close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Аппроксимация эволюционных задач с носителем на графе.

код для вставкиСкачать
УДК 519.671
АППРОКСИМАЦИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ С НОСИТЕЛЕМ НА ГРАФЕ
В.В. Провоторов, О.А. Махинова
В работе рассматриваются вопросы аппроксимации граничных задач для уравнений с распределенными
параметрами на графе - основополагающем математическом объекте при моделировании процесса переноса тепла в
сетеподобных конструкциях. При этом исследуется устойчивость полученных разностных схем, сходимость
решений разностной задачи к решению исходной
Ключевые слова: граничные задачи на графе, аппроксимация
Работа
посвящена
основополагающим
вопросам теории разностных схем для граничных
задач на графе: аппроксимация граничной задачи
конечно-разностной, устойчивость разностных схем,
сходимость решений разностной задачи к решению
граничной задачи. Особое внимание уделено
построению алгоритма для вычисления границ
неотрицательного
спектра
положительного
оператора, являющегося конечномерным аналогом
дифференциального
оператора
на
графе,
основанный на методе Л.А.Люстерника [1]. Т.к.
различные классы графов требуют различной
техники, мы ограничиваемся исследованиями
граничных задач на деревьях.
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР НА
ГРАФЕ. В этом пункте для дифференциальных
операторов,
порождаемых
дифференциальным
выражением −
d
2
2 y + q ( x ) y на дереве, строятся и
dx
им
соответствующие
разностные
изучаются
аналоги.
Рассмотрим компактное связное дерево ℑ в
ориентировано
ξ " . Каждое ребро рассматривается как отрезок
[0,1] и параметризуется параметром x ∈ [0,1] .
Множество непрерывных на дереве ℑ
функций обозначается через C ( ℑ) , C[ ℑ] множество
кусочно-непрерывных
функций
(непрерывность на ребрах, пределы в узле ξ по
разным ребрам могут быть различными, функции не
2
приписывается никакого значения в узле), C [ ℑ] множество функций, на каждом ребре два раза
непрерывно дифференцируемых вплоть до границы
(т.е. все производные до второго порядка
включительно принадлежат C[ ℑ] , в концевой точке
ребра
применяется
одностороннее
дифференцирование). Скалярная функция f ( x ) на
графе ℑ - отображение f : ℑ → R , сужение
функции f ( x ) на ребро γ обозначается через
f ( x )γ .
Пусть
m
R
с ребрами единичной длины. Ребра графа
обозначаются через γ i , узлы − через ξ j (здесь i , j
номера, причем нумерация ребер предполагается
независимой от нумерации узлов). Узел дерева
называется граничным, если он принадлежит только
одному ребру. Такое ребро также называется
граничным, все остальные узлы и ребра называются
внутренними.
Множество
граничных
узлов
обозначается ∂ℑ , J ( ℑ) - множество внутренних
узлов. Характерной особенностью графа-дерево
является возможность выбора ориентации на нем
так, что одно граничное ребро (ребро-выход) будет
ориентировано " наружу" , остальные граничные
ребра (ребра-входы) − " внутрь " дерева. При этом
для любого узла ξ ∈ J ( ℑ) из всех ребер,
ξ , одно ребро будет
примыкающих
к
" от узла ξ " , остальные − " к узлу
ℜℑ
-
множество
2
y ( x ) ∈ C ( ℑ) I C [ ℑ] ,
следующим условиям
ξ ∈ J ( ℑ) :
в
функций
удовлетворяющих
произвольном узле
mξ −1
∑ y ′(1) ξ = y ′(0) ξ , (1)
γ
γ
i =1
mξ
i
(условие
Кирхгофа)
в
силу
выбранной
параметризации дерева ℑ , где mξ - число ребер
ξ
γi ,
примыкающих
к
узлу
ξ.
Условия
(1)
называются стандартными условиями [2]. В
электрических сетях (1) выражают закон Кирхгофа;
в сетях тепломассопереноса (1) выражают баланс
тепломассопотоков, при колебании упругих сетей баланс напряжений.
На
функциях
y ( x) ∈ ℜℑ ,
определим
дифференциальный оператор Λ ℑ соотношением :
Провоторов Вячеслав Васильевич – ВГУ, канд. физ.-мат.
наук, доцент, е-mail: wwprov@mail.ru
Махинова Ольга Алексеевна – ВГУ, магистр, е-mail:
moa1002@mail.ru
Λℑ y = −
d
2
2 y + q ( x ) y , (2)
dx
где q ( x ) ∈ C ( ℑ) . Областью определения оператора
Λℑ
( y h ) n = ( y h )0 ξ
iξ
Φℑ
(Φ ℑ ⊂ L2 ( ℑ)) ,
элементы y ( x ) которого удовлетворяют граничным
условиям в узлах ς ∈ ∂ℑ ребер-входов
является множество
Таким
образом,
оператор
Λℑ
определен
в
пространстве L2 ( ℑ) .
( ) ( )
симметричен в
y ( a ) = 0, ς ∈ ∂ℑ.(5)
здесь a числовое значение параметра,
соответствующее узлу ς ( a = 0 или a = 1 ).
Условия (5) достаточно часто встречаются в
прикладных задачах. Соответствующий оператор
0
обозначим через Λ ℑ , а его область определения −
0
h
1
((
y
) − ( y h )0 ) − hς ( y h )0 = 0, ς ∈ (∂ℑ \ ς% ),
h ς
1
ς
ς
(( yh )n − ( yh )n−1 ) + H ( yh )0 = 0, (7)
ς%
ς%
h
Φℑ
обозначим
ς%
(соотношения
h
h
сеточных функций y ∈ ℜ ℑ вводится аналогично
соотношениями
( y h )0 = 0, ς ∈ ( ∂ℑ \ ς% ) , ( y h )0 = 0, (8)
ς
ς%
(соотношения (8) являются разностными аналогами
(5)).
Каждой
y∈Φ
функции
- положительные.
( y)
0
и Λ являются
положительно определенными.
{
hi
i
k
(или
0
y∈Φ )
h
( y ) : значение
h
i
i
i
в точке xk ∈ ℑ равно y ( xk ) , xk ∈ γ ⊂ ℑ ,
k = 0, n , индекс
i
пробегает множество всех
i
2.
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ
АНАЛОГ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА
НА
ГРАФЕ. Здесь и далее мы будем придерживаться
обозначений
книги
[4].
Обозначим
через
}
i
являются
0h
сопоставим сеточную функцию
ЛЕММА 2. Операторы Λ ℑ
(7)
разностными аналогами (3),(4)). Множество Φ ℑ
через Φ ℑ . Будем считать, что min q ( x ) > 0 , hς , H
ℑ
, (6)
y ∈ ℜ ℑ , удовлетворяющих соотношениям
h
ЗАМЕЧАНИЕ. Лемма имеет место, если
изменить граничные условия (3)-(4), описывающие
множество Φ ℑ , на условия Дирихле:
m ξ
=
для всех узлов ξ ∈ J ( ℑ) . Соотношения (6) являются
разностными аналогами условий, определяющих
многообразие ℜ ℑ . Множество сеточных функций
L2 ( ℑ) .
Доказательство леммы 1 основано на
применении формулы Лагранжа к функциям из
области определения оператора Λ ℑ .
m ξ
( h )1 ξ − ( y h )0 ξ
= y
h
ЛЕММА 1. Оператор Λ ℑ
, i = 1, mξ − 1,
mξ −1 ⎛
iξ
iξ ⎞
h
∑ ⎜ yh
− y
⎟
⎜
n
n −1 ⎟⎠
i =1 ⎝
y ′(0) − hς y (0) = 0, ς ∈ ∂ℑ, (3)
и граничному условию в граничном узле ς% ребравыхода
y ′(1) + Hy (1) = 0.(4)
m ξ
i
xk ( k = 0, n) множество точек xk , принадлежащих
i
i
ребру γ ⊂ ℑ : каждой точке
γ .
Указанное
значений
индексов
ребер
сопоставление является линейным оператором,
0
h
0h
действующим из Φ в Φ (или из Φ в Φ ); этот
оператор назовем проектированием функции y на
h
(введенный оператор аналогичен
сетку ℑ
оператору проектирования на отрезке [4]).
0h
0
h
соответствует
Пусть Λ ℑ , Λ ℑ - проекции операторов Λ ℑ ,
число 1 / n , началу и концу ребра γ соответствуют
числовые значения 0 и 1 .
h =1 n.
Множество
точек
Пусть
Λ ℑ на сетку ℑ , соответственно, т.е. конечно-
xk
i
{
}
i
xk ( k = 0, n) , где
i
принадлежит множеству
i
индексов ребер γ ⊂ ℑ , назовем сеткой дерева ℑ и
h
обозначим через ℑ , величину h - шагом сетки
h
h
ℑ . Обозначим через ℑ \ ∂ℑ
h
множество точек
h
сетки ℑ , не совпадающих с граничными узлами
h
h
дерева ℑ , а через ∂ℑ - множество точек сетки ℑ ,
совпадающих с граничными узлами дерева ℑ .
h
Обозначим через ℜ ℑ множество сеточных
h
функций y , удовлетворяющих условиям:
h
0
разностные аналоги операторов Λ ℑ , Λ ℑ .
Введем разностные выражения
1
h h γ
h γ
h γ
, k = 0, n,
∇ y
=
y
− y
k
k
k −1
h
1
h h γ
h γ
h γ
, k = 0, n,
∆ y
=
y
− y
k
k +1
k
h
для произвольного ребра γ графа ℑ .
(
)
(
)
((
((
) ( )
)
(
)
))
h
h
h
Оператор Λ ℑ на сеточных функциях y ∈ ℜ ℑ
имеет представление:
( Λ ℑh y h )ki
γξ
(
h
)
h h γ iξ
k
=− ∆ ∇ y
( )ki ( y h )ki
+ qh
γξ
γξ
=
1
− 2
h
((
y
)k +1 − 2 ( y h )ki + ( y h )ki−1 ) +
h γ iξ
γξ
h γ iξ
h iξ
( )k ( )k
+ q
y
γξ
⎛1
1 ⎜0
h i
A
=− 2⎜
h ⎜ ...
⎜0
⎝
⎛ −2 1
1 ⎜ 1 −2
=− 2⎜
h ⎜ ... ...
⎜0 0
⎝
γ i (i = 1, mξ ) - прилегающие к этому узлу ребра, q
h
h
- сеточная функция на сетке ℑ , соответствующая
q( x) .
оператора
Λℑ
Областью
0h
h
h
Φℑ
определения
является множество
0h
Аналогично определяется оператор Λ ℑ с областью
(A )
h m
0h
определения Φ ℑ , состоящей из удовлетворяющих
h
условиям (8) сеточных функций y ∈ ℜ ℑ .
3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРАНИЦ СПЕКТРА
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ МАТРИЦЫ. Эволюционные
задачи с учетом начальных и граничных данных
редуцируются к линейной алгебраической системе
относительно компонент сеточных функций. К
аналогичной системе сводятся и граничные задачи
для уравнений гиперболического и эллиптического
типов, а также интегральные уравнения на графе.
Анализ
вычислительных
алгоритмов
соответствующих разностных схем существенно
опирается на априорную информацию о границах
спектров
конечно-разностных
аналогов
дифференциальных операторов, т.е. на изучение
спектра
соответствующих
матриц.
Ниже
рассмотрим задачу отыскания минимального и
максимального собственных чисел положительной
h
h h
h
A y = λ y , (10)
здесь A
h
- матрица конечно-разностного аналога
h
оператора A с областью определения Φ , каковым
0h
или
h
Φℑ .
Представление матрицы A
( )
⎛ A
⎜
h
A = ⎜ ...
⎜
⎜ 0
⎝
h 1
где
...
...
...
⎞
⎟
... ⎟ ,
h m⎟
⎟
A
⎠
0
( )
... ... ...
0
0
0 ... 1
0
1
...
0
0
0
...
0
h
на
...
...
...
...
−2 1
1 −2
... ...
0 0
( h)
-
E
⎞
⎟
⎟+
...
⎟
−2 ⎟⎠
0⎞
0⎟
⎟+
...
⎟
1 ⎟⎠
0
0 0
0 0
... ...
1 −2
m
0
1
...
0
...
...
...
...
0 0⎞
0 0⎟
⎟+
... ...
⎟
1 −2 ⎟⎠
E,
( n − 1) × ( n − 1) -матрица,
единичная
h
компоненты сеточной функции y удовлетворяют
соотношениям (6) и (7) (или(8)).
Спектральная задача (10) определяет полный
{u hj} и
h
положительных собственных чисел {λ j } .
набор
собственных
набор
векторов
Рассмотрим итерационный процесс
1 h h (l ) h (0)
h
h ( l +1)
=g ,
ϕ
=
A ϕ
,ϕ
ωl
где ωl = ϕ
h (l )
h
Φ0ℑh
1
вектор. Тогда ϕ
, g - произвольный ненулевой
h ( l +1)
=A
ϕ
h
h (l )
(11).
ωl
h
h
Пусть α ( A ) > 0 , β ( A ) > 0 - минимальное и
максимальное
собственные
значения,
соответственно.
ТЕОРЕМА 1. Минимальное и максимальное
собственные числа определяются формулами:
α ( Ah )= β ( Ah ) − β ( B h ),(12)
h
h
h
h
где B = β ( A ) E − A , β ( A ) = lim ϕ
l →∞
h
ребрах γ i (i = 1, mξ ) звезды Γξ с произвольным
узлом ξ ∈ J ( ℑ) имеет вид
...
+ q
может быть один из операторов Λ ℑ или Λ ℑ на
0h
Φℑ
...
⎛1
1 ⎜0
=− 2⎜
h ⎜ ...
⎜0
⎝
h
матрицы A , возникающей при аппроксимации
дифференциальных операторов на дереве. С этой
целью воспользуемся методом Л.А.Люстерника [1]
для матриц с положительными собственными
числами.
Рассмотрим спектральную задачу на сеточных
h
−2 1 ... 0
0
i
+ q
h
функциях y ∈ Φ
1
0 ... 0
( h ) E , (i = 1, m − 1) ,
сеточных
функций y ∈ ℜ ℑ , удовлетворяющих условиям (7).
h
1
( )
, (9)
здесь ξ - произвольный узел множества J ( ℑ) ,
функции
−2
Доказательство.
h (0)
Φ0ℑh
1
.
Вследствие
базисности
h
uj
имеет место
системы собственных векторов
разложение ϕ
(l )
h
h
{ }
h
h
= g = ∑ g j u j , где g j = ( g , u j ) .
j
Учитывая
ϕ
h (l )
= A
h
рекуррентное
ϕ
h ( l −1)
ωl −1
= ... =
соотношение
( h ) = β ( Ah ) −α ( Ah ) , откуда α ( Bh ) = β ( Ah )
⎛
⎞
⎜
⎟
l −1
h
h
⎜ A
⎟,
g
⎜
0h ⎟
Φ
⎜
ℑ1 ⎟⎠
⎝
( )
β B
( )
l
⎛
⎞
= ⎜ Ah g h ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
h
− β ( B ) , второе соотношение (12) доказано.
ЗАМЕЧАНИЕ. Итерационные процессы (11) и
(13) сходятся медленно. Для ускорения сходимости
можно применять различные методы, наиболее
употребительными
из
которых
являются
чебышовское ускорение или методы сдвига спектра
[4].
получаем
lim ϕ
h (l )
Φ0ℑh
1
l →∞
( Ah )
l →∞
l
lim
g
l
l −1
( h)
h h (0)
( )
j
( Ah )
h
g
h
Φ
Φ0 h
ℑ1
Так как, A ϕ
= ∑ λj
=
= A
l
0h
ℑ1
.
( h ) ⎛⎜⎝ ∑j g j u hj ⎞⎟⎠ =
h
l
g = A
h
g j u j , то при достаточно больших l
получаем асимптотическую формулу
(A )
h l
( h )⎤⎦
g = ⎡β A
h
⎣
l
4. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ,
АППРОКСИМИРУЮЩИХ
ГРАНИЧНУЮ
ЗАДАЧУ НА ГРАФЕ. Для эволюционной задачи
∂
ϕ = Λϕ + f , ( x, t ) ∈ Γ × (0, T ),
∂τ
ϕ = ϑ , x ∈ Γ, t = 0, (14)
0
(здесь оператор Λ - один из Λ ℑ , Λ ℑ ), рассмотрим
l
⎛⎛
⎡ h
λ ⎞ ⎞⎤
g m ⎢um + O ⎜ ⎜ m −1 ⎟ ⎟ ⎥ ,
⎜ ⎝ λm ⎠ ⎟
⎝
⎠⎦
⎣
явную разностную схему вида
j +1
ϕ
h
λm = β ( A ) . Из последнего соотношения
где
получаем
ϕ
j
h
j
( )
τ
0h
l −1 h
g
Φ0h
ℑ1
Φ0 h
ℑ1
l
⎛⎛
λ ⎞ ⎞
h
= β ( A ) + O ⎜ ⎜ m −1 ⎟ ⎟ ,
⎜ ⎝ λm ⎠ ⎟
⎝
⎠
Φ0 h
ℑ1
=
Решение ϕ
(A )
h l
β ( A ) = lim
l →∞
g
= lim ϕ
{λn } положительных собственных значений λn > 0 .
l −1
g
h
Φ0ℑh
1
4.1.
=
j
h
где
(очевидно, что
h
B ≥ 0 ) и спектральную задачу
Матрицы A
следует из
h h
B uj
и B
h
= β (A
h
) Eu j
h
− Au j =
ψ
где ωl = ψ
h (l )
β ( B )= lim ϕ
h
l →∞
=B
hψ
h (l )
ωl
h
.
(
,ψ
)
h (0)
Φ
0h
ℑ1
и
НЕЙМОНУ.
j
j
j
ϕn
j
fn
j
= (ϕ , un ) ,
h
= g (13),
n
n
j
= ( f , un ) , ϑn = (ϑ , un ) -
j
коэффициента Фурье ϕ n имеет место соотношение
1
2
ϕnj ≤ Cn ϑn + Cn f n , (16)
1
2
Cn ,
-
Cn
постоянные,
равномерно
ограниченные при 0 ≤ jτ ≤ T ( j = 0, M ) .
Подставляя полученные разложения в (15),
приходим к следующим соотношениям для
коэффициентов Фурье:
j +1
ϕn
.
j
= ∑ f n u n , ϑ = ∑ ϑn u n ,
коэффициенты Фурье.
В соответствии с определением устойчивости
по Нейману [4] разностная схема называется
устойчивой (счетно-устойчивой), если для каждого
где
. В результате получим, что
(l )
j
рассмотрим
Φ0 h
ℑ1
= (1 − τλn ) ϕ n + τ f n , ϕ n = ϑn ,
j
j
0
откуда
Из представления матрицы B
A
h
h
β ( Ah )−λ j u j .
Аналогично
предыдущему
итерационный процесс
h ( l +1)
h h
B y = λy
имеют общий базис, как это
h
ϕ = ∑ ϕ n un , f
n
Далее рассмотрим матрицу B
ПО
Рассмотрим разложения векторов ϕ , f , ϑ в
обобщенные ряды Фурье:
Первое соотношение в (12) доказано.
h
УСТОЙЧИВОСТЬ
j
,
Φ0ℑh
1
l →∞
}
Оператор
Λ >0
имеет
полную
систему
собственных функций
{un } и множество
h
Φ0 h
ℑ1
(l )
{
τ
τ
h
ищется на сетке S × [0, T ] , где
h
(A )
h
j
[0, T ] = t j : t j = jτ , τ = T / M , 0 ≤ jτ ≤ T ( j = 0, M ) .
и, следовательно,
h
h
(здесь оператор Λ - один из Λ ℑ , Λ ℑ ).
( Ah )
l
= Ah g h
0
j
+ Λ ϕ = f , ϕ = ϑ , (15)
h
h (l )
матриц
−ϕ
B
h
h
следует
соотношение
j
ϕ n = rn ϑn + τ ∑ rnj −i f ni −1, rn = 1 − τλnn .(17)
j
и общности базиса
j
i =1
Из
соотношений
(17)
следует
j
j
ϕ n ≤ rn
j
j −i
ϑn + τ ∑ rn
i =1
f n = max
j
j
ϕn
j
fn
f ni −1
h
(
)
⎛
ϑn + ⎜ 1− rn j
⎝
спектр
j
ϕ n ≤ rn
Λ
h
h
расположен
h
в
h
учитывая (16), соотношения (19) выполняются при
условии
( h ) .(20)
τ <2 β Λ
Получено достаточное условие устойчивости
разностной схемы (15).
Замечание. Разностная схема (15) остается
устойчивой и при
( ) .(21)
τ =2 β Λ
( )
h
h
( h)
τ =2 β Λ
при
получаем
= 2 , rn = 1 и соотношение (18) приводится
к виду:
i −1
j
ϕ n ≤ ϑn + jτ f n
.(22)
Т.к. jτ ≤ T , устойчивость по Нейману разностной
схемы (15) сохраняется.
Для эволюционной задачи (14) рассмотрим
неявную разностную схему
ϕ
j +1
−ϕ
j
h
+Λ ϕ
τ
соответствующее
относительно ϕ
ϕ
j +1
j +1
j +1
0
j
= f , ϕ = ϑ , (23)
рекуррентное
соотношение
для (23) имеет вид:
h
j
h
j
= Θ ϕ + τΘ ϕ , (24)
h
(
где оператор Θ = E +τΛ h
аналогичные (18):
(
)
−1
. Получим оценки,
)
⎛
⎞
ϑn + ⎜ 1− rn j 1− rn ⎟ τ rn f n , (25)
⎝
⎠
где rn = 1 (1 + τλn ) . Т.к. при любом значении τ > 0,
j
ϕ n ≤ rn
j
rn < 1 , то устойчивость разностной схемы будет
абсолютной.
Для разностной схемы Кранка-Николсона
ϕ
j +1
τ
−ϕ
j
+Λ
h
( f j = f (t j +1/2 ) )
ϕ
j +1
+ϕ
j
2
и
0
j
= f , ϕ = ϑ , (26)
ей
соответствующего
рекуррентного соотношения
ϕ
где
j +1
−1
(
h
j
h
)−1 ;
j
⎛
⎝
(
ϑn + ⎜ 1− rn
j
) (1− r ) ⎞⎟⎠τ µ
n
n
fn ,
где
rn = (1 − τ / 2λn ) (1 + τ / 2λn ) , µ n = 1 (1 + τ / 2λn ) .
( ) ≤ λn ( Λ ) ≤ β ( Λ ) , тогда,
Действительно,
) ( E −(τ 2)Λh ) ,
оценка для коэффициентов Фурье имеет вид:
⎞
(1− rn ) ⎟⎠ τ fn .(18)
оператора
0<α Λ
интервале
τβ Λ
h
ϒ = E +(τ 2 )Λ h
Оценки (18) будут выполнены при
rn < 1.(19)
Пусть
(
Θ = E +(τ 2 )Λ h
на
получим
j
≤ rn
f ni −1 , заменив
j
= Θ ϕ + τϒ ϕ ,
Абсолютная устойчивость разностной схемы
Кранка-Николсона (26) следует из rn < 1 , µ n < 1
при любых τ > 0 .
4.2.
УСТОЙЧИВОСТЬ
ПО
НОРМЕ.
Спектральный
критерий
устойчивости
(устойчивость по Нейману) вытекает из анализа
спектра конечно-разностного аналога оператора
исходной задачи, что не всегда возможно в силу
свойств этого оператора. При этом устанавливается
устойчивость решения по отношению к каждой
гармонике ряда Фурье и иногда не дается никакой
в
информации
об
устойчивости
решения
энергетической
норме,
которая
зачастую
оказывается
единственной
характеристикой
0
решения задачи. Например, для операторов Λ ℑ ,
0
Λ ℑ с областями определения Φ ℑ , Φ ℑ в общем
случае невозможно установить знак собственных
значений, но оценки норм их разностных аналогов
0h
h
Λ ℑ , Λ ℑ доступны. Ниже рассматривается понятие
устойчивости, связанное с нормами операторов
задачи.
Рассмотрим
задачу
(14)
которая
аппроксимируется в общем случае разностной
задачей вида:
ϕ
j +1
h
j
h
j
0
= Θ ϕ + τϒ ϕ , ϕ = ϑ .(27)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностная схема (27) устойчива
по норме, если при любом параметре h ,
характеризующем разностную аппроксимационную
схему, и j ≤ T / τ имеет место соотношение
ϕ
j
h
где G , F
Φ hτ
hτ
≤ C1 ϑ
G
h
+ C2 f
F hτ
, (28)
- множества сеточных функций ϑ ,
j
f . Постоянные C1 , C2 равномерно ограниченны
при 0 ≤ t ≤ T и не зависят от τ , h, ϑ , f .
ЛЕММА. Если разностная схема (27)
устойчива по норме, то решение ее непрерывно
зависит от исходных данных.
Определение устойчивости по норме в форме
(28) связывает само решение с априорными
сведениями об исходных данных задачи. Такое
понимание устойчивости полезно в случае, когда
отсутствует
информация
о
спектральных
характеристиках исходного оператора и его
разностного аналога, как это имеет место для
0
Λℑ .
операторов
Λℑ ,
рассмотрим
разностную
С этой точки
схему
(15),
зрения
решение
которой имеет вид:
ϕ
схемы удобно определять в форме
j
hj
j +1
h
= Θ ϑ +τ ∑ Θ
j
i −1
f
i =1
ϕ
.(29)
j
= Θ
Φ hτ
= Θ
h j
h j
ϑ
ϑ
Gh
j
+τ ∑ Θ
Gh
+τ
ϕ
j +1
1−τ Θ
1− Θ
h
≤ ϑ
Gh
+T f
i −1
F hτ
≤
h j
f
h j
.
F hτ
< 1 (30), то схема (15)
устойчивой
Φ hτ
f
i =1
Если предположить, что Θ
будет
h j
по
норме:
.
F hτ
Аналогичным образом можно рассмотреть
устойчивость схемы Кранка-Николсона (26) и
неявной схемы (23), получим в предположении (30)
j +1
ϕ
≤ ϑ
Φ hτ
+T ϒ
Gh
h
f
(
(
h
схемы (15) ϒ = E + τΛ
)
0 h −1
)
, для
.
h
Λℑ
τ
h
пространстве сеточных функций на ℑ × [0, T ]
определение устойчивости аналогично (28). Пусть
разностная задача имеет вид
hτ
hτ
= f
hτ
hτ
hτ
= ϑ (32) на ∂ℑ × [0, T ] ,
l ϕ
h
τ
h
(31) на ( ℑ \ ∂ℑ ) × [0, T ] ,
h
τ
h
h
h
h
h
lim
h →0
(ϕ )
h
−ϕ
h
Φh
= 0, (38)
причем имеет место следующая оценка сходимости:
(ϕ )
h
−ϕ
h
s
Φh
≤ Mh , (39)
здесь ε - порядок сходимости, M - фиксированная
постоянная.
Имеет место утверждение, являющееся
следствием теоремы А.Ф.Филлипова [5] для задач с
носителем на одномерных компактах либо их
декартовых произведениях.
ТЕОРЕМА. Пусть 1) разностная схема (36),(37)
аппроксимирует задачу (34),(35) на решении ϕ с
h
h
порядком s ; 2) Λ , l - линейные операторы; 3)
разностная схема (36),(37) устойчива по норме.
h
где
( L τ ϕ τ ) =ϕ
h
j
h
hτ j +1
hτ j
k −ϕ k +
k
hτ
hτ
0 h hτ j
+Λ ϕ k , k
τ
= 1, n − 1, j = 0, M − 1,
и l ϕ
- конечно-разностный аналог оператора,
описывающего граничные условия исходной задачи
на ∂ℑ × [0, T ] .
Устойчивость разностной схемы (31),(32)
определяется в форме
ϕ
где
h
h
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение ϕ разностной задачи
(36),(37) сходится к решению ϕ исходной задачи
(34),(35), если
естественно использовать понятие
устойчивости по норме ввиду отсутствия априорной
информации о знакоопределенности собственных
значений.
В
заключение
отметим,
что
при
аппроксимации эволюционной граничной задачи в
L ϕ
h h
l ϕ = ϑ (37) на ∂ℑ .
(15),(26) и (23), где разностный оператор
заменен на
,
F hτ
Λ ϕ = f (36) на ℑ \ ∂ℑ ,
h h
0 h −1
Замечание. Отметим, что при исследовании на
устойчивость разностных схем, аналогичных
0h
Λℑ ,
hτ
5. СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНОЙ
ЗАДАЧИ. Введем понятие сходимости решений
разностной схемы к решению исходной задачи.
Исследование сходимости решения разностной
схемы к решению исходной задачи как для
стационарных, так и эволюционных задач
осуществляется на основе одних и тех же
принципов. это позволяет проследить основную
идею анализа на примере стационарной задачи
Λϕ = f , ϕ ∈ ℜ(34) на ℑ\∂ℑ ,
lϕ = ϑ (35) на ∂ℑ ,
которая аппроксимируется следующей разностной
схемой:
,
F hτ
где для схемы (26) ϒ = E + (τ 2 ) Λ
h
≤C f
Φ hτ
где C - постоянная.
Оценив по норме решение (29), получим
ϕ
hτ
hτ
Φ hτ
C1 ,
C2
hτ
hτ
≤ C1 ϑ
hτ
G hτ
+ C2 f
hτ
F hτ
, (33)
- постоянные, не зависящие от
h, τ , f , ϑ на [0, T ] .
Если исходная задача аппроксимируется так,
что разностный аналог (32) граничных условий
учтен в разностной схеме (31), устойчивость такой
Тогда решение разностной задачи ϕ сходится к
решению ϕ задачи (34),(35).
∗
Доказательство. Пусть h - минимальное из
h , введенных в представлении аппроксимационной
формулы (9) и определении устойчивости (28). В
силу устойчивости для любых правых частей
h
h
h
h
*
f ∈ F , ϑ ∈G
и при h < h существует
единственное решение
ϕ
h
разностной задачи
(36),(37). Рассмотрим разность
(ϕ )
h
h
h
−ϕ =ψ . В
h
силу линейности оператора Λ получаем:
Λ
h
((ϕ ) −ϕ ) = Λ
h
h
h
(ϕ )
h
−Λ ϕ = Λ
h
(ϕ )
h
−l ϕ = l
h h
h
(ϕ )h − f h , (40)
аналогично
l
h
((ϕ ) −ϕ ) = l
h
h
h h
h
(ϕ )
h
h
− ϑ .(41)
Из
h
h
Λψ
=Λ
h
(ϕ )
h
h
h
− f ,l ψ
h
h
=l
(ϕ )
h
где K1 = C1M 1 + C2 M 2 , K 2 = C1 N1 + C2 N 2 .
h
−ϑ ,
в силу устойчивости и аппроксимации вытекает
ψ
= (ϕ ) − ϕ
h
h
Φh
+ C2 Λ
h
(ϕ )
h
− f
h
≤ C1 l
Φh
h
(ϕ )
h
−ϑ
s
h
≤ C1M 1h 1 + C2 M 2 h
h
s2
Gh
Оценка
+
s
≤ Mh ,
hτ
=ψ
hτ
. Тогда
((ϕ )hτ −ϕ hτ ) = Lhτ (ϕ )hτ − f hτ ,
hτ
hτ hτ
hτ
hτ
hτ
l ψ = l ( (ϕ )hτ −ϕ hτ ) = l (ϕ ) − ϑ .(42)
hτ
L ψ
hτ
hτ
=L
Из (42) и условия устойчивости (33) получаем
ψ
hτ
Φ hτ
= ϕ
hτ
Φ hτ
s
≤ K1h + K 2τ
p
показывает
сходимость разностного решения ϕ к точному ϕ
и дает представление о сходимости как по
отношению к шагу h по пространственной
h
ε = min{s1 , s2 } , C1 , C2 , C фиксированные
постоянные.
СЛЕДСТВИЕ. В случае эволюционной задачи
рассмотрим разностную схему (31),(32) и пусть
−ϕ
Φ hτ
переменной сетки ℑ , так и по отношению к шагу
где s1 , s2 - степени аппроксимации схемы (36),(37),
hτ
hτ
h
Fh
(ϕ )
ϕ
hτ
≤ C1 L
(ϕ )
hτ
− f
hτ
+C2 l hτ (ϕ ) − ϑ hτ
G hτ
hτ
F hτ
,
+
τ
τ временной переменной сетки [0, T ] .
Литература
Л.А.
О
разностной
1. Люстерник
аппроксимации операторов Лапласа УМН. 1954. Т.9,
№2. С. 45-63.
2. Юрко В.А. Введение в теорию обратных
спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.
3. Провоторов В.В. Собственные функции
краевых задач на графах и приложения. Воронеж:
Научная книга, 2008, - 247с.
4. Марчук Г.И. Методы вычислительной
математики. М.: Наука, 1977, - 455 с.
А.Ф.
Об
устойчивости
5. Филлипов
разностных уравнений. Доклады РАН. 1955. Т.100,
№ 6. С.81-87.
или, учитывая неравенства аппроксимации
ϕ
hτ
Φ hτ
s
+ C2 M 2 h
(
(
s
≤ C1 M 1h + N1τ
+ N 2τ
p
p
)+
) = K1h s + K 2τ p ,
Воронежский государственный университет
THE APPROXIMATION OF THE EVOLUTIONARY PROBLEMS ON THE GRAPH
V.V. Provotorov, O.A. Makhinova
The questions of approximation of the boundary problems for equations with distributed parameters are considered
on the graph. The graph is a basic mathematical object, wich is used for modeling the heat-conduction processes in
constructions with net. Stability of this difference scheme and convergence decisions of the difference problem to the
decision of the boundary problem are investigated
Key words: boundary problems on the graph, approximation
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
238 Кб
Теги
носителей, граф, эволюционная, задачи, аппроксимация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа