close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аппарат математического моделирования процессов промерзания протаивания грунтов.

код для вставкиСкачать
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (93) 2010
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
НАУКИ
А. М. ЗАВЬЯЛОВ
Е. А. БЕДРИН
М. А. ЗАВЬЯЛОВ
УДК 625.855.3
Сибирская государственная
автомобильно-дорожная
академия, г. Омск
АППАРАТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ
ПРОМЕРЗАНИЯ – ПРОТАИВАНИЯ
ГРУНТОВ
Рассматриваются уравнения математической физики: уравнение Фурье и уравнение теплопроводности как аппарат математического моделирования процессов промерзания–
протаивания грунтов. Приводятся квадратурные решения рассматриваемого процесса.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Ключевые слова: процесс промерзания – протаивания; закон Фурье; уравнение теплопроводности; теплообмен.
8
Прогноз возможного состояния, деформаций и показателей водно-теплового режима дорожных конструкций требует выполнения теплотехнических расчетов промерзания и протаивания грунта. Направленное регулирование водно-теплового режима дорожных
конструкций позволяет добиться сезонной стабильности деформационных и прочностных характеристик
грунтов в зависимости от температуры и влажности
и является одним из наиболее эффективных путей обеспечения прочности и долговечности дорожных конструкций.
Основным аппаратом, применяемым для математического моделирования процессов промерзания –
протаивания грунтов, являются следующие фундаментальные законы и уравнения. Закон Фурье:
r
q = -l grad (T ) ,
r
(1)
где q –плотность теплового потока (количество переносимой энергии); grad(T)–градиент температур; T–
температура; l–коэффициент теплопроводности;
вектор градиента.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (93) 2010
Рис. 1. График функции erfc(U)
æ ¶T ¶T ¶T ö
grad (T ) = çç , , ÷÷ .
è ¶x ¶y ¶z ø
(2)
ятельном слое) и многолетнемерзлой толще, если тепло переносится посредством теплопроводности, запишутся в виде [2]
Cg П
Иначе, используя оператор Гамильтона
æ¶ ¶ ¶ö
Ñ = çç , , ÷÷ , вектор градиента температур
è ¶x ¶y ¶z ø
Cg Д
можно записать
grad (T ) = Ñ × T ,
а закон Фурье представить как
(4)
¶T
Cg i i = Ñ(li × Ñ × Ti ) ,
¶t
(5)
где Cg –объемная теплоемкость; i–обозначения
грунтовых слоев; t–время.
Выражение (5) можно записать также в виде
¶Ti
= ai × D × Ti ,
¶t
(6)
æ ¶2 ¶2 ¶2 ö
ç
÷
D
=
+
+
где
ç ¶x ¶y ¶z ÷ –оператор Лапласа; x, y, z–
è
ø
li
метрические координаты; ai = C –коэффициент
gi
температуропроводности i-го слоя грунта.
А также граничные условия, прежде всего на границах фазовых переходов, которые обычно представляются одной из форм условия Стефана [1]
(10)
¶TМ
= Ñ (lМ × Ñ × TМ ) .
¶t
(11)
ò (lД × Ñ × TД - lМ × Ñ × TМ ) dS = s W
S
(7)
(8)
В общем случае уравнения переноса тепла в надпочвенном покрове, слое сезонного промерзания (де-
dV
dt ,
(12)
(13)
где П, Д, М–индексы величин, характеризующих напочвенный, деятельный и многолетнемерзлый слои
соответственно.
В задачах, исследующих процессы теплообмена,
как правило, известными предполагаются следующие
параметры:
— температура воздуха, скорость ветра, мощность
и плотность снежного покрова (климатические параметры);
— затрата тепла на испарение, радиационный баланс поверхности, коэффициент турбулентного обмена;
— скрытая (латентная) теплота фазовых переходов воды (льда), коэффициенты тепло- и температуропроводности, объемная теплоемкость (теплофизические свойства грунта);
— зависимость количества незамерзшей влаги
в мерзлых грунтах от температуры.
Решениями поставленной задачи являются такие
зависимости и величины, как:
— изменение температуры грунта на подошве
деятельного слоя;
— глубина слоя годовых нулевых амплитуд;
— зависимость температуры от глубины слоя годовых нулевых амплитуд;
— динамика процессов промерзания–протаивания и мощность деятельного слоя.
Для решения задач с фазовыми переходами часто применяют метод Лейбензона [3], заключающийся
в том, что нестационарный процесс теплообмена представляется последовательной сменой стационарных
состояний.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
dV
dt ,
здесь S–поверхность границы фазового перехода;
s–удельная (скрытая) теплота плавления льда; W– влажность грунта; V–объем зоны фазового перехода,
и начальными условиями
Ti = Ti +1 = 0 .
= Ñ (lД × Ñ × TД );
¶t
TД = TМ = 0 ,
Уравнение теплопроводности:
S
¶TД
(9)
На границе оттаивания
r
q = -l × Ñ × T .
ò (li × Ñ × Ti - li +1 × Ñ × Ti +1 ) dS = s W
Cg М
(3)
¶TП
= Ñ (lП × Ñ × TП ) ;
¶t
9
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (93) 2010
Анализ методов решения рассматриваемых уравнений показывает, что получаемые решения весьма
чувствительны к краевым условиям задачи. Последнее обстоятельство позволяет высказать гипотезу
о принадлежности задач, моделирующих процессы
промерзания – протаивания грунтов к объектам
нелинейной науки [4].
В условиях установившегося режима теплового
процесса, в частности, одномерного кондуктивного
теплообмена, дифференциальное уравнение (1) при
наличии источников и стоков p(x), распределенных
в исследуемой зоне, имеет вид
¶ é
¶T ù
l ( x ) ú - p( x ) = 0 .
¶x êë
¶x û
(14)
В результате интегрирования выражения (14)
получаем следующее распределение температуры по
глубине рассматриваемых грунтов
T=
T2
ò
T1
é 1 æH
öù
ç ò p( x ) dx ÷ ú dx ,
ê
ç
÷
êë l ( x ) è 0
ø úû
(16)
После интегрирования с учетом граничных условий получим формулу, описывающую распределение температуры грунтов при наличии равномерно
распределенных источников (или стоков) тепла
T=
1
1 æ
1
ö
p x 2 + ç T2 - T1 pH 2 ÷ x + T1 .
2l
Hè
2l
ø
1
(T2 - T1 ) x + T1 .
H
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
10
В данном случае имеется квадратурное решение [1]
T = T0 -
где erfc(U ) =
T0 - T1
æ x ö
erfcç
÷
æ a0 ö
2 at ø ,
è
erfcç
÷
è2 aø
(20)
2
2
e - t dt (рис. 1); U–аргумент.
ò
p
Если x = a 0 t рассматривать как координату подвижной границы фазовых переходов грунтов, то дифференцируя выражение
(20) по x, находим плотность
r
теплового потока q = q к этой границе x=x
q=l
é æ a ö2 ù
T0 - T1
1
exp ê- ç 0 ÷ ú
æ a ö pat
ëê è 2 a ø ûú .
erfcç 0 ÷
2
a
è
ø
(21)
Таким образом, при описании тепловых процессов математический аппарат закона Фурье и уравнения теплопроводности взаимосвязаны и взаимодополняемы.
Вывод. Рассмотренный аппарат математического
моделирования тепловых процессов, имеющих место
при промерзании – протаивании грунтов, является
достаточно полным.
Библиографический список
(18)
Формулы (17) и (18) позволяют определить распределение температуры грунтов по глубине при их
заданной мощности.
Из формулы (17) следует также, что значение градиента температуры грунтов при x=H определяется
как
¶T
pH T2 - T1
=
+
.
¶x / x = H 2l
H
T(¥, t)=T0; x = a 0 t , где a0 – const.
(17)
При наличии источников (или стоков) тепла температурное поле грунтов (17) является нелинейным.
При отсутствии источников (или стоков), то есть
при q=0, из выражения (17) получается линейное
температурное поле
T=
T(x, 0)=T0; T(x, t)=T1;
(15)
здесь граничные условия при x=0, T=T1; при x=H,
T=T2.
В том случае, когда l(x)=l=const; p(x)=p=const,
уравнение (14) принимает более простой вид
¶ æ ¶T ö
çl
÷ - p = 0.
¶x è ¶x ø
¶T
¶ 2T
= a 2 ; x<x<¥;
¶t
¶x
(19)
Рассмотрим также в режиме одномерного теплового процесса уравнение теплопроводности (5). В ряде
случаев это уравнение имеет квадратурные решения.
Например, математическая формулировка задачи
имеет вид
1. Фельдман, Г.М. Методы расчета температурного режима
мерзлых грунтов / Г.М. Фельдман.–М.: Наука, 1973. – 254 с.
2. Шур, Ю.Л. Термокарст (к теплофизическим основам учения о закономерностях развития процесса) / Ю.Л. Шур.–М.:
Недра, 1977. – 80 с.
3. Лейбензон, Л.С. Движения природных жидкостей и газов
в пористой среде / Л.С. Лейбензон.–М.: ОГИЗ, 1947.–244 с.
4. Пригожин, И. Неравновесная статистическая механика /
И. Пригожин.–М.: Мир, 1964. – 314 с.
ЗАВЬЯЛОВ Александр Михайлович, доктор технических наук, профессор, проректор по научной работе.
БЕДРИН Евгений Андреевич, кандидат технических
наук, доцент кафедры «Экономика и управление дорожным хозяйством».
ЗАВЬЯЛОВ Михаил Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики.
Адрес для переписки: 644080, г. Омск, пр. Мира,5.
Статья поступила в редакцию 11.05.2010 г.
© А. М. Завьялов, Е. А. Бедрин, М. А. Завьялов
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
9
Размер файла
263 Кб
Теги
процессов, моделирование, грунтов, математические, промерзании, аппарата, протаиванш
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа