close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Анализ устойчивости координаты границы фазовых переходов при промерзании-оттаивании грунтов деятельного слоя.

код для вставкиСкачать
?????? ??????? ??????? ? 2 (110) 2012
??????-??????????????
?????
ї. Г. «ї¬? flА?¬
Г. ї. «ї¬? flА?¬
?. ї. Ў?? ?»Х
?? ь 625.73 : 517.9
? Л·Л?ТН???У ТЫ
? ??ТЪ?
ВМ М ??
??
ЪУ П У ·ЛО ёМ У -? У ?У К М ??
?Н?? ВП Л?, ?. ?П ТН
їХїА»« ?? ??? ?»¬?? ?»
ь???? »Хї?¤ ??їХ»ч¤
?ї«?¬¤? ??????? ?¬
??» ???Г??«їХ»»с ???ї»¬їХ»»
???Х??¬ ? ?fl??А? Х??? ? А?fl
??У ?
В? ВМ ?М ?О ЛБ Ы
ТЪУ И?Л?
У ТЪЛ НУ У ?? ЛМ ?Ъ? ???М Л?? Щ ?БУ ?
?? ФВ?В? У ? У ?
Ф?Л
?ВУ Н?ЛУ О У ?Л?ВТНЛ? Ф?У ?ВТТ?? ?
??Ы
М Ъ?? ? В?ЪВО ёМ У ?У ТО У ?. ?ТЪ?М У ?
О ВМ У , ?ЪУ
??ТТП ?Ъ?Л?
?ВП ??ЪУ ?Н? ??
О ?ВЪТ??ТЛП ФЪУ ЪЛ?ВТНЛ Ы
ТЪУ И?Л?
У И (?ЪЪ??НЪУ ?У П ).
ьО ??В?
?ВТО У ?
?: ?ТЛП ФЪУЪЛ?ВТН??Ы
ТЪУ И?Л?
У ТЪё, Ы
ТО У ?
ЛВ? ЪВЩ ?М ?, НУУ ?? ЛМ ?Ъ?
???М Л?? Щ ?БУ ?
?? ФВ?В? У ? У ?
, ??Ы
М Ъ? ? В?ЪВО ёМ У ?У ТО У ?.
l ? T?
x
+
l ? T0
Ч
1
m -1 x
=sw
dx
dt
,
(1)
здесь lт, lм ? коэффициенты теплопроводности талого и мерзлого грунтов соответственно; x ? координата границы фазовых переходов (глубина промерзания?оттаивания грунта); Tп, T0 ? значения
температуры соответственно на поверхности деятельного слоя грунта при x=0 и на границе годовых
нулевых температурных амплитуд при x=R; s ? удельная теплота плавления льда; w ? объемная влажность (льдистость) грунта; m=R/x; t ? время.
Интегрирование уравнения (1) позволяет получить
??????-?????????????? ?????
Расчет процессов промерзания ? оттаивания деятельного слоя грунта, как правило, сводится к решению системы дифференциальных уравнений теплопроводности в талом и мерзлом грунтах совместно
с условием Стефана на движущейся границе фазовых переходов.
Условие Стефана запишем в виде
19
0
?????? ??????? ??????? ? 2 (110) 2012
q
0Ј xЈx
I ????
x
=l
(
erfc a 0 2 a
q
ц
ч
ч
ш
2ц
ч
ч. (6)
ч
ш
T0 - T???
R - a0 t
(7)
.
Приравнивая правые части выражений (6) и (7),
получим
x
Рис. 1. Расчетная схема промерзания ? оттаивания
деятельного слоя грунта:
I зона ? выше границы фазовых переходов;
II зона ? ниже границы фазовых переходов
m=
R
x
=1+
l ? T0 ц
2t жз
ч
l ? T? +
ч.
з
swи
m -1 ш
x =
(2)
Введение в расчетную схему постоянного во времени отношения радиуса влияния к глубине расположения границы фазовых переходов ? m позволяет
записать в зоне грунта, расположенной ниже границы фазовых переходов x<x<R (рис. 1), следующее
выражение стационарного распределения температуры:
T =
T0
( x - x ).
p
2y
( )
erfc (y ) exp y 2 ,
(8)
y = a 0 2 a.
где
(9)
Как видно из выражений (8) и (9), отношение m=
=R/x не зависит от времени. Однако процесс вычисления значения m весьма трудоемкий.
Проанализируем теперь устойчивость по Ляпунову устойчивость координаты границы фазовых
переходов при промерзании?оттаивании деятельного слоя грунта для случая, когда эта координата
определяется по формуле (2).
Иначе говоря, обратимся к качественному исследованию следующего обыкновенного дифференциального уравнения:
dx
= f (x ) = -
¶U
¶x
dt
(10)
,
x
(3)
где U = - т f (z ) dz , x (0 ) = x 0, функция U ? потенциал.
Исследование величины m как функции скорости движения границы фазовых переходов и коэффициента температуропроводности гранта в зоне
x<x<Ґ приведено в работе [1] на основе квадратурных решений задачи фазовых переходов с подвижной границей.
Математическая постановка задачи имеет вид [1]
Вернувшись к условию Стефана и продифференцировав выражение (2), получим формулу (10) в виде
R-x
x0
м ¶T
¶ 2T
п
=a
; x < x < Ґ;
п ¶t
¶x 2
п
пT (x , 0 ) = T0 ;
п
нT (x , t ) = T ??? ;
п
пT (Ґ, t ) = T0 ;
пx = a t ,
0
п
по
??????-?????????????? ?????
=l
x =x
R
зависимость движения координаты границы фазовых переходов от времени
20
)
ж ж
a
з
exp з - з 0
з
з и2 a
p at
и
1
С другой стороны, величину теплового потока
при введении радиуса влияния можно определить как
x <xЈR
II ????
x =x
T0 - T???
ж x
erfc з
з
2 a
и 2 at
T0 - T???
(
erfc a 0
)
dt
=
ц
ж
з l T + l ? T0 Ч x ч = - ¶U
.
ч
з ? ?
¶x
2s w t и
R-x
ш
1
(11)
Определим наличие особых точек из условия
¶U
¶x
(4)
=0
ц
ч
ч.
ш
(5)
Дифференцируя выражение (5) по переменной x
и умножая на l, найдем величину теплового потока
q к границе x=x
или f (x ) = 0 .
(12)
Тогда
l ? T? +
здесь Tзам ? температура грунта на границе фазовых
переходов; a ? коэффициент температуропроводности грунта в области x<x<Ґ; a0 ? параметр, характеризующий скорость движения границы фазовых переходов.
Решение этой системы имеет вид
T ( x , t ) = T0 -
dx
l ? T0
R -x
Ч x = 0.
(13)
Откуда следует, что
m=
R
x
=1-
l ? T0
l ? T?
,
(14)
А значение особой точки x0 определится как
x0 =
l ? T?
l ? T? - l ? T0
ЧR
.
(15)
Кроме того, минимум потенциала U соответствует неустойчивым, а минимум ? устойчивым точкам. Условие экстремума в точке x0 запишем в виде
¶ 2U (x 0 )
¶x
2
№ 0 или
¶f (x 0 )
¶x
№0
(16)
.
1й 1
¶ U
= к
к
2 л 2s w t
¶x 2
2
Ч
1
2s w t
ж
цщ
з l T + l ? T0 Ч x чъ
?
?
ччъ
зз
R -x
и
шы
Ч
R
(R - x )2
> 0.
-
1
2
Ч
(17)
Значит, в точке x0, определяемой формулой (15),
¶ 2U
имеем минимум потенциала, так как выражение
¶x 2
всегда положительно при любом значении x. А это,
в свою очередь, означает, что в точке x0 состояние
равновесия асимптотически устойчиво, то есть точка
x0 является аттрактором [2].
Покажем также, что именно потенциал U и является функцией Ляпунова [3], действительно
dU (x ( t ) )
dt
=
?????? ??????? ??????? ? 2 (110) 2012
В нашем случае для любого x имеет место неравенство
слоя, когда значения величин его теплопроводности
и температуропроводности инвариантны, является
асимптотически устойчивой точкой, то есть аттрактором.
2. Устойчивость координаты границы фазовых
переходов означает ее малую чувствительность к начальным значениям температуры при условии стабильности значений основных теплофизических параметров грунта деятельного слоя.
3. Реализованный подход позволил получить формулу, выражение (14), для вычисления значения, не
зависящего от времени, отношения m, которое играет важную роль в расчетах динамики геокриологических процессов.
Библиографический список
1. Фельдман, Г. М. Методы расчета температурного режима
мерзлых грунтов / Г. М. Фельдман. ? М. : Наука, 1973. ? 254 с.
2. Странные аттракторы / Под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шильникова. ? М. : Мир, 1981. ? 256 с.
3. Райсенг, Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Райсенг, Г. Сансоне, Р. Конти. ?
М. : Наука, 1974. ? 318 с.
¶U dx
¶U
Ч
=
Ч f (x ) = - f 2 (x ) Ј 0
. (18)
¶x dt
¶x
Таким образом, координата границы фазовых
переходов в процессе промерзания?оттаивания является асимптотически устойчивой точкой, то есть
не зависящей фатально от малых колебаний начальных температур. Безусловно, при изменении значений начальных температур инерционно будут меняться и теплофизические параметры грунта деятельного слоя, что повлечет за собой изменение исследуемой координаты, но все-таки более существенное
влияние на устойчивость координаты границы оказывают различные техногенные процессы, происходящие в деятельном слое грунта.
Выводы.
1. Координата границы фазовых переходов в процессе промерзания ? оттаивания грунта деятельного
ЗАВЬЯЛОВ Александр Михайлович, заслуженный
работник высшей школы РФ, доктор технических
наук, профессор (Россия), профессор кафедры высшей математики.
ЗАВЬЯЛОВ Михаил Александрович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры
высшей математики.
БЕДРИН Евгений Андреевич, кандидат технических
наук, доцент, докторант кафедры экономики и управления дорожным хозяйством.
Адрес для переписки: gramota47@yahoo.com
Статья поступила в редакцию 11.01.2012 г.
© А. М. Завьялов, М. А. Завьялов, Е. А. Бедрин
??????? ?????
51/К19
Канева, О. Н. Основы дискретной математики : учеб. пособие для вузов по направлению подгот. ВПО
010400 «Информационные технологии» (010300 «Фундаментальная информатика и информационные
технологии) / О. Н. Канева ; ОмГТУ. ? Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. ? 83 c. ? ISBN 978-5-8149-1158-2.
В учебном пособии даны основы дискретной математики, необходимые для успешного освоения дисциплин,
связанных с информатикой и программированием. Приведены необходимые фундаментальные понятия:
множества, графы, отношения и булевы функции.
Рассмотрены основные вопросы, касающиеся применения программно-статистических комплексов для анализа и обработки статистических данных. В практической части пособия даны решения конкретных статистических задач при помощи различных пакетов прикладных программ.
??????-?????????????? ?????
51/К95
Кучеренко, М. В. Применение программно-статистических комплексов при обработке данных : учеб.
пособие / М. В. Кучеренко, Р. Н. Иванов, П. В. Одинцов ; ОмГТУ. ? Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. ? 83 c. ?
ISBN 978-5-8149-1164-3.
21
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа