close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аппроксимация Паде решения задачи Коши.

код для вставкиСкачать
Сер. 10. 2012. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 519.3:62–50
В. Э. Вишневский, А. В. Зубов, О. А. Иванова
АППРОКСИМАЦИЯ ПАДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
В настоящей работе изучаются аналитические алгоритмы аппроксимации Паде решения задачи Коши, о которой известно, что оно голоморфно в некотором заданном
множестве Dt (x0 , t0 ), вообще говоря, не конформно эквивалентному кругу. Данная работа развивает методику, предложенную в работах А. Пуанкаре [1] и В. И. Зубова [2, 3],
где было установлено, что достаточно широкий класс систем аналитических дифференциальных уравнений при некоторых предположениях имеет решение задачи Коши, голоморфное в полосе |Im t| < h, h > 0, и показано, как, используя конформные
преобразования, интегрировать уравнения с помощью рядов, сходящихся при всех t:
|Re t| < ∞.
1. Постановка задачи. Построим аппроксимации решений для системы аналитических дифференциальных уравнений вида
ẋ = f (t, x),
1
t∈C ,
x ∈ C n,
(1)
в которой fκ (t, x) – аналитическая функция t, x, являющаяся аналитическим продолжением элемента Вейерштрасса при κ ∈ 1 : n:
ẽ fκ (t, x)
=
∞ ∞
|j̄|=0 i=0
(κ)
ãj̄i xj̄ ti ,
(t, x) ∈ Ut (Rt , 0) × Ux (Rx , 0),
(2)
Вишневский Вячеслав Эдуардович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики факультета прикладной математики–процессов управления Санкт-Петербургского
государственного университета. Количество опубликованных работ: около 40. Научные направления:
дифференциальные уравнения, теория управления, теория возмущения в задачах небесной механики.
c
E-mail: VVapmathyandex.ru.
Зубов Афанасий Владимирович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий
кафедры математической теории микропроцессорных систем управления факультета прикладной
математики–процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: около 130. Научные направления: дифференциальные уравнения, теория
c
управления, теория устойчивости и стабилизация движения. E-mail: a v zubovmail.ru.
Иванова Ольга Александровна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической теории микропроцессорных систем управления факультета прикладной математики–процессов
управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: около 30. Научные направления: дифференциальные уравнения, теория управления, математичеc
ское моделирование. E-mail: ivanova112yandex.ru.
c В. Э. Вишневский, А. В. Зубов, О. А. Иванова, 2012
3
где Ut , Ux – полидиски радиусов Rt и Rx = (Rx1 , . . . , Rxn ), int Ut = Ø, int Ux = Ø.
Поскольку для κ ∈ 1 : n элемент ẽ fκ в Ut × Ux задан абсолютно сходящимся рядом,
то в Ut × Ux его можно переразложить в ряд по xj̄ с переменными коэффициентами
˜(κ)
ã
j̄ (t), т. е. будем иметь при κ ∈ 1 : n:
ẽ˜fκ (t, x) =
∞
j̄
˜(κ)
ã
j̄ (t) x ,
(t, x) ∈ Ut (Rt , 0) × Ux (Rx , 0).
(2)
|j̄|=0
Заметим, что однозначность f (t, x) в своей области определения не предполагается,
хотя элементы ẽ f и ẽ˜f однозначны в поликруге Ut × Ux .
(κ)
Обозначим через aj̄ (t) полную аналитическую функцию, полученную аналитиче˜(κ)
ским продолжением из Ut (Rt , 0) функции ã
j̄ (t) для всех κ ∈ 1 : n, |j̄| 0.
(κ)
j̄
Введем обозначение для функционального элемента ∞
|j̄|=0 aj̄ (t)x , с которым будем работать ниже. Положим (с последующим уточнением ограничений на область
изменения x), что
∞
(κ)
aj̄ (t)xj̄ , x ∈ U (R, 0).
(2)
e fκ (t, x) =
|j̄|=0
Обусловим свойство int U (R, 0) = Ø. Все три формы задания элементов функций
fκ (t, x), а именно (2) , (2) и (2), часто используются при работе с уравнением (1).
Из них выражение (2) в частном случае конечной суммы задает полиномиальную систему с переменными коэффициентами в виде формул. С аналитической точки зрения
все три формы – (2) , (2) и (2) – эквивалентны. С формальной же ряд следующих
ниже условий удобнее формулировать в терминах элемента e fκ из выражения (2).
Заметим, что e fκ (t, x), в отличие от ẽ fκ и ẽ˜fκ , условно можно считать полулокальным,
поскольку его можно разложить в ряд Тейлора по (t−t0 )m для любой регулярной точки
(t0 ∈Ut (Rt , 0)) ∨ (t0 ∈ Ut (Rt , 0)).
(κ)
Пусть коэффициенты aj̄ (t) обладают следующими свойствами, которые определяют свойства функции f (t, x) – векторного поля относительно времени t: для любых
1
(κ)
(κ)
(κ)
j̄, κ ∈ 1 : n функции aj̄ аналитичны в множестве D (aj̄ )\ Aus (aj̄ ) ⊆ C ; для всякого
t∈
∞
|j̄|
(κ)
(κ)
(D (aj̄ )\ Aus (aj̄ )) = Ø
ряды из выражения (2) сходятся в поликруге U (R, 0) и существует аналитическое про(κ) должение элемента e fκ из U (R, 0) в множество (область) Dt = C¯n \ Aus (fκ (t, x)).
Из предположений следует, что при xn+1 = t «полулокальный» векторный элемент
Вейерштрасса (2) для f˜ = (f1 , . . . , fn , . . . , fn+1 ) в поликруге U (R, 0) × Un+1 (r, x0n+1 )
можно понимать как ряд Гартогса в U × Un+1 . Всюду далее символом Aus (ϕ) будем
обозначать множество исключительных точек для ϕ в том множестве, где рассматривается ϕ (в частности, возможно, что Aus (ϕ) = Sing (ϕ) – множество особых точек
функции ϕ).
Для момента
t0 ∈ D =
∞
κ∈1 : n,|j̄|=0
4
(κ)
(κ)
( D ( aj̄ ) \ Aus ( aj̄ ) ) ⊆ C
1
будем изучать решение задачи Коши
x (t, x0 , t0 ) = (x1 (t, x0 , t0 ), . . . , xn (t, x0 , t0 )),
ẋ =
e f (t, x),
x(t0 ) = x0 ∈ U (R, 0),
(3)
в предположении, что существует его аналитическое продолжение из круга SK (t0 , RK ),
определенного теоремой Коши, в некоторое множество
D (x0 , t0 ) = (D (x0 , t0 )\ Aus (x(t, x0 , t0 ))) ⊆ D ⊆ C¯1 ,
которое, если есть необходимость практической реализации предлагаемого алгоритма,
должно быть алгоритмически задано.
Примем следующее соглашение. Теорема Коши гарантирует и определяет при
(t − t0 ) ∈ SK (0, RK ) элемент e x(t, x0 , t0 ), удовлетворяющий задаче (3). В свою очередь,
этот элемент, соответствующий точке (x0 , t0 ), определяет единственную аналитическую
функцию (его продолжение за круг SK (t0 , RK ) по t) x(t, x0 , t0 ), возможно, и неоднозначную в своей полной области dom x(•, x0 , t0 ), которая, вообще говоря, не зависит
от векторного поля f (t, x) за поликругом Ut × Ux .
Действительно, поле f (t, x) может быть вне области Ut × Ux . Однако если f (t, x)
означает полную аналитическую функцию, порожденную элементом ẽ f из выражения (2) , то естественно связывать величину x(t , x0 , t0 ) полной аналитической функции x(•, x0 , t0 ) при t ∈ dom x(•, x0 , t0 ) со значениями f (t , x ) (при том же t и x =
x(t , x0 , t0 )) и производной ẋ(t, x0 , t0 ) при том же t . Если бы f и x(t, x0 , t0 ) были однозначными, то такая детализация не нужна. Однако при введенных выше предположениях соответствие между значениями
x (t, x0 , t0 ),
ẋ (t, x0 , t0 )
и f (t, x (t, x0 , t0 ))
необходимо и достаточно понимать в следующем смысле. Заметим, что в круге
SK (t0 , RK ) t справедливо тождество
0
ẽ ẋκ (t, x , t0 )
≡ ẽ fκ (t, ẽ x1 (t, x0 , t0 ), . . . , ẽ xn (t, x0 , t0 ))
при κ ∈ 1 : n. В силу теоремы единственности это тождество сохранится при любом
аналитическом продолжении элемента
0
ẽ ẋκ (t, x , t0 )
и
0
0
ẽ fκ (t, ẽ x1 (t, x , t0 ), . . . , ẽ xn (t, x , t0 ))
по t вдоль любого допустимого пути γ : [0, l] → Ct1 , γ(0) = t0 , γ(l) = t. Допустимость пути
γ определяется возможностью аналитического продолжения вдоль него всех функций
0
ẽ xκ (t, x , t0 ) при κ ∈ 1 : n из точки t0 в точку t. Как известно, в качестве всех таких
путей γ могут быть выбраны ломаные из конечного числа звеньев. Верно и обратное:
так, если
Ran γ ( γ : [0, l] → Ct1 , t = γ(l)) из dom x(•, x0 , t0 ),
то
Ran Γ ( Γ : [0, l] → Ct1 × Cxn ,
x = x (t, x0 , t0 )) из
dom f,
где при ˜
l ∈ [0, l] по определению
Γ(l̃) = (γ(l̃), x1 (γ(l̃), x0 , t0 ), . . . , xn (γ(l̃), x0 , t0 )),
5
а значение вектора x = x(t, x0 , t0 ) = x(γ(l), x0 , t0 ) получено аналитическим продолжением элемента ẽ x(t, x0 , t0 ) вдоль кривой Ran γ, т. е. вектор-функция f аналитически
продолжима из точки (t0 , x0 ), где она определяется элементом ẽ f из выражения (2)
вдоль пути Γ = Γ(γ) в точку (t, x), где t = γ(l), x = x(γ(l), x0 , t0 ) и для любого κ ∈ 1 : n
справедливо ẋκ (t, x0 , t0 ) = fκ (t, x1 (t, x0 , t0 ), . . . , xn (t, x0 , t0 )). Поскольку по теореме Коши находится элемент ẽ x(t, x0 , t0 ) для всех (x0 , t0 ) ∈ Ux × Ut , то указанные выше продолжения из Ut × Ux для ẽ f (t, x) существуют для всех допустимых путей Γ = Γ(γ),
выходящих из точек поликруга Ut × Ux . Всюду символ f (t, x), если он не обозначает
функцию вообще, т. е. не эквивалентен f (•, •) = f , а обозначает значение f в точке (t, x), должен пониматься как аналитическое продолжение элемента ẽ f из Ut × Ux
вдоль допустимого пути Γ = Γ(γ), где γ связано с семейством элементов ẽ x(t, x0 , t0 )
при всех (x0 , t0 ) ∈ Ux × Ut . При этом может оказаться, что в принятом соглашении
значение f (t, x) не определено, хотя само по себе независимо от уравнения (1) и существует продолжение ẽ f из Ut × Ux в точку (t, x). Таким образом, предполагается сузить
полную аналитическую функцию f (•, •) на область значений x(t, x0 , t0 ) при условии,
что (x0 , t0 ) ∈ Ux × Ut . Если Ausi (•) = Aus (•) Sing(•), то условие t∗ ∈ Ausi (x (t, x0 , t0 ))
влечет, что t∗ – особая хотя бы для одной из координат xκ (t, x0 , t0 ). Может оказаться, что существует аналитическое продолжение для x (t, x0 , t0 ) за область D (x0 , t0 ),
но здесь этот вопрос не рассматривается. Множество Ausi (fκ (t, x)) для κ ∈ 1 : n зависит, вообще говоря, от значения t ∈ D (x0 , t0 ). При непрерывной зависимости точка
x∗ (t) ∈ Ausi (fκ (t, x)) в C n локально «заметает» не более чем топологически 2-мерное
многообразие. Заметим, что ∀ t ∈
n
n
∞
Ausi (xκ (t, x0 , t0 )) ∪
κ=1 |j̄|=0
κ=1
=⇒ x (t , x0 , t0 ) ∈
n
(κ)
Ausi (aj̄ ) =⇒
Ausi (fκ (t , x)) = Ausi f (t , x)
κ=1
как следствие аналитической продолжимости всех e fκ по t и x в точку
(t , x(t , x , t0 )) ∈ D (x , t0 ) ×
0
0
n
(κ)
Dt ,
κ=1
в предположении, что значение x(t , x0 , t0 ) существует.
Далее построим и обоснуем аналитический алгоритм (в широком смысле) аппроксимации решения x (t, x0 , t0 ) в «максимально» широкой области
Dapp (x0 , t0 ) ⊆ D(x0 , t0 )
при условии, что
Dapp (x0 , t0 ) t0
и
clC 1 D(x0 , t0 ) ∞;
и если clC 1 D(x0 , t0 ) ∞, то аппроксимации в любой конечной области
Dæ (x0 , t0 ) ⊂ D(x0 , t0 ),
Dapp (x0 , t0 ) ⊆ Dæ (x0 , t0 ).
В ряде случаев при естественных ограничениях на границу для D(x0 , t0 ) оказывается, что
Dapp (x0 , t0 ) ≡ D (x0 , t0 ) mod (meas 0) при clC 1 D (x0 , t0 ) ∞
6
и
Dapp (x0 , t0 ) ≡ Dæ (x0 , t0 ) mod (meas 0) при clC 1 D (x0 , t0 ) ∞.
При выборе области Dæ (x0 , t0 ) ⊂ D (x0 , t0 ) алгоритм сводится к случаю, когда
clC 1 D (x0 , t0 ) ∞.
2. Ряды Ли. Поскольку t0 фиксировано, то положим по определению, что τ =
t − t0 . Тогда уравнение (1) перейдет в уравнение ẋ = f (t0 + τ, x), соответственно этому
решение x(t, x0 , t0 ) в x(t0 + τ, x0 , t0 ), область D(x0 , t0 ) в Dτ (x0 , t0 ) = D(x0 , t0 ) − t0 . Для
xκ (t0 + τ, x0 , t0 ) при κ ∈ 1 : n имеем представление
0
xκ (t0 + τ, x , t0 ) =
∞
(κ)
ci (x0 , t0 )τ i ,
(4)
i=0
(κ)
в котором все коэффициенты ci (x0 , t0 ) – известные от x0 , t0 аналитические по ним
функции. Ряд (4) сходится в некотором круге
1
Sρκ (x0 ,t0 ) (0) = {τ ∈ C : |τ | < ρκ (x0 , t0 ) = dist (0, Aus (xκ (t0 + τ, x0 , t0 )))}.
Очевидно, радиус ρκ (x0 , t0 ) всегда не меньше, чем оценка из теоремы Коши, гарантирующая круг SK (0, RK ). Тогда вектор-функция x(t0 + τ, x0 , t0 ) представима рядом
0
x (t0 + τ, x , t0 ) =
∞
ci (x0 , t0 ) τ i ,
i=0
(1)
(n)
где ci = (ci , . . . , xi ) при i ∈ 0 : ∞, сходящимся в круге Sρ (0) ⊂ Dτ (x0 , t0 )
ρ(x0 , t0 ) = min ρκ (x0 , t0 ).
1κn
(κ)
Учитывая, что ci (x0 , t0 ) суть коэффициенты Тейлора для xκ (t0 + τ, x0 , t0 ),
радиуса
их можно вычислять по рекуррентным формулам в аналитическом виде в терминах коэффи(κ)
циентов aj̄ (t) при κ ∈ 1 : n. В этом случае имеем соотношения при κ ∈ 1 : n
(κ)
c0 (x0 , t0 ) = x0κ ,
ci (x0 , t0 ) = i−1 A ci−1 (x0 , t0 ) = (i!)−1 Ai x0κ ,
(κ)
A=
(κ)
∂
∂
+
fκ (t0 , x0 ) 0 .
∂t0 κ=1
∂xκ
n
(κ)
(5)
(κ)
Таким образом, ci (x0 , t0 ) – ряды по величинам aj̄ (t0 ) и x0i . Они перейдут в многочлены от x0i , t0 , если элемент e f задать в поликруге {|xi − x0i | < ri , i ∈ 1 : n} × {|t − t0| <
rn+1 }. Учитывая выражение (5), решение x(t0 +τ, x0 , t0 ) представимо в круге Sρ(x0 ,t0 ) (0)
рядом, который там сходится, имеет вид
x (t0 + τ, x0 , t0 ) = (exp (A τ ))x0 ,
x0 ∈ U (R, 0),
и называется рядом Ли [6]. Поскольку не исключено, что
Aus (x (t0 + τ, x0 , t0 )) ∩ (D (x0 , t0 ) − t0 ) = Ø,
множество Dτ (x0 , t0 ) оказывается многосвязным в C¯1 . Это может оказывать влияние
на реализацию алгоритмов, на неустранимую погрешность, хотя бы и имеющую сколь
угодно малую величину.
7
3. Основные случаи геометрии множества D (f ). Пусть элемент Вейерштрасса
1
для f (τ ) ∈ C¯1 при τ ∈ C задан рядом
fe (τ ) =
∞
ci (fe ) τ i ,
τ ∈ SR (0),
(6)
i=0
который аналитически продолжим в некоторое множество
Dτ (f ) ⊆ C¯1 ,
где
Dτ (f ) = D (f )\Z(f ),
Z (f ) = clC̄ 1 Z (f ),
и, не нарушая общности, можно считать, что
Z (f ) ⊂ clC̄ 1 D (f ),
Z (f ) = Zσ (f ) ∪ Zc ,
Zσ (f ) ∩ clC̄ 1 Zc = Ø,
Zc = Aus (f ) ∪ Zpar ,
card Zσ (f ) < ∞,
Aus (f ) ∩ Zpar = Ø.
По смыслу исходной задачи множество Z (f ) состоит из точек, которые либо не принадлежат dom f , либо вычисление значения f в них не требуется условием задачи.
Введенные множества существенно связаны с f , исключением является лишь Zpar , которое условно можно считать управлением.
Случай 10 . D (f ) = C¯1 , card Zσ (f ) < ∞,
∞
Z(f ) = Aus (f ) =
p τi
i=1
∪
∞
e τi
= Zσ (f ) ∪ Zc = Zσ (f ) ∪ Zc ,
i=1
причем Zpar = Ø, где p τi и e τi – i-й полюс и существенно особая точка для f соответственно. Предполагается, что Zc не имеет точек сгущения в C 1 .
Случай 20 . C¯1 = D (f ) = clC̄ 1 D (f ) – односвязное с простой кусочно-гладкой границей
F r D(f ), а
Z (f ) = Zσ (f ) =
M
p τi
⊂ int D (f ), M < ∞ и известно M = card Zσ .
i=1
Кроме того, предполагается, что
clC̄ 1 D (f ) ∞, dist (F r D (f ), Z (f )) z > 0,
где величина z известна.
Случай 30 . То же, что и 20 , но card Zσ (f ) M .
Случай 40 . То же, что и 30 , но известно только, что card Zσ (f ) < +∞.
Случай 50 . D (f ) = C¯1 , clC̄ 1 D (f ) ∞,
Z (f ) = Zσ (f ) ∪ Zc ,
Zc = Aus (f ),
Zσ (f ) =
M
i=1
8
p τi ,
< ∞ и известно только M
, либо
где либо M < ∞ и известно, либо M M
M < ∞ и неизвестно; F r clC̄ 1 D (f ) – простая кусочно-гладкая, связная и достижимая
из int D (f ).
Выделенные пять случаев являются в определенной степени «базовыми», поскольку к ним могут быть принципиально сведены другие более сложные случаи, которые
рассмотрены ниже.
Случай 60 . Dτ (f ) такое, что для всякого ε > 0 существует число N (ε) < ∞ и изN (ε)
меримое семейство множеств {Gν (ε)}ν=1 , где ∞ ∈ clC̄ 1 Gν (ε) – односвязно в C¯1 , а множество F r clC̄ 1 Gν (ε) не содержит особых точек функции f и справедливо отношение
(ε)
( N
ν=1 int Gν (ε) 0 ) и для всякого ν
Mν (ε)
Aus (f )
int clC1 Gν ( ε ) =
p τνi
i=1
для некоторого возможно и неизвестного числа
Mν (ε) = M (ε, Gν (ε)) < ∞,
N (ε)
причем measR2 (Dτ (f )\ ν=1 Gν (ε)) ε.
Случай 70 . То же, что и 60 , но имеет место равномерность по ε, т. е. N (ε)
и M (ε, Gν (ε)) не зависят от ε.
Таким образом, в случае 60 предполагается, что все особенности f сосредоточены
на множестве меры нуль (∃m ⊃ Aus (f ) такое, что meas (m) = 0). Причем считается,
1
что семейством {Gν }N
ν=1 измеримых множеств, замыкание которых односвязно в C ,
можно «приблизить», вообще говоря, не односвязное множество Dτ (f ) таким образом,
чтобы
N
meas (Dτ (f )\
Gν ) < ε.
ν=1
Для осуществления такого разбиения и зарезервировано некоторое измеримое меры
нуль множество Zpar (речь идет о разбиении множества Dτ (f )). Заметим, что в Aus (f )
могут попадать любые точки, особые для функции f . Если известно, что имеется требуемое выше семейство {Gν }<∞
ν=1 , то для каждого множества Gν существует аппроксимирующий частичную функцию f|Gν алгоритм. Если семейство {Gν }<∞
ν=1 предъявлено,
то существующий для него набор однотипных алгоритмов, каждый из которых аппроксимирует соответствующую f|Gν , за исключением множества сколь угодно малой
меры, может считаться предъявленным. В этом смысле проявляются свойства рекурсивности, аналогичные тем, которые имеют место при построении алгоритмов в узком
смысле (при строгом понятии алгоритма).
Рассмотрим первые четыре случая, остальные предполагается опубликовать позже.
4. Первые четыре случая. Первый случай основан на известных теоремах о свойствах аппроксимации Паде [6, 7]. Остальные случаи основаны на свойствах однолистных конформных отображений, уравнениях Левнера–Куфарева и аппроксимации Паде.
Лемма. Пусть множество
1
XT = {(x0 , t0 ) ∈ U (R, 0)×(C \
∞
(κ)
[L/M]
Aus (aj̄ )) : ∃ κ ∈ 1 : n, ∃(L, M ) < ∞ Q(κ)
(0) = 0}.
|j̄|=0
1κn
Тогда measR2n+2 XT = 0.
9
[L/M]
Д о к а з а т е л ь с т в о. Величины Q(κ) (τ ) вычисляются согласно [6] по формулам
(κ)
(κ)
c
0
0
L−M+1 (x , t0 ) . . . cL+1 (x , t0 ) (κ)
(κ)
cL−M+2 (x0 , t0 ) . . . cL+2 (x0 , t0 ) [L/M]
(7)
Q(κ) (τ ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(κ) 0
c (x , t0 ) . . . . . . c(κ) (x0 , t0 ) L+M
L
M
τ ....................... 1 [L/M]
Положим C(κ) (L/M ) = Q(κ) (0). Числа C(κ) (L/M ) определяют так называемую
C(κ) -таблицу. Учитывая выражение (5) и то, что согласно формуле (7) уравнение
[L/M]
Q(κ)
(0) = 0
относительно величин x0 , t0 задает аналитическое множество
1
[L/M]
M(κ) (L/M ) = {(x0 , t0 ) : Q(κ) (0) = 0} ⊂ C n × C ,
n ∞ ∞
имеем, что XT = κ=1 L=0 M=0 M(κ) (L/M ).
Поскольку
measR2n+2 M(κ) (L/M ) = 0,
следует, что
measR2n+2 XT = 0,
что и требовалось доказать.
Таким образом, допустимым множеством для начальных данных Коши (x0 , t0 ) яв1
ляется Gδ -множество C n × C \ XT . Заметим, что множество всех точек (x0 , t0 ), на ко[L/M]
торых «обнуляются» все знаменатели дробей Паде Q(κ) (0), есть аналитическое мноn ∞ ∞
жество вида κ=1 L=0 M=0 M(κ) (L/M ). Согласно теореме Гильберта о базисах оно
эквивалентно конечному пересечению, т. е. существуют l1 < ∞ и l2 < ∞ такие, что
M=
n ∞ ∞
κ=1 L=0 M=0
M(κ) (L/M ) =
l2
l1 n M(κ) (L/M ) ⊆ XT .
κ=1 L=0 M=0
1
Поэтому M замкнуто и нигде не плотно в C n × C . Всюду предполагается, что точка
(x0 , t0 ) ∈ XT .
Пусть xκ (t0 + τ, x0 , t0 ) = f (τ ), fe (τ ) – элемент для f (τ ) из формулы (6), ci (fe ) =
(κ) 0
ci (x , t0 ) и случай 10 для пары fe , f . Тогда с точностью до принятых выше обозначений справедлива следующая теорема.
Теорема 1 (Поммеренке [6]). Для любых ε > 0, δ > 0 найдется число M0 такое,
10
что при M M0 аппроксимация Паде [L/M ] лучевой последовательности, соответствующей L = λ · M , (λ = 0, λ = ∞), существует и удовлетворяет неравенству
| f (τ ) − [L/M ] | < ε
при
1
τ ∈ K ∈ comp C ,
где
K
EM = Ø,
measR2 EM < δ.
При этом использованы обозначения из [6]:
[L/M ] = A[L/M] (τ )/B [L/M] (τ ),
B [L/M] (0) = 1,
A[L/M] (τ ) = P [L/M] (τ )/Q[L/M] (0),
B [L/M] (τ ) = Q[L/M] (τ )/Q[L/M] (0).
Многочлен P [L/M] (τ ) вычисляется согласно формуле (7) при условии, что нижняя строка заменяется на новую строку вида
L−M
L−M+1
L
(κ)
(κ)
(κ) 0
0
M+i
0
M+i−1
i
ci (x , t0 )τ
,
ci (x , t0 )τ
, . . . , ci (x , t0 )τ .
i=0
i=0
i=0
Оценку близости аппроксимации Паде [L/M ] к f (τ ), где последовательно полагается
при κ ∈ 1 : n, что f (τ ) = xκ (t0 +τ , x0 , t0 ), можно выписать на основе результатов работы
[7] аналогично тому, как было сделано в [4]. Заметим, что в случае 10 функция f (τ )
оказывается однозначной.
Сохраняя обозначение f (τ ) = xκ (t0 + τ, x0 , t0 ) и fe (τ ) из выражения (6) при ci (fe ) =
(κ) 0
ci (x , t0 ) рассмотрим случаи 20 –40 . Первая часть алгоритма для них общая и связана
с конформным преобразованием. Поскольку множество clC1 Dτ (f ) = clC1 D(f ) = D(f )
односвязно и его простая кусочно-гладкая граница F r Dτ (f ) содержит более двух строчек, по теореме Римана существует однолистное конформное отображение
ϕ : D(f ) −→ Sr (0) = { z ∈ C 1 | |z| r},
ϕ(0) = 0,
которое связано только с геометрией множества D(f ). Это отображение ϕ, ϕ(0) = 0
единственно. Если предъявлена (т. е. игнорируется вопрос вычислимости) функция Грина g (τ, 0, int D(f )), то по ней можно предъявить функцию ϕ(τ, 0), отображающую однолистно и конформно область int D(f ) на круг int Sr (0) так, что ϕ(0, 0) = 0. Действительно, по функции
(8)
γ (τ, 0) = g (τ, 0, int D(f )) − ln |τ | ,
гармонической в int D(f ), предъявляется сопряженная с ней гармоническая функция
γs (τ, 0). Тогда искомая ϕ будет предъявлена в виде
ϕ (τ, 0) = exp [γ (τ, 0) + i γs (τ, 0)] τ.
(9)
11
Входящее в γs (τ, 0) произвольное постоянное слагаемое ξ определяется из условия
ϕτ (τ, 0)|τ =0 > 0. Функция Грина g (τ, 0, int D(f )) является решением задачи Дирихле
(или 1-й краевой задачи теории потенциала) в области int D(f ), т. е. это гармоническая
в int D(f ) и непрерывная в clC1 D(f ) функция, которая на F r D(f ) совпадает с заданной
функцией Ψ, а Ψ в данном случае связана с границей круга Sr (0). Функция Грина
gu (z, 0) для круга |z| < R с граничной функцией p(θ) рассчитывается по формуле
g (z, 0, int SR (0)) = gu (r · e
i·ϑ
1
)=
2π
2π
0
p(θ) · (R2 − r2 ) · dθ
R2 − 2R · r · cos(θ − ϑ) + r2
(10)
для любой p(θ), p(•) ∈ C(F r SR (0)), причем gu (R·ei·ϑ ) = p(ϑ). После этого вычисляется
конформное отображение круга Sr (0) на область D(f ) с помощью тех же формул (8),
(9).
Таким образом, имея пару однолистных конформных отображений ϕ: D(f ) −→
Sr (0) и u = ϕ−1 : Sr (0) −→ D(f ) таких, что ϕ ◦ u = IdD(f ) и u ◦ ϕ = IdSr (0) , отображение f можно поднять до аналитического отображения ψ согласно коммутативной
диаграмме
f
−→
C¯1
clC̄ 1 (D(f ) \ Z(f ))
u
ψ
clC̄ 1 (Sr (0) \ ϕ(Z(f )))
Функция ψ аналитична в ( int Sr (0)) \ ϕ ( Z(f ) ). Следовательно, она аналитична
в любом множестве ( clC 1 Srα <r (0)) \ ϕ ( Z(f ) ). Пусть произвольное ε > 0 и clC1 Dε (f ) D (f ), причем предположим, что справедлива оценка
meas ( D (f ) \ Dε (f ) ) < ε,
ε z
(не умаляя общности, можно считать, что Z (f ) Dε (f ) ).
Тогда найдется rα < r такой, что
ϕ ( Dε (f ) ) Srα (0) clC 1 Srα (0) Sr (0)
и отображение ψ аналитично в ( clC1 Srα (0) ) \ ϕ(Z (f ) ). Но величина card ϕ ( Z(f ) ) =
M < ∞ известна. Причем в силу аналитичности ϕ в Dε (f ) точка из ϕ ( Z (f ) ) оказывается всегда полюсом для ψ. По построению отображений ϕ и u точка 0 не является
полюсом для ψ. Следовательно, элемент
ψe (z) = fe ( τe (z) ) = fe (ue (z) ) =
∞
cm (ψe ) z m ,
(11)
m=0
где степенной по z ряд сходится в круге Srmin (0) при
rmin = dist ( 0, ϕ ( Z (f ) ) ) > 0.
Коэффициенты Тейлора
cm (ψe ) = cm ( ci (fe ), cκ (ue ) ),
m = 0, 1, . . . ,
(12)
являются известными функционалами от коэффициентов Тейлора
∞ci (fe ) и cκ (ue )
из соотношений (6) и (10). Существенно то, что u (0) = 0 и ue (z) = m=1 cm ( ue ) z m –
12
ряд, сходящийся при |z| < dist (0, ϕ ( Z (f ) ) ), так как имеет место сходимость при
|z| < R.
Возникает вопрос, не ухудшает ли сходимость ряда из выражения (11) за счет «плохой» (если таковая имеет место) сходимости ряда, задающего ue (z). Для однолистных
голоморфных в круге функций из класса S [8] в 1984 г. Бранжем было доказано, что
справедлива гипотеза Бибербаха, т. е. имеет место оценка
|cm | m для всех m 0.
m
· |z|m при |z| < 1. Далее
Поэтому ряд для ue (z) сходится не медленнее, чем ∞
m=1
можно заметить,
что в круге Sρκ (x0 ,t0 ) (0) для f (τ ) = xκ (t0 +τ, x0 , t0 ) сходится ее элемент
∞
fe (τ ) = m=0 cm (fe ) · τ m , поэтому коэффициенты
cm (ψe ) = [m!]−1 ψz=0 (z) = [m!]−1 fz=0 (u(z)),
(m)
(m)
fz(κ) =
dκ f
.
dz κ
Таким образом, имеем, что
c0 (ψe ) = c0 (fe ),
du d
f (u) ·
c1 (ψe ) =
= c1 (fe ) · c1 (ue ) ,
du
dz z=0
d
d2 u 1 du d d
·
f (u) +
f (u) 2 =
c2 (ψe ) =
2 dz dz du
du
dz
z=0
= c1 (fe ) · c2 (ue ) + c2 (fe ) · c21 (ue )
и т. д. Поэтому коэффициенты cm (ψe ) – многочлены по величинам ci (fe ) и cκ (ue ) при
0 i m, 1 κ m, с целыми коэффициентами и вычисляются точно на столько,
на сколько точно известны ci (fe ) и cκ (ue ). При этом нет необходимости использовать
формулы Тейлора вида
1
f (u(z)) · dz
cm (ψe ) =
.
2πi
z m+1
γρ
В случае 20 справедлива теорема аппроксимации.
Теорема 2. Равномерно на компактах, принадлежащих множеству
( clC1 Srα (0) ) \ ϕ (Z (f )),
справедливо равенство ψ(z) = lim [L/M ], где величины [L/M ] определены выше.
L→∞
Д о к а з а т е л ь с т в о непосредственно вытекает из теоремы Монтессу [6], а также
леммы 1, обеспечивающей существование знаменателей дробей Паде, отличных от нуля.
В случае 30 справедлива такая теорема.
Теорема 3. Пусть M card ϕ ( Z (f ) ). Рассмотрим строку аппроксимации Паде
[M/L], где L → ∞. Пусть заданы произвольные положительные ε и δ.
Тогда найдется номер L0 такой, что |ψ(z)−[L/M ]| < ε при всех L > L0 и всех |z| <
rα , за исключением z ∈ EL , где EL — измеримое множество точек, меры меньше δ.
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из теоремы 6.5.1 работы [6].
В случае 40 справедлива теорема.
Теорема 4 (Зинна–Юстина). Пусть qM — число нулей полинома QM (z) при |z| <
rα . Если lim M −1 · qM · ln M = 0, то аппроксимации Паде [M/M ] сходятся по мере
M→∞
√
к ψ(z) в круге |z| < rα · ( 3)−1 .
13
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из теоремы Натолла–Зинна–Юстина, являющейся
следствием теоремы Поммеренко [6].
Таким образом, в случае 40 при известной оценке количества полюсов у ψ(z) в круге
|z| r сходимость дробей Паде гарантируется лишь в (круге) Srα /√3 (0)\E, где E –
измеримо и meas E < δ; положительное δ – априорное данное.
Оценки на количество приближений нетрудно получить из приведенного в [6] доказательства соответствующих теорем. Так, например, в случае теоремы 3 получим
следующую оценку:
L+M+1 z K · rαM · 3M · (2rα )M
,
|ψ(z) − [L/M ]| rα
η M +m
откуда следует оценка
−1
z ε/L] · ln max − M − 1,
L0 ln [
z∈EL rα
где
(13)
−1
,
L = K · rαM · 3M · (2rα )M · η M +m
−1
z K = 1 − sup |ψ(β)|,
rα
|β|=rα
M M , M – количество тех корней zi знаменателя
EL – измеримо и meas EL πη 2 < δ,
QM (z) дроби [L/M ], для которых |zi | < 2rα .
Таким образом, если положительные ε и δ заданы, то в случаях 30 и 20 при L0 (ε, δ),
определяемом согласно выражению (13), имеем оценку
L0
[L0 /M] i pi
z i=0
ψ(z) − M
< ε, z ∈ EL , meas EL < δ,
[L0 /M] j q
z
j
j=0
[L /M]
[L /M]
где коэффициенты pi 0
и qj 0
при i ∈ 0 : L0 , j ∈ 0 : M являются известными
числовыми величинами, явно вычисляющимися по коэффициентам Тейлора для ψe (z),
т. е. по числам cm (ψe ) из выражения (12) согласно формулам (7). Последние, в свою
очередь, рассчитываются методом Q − D разностей.
def
Пусть = meas ( u (EL0 ) ), тогда
L0
[L0 /M]
i
pi
· [ϕ(τ )] i=0
(14)
ψ ( ϕ (τ ) ) − M
<ε
[L0 /M]
j
q
·
[ϕ(τ
)]
j
j=0
при τ ∈ (clC 1 D(f )) \ u(EL0 ). Но
meas ( D (f ) \ ( clC1 D (f ) \ u (EL0 ) ) ) = meas u (EL0 ) = .
14
При фиксированном ε > 0 имеем, что для всякого > 0 найдется δ ( ) > 0 (δ зависит
в целом только от u, ϕ и D(f ) ), а по паре (ε, δ ( )) согласно теореме 3 найдется число
L0 (ε, δ ( )) такое, что на множестве точек (τ ∈u(EL0 ))&(τ ∈ D(f )), где meas u(EL0 ) <
, будет справедливо выражение (14) при всех L L0 .
Приведенные утверждения следуют из [8]. Действительно, если последовательность
измеримых множеств Bκ , κ = 1, 2, . . ., такова, что Bκ EL0 при κ → ∞, то meas EL0 =
lim meas Bκ . Тогда
κ→∞
meas u(EL0 ) = lim meas u(Bκ ) = lim
κ→∞
κ→∞
|u (z)|2 · dμ.
Bκ
Пусть
Mκ = sup |u (z)|;
z∈Bκ
при этом заметим, что, начиная с некоторого места по κ → ∞, все Bκ Srα ( 0 ), так
как EL0 int Srα ( 0 ). Тогда в силу принципа максимума модуля, начиная с некоторого
места по κ → ∞, вытекает, что Mκ+1 Mκ . . . Поэтому
|u (z)|2 · dμ M2κ · meas Bκ ,
(15)
meas u(EL0 ) meas u(Bκ ) =
Bκ
(m)
следовательно, при lim meas EL0 = 0 будем иметь, что
m→∞
meas
Bκ(m) → 0,
κ→∞
m→∞
т. е.
(m)
meas u ( EL0 ) −→ 0.
m→∞
Таким образом, из выражения (14) получаем, что при
τ ∈ ( clC1 D (f ) ) \ u ( EL0 ),
где meas u ( EL0 ) < δ, выполняется соотношение
L0
(ε,δ)
f (τ ) ∼
=
i=0
M
j=0
[L0 /M]
pi
(cm (ψe )) · [ϕ(τ )]i
±ε
[L /M]
qj 0
(cm (ψe ))
·
[ϕ(τ )]j
[. /.]
при L0 (ε, δ), оцениваемом по формуле (13). Запись pi
что имеет место зависимость от коэффициентов
[. /.]
(cm (ψe )) и qj
(cm (ψe )) означает,
c1 (ψe ), . . . , cm (ψe ) = cm (ci (fe ), cκ (ue ))
и т. д. согласно соотношению (12).
В общем случае предъявить «простые» формулы, определяющие однолистное конформное отображение ϕ : D (f ) −→ Sr (0), не представляется возможным по объективным причинам, связанным со сложным тополого-аналитическим строением множества
15
D (f ), а точнее, его границы – F r D (f ). В случае, когда D (f ) – многоугольник, можно
использовать интеграл Кристофеля–Шварца [9]. Однако если пренебречь в рассматриваемом случае некоторой малой по мере (meas) частью множества D(f ), то, используя
интеграл Коши, можно дать аналитическое представление однолистного конформного
отображения ϕ : D(f ) −→ SR (0). Согласно выражениям (8) и (10) получим из формулы
(9) соотношение для u : SR (0) −→ D(f ) (напомним, что u = ϕ−1 )
u(z, 0) = exp[Γ(z, 0) + i · Γs (z, 0)] · z,
где
Γ(z, 0) = gu (z, 0, int SR (0) ) − ln |z|.
Пусть rm < R, lim rm = R. Тогда окружность
m→∞
def
C(m) : r(m) = rm · ei·θ ,
0 θ < 2π,
переходит в замкнутую кривую
u ( rm · exp i θ, 0 ) = u ( C(m) , 0 ) ⊂ D (f ).
Причем имеем
distHausd ( u ( C(m) , 0 ), F r D (f ) ) −→ 0
m→∞
согласно соответствию границ. Ориентация окружности C(m) определяет ориентацию
кривой u(C(m) , 0) ⊂ D(f ) для всякого m 1, на которой существующее отображение
ϕ : D(f ) −→ SR (0) оказывается аналитичным. Для любого τ ∗ ∈ u ( C(m) , 0 ) вытекает,
что ϕ (τ ∗ ) ∈ C(m) . При этом u (ϕ (τ ∗ ), 0) = τ ∗ и ϕ ( u(z ∗ ) ) = z ∗ ∈ C(m) . Следовательно,
внутри контура u(C(m) , 0)
ϕ ( τ, 0 ) = (2πi)−1
( t − τ )−1 · ϕ (t, 0) dt, τ ∈ u(C(m) , 0)
(16)
u(C(m) ,0)
или, поскольку t = u (rm · eiθ , 0),
1
ϕ (τ, 0) =
2πi
2π
0
uθ (rm · eiθ , 0) · rm · eiθ
dθ.
u(rm · eiθ , 0) − τ
Интегральное представление (16) для ϕ внутри контура u (C(m) , 0) корректно, так
как справедлива теорема существования требуемого ϕ : D (f ) −→ SR (0) (старое r переобозначено через R). Если внутренность контура u (C(m) , 0) обозначить через Dm (f ),
то
lim meas (D(f ) \ Dm (f )) = 0,
m→∞
так как ∞ ∈ clC1 D(f ) и справедлива оценка (15).
Поэтому для всякого D > 0 найдется m ( δD ) такое, что при m m (D ) будет
справедливо неравенство
L0
(ε,δ)
2π
rm ·eiθ ·u (rm ·eiθ ,0)·dθ j [L0 /M]
1
θ
pj
(c(ψe )) · 2πi ·
u(rm ·eiθ ,0)−τ
0
f (τ ) − j=0
κ < ε
2π
M
rm ·eiθ ·uθ (rm ·eiθ ,0)·dθ
[L0 /M]
1
qκ
(c(ψe )) · 2πi
·
u(rm ·eiθ ,0)−τ
κ=0
0
16
при условии, что
τ ∈ D (f ) \ u ( EL0 ∪ ( SR (0) \ Srm (0) ) ),
где
meas u (EL0 ∪ ( SR (0) \ Srm (0) ) ) < + D .
Литература
1. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / пер. с фр. Е. Леонтович, А. Майер. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 392 с.
2. Зубов В. И. Устойчивость движения: методы Ляпунова и их применение. М.: Высшая школа,
1984. 271 с.
3. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970. 320 с.
4. Вишневский В. Э. Лучевая аппроксимация Паде–Шенкса преобразований Ли–Депри полиномиальных систем дифференциальных уравнений. Деп. в ВИНИТИ от 13 мая 1985 г., № 3870–85. 32 с.
5. Филатов А. Н. Обобщенные ряды Ли и их приложения. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1963.
112 с.
6. Бейкер Дж. (мл.), Грейвс-Моррис П. Аппроксимация Паде / пер. с англ. Е. А. Рахманова,
С. П. Суетина. М.: Мир, 1986. 502 с.
7. Гончар А. А. О сходимости аппроксимации Паде // Матем. сб. 1973. Вып. 92, т. 1. С. 152–164.
8. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975. 336 с.
9. Голузин Г. М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. М.: Наука, 1966.
628 с.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья принята к печати 21 июня 2012 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
300 Кб
Теги
решение, кошик, падеж, задачи, аппроксимация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа