик роста попул¤ций N 1 и N 2
на промежутке ѕ3
n1,n2
35
30
25
20
15
10
5
16
17
18
19
t
20
–ис. 4. √рафик роста попул¤ций N 1 и N 2
на промежутке ѕ4
„исленными методами были получены и зафиксированы следующие значени¤ численностей попул¤ций на концах промежутков посто¤нства: n1(5)=31,3,
97
n2(5)=18,2, n1(10)=24,6, n2(10)=31,6, n1(15)=29,9,
n2(15)=14,2, n1(20)=31,8, n2(20)=30,6. ѕроследим за
поведением процесса во врем¤ второго периода, т. е.
за промежуток времени 20-40. —равним значени¤
численностей попул¤ций на концах промежутков
посто¤нства первого и второго периода. √рафики
зависимости численностей попул¤ций от времени на
промежутках посто¤нства ѕi (i=1,2,3,4) второго
периода T представлены на рис. 5-7 (жирна¤ крива¤
на графиках ? вид N 1 , тонка¤ ? вид N 2 ).
n 1,n 2
40
35
30
25
20
15
10
5
јналогичные расчеты были проведены дл¤ р¤да
других примеров процессов рождени¤ и гибели
двух конкурирующих попул¤ций при услови¤х
периода “=20 и четырех промежутков посто¤нства
с различными численными значени¤ми характеристик на них. јнализ произведенных расчетов приводит к тому же выводу: начина¤ со второго
периода, соотношени¤ численностей видов на концах промежутков посто¤нства последующих периодов сохран¤ютс¤.
4. ¬ыводы
21
22
23
24
25
t
–ис. 5. √рафик роста попул¤ций N 1 и N 2
на промежутке ѕ1
n 1,n 2
40
35
30
25
20
15
10
5
26
27
28
29
30
t
–ис. 6. √рафик роста попул¤ций N 1 и N 2
на промежутке ѕ2
»з рис. 6 видно, что уже на втором промежутке
второго периода характер поведени¤ процесса с
незначительными изменени¤ми повтор¤ет характер поведени¤ на втором промежутке первого
периода, но значени¤ на концах еще не совпадают.
n 1,n 2
35
30
25
20
15
10
5
31
32
33
34
35
t
–ис. 7. √рафик роста попул¤ций N 1 и N 2
на промежутке ѕ3
Ќа рис. 5?7 представлены графики поведени¤
процесса рождени¤ и гибели двух конкурирующих
попул¤ций на первых трех промежутках посто¤нства второго периода “. √рафики поведени¤ процесса на данных промежутках второго периода отличаютс¤ от соответствующих графиков первого периода. «аметим, что на конце третьего промежутка
второго периода значени¤ численностей попул¤ций
совпадают со значени¤ми на конце третьего промежутка первого периода. √рафик поведени¤ процесса
на четвертом промежутке второго периода полностью совпадает с графиком на четвертом промежутке
первого периода. »з проведенных расчетов видно,
98
что, начина¤ со второго периода, соотношени¤
численностей видов на концах промежутков посто¤нства последующих периодов сохран¤ютс¤.
ѕроведенный в работе численный анализ предполагал наличие в общей среде двух конкурирующих
попул¤ций и определенным образом выбранного
периода изменени¤ характеристик. јналогично может быть проведен численный анализ дл¤ трех
конкурирующих попул¤ций и измененного периода.
Ќаучна¤ новизна: в работе впервые проведен численный анализ соотношений численностей двух
конкурирующих попул¤ций, претендующих на
одни и те же источники питани¤. Ќайдена динамика изменени¤ численности видов в зависимости от
изменени¤ определ¤ющих процесс характеристик.
¬ частности, решена задача о соотношении численностей попул¤ций при периодически измен¤ющихс¤ характеристиках процесса.
ѕрактическа¤ значимость: на практике часто приходитс¤ сталкиватьс¤ с ситуаци¤ми, подобными
той, что рассмотрена в данной работе, поскольку
изменени¤, происход¤щие в окружающей среде,
часто нос¤т периодический характер. “аким образом, результаты, полученные в работе, нос¤т прикладной характер и могут быть использованы при
оценке возможных версий роста численностей конкурирующих попул¤ций.
—равнение с аналогами: исследовани¤ в данной
области в основном сводились к рассмотрению
конкретных моделей и исследованию процесса во
времени. ¬ представленной же работе показано, как
вли¤ют на процессы рождени¤ и гибели двух
конкурирующих попул¤ций периодические изменени¤ характеристик, определ¤ющих процесс, какие при этом наблюдаютс¤ закономерности в
эволюции численности попул¤ций.
ѕредставл¤ет интерес изучить проблему размножени¤ и гибели конкурирующих попул¤ций с периодическими изменени¤ми характеристик веро¤тностными методами.
Ћитература: 1. Ѕейли Ќ. ћатематика в биологии и
медицине. ћ.: ћир, 1970. 326 с. 2. Ѕаруча-–ид ј. “.
Ёлементы теории марковских процессов и их приложени¤. ћ.: Ќаука, 1969. 512 с. 3. арлин —. ќсновы
теории случайных процессов. ћ.: ћир, 1971. 536 с.
ѕоступила в редколлегию 14.06.2004
–ецензент: д-р тех. наук, проф. –уденко ќ.√.
ƒикарев ¬адим јнатольевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры ѕћ ’Ќ”–Ё. јдрес: ”краина, 61000,
’арьков, пр. Ћенина, 66, кв. 21, тел. 33-57-03 (дом.),
702-14-36 (раб.).
яловега »рина √еоргиевна, аспирантка кафедры ѕћ
’Ќ”–Ё. јдрес: ”краина, 61000, ’арьков, ул. Ќовгородска¤, 20, кв. 14, тел. 30-44-41.
–», 2004, є 3
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа