close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аппроксимационные свойства метода конечных суперэлементов Федоренко.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 13, Специальный выпуск 4, 2008
Аппроксимационные свойства метода конечных
суперэлементов Федоренко?
С. А. Лазарева
Московский государственный технический университет
им. Н.Э. Баумана, оссия
e-mail:
Lazarevasgmail.om
This paper addresses a development of the Fedorenko finite super element method
(FSEM). A priori error estimates are obtained; saturability of the method in Sobolev
spaces is determined. The conditions leading to the derivatives convergence are indicated, corresponding error estimates are given. Regularity and accuracy of the numerical solution on the Sobolev class of functions are shown. The investigation deals
with the Dirichlet problem, but can be extended over a general class of linear elliptic
problems.
Введение
Метод конечных суперэлементов (МКСЭ) впервые предложен в работах Федоренко и
его коллег [1, 2?. Он входит в класс численных методов, основанных на декомпозиции
области в сочетании с выбором особой аппроксимации решения. Приближенное решение
МКСЭ заведомо содержит в себе некоторые из свойств, присущих рассматриваемой
задаче. Это позволяет проводить расчеты ряда сложных вычислительных задач. В
работах [17? эективность МКСЭ подтверждена примерами решения разнообразных
изических проблем. Для их авторов преимущественный интерес представляют задачи,
которые характеризуются наличием множества резких особенностей, проявляющихся
на малых пространственных областях. Такие особенности могут представлять собой
как сингулярности самого решения, так и резкие неоднородности области расчета.
ассмотрим простую задачу Дирихле для диеренциального уравнения Лапласа
? ? R2 . асчетная область представляет собой квадрат с исклю-
в двумерной области
ченными из него кругами, радиус которых мал по сравнению с размерами
?. Полагаем,
что в окрестностях таких мелких отверстий сосредоточены все резкие сингулярности
решения:
??u = 0 в ?,
u = g на ??,
где
u
искомая ункция;
ункция на
?
??
граница расчетной области;
(1)
(2)
g
некоторая известная
??.
абота выполнена при частичной инансовой поддержке оссийского онда ундаментальных
исследований (грант ќ 06-01-00421).
Институт вычислительных технологий Сибирского отделения оссийской академии наук, 2008.
75
76
С. А. Лазарева
Подобно обычному методу конечных элементов (МКЭ) расчетная область разбита
на некоторое число подобластей, называемых суперэлементами. Каждое место сосредоточения особенности (отверстие, неоднородность и т. п.) заключено строго в одном
из суперэлементов. Каждая базисная ункция МКСЭ
каждом из суперэлементов
?k
?i (x)
единообразно задается в
и является решением задачи Дирихле следующего ви-
да [25?:
???i = 0 в ?k ,
?i = ?i на ??k ,
где граничные базисные ункции
?i ,
?i (Pj ) = ?ij ,
в узлах суперэлемента
??k ,
заданные на
принимают значения
i = 0, . . . , n,
(3)
Pj , j = 1, . . . , n, включая возможную границу отверстия в данном
P0 ; ?ij символ Кронекера. Узлы Pj с индексами
суперэлементе, обозначенную через
j = 1, . . . , n расположены только на границе суперэлемента: на
Функции ?i (x) удовлетворяют граничному условию первого рода
?i (Pi ) = g(Pi ),
Pi ? ??,
его ребрах, в углах.
на
??
согласно (2):
i = 1, . . . , n.
С узлов на ребра границы суперэлемента ункции
?i
(4)
продолжаются некоторым стан-
дартным интерполянтом: полиномиальным, кусочно-линейным, сплайн-интерполянтом
и т. д.
Заметим, что сингулярности задачи в окрестностях отверстий учтены посредством
базисной ункции с нулевым индексом
ункции
?i (x), i 6= 0,
?0 (x)
в каждом из суперэлементов. Остальные
при наличии отверстия в суперэлементе
?k
обращаются в нуль
на его границе согласно (3). Если в суперэлементе отверстия нет, то
?0 (x) ? 0.
ешение задачи внутри каждого отдельного суперэлемента будем искать при помощи построенного базиса:
u?(x) =
n
X
ai ?i (x),
x ? ?k .
(5)
i=0
Таким образом определено приближенное решение МКСЭ
сти
? = ?k ?k .
Неизвестные значения
алеркина при выборе ункций
?i (x)
ai
u?(x) во всей расчетной
обла-
найдены с помощью схемы метода Бубнова
в качестве базисных и пробных [37?.
Для исследования МКСЭ в работах [3, 4? предложен теоретический алгоритм, позволяющий строить его аппроксимации по отношению к широкому кругу задач математической изики. Исследования опираются на общую запись ормулы рина и охватывают слабые решения класса задач, описываемых линейными эллиптическими уравнениями. Установлена связь аппроксимаций МКСЭ с проекционными методами и показано,
что для сходимости метода на пространстве слабых решений необходимо и достаточно
сходимости аппроксимаций, задаваемых в пространстве их следов. Помимо качественного анализа метода проведено и его детальное численное исследование. Предложены
различные варианты МКСЭ. Подтверждена расчетная эективность для задач, содержащих резкие особенности в расчетной области как в пространственно-двумерном,
так и в трехмерном случае [5, 6?.
77
Аппроксимационные свойства МКСЭ Федоренко
Дальнейший
интерес
представляет
получение априорных оценок погрешностей
МКСЭ. Явным образом выделяется вопрос о влиянии изначального выбора варианта
аппроксимации на границе разбиения на результирующую точность расчетов метода.
Невыясненным является также акт сходимости либо расходимости ошибок производных гладкого решения произвольного порядка. Данная работа посвящена результатам,
полученным в ходе дальнейшей разработки и исследования МКСЭ Федоренко.
1. Аппроксимация МКСЭ в пространстве
H1 (?)
Качественный анализ различных вариантов МКСЭ осуществляем на примере модельной задачи Дирихле для уравнения Лапласа (1), (2) в пространственно-двумерном случае. Исследование проводим в предположении достаточной гладкости ункции граничного условия
g
и границы области ?? для того, чтобы искомое решение принадлежало
H R (?), R ? 1 [8?.
пространству Соболева
Как правило, суперэлемент
тот акт, что
??k
тот случай, когда
?k
является многоугольником, и необходимо учитывать
C 0 гладкости. Мы вправе рассматривать лишь
принадлежит классу
??k
многоугольная граница либо граница, состоящая из конечного
??k = ?l Ikl , l = 1, . . . , L. Введем обозначения: |I| длина
Ikl ; ? порядок граничного сплайна ?i , построенного при разбиении границы S =
?k ??k на (N ? 1) отрезок; u? приближенное решение; ??N u его сплайн-интерпо-
числа гладких кривых, т. е.
лянт [9?.
Будем
говорить
[9?,
что
метод
имеет
насыщение
(насыщаем)
на
классах
R
H (?), R > 1, если
?R0 , для
которого:
1) lim
sup u ? ??N uH 1 (?) = 0 при R ? R0 ;
N ?? u?H R (?)
2)
sup u ? ??N uH 1 (?) = o( sup u ? ??N uH 1 (?) )
u?H P (?)
u?H R (?)
R
R0 <R существует u ? H (?) и не зависящая
u ? ??N (u) 1 ? c sup u ? ??N u 1 .
H (?)
H (?)
3) при
что
при
от
R < P ? R0 ;
?
константа
c > 0,
такая,
u?H R0 (?)
Следующее утверждение базируется на теореме о разрешимости задачи Дирихле в
H 1 (?) со следами класса H 1/2 (S). Оно устанавливает свойство
1
насыщаемости МКСЭ и априорные оценки в H (?). Его получение использует теорию
пространстве Соболева
интерполяции пространств [10?, методы МКЭ [11?, результаты насыщаемости при полиномиальной интерполяции в пространстве L2 [12?. Исследование МКСЭ в простран1
1/2
стве Соболева H (?) сводится к работе со следами решений из H
(S), где мы можем
пользоваться и свойствами стандартных оценок при их соответствующем корректном
преобразовании.
Утверждение 1. Пусть МКСЭ соответствует интерполяции лагранжевыми сплай-
нами на границах суперэлементов
S,
S
равномерно с характерным шагом
1
сетки |I| . Тогда МКСЭ имеет насыщение по гладкости в пространстве H (?) на класs
?+3/2
сах H (?), s > 1, s ? R. Классом насыщения является H
(?), порядком насыщеs
ния O(1/N ). Справедливы следующие априорные оценки погрешностей метода в
1
пространстве H (?).
При
разбиение
? ? R ? 3/2:
1/2
1/2
ku ? u?kH 1 (?) ? CMR?1/2 MR?3/2
1
|I|R?1/2 |u|H R (?) ,
(? + 1)R?1
78
С. А. Лазарева
где константа
C
зависит от параметров исходного оператора и постоянных в неравен-
MR?1/2
? ? R ? 3/2
ствах вложения, а
При
и
MR?3/2
зависят только от
R.
ku ? u?kH 1 (?) ? C? · |I|?+1 |u|H ?+3/2 (?) ,
где константа
C?
зависит только от
?,
параметров исходного оператора и постоянных
неравенств вложения.
Повышение порядка полиномов на суперэлементных границах повлечет за собой ап1
проксимант более высокой точности МКСЭ в пространстве H (?) (для ? ? R?3/2). Это
подтверждено полученными оценками. В случае аппроксимации производных решения
1
при помощи МКСЭ в пространстве H (?) такая ситуация изменится, а исследование
потребует привлечения дополнительных актов. Проблема регулярности ограничения
приближенного решения МКСЭ на отдельный суперэлемент представляет как отдельный интерес, так и служит для получения оценок погрешностей производных. Далее
приведем асимптотику приближенного решения МКСЭ в окрестностях углов суперэлементного разбиения и выясним свойства его гладкости. езультаты, приведенные ниже
для угла суперэлемента, можно обобщить на всю расчетную область.
2. ладкость решения. Аппроксимация производных
Утверждение 2. Пусть
?, 0 < ? < ?; P
?
??
один из углов суперэлемента с границей
его вершина;
P r?
раствора
полярная система координат, связанная с
?.
раничные базисные ункции МКСЭ в некоторой окрестности
P,
??1
Тогда приближенное
??2 , представляют собой полиномы порядка
решение u? МКСЭ в этой окрестности представимо в
и
u? =
не выше
?.
на границах угла
виде
? P
?
q
?
r
a?
cos(q?)
+
b?
sin(q?)
, ?/? ?
/ {b ? Z, b ? ?} ,
?
q
q
?
?
q=0
?
?
?
? P [r q (a?q cos(q?) + c?q ? cos(q?)) + r q ln rc?q sin(q?)]+
(6)
q=j?/?
?
0?q??
?
?
P q
?
?
+
r
a?
cos(q?)
+
b?
sin(q?)
, j?/? ? {b ? Z, b ? ?}
?
q
q
?
? q6=j?/?
?j = 1, 2, ...,
0?q??
где
a?q =
A1q , A2q
q
ред r .
A2q ;
b?q sin(q?) =
A1q
?
A2q
1
cos(q?) ; c?q =
?
A1q ?
коэициенты решения (граничного полинома
??)
1
A2
cos(q?) q
,
на границах
q = 0, ..., ? ;
??1 , ??2
Полученное выражение определяет и гладкость приближенного решения
в соболевских пространствах. Если
?/? ? Z
по отношению к граничному условию так, что
c?q .
В противном случае решение в угле
женное решение в суперэлементе
граничному условию на
?k
?
u?
пе-
МКСЭ
?/? ? ? , то решение u? нерегулярно
u? ? H ?/? (?k ) для произвольных a?q , b?q ,
и
обладает бесконечной гладкостью, а прибли-
имеет максимальную гладкость по отношению к
??k .
С использованием асимптотики приближенного решения в углах суперэлементов
могут быть получены априорные оценки погрешностей производных решения МКСЭ
79
Аппроксимационные свойства МКСЭ Федоренко
локально в данных углах. Для этого использовано разложение произвольной гарQ R?1/2
монической ункции в области суперэлемента ?k со следами класса
H
(Ikl ).
l
азложение может быть найдено из результатов для весовых пространств Соболева
с неоднородной нормой [13?.
Сведем сначала результаты для априорных оценок погрешностей приближения проH 1 (?) (или, что одно
изводных решения первого порядка в МКСЭ в норме пространства
2
и то же, оценок самого решения в норме H (?) в угле ?).
Утверждение 3. Пусть вариант МКСЭ соответствует полиномиальной аппрокси-
? на границах ?? в окрестности угла ? суперэлементного разбиения раствора 0 < ? < ? . Тогда априорные оценки погрешностей МКСЭ в пространстве
H 2 (?) в этом угле имеют следующий вид.
1. Случай ?/? ?
/ {b ? Z, b ? ?} . Для многоугольного суперэлемента это эквивалентно выполнению: ?/? не принадлежит множеству рациональных приведенных дробей,
или же для рационального дробного раствора ?/? выполнено ? = 0, 1, или ? = 2 при
? < ?/2. Тогда при ? ? R ? 3/2
h
i
?
ku ? u?k2,? ? C? |I| |u|H ?+1 (??) + |?u/?n|H ? (??) ,
мации порядка не выше
где
C?
зависит только от
?,
1/2
при
? ? R ? 3/2
1/2
ku ? u?k2,? ? cMR?3/2 MR?5/2
i
|I|R?3/2 h
|u|
+
|?u/?n|
R?1/2
R?3/2
H
(??)
H
(??) ,
? R?5/2
MR?3/2 , MR?5/2 зависят только от R.
?/? ? {b ? Z, b ? ?} . Для многоугольного суперэлемента это эквивалентно выполнению: величина ?/? представима в виде приведенной рациональной дроби и
? ? 3, либо ? = 2 и ? = ?/2. Тогда при ? ? R ? 3/2
где константы
2. Случай
ku ? u?k2,?
?
i
h
XX
??
???
? |I| C? |u|H ?+1 (??) + C |?u/?n|H ? (??) + C
|c?q |,
?
??i q=1
где константы зависят только от ? , c?q соответствуют (6). Погрешность МКСЭ на классе
H R (?) в пространстве H 2(?), т. е. величина sup ku ? ?? uk2,? не обладает сходимоu?H R (?)
стью к нулю при
|I| ? 0
. Существует некоторая константная погрешность, и справед-
ливо
C?,? ?
sup ku ? ?? uk2,? .
u?H R (?)
При
? ? R ? 3/2
ku ? u?k2,?
i
X R?3/2
X
|I|R?3/2 h ?
??
???
? R?5/2 CR |u|H R?1/2 (??) + CR |?u/?n|H R?3/2 (??) + CR
|c?q |
?
q=1
??
i
и константы зависят от показателя гладкости R, c?q соответствуют (6). Погрешность
R
2
МКСЭ на классе H (?) в пространстве H (?) не обладает сходимостью к нулю при
|I| ? 0.
Существует некоторая константная погрешность, и справедливо:
CR,? ?
sup ku ? ?? uk2,? .
u?H R (?)
80
С. А. Лазарева
Утверждение 4. Для сходимости погрешности метода к нулю в пространстве
при
?/? ? {b ? Z, b ? ?}
H 2 (?)
необходимо и достаточно выполнения условий
A1q cos(q?) ? A2q = 0,
?q = j?/?,
q = 1, ..., min{?, R ? 3/2},
j = 1, 2, ...
Соответствующие оценки совпадают с п. 1 предыдущего утверждения.
P xy система координат такая, что ось P x направлена по
P y по другой его стороне. Для сходимости погрешности
2
метода к нулю в пространстве H (?) при ?/? ? {b ? Z, b ? ?} необходимо и достаточно,
чтобы след граничного интерполянта ?? на сторонах угла ??i , i = 1, 2, был следом
некоторого гармонического полинома pH (x, y) в координатах Oxy в этом угле.
Можно показать, что при M ? Z, M ? 3 норма ошибки ku ? u?kM,? расходится. МеУтверждение 5. Пусть
одной стороне угла
?
и ось
тод конечных суперэлементов не аппроксимирует производные решения порядка больH 1 (?).
ше единицы в норме
Заключение
абота посвящена качественному анализу МКСЭ Федоренко. Получены априорные
оценки погрешностей МКСЭ в шкале пространств Соболева на примере задачи Дирихле. Данный вопрос связан с получением аппроксимантов повышенного порядка точности. Определена гладкость приближенного решения. азрешен вопрос о сходимости
производных любого порядка, при наличии такой сходимости результат подтвержден
характерными априорными оценками. Метод конечных суперэлементов позволяет разрешать задачи, содержащие мелкие сингулярности в расчетной области, обладая при
этом погрешностями приближения решения, оцениваемыми только относительно ограничений этого решения на гладких частях суперэлементных границ. Это не требует
использования сеток, сгущающихся в окрестностях сингулярностей , и связано с выбором особых аппроксимирующих пространств. Исследование позволяет установить особенности, свойственные специике аппроксимаций МКСЭ.
Список литературы
[1?
[2?
конечных суперэлементов в задачах конвекции-диузии / В.Т. Жуков, Н.Д. Новикова, Л.. Страховская, .П. Федоренко и др. М., 2001 (Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша
АН. ќ 8).
Метод
Федоренко .П.
Введение в вычислительную изику. М.: МФТИ, 1994.
[3?
Galanin M., Savenkov E. Fedorenko nite superelement method as speial Galerkin approximation // Math. Modelling and Analysis. 2002. Vol. 7, N 1. P. 4150.
[4?
К обоснованию метода конечных суперэлементов Федоренко // Журн. вычисл. математики и мат. изики. 2003. Т. 43, ќ 5. С. 711727.
аланин М.П., Савенков Е.Б.
[5?
Galanin M., Lazareva S., Savenkov E.
Fedorenko nite superelement method and its
appliations // Comp. Methods in Appl. Math. 2007. Vol. 7, N 1. P. 324.
[6?
Galanin M., Lazareva S., Savenkov E.
Numerial investigation of the nite superelement
method for the 3D elastiity problems // Math. Modelling and Analysis. 2007. Vol. 12, N 1.
P. 3950.
Аппроксимационные свойства МКСЭ Федоренко
[7?
[8?
[9?
81
Galanin M., Savenkov E., Temis J. Finite Ssperelements Method for elastiity problems //
Math. Modelling and Analysis. 2005. Vol. 10, N 3. P. 237246.
Лионс Ж.-Л., Мадженес Э.
Мир, 1971.
Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:
Локуциевский О.В., авриков М.Б.
Начала численного анализа. М.: Янус, 1995.
[10?
Трибель Х.
Теория интерполяции, ункциональные пространства, диеренциальные
операторы. М.: Мир, 1980.
[11?
Сьярле Ф.
[12?
Бабенко К.И.
[13?
Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Rossmann J.
Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.
Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач
математической изики. М.: Наука, 1979.
Ellipti boundary value problems in domains
with point singularities. Providene: AMS, 1997.
Поступила в редакцию 20 евраля 2008 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
213 Кб
Теги
суперэлементы, конечный, метод, аппроксимационные, федоренко, свойства
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа