close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аппроксимация гиперболических дифференциальных включений с внешними возмущениями.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Выведенные функциональные зависимости применяются при дальнейшем описании поведения домашних хозяйств, оценке характера взаимодействия с другими экономическими
агентами рассматриваемой системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И. Макроэкономика: Учебник. 6-е издание, испр. и
доп. М.: Высшее образование, 2006. 654 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке ЗАО «ПРОГНОЗ».
Поступила в редакцию 10 июня 2015 г.
Simonov P.M., Shults M.N. MODELING HOUSEHOLDS IN GENERAL EQUILIBRIUM THEORY
The article discusses the use of the general equilibrium theory in constructing and analyzing a model
of the household functioning.
Key words: general equilibrium theory; computable general equilibrium model; households.
Симонов Петр Михайлович, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры информационных систем и математических методов в экономике, e-mail:
simpm@mail.ru
Simonov Pyotr Mihkailovich, Perm State National Research University, Perm, the Russian Federation,
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Information Systems and Mathematical
Methods in Economics Department, e-mail: simpm@mail.ru
Шульц Михаил Николаевич, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант кафедры информационных систем и математических методов в экономике, e-mail: mshults@mail.ru
Shults Mikhail Nikolaevich, Perm State National Research University, Perm, the Russian Federation,
Post-graduate Student of the Information Systems and Mathematical Methods in Economics Department,
e-mail: mshults@mail.ru
УДК 517.911.5
АППРОКСИМАЦИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ВКЛЮЧЕНИЙ С ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
c
В.В. Скоморохов
Ключевые слова: гиперболические дифференциальные включения с импульсными воздействиями; аппроксимирующее отображение; радиус внешних возмущений; модуль
непрерывности отображения; δ –решение.
В работе изучаются гиперболические дифференциальные включения с импульсными
воздействиями. Дано определение приближенного решения ( δ –решения) гиперболического дифференциального включения с импульсными воздействиями, установлены ассимптотические свойства множеств решений аппроксимирующих дифференциальных
включений с внешними возмущениями.
1440
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Пусть Rn — n -мерное векторное пространство с нормой | · | ; comp[Rn ] — множество
всех непустых, компактов Rn ; h[·, ·] — расстояние по Хаусдорфу между множествами,
содержащимися в пространстве Rn . Обозначим C n ([a, b] × [c, d]) пространство непрерывных функций u : [a, b] × [c, d] → Rn с нормой kuk = max{|u(t, x)| : (t, x) ∈ [a, b] × [c, d]} .
Ln ([a, b] × [c, d]) — пространство суммируемых по Лебегу функций u : [a, b] × [c, d] → Rn с
Rb Rd
|u(t, x)| dtdx .
нормой kuk =
a c
Будем говорить, что F : [a, b] × [c, d] × Rn → comp[Rn ] удовлетворяет условиям Каратеодори, если выполняются следующие условия:
1) при каждом u ∈ Rn отображение F (·, ·, u) измеримо;
2) при почти всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] отображение F (t, x, ·) непрерывно;
3) для каждого ограниченного множества V ⊂ Rn найдется такая функция mV (·, ·) ∈
∈ L1 ([a, b] × [c, d]), что при почти всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] и всех u ∈ V выполняется
неравенство kF (t, x, u)k 6 mV (t, x) .
Пусть tk ∈ [a, b] ( a < t1 < . . . < tm < b ) — конечный набор точек. Обозначим через
e n ([a, b] × [c, d]) множество всех непрерывных на каждом из промежутков [a, t1 ] × [c, d] ,
C
(t1 , t2 ] × [c, d] , . . . , (tm , b] × [c, d] ограниченных функций u : [a, b] × [c, d] → Rn , имеющих
пределы справа в точках tk , k = 1, 2, . . . , m с нормой kxkC
e n [a,b] = sup{|u(t, x)| : t ∈ [a, b] ×
× [c, d]} .
Рассмотрим задачу
∂2u
∈ F (t, x, u(t, x)),
∂t∂x
(t, x) ∈ [a, b] × [c, d],
∆(u(tk , x)) = Ik (u(tk , x)),
u(t, 0) = α(t),
k = 1, 2, . . . , m,
u(0, x) = β(x),
(1)
(2)
(3)
где α(·) , β(·) , непрерывны и α(0) = β(0) , отображение F : [a, b] × [c, d] × Rn → comp[Rn ]
удовлетворяет условиям Каратеодори. Отображения Ik : Rn → Rn , k = 1, 2, . . . , m , непрерывны, ∆(u(tk , x)) = u(tk + 0, x) − u(tk , x) , k = 1, 2, . . . , m.
e n ([a, b] × [c, d]) , для коПод решением задачи (1)–(3) будем понимать функцию u ∈ C
n
торой существует такое q ∈ L ([a, b] × [c, d]) , что при почти всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] выполняется включение q(t, x) ∈ F (t, x, u(t, x)) , и при всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] имеет место
представление
u(t, x) = α(t) + β(x) − α(0) +
Zt Zx
a c
q(s, τ ) dsdτ +
m
X
χ(tk ,b] Ik (u(tk , x)).
(4)
k=1
Обозначим через K([a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞)) множество всех функций η : [a, b] × [c, d] ×
× Rn × [0, ∞) → [0, ∞), обладающих следующими свойствами:
1) при каждых (u, δ) ∈ Rn × [0, ∞) функция η(·, ·, u, δ) измерима;
2) при почти всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] и всех δ ∈ [0, ∞) функция η(t, x, ·, δ) непрерывна;
3) для каждых U ∈ comp[Rn ] и δ ∈ [0, ∞) существует такая суммируемая функция
µU,δ : [a, b] × [c, d] → [0, ∞), что при почти всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] и всех u ∈ U и τ ∈ [0, δ]
выполняется неравенство η(t, x, u, τ ) 6 µU,δ (t, x);
4) при почти всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] и каждого u ∈ Rn выполняются равенства
lim η(t, x, z, δ) = η(t, x, u, 0) = 0.
z→u
δ→0+0
1441
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
Обозначим через P ([a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞)) множество всех функций η : [a, b] × [c, d] ×
× Rn × [0, ∞) → [0, ∞), обладающих свойствами из класса функций K([a, b] × [c, d] × Rn ×
× [0, ∞)), а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U ∈ comp[Rn ] и
δ ∈ (0, ∞) найдутся такие числа r(U, δ) > 0 и γ(U, δ) > 0, что при почти всех (t, x) ∈
∈ [a, b] × [c, d] и всех u ∈ U число r(U, δ) удовлетворяет неравенству r(U, δ) 6 η(t, x, u, δ),
а для числа γ(U, δ) при почти всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] , всех u ∈ U и τ ∈ [0, δ] имеет место
оценка η(t, x, u, τ ) 6 γ(U, δ) .
Пусть ψ(·, ·, ·, ·) ∈ P ([a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞)) . Определим функцию ϕ(ψ) : [a, b] × [c, d] ×
× Rn × [0, ∞) → [0, ∞) равенством
ϕ(ψ)(t, x, u, δ) =
sup
h[F (t, x, u), F (t, x, v)].
(5)
v∈B[u,ψ(t,x,u,δ)]
Значения функции ϕ(ψ)(·, ·, ·, ·) в точке (t, x, u, δ) будем называть модулем непрерывности отображения F : [a, b] × [c, d] × Rn → comp[Rn ] в точке (t, x, u) по переменной u в
шаре B[u, ψ(t, x, u, δ)], функцию ψ(·, ·, ·, ·) — функцией радиуса модуля непрерывности или
просто радиусом непрерывности, а саму функцию ϕ(ψ)(·, ·, ·, ·) — функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения F : [a, b]×[c, d]×Rn → comp[Rn ]
относительно радиуса непрерывности ψ(·, ·, ·, ·).
Будем говорить, что многозначное отображение Fe : [a, b]×[c, d]×Rn ×[0, ∞) → comp[Rn ]
аппроксимирует отображение F : [a, b] × [c, d] × Rn → comp[Rn ], если найдется такая функция ξ(·, ·, ·, ·) ∈ K([a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞)), что при почти всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] и всех
(u, δ) ∈ Rn × [0, ∞) выполняется оценка
h[F (t, x, u), Fe(t, x, u, δ)] 6 ξ(t, x, u, δ).
(6)
Qη (t, x, u, δ) = Fe(t, x, u, δ)η(t,x,u,δ) ,
(7)
Отображение Fe(·, ·, ·, ·) будем называть аппроксимирующим отображение F (·, ·, ·) или
просто аппроксимирующим. Функция ξ(·, ·, ·, ·) ∈ K([a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞)) в неравенстве (6) определяет степень близости значения Fe(t, x, u, δ) в точке (t, x, u) ∈ [a, b]×[c, d]×Rn
к значению F (t, x, u) для каждого фиксированного δ ∈ [0, ∞). Эту функцию ξ(·, ·, ·, ·) будем называть степенью аппроксимации отображения F : [a, b] × [c, d] × Rn → comp[Rn ]
отображением Fe : [a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞) → comp[Rn ] или просто степенью аппроксимации.
Пару (Fe(·, ·, ·, ·), ξ(·, ·, ·, ·)) будем называть аппроксимацией отображения F (·, ·, ·) или
просто аппроксимацией, а если при почти всех (t, x) ∈ [a, b]×[c, d] и всех (u, δ) ∈ Rn ×[0, ∞)
выполняется включение F (t, x, u) ⊂ Fe(t, x, u, δ) , то аппроксимацией вложением.
Значения аппроксимирующего отображения Fe(·, ·, ·, ·) могут вычисляться с некоторой
степенью точности, которую можно задать некоторой функцией η(·, ·, ·, ·) ∈ K([a, b]×[c, d]×
× Rn × [0, ∞)) .
В связи с этим рассмотрим отображение Qη : [a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞) → comp[Rn ],
определенное равенством
где функция η(·, ·, ·, ·) ∈ K([a, b]×[c, d]×Rn ×[0, ∞)) в каждой точке (t, x, u) ∈ [a, b]×[c, d]×
×Rn при каждом фиксированном δ ∈ [0, ∞) определяет погрешность вычисления значений
аппроксимирующего отображения Fe(·, ·, ·, ·) . Далее, функцию η(·, ·, ·, ·) будем называть
радиусом внешних возмущений аппроксимирующего отображения Fe(·, ·, ·, ·) или просто
радиусом внешних возмущений.
Пусть η(·, ·, ·, ·) ∈ K([a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞)) . Рассмотрим при каждом фиксированном
δ ∈ [0, ∞) дифференциальное включение
∂2u
∈ Qη (t, x, u(t, x), δ),
∂t∂x
1442
(8)
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
где отображение Qη : [a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞) → comp[Rn ] задано равенством (7). Дифференциальное включение (8) будем называть аппроксимирующим дифференциальное включение (1) с внешними возмущениями.
Каждое решение включения (8) с импульсными воздействиями (2) и условиями (3) при
фиксированном δ > 0 будем называть δ -решением (приближенным решением с точностью
до δ или просто приближенным решением) включения (1).
Пусть отображение F : [a, b] × [c, d] × Rn → comp[Rn ] удовлетворяет условиям Каратеодори. Рассмотрим задачу
∂2u
∈ co F (t, x, u(t, x)),
(9)
∂t∂x
∆(u(tk , x)) = Ik (u(tk , x)), k = 1, 2, . . . , m,
(10)
u(t, 0) = α(t),
u(0, x) = β(x),
(11)
где co F (·, ·, u(·, ·)) — выпуклая оболочка множества F (·, ·, u(·, ·)) , отображения Ik : Rn →
→ Rn , k = 1, 2, . . . , m , непрерывны, ∆(u(tk , x)) = u(tk + 0, x) − u(tk , x) , k = 1, 2, . . . , m ,
α(·), β(·) , непрерывны и α(0) = β(0) .
Обозначим через H(V ), Hco (V ) множества решений задач (1)–(3) и (9)–(11), соответe n ([a, b] × [c, d]) .
ственно, принадлежащих множеству V ⊂ C
n
e ([a, b] × [c, d]) , η(·, ·, ·, ·) ∈ K([a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞)) . Обозначим чеПусть V ⊂ C
рез Hη(δ) (V ) множество всех решений задачи (8), (2), (3) с заданным радиусом внешних
возмущений, принадлежащих множеству V .
Т е о р е м а. Пусть V — ограниченное замкнутое множество пространства
e n ([a, b] × [c, d]) и пусть ψ(·, ·, ·, ·) ∈ P ([a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞)) . Далее, пусть пара
C
(Fe(·, ·, ·, ·), ξ(·, ·, ·, ·)) аппроксимирует отображения F (·, ·, ·) вложением. Тогда для любой
функции η(·, ·, ·, ·) ∈ K([a, b] × [c, d] × Rn × [0, ∞)) , для которой существует такое число
ε > 0 , что при почти всех (t, x) ∈ [a, b] × [c, d] , всех u ∈ (U (V ))ε и δ ∈ [0, ∞) имеет
место неравенство
ϕ(ψ)(t, x, u, δ) 6 η(t, x, u, δ),
где ϕ(ψ)(t, x, u, δ) — модуль непрерывности отображения F (·, ·, ·) , выполняется соотношение
\
Hco (V ) =
Hη(δ) (V δ ),
δ>0
e n ([a, b]×[c, d]) множества Hη(δ) (V δ ), V δ —
где Hη(δ) (V δ ) — замыкание в пространстве C
e n ([a, b] × [c, d]) δ -окрестность множества V.
замкнутая в пространстве C
ЛИТЕРАТУРА
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. К.:
Вища шк., 1987.
3. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.
4. Булгаков А.И., Скоморохов В.В., Филиппова О.В. Асимптотические свойства множества δ –решений
функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями // Вестник Тамбовского
университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1039-1043.
5. Булгаков А.И., Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциальных включений // Матем. сборник.
2002. Т. 193. № 2. С. 35-52.
Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.
Skomorokhov V.V. APPROXIMATION OF HYPERBOLIC DIFFERENTIAL INCLUSIONS WITH
IMPULSES AND WITH EXTERNAL PERTURBATIONS
1443
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015
In this paper, hyperbolic differential inclusions with external perturbations and with impulses are
considered. Here we represent the concept of approximate solution ( δ –solution) for a hyperbolic differential inclusion with impulses. The asymptotic properties of solutions sets to approximating differential
inclusions with external disturbance are derived.
Key words: hyperbolic differential inclusions with impulses; approximating map; radius of external
perturbations; modulus of continuity; δ –solution.
Скоморохов Виктор Викторович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: uaa@nnn.tstu.ru
Skomorokhov Viktor Viktorovich, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department,
e-mail: uaa@nnn.tstu.ru
УДК 517.968
О ВЫЧИСЛЕНИИ ЯДРА ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ,
ВОЗНИКАЮЩЕГО В ОБРАТНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧЕ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
c
С.В. Солодуша, И.В. Мокрый
Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра I рода; численные методы.
Статья посвящена специфике вычисления ядер уравнений Вольтерра I рода при фиксированной длине мантиссы в машинном представлении вещественного числа с плавающей точкой. На языке PASCAL разработано программное обеспечение для вычисления
ядер, реализующее функцию отслеживания достоверных разрядов мантиссы. На тестовых примерах проиллюстрированы типовые случаи систематического накопления
ошибок.
В статье рассматривается интегральное уравнение Вольтерра I рода типа свертки:
Zt
0
KN (t − s)φ(s)ds = y(t), 0 6 s 6 t 6 T,
KN (t − s) =
N
X
(−1)q+1 q 2 e−π
2 q 2 (t−s)
, y(t) =
q=1
1
g0 (t) ,
2π 2
(1)
(2)
введенное в [1] в связи с поиском решения u(1, t) обратной граничной задачи
ut = uxx ,
x ∈ (0, 1) ,
t > 0,
u (x, 0) = 0, u (0, t) = 0, ux (0, t) = g0 (t) .
При численном решении (1), (2) возникают погрешности, связанные не только с погрешностью метода, но и с ошибками при выполнении операций машинной арифметики над
вещественными числами с плавающей точкой.
Цель данной работы — разработать алгоритм вычисления KN , учитывающий особенности машинной арифметики и обеспечивающий желаемое (заданное) число достоверных
1444
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
279 Кб
Теги
дифференциальной, включение, возмущениями, внешними, аппроксимация, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа