close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аппроксимация конечными элементами краевой задачи на собственные значения вырождающегося дифференциального оператора.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2005
Том 147, кн. 3
УДК 519.6
АППОКСИМАЦИЯ КОНЕЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
КАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ВЫОЖДАЮЩЕОСЯ ДИФФЕЕНЦИАЛЬНОО
ОПЕАТОА
М.. Тимербаев
Аннотация
ассматривается краевая задача на собственные значения вырождающегося диеренциального оператора. На основе мультипликативного выделения особенности собственных ункций строится аппроксимация задачи конечными элементами со специальным базисом и устанавливается оценка погрешности аппроксимации в энергетической
норме.
Введение
абота посвящена построению и получению оценок точности схемы метода конечных элементов, основанной на мультипликативном выделении особенности, для
обобщенной краевой задачи на собственные значения эллиптического диеренциального оператора, коэициенты которого могут не удовлетворять условию
равномерной эллиптичности.
Условие равномерной эллиптичности означает, что собственные значения матрицы коэициентов диеренциального оператора при старших производных
ограничены снизу некоторой положительной постоянной. Если это условие не выполнено, т. е. в некоторых точках области или границы хотя бы одно из собственных
значений обращается в нуль, то такой диеренциальный оператор называется вырождающимся. Вырождающиеся или близкие к ним операторы возникают
при описании обменных или диузионных процессов в неоднородных средах,
изические характеристики которых, такие, как теплопроводность, коэициент
диузии, магнитная проницаемость, в некоторых точках среды могут быть близки к нулю или (в пределе) равны нулю. Классическим примером является оператор
Трикоми ? 2 /?x2 + x? 2 /?y 2 , представляющий интерес для газовой динамики. Оператор Трикоми эллиптичен в области {(x, y) : x > 0} и вырождается на прямой
x = 0.
Численному решению методом конечных элементов краевых задач на собственные значения равномерно эллиптических диеренциальных операторов с гладкими коэициентами (такие операторы будем называть регулярными) посвящена
обширная литература (см., например, [13? и библиограию там). Однако следует отметить, что стандартный метод конечных элементов решения проблемы
собственных значений, использующий кусочно-полиномиальный базис, становится неэективным для вырождающихся операторов, что подтверждается аналитическими выкладками и численными экспериментами. Причина неудовлетворительной аппроксимации заключается в том, что в окрестности точек вырождения
коэициентов собственные ункции имеют характерные неограниченные градиенты и кусочно-полиномиальный базис мало пригоден для приближения таких
ункций.
158
М.. ТИМЕБАЕВ
азвиваемый в данной работе подход к решению проблемы собственных значений вырождающегося оператора основан на идее представления собственной ункции u(x) диеренциального оператора в акторизованном виде u(x) = ?(x)u?(x) ,
где ункция ?(x) строится по коэициентам вырождающегося диеренциального оператора и передает асимптотику решения в окрестности точек вырождения,
а ункция u?(x) обладает существенно лучшими по сравнению с u(x) свойствами
для аппроксимации конечными элементами. Такое мультипликативное выделение
особенности было использовано автором в [4? при дискретизации краевой задачи
Дирихле для вырождающегося уравнения. Полученная в работе оценка погрешности предлагаемого метода вычисления собственных пар (собственных значений
и соответствующих им собственных ункций) имеет такой же порядок малости
по шагу конечноэлементной сетки, что и стандартный метод конечных элементов
в регулярном случае. Подчеркнем,что рассматриваемый в работе метод является
новым методом аппроксимации (в частности, и в регулярном случае), он эективен как для регулярного эллиптического оператора, так и для вырождающегося.
1.
Метод алеркина решения обобщенной задачи на собственные
значения в гильбертовом пространстве
Пусть V обозначает вещественное
p гильбертово пространство со скалярным произведением (·, ·) и нормой kvk = (v, v) . Пусть a(·, ·), b(·, ·) две симметричные,
непрерывные, билинейные ормы на V Ч V , удовлетворяющие условиям
a(v, v) ? c0 kvk2 ,
b(v, v) > 0 ?v ? V, v 6= 0,
(1)
где c0 > 0 некоторая постоянная; орму a в этом случае называют эллиптичной
на пространстве V . Обозначим через Vb гильбертово пространство со скалярным
произведением
b(·, ·) , полученное пополнением пространства V по норме kvkb =
p
=
b(v,
pv) . Тогда V непрерывно и плотно вложено в Vb . Заметим, что норма
kvka = a(v, v) эквивалентна норме пространства V и Va = V .
ассмотрим задачу об отыскании числа ? и ненулевого вектора u ? V , удовлетворяющих вариационному уравнению
a(u, v) = ?b(u, v)
?v ? V.
(2)
В общепринятой терминологии число ? называется собственным значением ормы
a относительно ормы b , а u собственным вектором, соответствующим собственному значению ? , (?, u) собственная пара ормы a относительно b .
Форма a ормулой hAu, vi = a(u, v) порождает линейный непрерывный оператор A : V ? V ? , где V ? обозначает сопряженное к V пространство, а скобки h·, ·i отношение двойственности между V ? и V . Соответственно, орма b определяет
линейный непрерывный оператор B : Vb ? Vb? ? V ? такой, что hBu, vi = b(u, v) .
Задача (2) тогда эквивалентна задаче
Au = ?Bu
(3)
об отыскании собственной пары (?, u) оператора A относительно B . Далее мы
предполагаем, что пространство V компактно вложено в Vb , т. е. единичный
шар пространства V компактен в пространстве Vb . Тогда из спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве
следует (здесь мы исключаем случай dim V < ? )
Теорема 1. Существуют счетные множества собственных значений, занумерованные с учетом кратности, 0 < ?1 ? ?2 ? . . . , ?n ? ? при n ? ? , и
АППОКСИМАЦИЯ КОНЕЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ КАЕВОЙ ЗАДАЧИ
соответствующих им собственных векторов un ?
задачи (2) (или (3)), образующих полную систему в
условиям ортонормированности
a(um , un ) = ?m b(um , un ) = ?mn ,
159
V , являющихся решениями
V и Vb и удовлетворяющих
m, n = 1, . . . , ?.
(4)
Метод алеркина решения задачи (2) состоит в выборе конечномерных подпространств VN ? V и последующем решении конечномерных спектральных задач об
отыскании пар (?, u) ? R Ч VN таких, что
a(u, v) = ?b(u, v)
?v ? VN .
(5)
Пусть {(?i,N , ui,N ) : i = 1, . . . , nN } конечная последовательность решений
задачи (5), где nN = dim VN , причем 0 < ?1,N ? ?2,N ? . . . ? ?nN ,N , и
a(ui,N , uj,N ) = ?i,N b(ui,N , uj,N ) = ?ij при i, j = 1, . . . , nN . Для u ? V обозначим через ?N (u) = min{ku ? vk : v ? VN } расстояние от u до подпространства VN .
Имеет место следующее утверждение об оценке погрешности метода алеркина [1?:
Теорема 2. (i) Для каждой собственной ункции ui,N задачи (5) существузадачи (2), соответствующая собственному значеет собственная ункция ui p
нию ?i , такая, что kui ka ?
a(ui , ui ) = 1 , и справедлива оценка
kui ? ui,N k ? ci ?N (ui ),
где
ci не зависит от N .
(ii) Для собственных значений исходной и приближенной задач имеем оценку
2
0 ? ?i,N ? ?i ? ci ?N
(ui ).
Из теоремы следует, что для сходимости метода алеркина необходимо потребовать, чтобы последовательность аппроксимирующих подпространств (VN ) была
предельно плотна в V , т. е. чтобы для любого u ? V имела место сходимость
?N (u) ? 0 при N ? ? .
2.
Формулировка краевой задачи на собственные значения и оценки
собственных ункций в нормах весовых пространств Соболева
В области ? = (0, 1) Ч (0, 1) рассматривается задача на собственные значения
?
?
??1 x?
1 a1 (x)?1 u(x) ? x1 ?2 a2 (x)?2 u(x) = ?x1 b(x)u(x) в ?, u = 0 на ??.
(6)
Здесь x = (x1 , x2 ) точка области ? , ?i оператор обобщенного диеренцирования по переменной xi . Предполагается, что коэициенты ai (x) и b(x) достаточно
гладкие и положительные в ? . Параметры ? , ? произвольные вещественные числа, удовлетворяющие условию
? < min(1, ? + 2).
(7)
В частном случае ? = ? = 0 рассматриваемая задача будет регулярной, при ? >
> 0 диеренциальный оператор вырождается на части границы ? = {0} Ч [0, 1] .
Отметим, что при ? ? 1 нетривиальных решений задачи (6) не существует, поэтому
мы этот случай не рассматриваем.
Для дальнейшего анализа введем весовые классы ункций. Для произвольного
вещественного параметра ? через L2,? (?) обозначается пространство измеримых
ункций f (x) с конечной нормой, определяемой ормулой
Z
2
2
kf |L2,? (?)k2 = |x??
f
|
=
|x??
1
1 f (x)| dx.
2,?
?
160
М.. ТИМЕБАЕВ
Для натурального m через H?m (?) обозначим весовое пространство Соболева,
состоящее из ункций u(x) , все обобщенные производные порядка m которых
принадлежат пространству L2,? (?) ; квадрат нормы в этом пространстве можно
определить, например, таким образом:
Z
X Z ??
ku|H?m (?)k2 =
|x1 Di u(x)|2 dx + |u(x)|2 dx,
|i|=m ?
?
где ? ? ? произвольный иксированный компакт ненулевой плоской меры Лебега (различный выбор ? будет приводить к эквивалентным нормировкам), и для
мультииндекса i = (i1 , i2 ) с порядком |i| = i1 + i2 используется стандартное обозначение обобщенной производной Di = ?1i1 ?2i2 . На пространстве H?m (?) мы будем
использовать полунорму, определяемую равенством
X Z ??
m 2
|x??
?
u|
=
|x1 Di u(x)|2 dx.
1
2,?
|i|=m ?
?
m
?
Через H m
? (?) обозначается замыкание в пространстве H? (?) множества C0 (?)
инитных бесконечно диеренцируемых ункций. При ? > ?1/2 пространство
?
H 1? (?) состоит в точности из тех ункций пространства H?1 (?) , которые имеют
нулевой след на границе ?? . При ? ? ?1/2 у ункций из H?1 (?) не определен
?
след на ? , и пространство H 1? (?) совпадает с пространством H??1 (?) , состоящим
из тех ункций из H?1 (?) , которые имеют нулевой след на части границы ?? \ ? .
?
Для ункций из H1? (?) при ? + 1/2 6= 0 имеет место неравенство Харди [5?
|x1???1 u|2,? ?
1
|x?? ?1 u|2,? ,
|? + 1/2| 1
(8)
?
откуда вытекает непрерывное (но не компактное) вложение пространства H 1? (?)
?
в L2,?+1 (?) и эквивалентность на подпространстве H 1? (?) нормы k · |H?1 (?)k и
?
1
полунормы |x??
1 ? · |2,? . Если µ < ?+1 , то вложение H ? (?) в L2,µ (?) компактно [6,
с. 363?.
?
Возвращаясь к задаче (6), определим на пространстве V =H 1??/2 (?) билинейные ормы
a(u, v) =
Z X
2
x?
1 ak ?k u?k v dx,
b(u, v) =
? k=1
и операторы
?
Au = ??1 x?
1 a1 ?1 u ? x1 ?2 a2 ?2 u,
Z
x?1 buv dx
?
Bu = x?1 bu.
Исходную задачу (6) Au = ?Bu можно записать в вариационном виде, как задачу
об отыскании собственных пар (?, u) ? R Ч V , удовлетворяющих уравнению
a(u, v) = ?b(u, v) ?v ? V.
(9)
Из сказанного выше и из условий на коэициенты ai , b следует эллиптичность
ормы a на V и компактность вложения V в пространство Vb = L2,??/2 (?) ,
поскольку ??/2 < 1 ? ?/2 по условию (7). Из теоремы 1 следует
АППОКСИМАЦИЯ КОНЕЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ КАЕВОЙ ЗАДАЧИ
161
Теорема 3. Существуют счетные множества собственных значений, занумерованные с учетом кратности, 0 < ?1 ? ?2 ? . . . ?n ? ? при n ? ? , и
соответствующих им собственных векторов un ? V , являющихся решениями
задачи (9) (или (6)), образующих полную систему в
и удовлетворяющих условиям ортонормированности
a(um , un ) = ?m b(um , un ) = ?mn ,
?
V =H 1??/2 (?) и L2,??/2 (?)
m, n = 1, . . . , ?.
(10)
Для произвольной ункции u(x) положим u?(x) = x1??1 u(x) и определим пространство U?,? (?) как множество всех ункций u ? L2,loc (?) с конечным квадратом нормы
2
2
ku|U?,?(?)k2 = |x1??
?2 u?|2,? + |x??
(11)
1
1 ?1 u?|2,?
и обращающихся в нуль на части границы ?? \ ? . В [7, лемма 4.1? показано, что
при ? > ??3/2 ункции из U?,? (?) обращаются в нуль всюду на ?? . Имеет место
следующее утверждение [7, . 73?.
Теорема 4. Для того чтобы диеренциальный оператор A осуществлял
изоморизм пространства U?,? (?) на пространство L2,? (?) , необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие ? ? 3/2 < ? < 3/2 .
Из теоремы следует, что при условии ? ? 3/2 < ? < 3/2 существует такая
постоянная c > 0 , не зависящая от f , что для решения краевой задачи
Au = f
в ?,
u=0
на ??
(12)
справедлива априорная оценка
??
|x1??
?2 u?|2,? + |x??
1
1 ?1 u?|2,? ? c|x1 f |2,? .
(13)
Теорема 5. Любая собственная ункция задачи (9) принадлежит пространству
U?,? (?) для любого ? < min(3/2, 3/2 + ? ? ?) .
Пусть (?, u) решение задачи (9). Положим f = ?x?1 bu =
=
Так как u принадлежит пространству V , а V ? L2,1??/2 (?) , то
f ? L2,1+???/2 (?) . Если 1 + ? ? ?/2 ? µ = min(3/2, 3/2 + ? ? ?) , то утверждение
немедленно следует из оценки (13). Пусть 1 + ? ? ?/2 < µ . Из условий (7) следует
? ? 3/2 < ?/2 ? 1 < 1 + ? ? ?/2 . Если ? такой параметр, что ?/2 ? 1 < ? < ?1/2 и
f ? L2,? (?) , то из (13) следуют включения ?1 u? ? L2,? (?) и u? ? L2,?+1 (?) , откуда
вытекает, что f ? L2,?+? (?) , где ? = 2 + ? ? ? > 0 . Если еще ? + ? < ?1/2 , то,
повторяя рассуждения, получим, что f ? L2,?+2? (?) и т. д.
Таким образом, найдется такой параметр ? из интервала (?1/2, µ) , что f ?
L2,? (?) . Теперь из включения ?1 u? ? L2,? (?) следует, что
Доказательство.
?x11+??? bu? .
Z1
|u?(x1 , x2 )|2 dx2 ? c
для п.в. x1 ? (0, 1),
(14)
0
откуда получаем, что f ? L2,3/2+????? (?) для произвольного сколь угодно малого
? > 0 и u ? Uµ??,? (?) . Теорема доказана.
Замечание. Утверждение теоремы точн
о в том смысле, что для предельного
значения ? = 3/2 + min(0, ? ? ?) оно не верно (см. пример ниже).
Следствие 1. Если ? < ? + 1 , то ?1 u? = 0 на ? .
162
М.. ТИМЕБАЕВ
Доказательство. Из теоремы следует, что для некоторого ? > 1/2 справед2
ливо включение u? ? H??1
(?) ? H??1 (?) и существует след g = ?1 u?(0, ·) ? L2 (0, 1) .
Кроме того, имеет место включение g ? ?1 u? ? L2,? (?) , и, следовательно, g =
= ?1 u? + (g ? ?1 u?) ? L2,? (?) , что может быть только в случае g = 0 . Утверждение
доказано.
Пример. ассмотрим на интервале (0, 1) одномерный аналог задачи (6) при
? = ? = 0:
?u?? = ?u,
u(0) = u(1) = 0.
Как известно, ((?n)2 , sin ?nx), n = 1, 2, . . . собственные пары этой задачи.
Обозначим un (x) = sin ?nx . Тогда u?n (x) = un (x)/x = 1 ? (?nx)2 /6 + O(x4 ) и
u??n (x) = ?(?n)2 x/3 + O(x3 ) . Отсюда получаем, что u??n (0) = 0 и u??n ? L2,3/2?? (0, 1)
для сколь угодно малого ? > 0 , но u??n ?
/ L2,3/2 (0, 1) .
, так что
Обозначим через ? оператор умножения на ункцию ?(x) = x1??
1
u = ?u?, u? = ? ?1 u .
Лемма 1. Оператор ? является изоморизмом
2
(i) пространства H??1
(?) ? H??1 (?) с естественной нормировкой пересечения
гильбертовых пространств на пространство U?,? (?) ,
?
1
(ii) пространства V? = H??/2?1
(?) на пространство V =H1??/2 (?) ,
(iii) пространства L2,??1??/2 (?) на пространство Vb = L2,??/2 (?) .
Доказательство. Утверждение (i) следует из определения пространства
U?,? (?) и нормы (11). Утверждение (ii) содержится в [4? (лемма 2). Утверждение
(iii) проверяется непосредственно, поскольку u принадлежит L2,??/2 (?) тогда и
только тогда, когда ? ?1 u ? L2,??1??/2 (?) . Лемма доказана.
Введем билинейные ормы
a?(u?, v?) = a(?u?, ?v?) и
b?(u?, v?) = b(?u?, ?v?)
и рассмотрим задачу на нахождение собственных пар (?, u?) ? R Ч V? , удовлетворяющих уравнению
a?(u?, v?) = ?b?(u?, v?) ?v? ? V? .
(15)
Ясно, что собственные значения задач (9) и (15) совпадают, а соответствующие
собственные вектора u и u? связаны между собой соотношением u = ?u? . Из теоремы 5 и утверждения (i) леммы 1 получаем класс гладкости для собственных
ункций задачи (15):
Теорема 6. Любая собственная ункция задачи (15) принадлежит пространству
2
H??1
(?) ? H??1 (?) для любого ? < 3/2 + min(0, ? ? ?) .
Замечание. (см. замечание к теореме 5). Теорема перестает быть верной при
? = 3/2 + min(0, ? ? ?) .
Смысл перехода от исходной задачи к задаче (15) в том, что в окрестности особых точек ? собственная ункция u? ведет себя существенно более гладко, чем
соответствующая собственная ункция u исходной задачи, и поэтому для аппроксимации u? можно применять стандартные проекционно-сеточные методы, тогда
как эти же методы для u не дадут хороших результатов. Действительно, пусть
для определенности 0 < ? ? ? ; тогда по теореме 5 для сколь угодно малого ? > 0
имеем следующую интегральную характеристику производных ?1 u? и ?12 u? :
??1/2 2
?1 u?|2,?
|x1
??3/2
+ |x1
?1 u?|2,? < ?.
АППОКСИМАЦИЯ КОНЕЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ КАЕВОЙ ЗАДАЧИ
163
Отсюда, учитывая, что
1??
1?? 2
?1 u = (1 ? ?)x??
?1 u?, ?12 u = ?(? ? 1)x1???1 u? + 2(1 ? ?)x??
?1 u?,
1 u? + x1
1 ?1 u? + x1
получим, используя (14),
?+?+1/2 2
?1 u|2,?
|x1
?+??1/2
+ |x1
?1 u|2,? < ?.
(Заметим, что эти оценки точны в том смысле, что при ? = 0 полунормы в обеих
оценках обратятся в бесконечность.) Таким образом, оценки производных собственной ункции u на степенной вес x1+?
слабее, чем для u? .
1
3.
Аппроксимация задачи (9)
Для натурального n > 1 положим N = n2 , h = 1/n и обозначим через TN
естественную триангуляцию квадрата ? на треугольные конечные элементы, вершинами которых являются либо тройки точек (ih, jh), ((i + 1)h, jh), (ih, (j + 1)h) ,
либо ((i + 1)h, jh), ((i + 1)h, (j + 1)h), (ih, (j + 1)h) , где i, j = 0, 1, . . . , n ? 1 . Через XN обозначим пространство линейных конечных элементов, ассоциированное
с триангуляцией TN , т. е. это множество непрерывных на ? ункций, линейных
на каждом K ? TN .
Введем пространство VN ? V , состоящее из ункций вида x1??
(x)?(x) , где
1
? ? X?N = {w ? XN : w = 0 на ??\?} и будем использовать его для аппроксимации
задачи (9). Приближенными решениями будем называть пары (?, u) ? R Ч VN , u 6=
6= 0 , удовлетворяющие уравнению
(16)
a(u, v) = ?b(u, v) ?v ? VN .
Соответственно, аппроксимация задачи (15) состоит в отыскании пар (?, u?) ? RЧ
ЧX?N , u? 6= 0 , удовлетворяющих уравнению
a?(u?, w) = ?b?(u?, w)
(17)
?w ? X?N .
Обозначим ошибку аппроксимации ункции u ункциями подпространства VN
в энергетической норме ормы a через ?a,N (u) = min{ku ? vka : v ? VN } . Поскольна
ку kuka = ku?ka? и ? : X?N ? VN , то ?a,N (u) = ?a?,N (u?) = min{ku? ? vka? : v ? X?N } .
2
? + 1 . Тогда для любой собственной ункции u
3
задачи (9) имеет место оценка погрешности аппроксимации ?a,N (u) ? cN ?1/2 =
= ch , где постоянная c зависит от u , но не зависит от N .
Теорема 7. Пусть ? <
Доказательство. Пусть u собственная ункция ормы a относительно b .
Если выполнено условие теоремы, то ?/2 < 3/2 + min(0, ? ? ?) , следовательно,
2
1
по теореме 6 u? ? H?/2?1
(?) ? H??/2
(?) . Так как норма k · ka? эквивалентна норме
1
пространства H??/2?1 (?) , то из оценок погрешности аппроксимации конечными
элементами в весовых пространствах Соболева [8?, [9? получим
1??/2
?a,N (u) = ?a?,N (u?) ? ch|x1
Утверждение доказано.
1??/2
?2 u?|2,? = cN ?1/2 |x1
?2 u?|2,? .
164
М.. ТИМЕБАЕВ
Из доказанной теоремы и из теоремы 2 получим основной результат работы:
Теорема 8. Если ? <
2
? + 1 , то
3
(i) для каждой собственной ункции ui,N задачи (16) существует собственная ункция ui задачи (9), соответствующая собственному значению ?i , что
kui ka = 1 , и справедлива оценка в энергетической норме ормы a
kui ? ui,N ka ? ci N ?1/2 = ci h,
где
ci не зависит от N ;
(ii) для соответствующих собственных значений задач (9) и (16) имеет ме-
сто оценка
0 ? ?i,N ? ?i ? ci N ?1 = ci h2 .
Замечание. В регулярном случае ? = ? = 0 рассматриваемый метод имеет
такую же точность, что и стандартный метод конечных элементов. Если же 0 <
< ? < 1 и выполнено условие теоремы, то стандартный метод приводит лишь к
сходимости O(N ?+(??1)/4 ) для сколь угодно малого ? > 0 , которая становится
символической при ? , близких к критическому значению ? = 1 .
абота выполнена при инансовой поддержке оссийского онда ундаментальных исследований (проекты ќ 03-01-00380, 04-01-0821).
Summary
M.R. Timerbaev. An approximation by nite elements of the eigenvalue problem for
degenerate dierential operator.
Eigenvalue problem for degenerate dierential operator is onsidered. A disretization
sheme based on multipliative deomposition of singularity with speial basis is onstruted
and its error approximation in energy norm is obtained.
Литература
1.
Chatelin F.
Spetral Approximations of Linear Operators N. Y.: Aademi Press, 1983.
2.
Babuska I., Osborn J.E. Finite element-Galerkin approximation of the eigenvalues and
eigenvetors of selfadjoint problems // Math. Comp. 1989. V. 52. P. 275297.
3.
Babuska I., Osborn J.E. Eigenvalue problems, Handbook of Numerial Analysis. V. II.
Finite Element Methods. Part 1. Elsevier, 1991. P. 641792.
4.
Тимербаев М.. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Ди. уравнения. 2000. Т. 52, ќ 7 С. 10861093.
5.
Харди ., Литтлвуд Дж.Е., Полиа .
Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.
6.
Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Диеренциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.
7.
Тимербаев М.. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением на части границы // Изв. вузов. Математика. 2003. ќ 1. С. 6073.
8.
Оценки погрешности n-мерной сплайн-интерполяции в весовых нормах // Изв. вузов. Математика. 1992. ќ 10. С. 5460.
Тимербаев М..
АППОКСИМАЦИЯ КОНЕЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ КАЕВОЙ ЗАДАЧИ
9.
165
Конечноэлементная аппроксимация в весовых пространствах Соболева // Изв. вузов. Математика. 2000. ќ 11. С. 7684.
Тимербаев М..
Поступила в редакцию
19.10.05
Тимербаев Марат авилевич кандидат изико-математических наук, доцент
каедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: Marat.Timerbaevksu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа