close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ нестационарных режимов в системах контроля и управления распределенными процессами.

код для вставкиСкачать
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
УДК 62.52
Н. Д. Демиденко, Л. В. Кулагина, И. Н. Мельник
АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В СИСТЕМАХ КОНТРОЛЯ
И УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Рассматривается решение следующих задач оптимального контроля: для непрерывного процесса взаимодействия двух противоточно движущихся сред в тепломассообменном аппарате с пространственно распределенным воздействием; для процесса нестационарной массопередачи в ректификационной колонне. Представлены
постановка задач, необходимые условия оптимальности, методы решения и численные результаты.
В качестве функции распределенного внешнего воздействия возьмем функцию
Системы контроля и управления в химических технологических процессах часто создаются на основе анализа лишь статических характеристик, что не повышает эффективность их функционирования.
Контролируемые и управляемые параметры химикотехнологических объектов носят явно выраженный пространственно распределенный характер. Специфика распределенности управляемых процессов настолько велика, что формальный перенос хорошо разработанной теории управления объектами с сосредоточенными параметрами на распределенные системы не имеет успеха.
При моделировании и управлении процессов с распределенными параметрами возникает вопрос об использовании распределенного контроля и распределенного
управления. При этом практический интерес при создании высококачественных систем управления представляет такой подход, при котором улучшение динамических
свойств управления достигается за счет рациональной
системы контроля. Неравноценность информации о состоянии управляемого процесса в различных точках
объекта и ее большое количество обусловливает поиск
оптимальных оценок состояния управляемого процесса.
Рассмотрим непрерывный процесс взаимодействия
двух противоточно движущихся сред в тепломассообменном аппарате с пространственно распределенным воздействием. Для этого объекта поставлена и решена задача оптимального распределенного контроля на основе
метода вариационного исчисления. Получены необходимые условия оптимальности весовых функций распределенного контроля. Эти условия используются для построения численного алгоритма расчета оптимальных весовых функций.
Исходя из закона сохранения количества тепла или
массы, в рамках гипотез, принятых в работе [1], рассмотрим систему уравнений, описывающих этот процесс:
??1 ? (щ1?1 )
+
= ж1 (l , t )(? 2 ? ?1 ) ,
?t
?l
(1)
?? 2 ? ( щ2 ? 2 )
+
= ж2 (l , t )(?1 ? ? 2 ) + f (l , t ) ,
?t
?l
где ?i = ?i (l, t), i = 1, 2 – функция распределения температуры или концентрации; ?i = ?i(l, t), i = 1, 2 – скорость движения первой и второй сред соответственно; f(l, t) – функция
внешнего воздействия; жi = жi (l, t), i = 1, 2 – коэффициенты, характеризующие свойства взаимодействующих сред.
Здесь внешнее воздействие приложено в m промежуточных точках и может быть представлено в виде
?a (l ? l )b e c (l ? l j ) , l ? ? 0, l ? ,
?
j
? j?
ч j (l ) = ?
??0, l ? ??l j , l ?? ,
где lj – координата точки приложения внешнего воздействия; a = 738,91; b = 2; с = 20.
Дополним систему уравнений (1) следующими начальными и граничными условиями:
?i (l , 0 ) = 0 , i = 1, 2,
(2)
?1 (0, t ) = ?1вх (t ) , ? 2 (1, t ) = ? 2вх (t ) ,
где ?1вх(t), ?2вх(t) – заданные функции.
Функционал качества имеет вид
(3)
2
T
I = ? ?? ?1* (1, t ) ? ?1 (1, t )?? dt ,
(4)
0
где T – фиксированное время процесса управления;
?1*(1, t) – заданное значение регулируемой величины;
?1вх(1, t) – регулируемая величина.
Имеется возможность подачи на объект (m + 1) управляющих воздействий: при j = 0 – за счет изменения граничных условий на входе второй (регулирующей) среды
v0(t) = ?2вх(t); при j = 1, …, m – за счет промежуточных
внешних воздействий vj (t).
Таким образом, получаем (m + 1) – контурную систему автоматического регулирования. Функции управляющих воздействий vj (t), j = 0, …, m представим в виде
1
1
0
0
v j (t ) = ? u j (t , ф )? ?1 (l , ф ) g j (l ) dldф, j = 0, ..., m, (5)
где vj(t) – операторы используемых управляющих устройств (в данном случае интегральные) с заданными ядрами uj(t, ?), определенными в треугольнике 0 ? ? ? t T [5];
1
? j ( ф ) = ? ?1 (l , ф )g j (l ) dl – воздействия на входе регуля0
торов, характеризующие состояние объекта управления
и выражающиеся через весовые функции распределенного контроля gj (x).
Итак, задача оптимизации системы управления формируется следующим образом: найти такие весовые функции
gj(l), при которых значение функции состояния ?1(1, t) минимизировало бы функционал качества (4).
Лемма 1. Сопряженная система уравнений и необходимые условия оптимальности имеют вид
?м1 (l , t )
?м (l , t )
+ щ1 (l , t ) 1
? м1 (l , t ) ж1 + м 2 (l , t ) ж2 ?
?t
?l
1 T m
m
? ? ? м (о, t ) ж (о ) u (t , t ) g (l ) dt dо +
f (l , t ) = ? ч j (l ) v j (t ).
0 t j =1
j =1
17
2
1
j
j
1
j
1
(6)
Математика, механика, информатика
Исходя из закона сохранения количества тепла и массы, в рамках гипотез, принятых в [1], рассмотрим следующую математическую модель управляемого процесса:
?с1i
?с
? c1 1i = k y ( yi ? yi* ) + ?1 ,
?t
?l
?с 2i
?с 2i
+ c2
= k y ( yi ? yi* ) + ? 2 , i = 1, ..., N , (11)
?t
?l
? = {(l , t ) / 0 < l < 1, 0 < t < T },
T
+ ? щ1 (1, t1 ) м 2 (1, t1 ) u0 (t1 , t ) dt1 g 0 (l ) = 0,
?м 2 (l , t )
?t
t
? щ 2 (l , t )
?м 2 (l , t )
?l
? м 2 (l , t ) ж2 + м 2 (l , t ) ж1 = 0, (7)
2 ???1* ? ?1 (1, t )?? ? щ1 (1, t ) м1 (1, t ) = 0,
щ2 (0, t ) м 2 (0, t ) = 0, м1 (l , T ) = 0, м 2 (l , T ) = 0, (8)
T
t
0
1 T
0
t
0 0
0
L0 ( ?1 , м 2 ) = ? м 2 ( о, t ) щ2 (1, t ) ? u0 (t , ф )?1 (l , ф ) dфdt = 0, (9)
где с1i, с2i – средние плотности компонентов разделяемой
смеси; Ф1, Ф2 – функции внешнего воздействия; yi(l, t),
yi*(l) – концентрация и равновесная концентрация в паровой фазе; c 1, c 2 – скорости жидкой и паровой фаз;
ky – коэффициент массопередачи.
L j ( ?1 , м1 ) = ? ? м1 (о, t ) ж j (о ) ? u j (t , ? )?1 (l , ? ) d ?dtdо = 0,
(10)
j = 1, ..., m .
Метод решения системы уравнений таков:
1) задают начальные приближения весовых функций
gj0(l);
2) если gjn(l) известны, то по системе уравнений (1) и
граничным условиям (2), (3) находят ?1n = ?1n(l, t) и по сопряженной задаче (6)…(8) определяют µin = µin(l, t), i = 1, 2;
3) далее полагают g0опт = g0n – ?L0(?1n, µ2n), gjопт = gjn –
` ?L0(?1n, µ2n), ? ? 0, n = 0, 1, 2, …;
4) предельные значения весовых функций дают решение задачи.
Для численной реализации задач (1)…(3), (6)…(10)
построена явная консервативная конечно-разностная схема, аппроксимирующая исходную систему уравнений
(1) с первым порядком на равномерной сетке. При этом
справедлива лемма 2.
Лемма 2. Левые части конечно-разностных аналогов
уравнений (9), (10) представляют собой градиент аппроксимированного функционала качества (4).
Следовательно, для решения задачи может быть использован градиентный метод [2].
Приведем примеры расчета систем контроля по разработанной программе: кривую разгона и оптимальную
переходную характеристику в одноконтурной схеме регулирования с весовой функцией оптимального контроля g0(l) (рис. 1) и кривую 2, соответствующую этой функции (рис. 2), а также кривые оптимального управления
(рис. 3) и соответствующие функции распределенного
контроля с подачей управляющих воздействий в точки,
распределенные по длине аппарата (рис. 4).
Рис. 2. Начальная g01 и оптимальная g00n
весовая функция распределенного контроля
Рис. 3. Изменения температуры в переходном режиме
и при оптимальном контроле с весовыми функциями g0, g4
Рис. 4. Начальные g01, g41 и оптимальные g0n, g4n
весовые функции распределенного контроля
Известна также связь концентраций с плотностями:
с
с
(12)
xi = 1i , yi = N 2i .
N
?с
Рис. 1. Изменения температуры в переходном режиме
и при оптимальном контроле с весовой функцией g0 (x)
i =1
1i
?с
i =1
2i
Система (11) содержит 2N неизвестных функций и
столько же уравнений. Дополним эту систему начальными и граничными условиями:
с1i (l , 0 ) = ?1i (l ) , с 2i (l , 0 ) = ?2i (l ) ,
(13)
где ц1i(l), ц2i(l) – заданные функции. При l = 0
с 2i (0, t ) = c2?1V0 (t ) yi (0, t ) ,
Рассмотрим получение оптимальных весовых функций распределенного контроля, дающих оценку контролируемых параметров управляемого процесса нестационарной массопередачи для промышленной ректификационной колонны К-101 [2].
18
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
H xk
dyi (0, t )
dt
которые в силу системы уравнений (11)…(16) минимизируют функционал качества (17).
Переходя к нормальной форме, получим следующую
систему дифференциальных уравнений, описывающую
управляемый процесс [2]:
?с1i
?с1i
*
= c1ж (1)
= ж i(1) ,
i + k y ( yi ? yi ) + ?1 ? X i ,
?t
?l
?с 2i
?с 2i
= ?c2 ж i(2) + k y ( yi ? yi* ) + ? 2 ? Yi ,
= ж i(2) ,
?t
?l
0 < l < 1, 0 < t < T ,
при краевых условиях:
с 2i (0, t ) ? V0 (t ) yi (0, t ) c2?1 = 0,
t
?
?
= c1 ?с1i (0, t ) ? yi ( 0, t ) ? с1 j ( 0, t )? ,
j =1
?
?
?2i (0 )
yi (0, 0 ) = N
;
(14)
? ?2 j ( 0 )
j =1
N
где V0 (t ) = c1 ? с1 j (0, t ) ? F (t ) + D (t ) , l = 1
j =1
с1i (1, t ) = c1?1 LD (t ) xi (1, t ) ,
H xD ( t )
dH xD (t )
dxi (1, t )
dt
N
?
?
= c2 ?с 2i (1, t ) ? li (1, t ) ? с 2 j (1, t )? ,
j =1
?
?
?1i (1)
xi (1, 0 ) = N
,
?
1
? 1j ( )
N
?
?
?с1i (0, t ) ? yi (0, t ) ? с1 j (0, t )? ? X ki ,
j =1
?
?
?2i (0 )
yi (0, 0 ) = N
, 0 < t < T , l = 0,
?
0
(
)
? 2j
dyi (0, t )
c
= 1
dt
H xk
j =1
N
= c2 ? с 2 j (1, t ) ? LD (t ) ? D (t ) , H x (0 ) = б1. (15)
D
dt
j =1
Система уравнений (11)…(15) описывает процесс нестационарной массопередачи в ректификационной колонне с переменным уровнем в дефлегматоре. Для того
чтобы колонна неограниченно не исчерпывалась и не
переполнялась, введем следующее условие:
j =1
с1i (1, t ) ? LD (t ) xi (1, t ) c1?1 = 0,
dxi (1, t )
dt
T
? ( F (t ) ? D(t ) ? W (t ) ) dt = 0,
=
(16)
0
где T – заданное время управления. Корректность этой
краевой задачи показана в [2].
Сформулируем задачу оптимального распределенного контроля. В качестве цели оптимизации можно поставить требование достижения наименьшего среднеквадратичного отклонения регулируемой величины xi (1, t) и
(или) yi (0, t) вверху и внизу колонны (это наилучшее качество целевого продукта):
dH xD (t )
dt
d?
N
? ? ?с
?
? ?с
?
L% = ? ?о i(1) ? 1i ? X i ? + о i(2) ? 2i ? ж i(1) ? +
?
?
t
l
?
?
?
?
i =1 ?
? (1) ? ?с 2i
? (2) ? ?с 2 i
(2) ? ?
? + зi ? ?t ? yi ? + зi ? ?l ? ж i ? ?;
?
?
?
?
??
{
2
2
l% = ? ki(1) ( xi (1, t ) ? ?1*i ) + ki(2) ( yi (0, t ) ? ?*2i ) +
N
l M
i =1
0 s =1
2
где M – количество контролируемых параметров, выбранных из ys(l, t); gs(l) – весовые функции распределенного контроля, дающие оценку контролируемым параметрам в автоматической системе регулирования. Управляющее воздействие D(t) в случае интегрального регулятора будет иметь вид
0 s =1
j =1
где ?? – граница области ?;
? (t ) = ? ? ys (l , t ) g s (l ) dl ,
0
= c2 ? ?2 j (1, t ) ? LD (t ) ? D (t ) ? H D ,
?
Нами также исследованы и другие критерии оптимизации: производительность аппарата, критерий разделительной способности и др.
Рассмотрим замкнутую систему регулирования с
управлением D(t). Имея ввиду использование распределенного контроля в паровой фазе, на вход регулятора [2],
регулирующего D(t), поступит сигнал
l M
j =1
N
H xD (0 ) = б1 , 0 < t < T , l = 1,
с начальными условиями (13).
Для получения необходимых условий оптимальности рассмотрим вспомогательный функционал
%
+ ? l%dt ,
I = I1 + I 2 = ?? Ldtdl
2
T
N
?? N
??
2
S = ? ?? ki(1) ?? xi (1, t ) ? ?1*i ?? + ? ki(2) ?? yi (0, t ) ? ?*2i ?? ? dt. (17)
j =1
? j =1
0?
??
t
N
?
c2 ?
?с 2i (1, t ) ? xi (1, t ) ? с 2 j (1, t )? ? X Di ,
H xD ?
j =1
?
? (1)
xi (1, 0 ) = N 1i
,
?
1
(
)
? 1j
?1
+ л(1)
Di ( с1i (1, t ) ? LD (t ) xi (1, t ) c1 ) +
? dxi (1, t )
?
?1
+ л (2)
? X Di ? + л (1)
Di ?
ki (с 2 i ( 0, t ) ? V0 (t ) yi ( 0, t ) c2 ) +
dt
?
?
? dH xD (t )
?
?
? ??
0,
dy
t
(
)
i
+ л (2)
? X ki ?? + л (3)
? HD ?,
ki ?
D ?
?
?
? dt
? ??
? dt
?
(1)
(2)
(1)
(2)
здесь ?i , ?i , зi , зi – функции, определенные на ?; ?Di(1),
?Di(2), ?Di(3), ?ki(1), ?ki(2) – функции, определенные на ??.
Пусть g(l) – оптимальные весовые функции, с1i,
с2i – оптимальное решение задачи (11)…(16), соответствующее g(l). Тогда, найдя вариацию ?I = ?I1 + ?I2 и используя
аргументацию вариационного исчисления, будем иметь
следующую сопряженную систему дифференциальных
D (t ) = ? u (t , ? )? ? ys (l , ? ) g s (l ) dld ?,
где u(t, ?) – заданная функция, характеризующая регулятор.
При контроле за параметрами в жидкой фазе задача
оптимизации рассматриваемой системы управления
формулируется аналогично. Она состоит в нахождении
таких весовых функций распределенного контроля g(l),
19
Математика, механика, информатика
уравнений относительно ?i, зi, ?Di(2), ?ki(2) (?i(2) и зi(2) выражены через ?i(1) и зi(1) и обозначены ?i и зi, аналогично
исключаются ?D(i), ?k(i)):
2) если gn0(l) известны, то по системе уравнений
(11)…(16) находят с1i(n), с2i(n), а по сопряженной задаче
(18)…(21) определяют ?in, зin, ?ki2(n), ?Di2(n), ?Di3(n);
3) далее полагают gsn+1 = gsn – ?Ls;
4) предельные значения весовых функций дают решение исходной задачи.
Выражение (22) – это градиент вспомогательного
функционала I. Можно показать, что это выражение есть
градиент оптимизируемого функционала (17). Следовательно, для численной реализации метода используется
градиентные методы [2].
Приведем графики оптимальных весовых функций
распределенного контроля gs(l) (рис. 5) и соответствующие концентрации первого (легколетучего) компонента
в дефлегматоре (рис. 6) и в кубе (рис. 7) промышленной
ректификационной колонны К-101. За контролируемый
параметр принята концентрация легколетучего компонента в паровой фазе y1(l, t). Кривые x1(1, t) и y1(0, t) соответствуют начальной весовой функции g(l) = 0 при возмущении легколетучего компонента в сырье на + 20 % от
исходного значения, кривая 1 – минимальному отклонению концентрации x1(1, t), кривая 2 – минимальному отклонению y1(0, t), кривая 3 – минимальному отклонению
x1(1, t) и y1(0, t) одновременно.
N
N
?
?
'
б2 ? с2 j ?
с
с1 j ? Pk ?
P
?
ik
k
N
?о i
?о i
j =1
j =1
?(о i ? зi ) ? (о k ? зk )
?,
? c1
=
N
N
?
?
?t
?l
k =1
с
P ? с1 j ?
?
1j
?
j =1
j
1
=
?
?
?
?
N
?зi
?з
с
+ c2 i = б 2 ?( з1 ? о i ) + ? сik ( о k ? зk ) N k +
?
?t
?l
k =1
P ? с1 j
?
j =1
?
j
?
+ ? л (3)
D
?
?
?
?
?
?
? M
N
с 2i
?
? (18)
?
? ? зk (0, t )yk (0, t )? ? ? g s (l ) ? k ns ? с 2 j ?
,
2 ?
N
k =1
j =1
? ? s =1
?
? ?
?
?
? ? с2 j ? ?
?
?
? j =1
? ?
?
N
?1, s = i,
kns = ?
?0, s ? i,
N
?
?
Ls (l ) = ? ? л (3)
D ? ? з k ( 0, t ) yk ( 0, t )? y s (l , t ) dt ,
?
k =1
0 ?
T
о i (l , t ) = 0, зi (l , t ) = 0,
?
?
dл
= зi (0, t ) ? c1 ? с1 j ? W (t )? ?
dt
? j =1
?
(2)
ki
c1л ki
(2)
?
N
(19)
N
?с
j =1
2j
? 2 ki(2) ( yi (0, t ) ? ?*2i ) ,
H xk
о i (0, t ) =
c
(20)
N
? л (2)
?
? ? yk (0, t ) ? kk ? зk (0, t ) ?,
?
?
k =1
? H xk
?
(2)
л ki = 0, 0 < t < T , l = 0,
л (2)
ki
H xk
Рис. 6. Изменения концентраций в дефлегматоре
N
dл
= о i (1, t ) Ld (t ) ?
dt
(2)
Di
c21л (2)
Di ? с 2 j (1, t )
j =1
H xD (t )
? 2ki(1) ( xi (1, t ) ? ?1*i ) ,
л (2)
Di (T ) = 0,
(21)
N
зi (1, t ) =
л (2)
Di
H xD ( t )
?
? x (1, t ) л
k =1
k
H xD ( t )
(2)
Dk
+ л (3)
,
D
Рис. 5. Зависимости оптимальных весовых функций gs(l)
N
N
?
?
dл (3)
D
= ? ? c2 л (2)
? xi (1, t ) ? с 2 j (1, t )? H x2D (t ) ,
Di ?с 2 i (1, t )
dt
i =1
j =1
?
?
(22)
л (2)
Di = 0, 0 < t < T , l = 1,
где Pk = Ak?2 + Bk? + Сk – парциальное давление для k-го
?P
компонента; Pk' = k ; ? – температура в колонне; Ak,
?с 2 j
Bk, Сk – коэффициенты, определяемые по экспериментальным данным методом наименьших квадратов [2];
P – общее давление в колонне; S – множество индексов
контролируемых параметров.
Метод решения системы уравнений заключается в
следующем:
1) задают начальные приближения весовых функций
gs0(l);
Рис. 7. Изменения концентраций в кубе
Для первой схемы регулируемая величина x1(1, t) близка к требуемому значению ?11*, функционал качества
sопт = 4 · 10–4. Содержание этого же компонента в кубе
20
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
колонны y1(0, t) имеет наибольшее отклонение от заданного значения ?21*.
При оптимизации качества нижнего продукта в колонне отклонение регулируемой величины y1(0, t) от заданного значения ?21* уменьшается по сравнению с первой схемой регулирования, однако вверху колонны значение x1(1, t) увеличивается. При этом sопт = 0,114.
Для критерия оптимизации отклонений одновременно верхнего и нижнего продуктов кривая переходного
процесса x1(1, t) совпадает с аналогичной кривой во второй схеме регулирования, а кривая y1(0, t) также незначительно отличается от соответствующей кривой во второй
схеме и sопт = 0,729.
В случае распределенного контроля за содержанием
первого компонента в жидкой фазе при минимизации
отклонения x1(1, t) от заданного ?11* sопт = 4 · 10–2. При
оптимизации отклонения y1(0, t) от ?21* sопт = 9 · 10–5. При
одновременной минимизации отклонения y1(0, t) и x1(1, t)
от ?21* и ?11* sопт = 0,325.
В заключение можно сделать следующие выводы:
сформулирована задача оптимального контроля за системами с распределенными параметрами, получены необходимые условия оптимальности весовых функций
распределенного контроля, проведено численное исследование оптимальных систем контроля для промышленной ректификационной колонны, показана эффективность распределенного контроля.
Библиографический список
1. Демиденко, Н. Д. Моделирование и оптимизация
тепломассообменных процессов в химической технологии / Н. Д. Демиденко. М. : Наука, 1991.
2. Демиденко, Н. Д. Управляемые распределенные
системы / Н. Д. Демиденко. Новосибирск : Наука. Изд-во
Сибирского отделения РАН, 1999.
N. D. Demidenko, L. V. Kulagina, I. N. Melnik
THE ANALYSIS OF NON-STATIONARY MODES IN SYSTEMS
OF DISTRIBUTED PROCESSES CONTROL AND MANAGEMENT
In the article the decision of optimum control tasks is considered: for continuous process of interaction of two moving
countercurren environments in heat-exchange apparatus with spatially distributed influence; for process of non-stationary
mass transfer in rectifying column. The statement or problems, necessary conditions of optimality, problem-solving
procedure and numerical results are presented.
21
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
273 Кб
Теги
анализа, контроля, распределенный, система, процесса, режимов, управления, нестационарные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа