close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений.

код для вставкиСкачать
Вестник Нижегородского
им. Н.И.краевых
Лобачевского,
2010,
№ 2 (1), с. 117–123
Асимптотическое
поведение университета
решений некоторых
задач для
эллиптических
уравнений
117
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
 2010 г.
А.В. Калинин, А.А. Тюхтина
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
avk@mm.unn.ru
Поступила в редакцию 09.12.2009
Изучаются асимптотические свойства решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений дивергентного вида.
Ключевые слова: эллиптические уравнения, асимптотическое поведение.
Изучению асимптотических свойств вырождающихся эллиптических уравнений посвящена
достаточно обширная литература [1–3]. К асимптотическому анализу решений уравнений специального класса приводят инженерные задачи,
в которых возникает проблема определения
электромагнитных полей в неоднородных средах, содержащих непроводящие включения [4,
5]. Решение таких проблем связано с рассмотрением соответствующих уравнений отдельно в
проводящих и непроводящих областях и последующим согласованием их решений.
Из физических соображений ясно, что замена непроводящих включений слабопроводящими не должна существенно повлиять на решение задачи. С другой стороны, такая замена позволяет использовать единые подходы для определения электромагнитных полей во всей области. Обоснование этого метода обсуждается
в работах [6, 7].
В двумерном плоском случае данный подход
сводится к изучению асимптотического поведения решений краевых задач для эллиптических
уравнений дивергентного вида при стремлении
некоторых коэффициентов в выделенных подобластях к бесконечности [7]. Настоящая работа
посвящена обобщению результатов, полученных для двумерных областей, на n-мерный случай.
1. Постановка задач и основные результаты
Пусть Ω ⊂ R n – ограниченная односвязная
область с регулярной границей, Ω 0 – подмно-
жество в Ω с компонентами связности Ω 0,i ,
i = 1,..., s.
Рассмотрим на множестве Ω \ Ω 0 задачу определения функции, удовлетворяющей уравнению
n
r ∂u r 
∂ 
(x ) = f (xr )
aij (x )
− ∑

∂x j
i , j =1 ∂xi 

r
x ∈ Ω \ Ω0 ,
(1)
и следующим условиям на границах множеств
Ω 0, i :
(grad u )τ ( xr ) = 0 , xr ∈ ∂Ω 0,i , i = 1,…, s. (2)
r
Здесь для функций ψ : Ω \ Ω 0 → R n используются обозначения
r r r r r r
r
r r r
ψ ν (x ) = ψ(x ) ⋅ ν(x ) , ψ ν (x ) = ψ ν (x )ν( x ) ,
r r
r r r r r
ψ τ ( x ) = ψ( x ) − ψ ν (x ) , x ∈ ∂Ω \ Ω 0 ,
r r r
ν(x ) , x ∈ ∂Ω \ Ω0 , – единичный вектор внешней нормали.
Условия (2) эквивалентны тому, что сужение
u на каждое множество ∂Ω 0, i , i = 1,…, s, – постоянная функция:
u ∂Ω0,i = const , i = 1,…, s.
Предполагаем, что Ω 0,i , i = 1,..., s, – односвязные области с границами ∂Ω 0, i класса C 2 ,
такие, что
Ω0, i ⊂ Ω ,
Ω0, i I Ω0, j = ∅
i ≠ j , множество Ω \ Ω 0 связно.
при
118
А.В. Калинин, А.А. Тюхтина
Считаем, что aij : Ω \ Ω 0 → R1 , i, j = 1,…, n,
– заданные измеримые функции,
aij = a ji ,
i, j = 1,..., n, и существуют такие постоянные
r
α1 , α 2 > 0 , что для всех ξ ∈ R n и почти всех
r
x ∈ Ω \ Ω0
n
r2
r2
r
α1 ξ ≤ ∑ aij (x )ξi ξ j ≤ α 2 ξ ,
i , j =1
1
f : Ω \ Ω 0 → R – заданная функция.
r
Пусть вектор-функция F : Ω \ Ω 0 → R n такова, что
r
div F = − f .
(3)
Тогда уравнение (1) можно переписать в виде
r
div ( A grad u ) = div F ,
(4)
где A – ( n × n )-матрица с элементами a ij .
Далее, для каждого λ > 0 рассмотрим в области Ω уравнение
r
div ( Aλ grad uλ ) = div Fλ ,
(5)
r
r
r  A(x ), если x ∈ Ω \ Ω 0 ,
где
Aλ ( x ) =  −1
r
 λ I , если x ∈ Ω 0 ,
I – единичная матрица,
r
r r  F ( xr ), если xr ∈ Ω \ Ω 0 ,
Fλ ( x ) = 
r
 0, если x ∈ Ω 0 .
Задача вида (1), (2) возникает, например, при
изучении электромагнитных полей в плоской
области с непроводящими включениями, занимающими множество Ω 0 . Замена непроводящих включений слабопроводящими приводит
тогда к уравнению вида (5).
В работе изучается связь между решениями
уравнений (4) и (5) при одинаковых условиях на
границе области Ω .
Определим основные функциональные пространства. Обозначим через {L2 (Ω )}n гильбертово пространство суммируемых с квадратом
r
функций u : Ω → R n со скалярным произведением
n
(ur, vr )2,Ω = ∫ (ur ⋅ vr )dxr = ∑ ∫ ui vi dxr ,
i =1 Ω
Ω
через D (Ω ) – пространство пробных функций
ϕ : Ω → R1 ; через
{D (Ω )}n
– пространство
r
r
n
пробных функций ϕ : Ω → R ( ϕ = {ϕ1 ,..., ϕ n } ,
ϕ n ∈ D (Ω ) , i = 1,…, n); через D ′(Ω ) – пространство распределений (обобщенных функций).
r
Будем говорить, что div u = g ∈ L2 (Ω ) для
r
некоторой функции u ∈ {L2 (Ω )}n , если
r r
r
∫ (grad ϕ ⋅ u )dx = − ∫ gϕdx
Ω
Ω
при всех ϕ ∈ D (Ω ) .
Определим гильбертовы пространства вектор-функций [8]
r
r
H (div; Ω ) = u ∈ {L2 (Ω )}n : div u ∈ L2 (Ω ) ,
r
r
K (div; Ω ) = u ∈ {L2 (Ω )}n : div u = 0
с соответствующими скалярными произведениями
(ur, vr )div = ∫ (ur ⋅ vr )dxr + ∫ div ur ⋅ div vrdxr ,
{
{
}
Ω
}
Ω
(ur, vr )K ( div , Ω ) = (ur, vr )2, Ω .
Пусть, далее, H 0 (div; Ω ) – гильбертово пространство функций, определяемое как замыкание пространства пробных функций {D (Ω )}n в
пространстве H (div; Ω ) , H 01 (Ω ) – замыкание
множества пробных функций D (Ω ) в про-
H 1 (Ω ) = W21 (Ω ) . Через
странстве Соболева
H −1 / 2 (∂Ω ) обозначается пространство, сопряженное к H 1 / 2 (∂Ω ) , значение функционала
q ∈ H −1 / 2 (∂Ω ) в точке ϕ ∈ H 1 / 2 (∂Ω ) записывается как q, ϕ .
Обозначим через H −1 (Ω ) пространство, сопряженное к H 01 (Ω ) . Предположим, заданная
f∈
функция f удовлетворяет условию
∈ H −1 (Ω \ Ω 0 ) . Тогда найдется функция
r
F ∈ {L2 (Ω \ Ω 0 )}n такая, что справедливо (3) [9].
Задача (4), (2) рассматривается при двух видах краевых условий:
r
r
u (x ) = 0 , x ∈ ∂Ω
(6)
r r
r
(7)
и A grad u − F ν ( x ) = 0 , x ∈ ∂Ω .
Решением задачи (4), (2), (6) называется
функция u ∈ H 1 (Ω \ Ω 0 ) , удовлетворяющая
равенству (4) в смысле теории распределений,
условиям (2) и условию (6) в смысле теории
следов [10].
Решением задачи (4), (2), (7) называется
функция u ∈ H 1 (Ω \ Ω 0 ) , удовлетворяющая
равенству (4) в смысле теории распределений,
условиям (2) и (7) в смысле теории следов.
Задачи (4), (2), (6) и (4), (2), (7) будут изучаться при дополнительном условии
(
)
119
Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений
r
γ iν A grad u − F ,1 = 0 , i = 1,…s,
(
)
(
где γ iν : H (div; Ω \ Ω 0 ) → H −1 / 2 ∂Ω 0, i
)
(8)
– опе-
ратор следа.
Условие (8) выполнено, например, если
функцию
r r
g = F − A grad u ,
(9)
лежащую в пространстве K (div; Ω \ Ω 0 ) , можно продолжить до функции из K (div; Ω ) .
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Существует единственное решение задачи (4), (2), (6), удовлетворяющее условию (8).
Теорема 2. Решение задачи (4), (2), (7), (8)
существует и определяется с точностью до
аддитивной постоянной.
Уравнение (5) изучается при краевых условиях
r
r
uλ (x ) = 0 , x ∈ ∂Ω
(10)
r
r
r
или Aλ grad uλ − Fλ ν ( x ) = 0 , x ∈ ∂Ω . (11)
(
)
Решением задачи (5), (10) называется функция uλ ∈ H 01 (Ω ) , удовлетворяющая (5) в смысле теории распределений.
Решением задачи (5), (11) называется функция uλ ∈ H 1 (Ω ) , удовлетворяющая равенству
(5) в смысле теории распределений, а условию
(11) – в смысле теории следов.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 3. При всех λ > 0 существует
единственное решение задачи (5), (10).
Теорема 4. При всех λ > 0 решение задачи
(5), (11) существует и определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Теорема 5. Пусть u ∈ H 1 (Ω \ Ω 0 ) – решение
при λ → 0 сужения функций u λ на множество Ω \ Ω 0 сходятся в H 1 (Ω \ Ω 0 ) к решению
задачи (4), (2), (7), (8) и справедлива оценка
(12).
Доказательства теорем 1–6 приводятся в п. 3
настоящей статьи.
2. Вспомогательные утверждения
Лемма 1 (Лемма Лакса – Мильграма [8]).
Пусть H – вещественное гильбертово пространство с сопряженным H ∗ , a (.,.) – непрерывная коэрцитивная симметричная билинейная форма на H, то есть существуют такие
числа α1 , α 2 > 0 , что для всех u, v ∈ H
a (u, v ) ≤ α 2 u v , a (u, u ) ≥ α1 u .
2
Тогда для каждого f ∈ H ∗ найдется единственный элемент u ∈ H , такой, что
a (u, v ) = f , v для всех v ∈ H .
Лемма 2 (Характеризация градиента распределения [11]). Пусть Ω ⊂ R n – открытое
r
множество, f ∈ {D ′(Ω )}n . Для того чтобы
r
f = grad p при некотором p ∈ D ′(Ω ) , необхоr r
димо и достаточно, чтобы f , v = 0 для всех
r
r
v ∈ {D (Ω )}n таких, что div v = 0 .
Лемма 3 (Неравенство Пуанкаре [12]).
Пусть Ω ⊂ R n – ограниченная область с регулярной границей. Существует постоянная
T (Ω ) > 0 , зависящая только от Ω , такая, что
для каждой функции u ∈ D ′(Ω ) , у которой
grad u ∈ {L2 (Ω )}n , найдется такое число C * ,
что
задачи (4), (2), (6), uλ ∈ H 01 (Ω ) – решение зада-
u − C*
чи (5), (10). При λ → 0 сужения функций u λ на
2, Ω
≤ T (Ω ) grad u
2, Ω
.
где постоянная с зависит только от Ω и Ω 0 .
Лемма 4. Найдется такое число T (Ω, Ω 0 ) >
> 0 , зависящее только от множеств Ω и
r
Ω 0 , что для всех u ∈ K (div, Ω ) , таких,
r r r
r
что ∫ (u ⋅ v )dx = 0 при любых v ∈ {D (Ω )}n I
Теорема 6. Пусть uλ ∈ H 1 (Ω ) – решение
r
задачи (5), (11) такое, что ∫ uλ dx = 0 . Тогда
I K (div, Ω ) , справедливо неравенство
r2 r
r2 r
∫ u dx ≤ T (Ω, Ω 0 ) ∫ u dx .
множество Ω \ Ω 0 сходятся к u в H 1 (Ω \ Ω 0 ) ,
при этом
u − uλ H 1 (Ω \ Ω ) ≤ c λ ,
(12)
0
Ω
Ω0
Ω
Ω\Ω0
(13)
120
А.В. Калинин, А.А. Тюхтина
Доказательство. Так как
r
ψ ∈ K (div, Ω 0,i ) I {D (Ω 0, i )}n
r r r
∫ (u ⋅ ψ )d x = 0 ,
для
всех
Ω 0 ,i
r
то, по лемме 2, u
= grad pi , где функции
Ω 0 ,i
pi ∈ H 1 (Ω 0, i ) , согласно лемме 3, определены с
точностью до аддитивной константы. Считаем
r
поэтому, что ∫ pi dx = 0 .
Ω 0 ,i
Из неравенства Пуанкаре следует, что найдутся такие постоянные T Ω 0, i > 0 , i = 1,..., s ,
(
)
зависящие только от соответствующих областей
Ω 0,i , что
2 r
2 r
∫ pi dx ≤ T Ω0,i ∫ (grad pi ) dx =
(
)
~
M 0 – замкнутое подпространство в H 01 (Ω ) ,
поэтому оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением
(u, v )M~ 0 = ∫ (grad u ⋅ grad v )dxr .
Ω \ Ω0
~
M 1 – замкнутое подпространство в H 1 (Ω ) ,
гильбертово пространство со скалярным произведением
(u, v )M~ = ∫ uvdxr + ∫ (grad u ⋅ grad v )dxr .
Ω
Ω\Ω0
~ ~
Очевидно, если u ∈ M ( M 0 ) , то ее сужение
на множество Ω \ Ω 0 лежит в классе M ( M 0 ).
Обратно, справедлива
) – опера-
~
Лемма 5 [7]. Пусть u ∈ M ( M ) , u ∂Ω0,i = ci ,
i = 1,…, s. Тогда функция u~ , определяемая соотношением
r r
r u (x ), x ∈ Ω \ Ω 0 ,
~
u (x ) = 
r
 ci , x ∈ Ω0,i ,
~ ~
лежит в M ( M 0 ) .
тор следа. Тогда, согласно обобщенной формуле Стокса [8],
r2 r
r
r
i r i
∫ u dx = ∫ (u ⋅ grad pi )dx = − γ νu , γ 0 pi ,
Лемма 6 [6]. Пусть H – гильбертово пространство, K – замкнутое подпространство H и
определена функция F : (0, ∞ ) → H такая, что
Ω 0 ,i
Ω 0 ,i
r r
= T (Ω 0,i ) ∫ u 2 dx ,
Ω 0 ,i
и, следовательно,
pi
H 1 (Ω\Ω0 )
(
r
≤ 1 + T (Ω0,i ) u 2,Ω .
)
(
Пусть γ i0 : H 1 Ω 0,i → H 1 / 2 ∂Ω 0, i
Ω 0 ,i
Ω 0 ,i
отсюда, в силу непрерывности операторов следа, получаем
r2
r
u 2,Ω ≤ γ iν γ i0 u 2,Ω \ Ω pi H 1 (Ω ) ≤
0 ,i
0
≤ 1 + T (Ω 0,i ) γ iν γ i0
то есть
r2 r
i
∫ u dx ≤ γ ν
2
γ i0
Ω 0 ,i
2
r
u
2 ,Ω \ Ω 0
0 ,i
r
u
2,Ω 0 ,i
,
(T (Ω0,i ) + 1) ∫ uv 2 dx .
F (λ ) − F (ν ) ≤
α
≤ c λ − ν , где α > 0 , c > 0 – постоянные, не
зависящие от λ , ν . Тогда существует элемент F0 ∈ K такой, что F0 = lim F (λ ) и
λ→0
F (λ ) − F0 ≤ cλ .
α
3. Доказательство основных результатов
Ω \ Ω0
Суммируя по i = 1,..., s , получаем (13), где
s
T (Ω, Ω 0 ) = 1 + ∑ (T (Ω 0, i ) + 1) γ i0
2
i =1
γ iν
2
.▪
Для изучения краевых задач введем множества функций
{
}
M = u ∈ H 1 (Ω \ Ω 0 ) : u ∂Ω0,i = const ,
r
r
~
M = u ∈ H 1 (Ω ) : grad u (x ) = 0, x ∈ Ω 0 ,
~
~
M 0 = {u ∈ M : u ∂Ω = 0}, M 0 = M I H 01 (Ω ) ,
{
для любых λ > 0 F (λ ) ∈ K и


r
~
~
M 1 = u ∈ M : ∫ udx = 0 .


Ω
}
Доказательство теоремы 1. Пусть u – решение задачи (4), (2), (6), тогда, по определению, u ∈ M 0 . Умножим обе части равенства (9)
скалярно на функцию grad v , v ∈ M 0 ( v ∈ M ),
и проинтегрируем по Ω \ Ω 0 :
r
∫ ( A grad u ⋅ grad v )dx =
=
Ω \Ω0
r
r
F ⋅ grad v dx −
∫(
Ω \Ω0
)
r
r
∫ (g ⋅ grad v )dx .
(14)
Ω \Ω0
Предположим, функция u удовлетворяет условию (8). Тогда
121
Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений
r
r
∫ (g ⋅ grad v )dx =
Ω \Ω0
s
r
r
= γ ν g , γ 0 v + ∑ v ∂Ω0 ,i γ iν g ,1 = 0 ,
(15)
i=1,…,s. Определив, как в лемме 5, функцию
~
~∈M
w
, получаем
( A grad w~ ⋅ grad w~ )dxr =
∫
Ω \ Ω0
i =1
то есть для всех v ∈ M 0
r
∫ ( A grad u ⋅ grad v )dx =
Ω \ Ω0
Ω \Ω0
r
r
∫ (F ⋅ grad v )dx . (16)
m
= − ∑ w ∂Ω0,i γ iν A grad w,1 = 0 ,
Ω \Ω0
Пусть теперь при некотором u ∈ M 0 равенство (16) справедливо для всех v ∈ M 0 . Тогда оно
заведомо справедливо для всех v ∈ D (Ω \ Ω 0 ) , то
есть на множестве Ω \ Ω 0 выполнено соотношение (4). Таким образом, u – решение задачи (4),
(2), (6) и, ввиду (14), справедливо (15), то есть u
удовлетворяет условию (8).
Согласно лемме Лакса – Мильграма, применить которую позволяют условия на матрицу A,
~
найдется единственный элемент u~ ∈ M 0 такой,
~
что для всех v ∈ M 0 справедливо (16), где u –
сужение u~ на множество Ω \ Ω .
0
i =1
~ и, соответстоткуда следует, что функция w
венно, w, является постоянной, что и требовалось доказать.▪
Доказательство теорем 3, 4. Функция
uλ – решение задачи (5), (10) тогда и только
тогда, когда при всех v ∈ H 01 (Ω ) справедливо
равенство
r
r
r
∫ ( Aλ grad uλ ⋅ grad v )dx = ∫ F ⋅ grad v dx . (17)
(
Ω
Доказательство теоремы 2. Как и при доказательстве теоремы 1, получаем, что функция
u – решение задачи (4), (2), (7), (8) тогда и только тогда, когда u ∈ M и равенство (16) справедливо при всех v ∈ M .
Согласно лемме Лакса – Мильграма, возможность применения которой следует из неравенства Пуанкаре и свойств матрицы А, найдет~
ся единственный элемент u~ ∈ M 1 такой, что
~
для u = u~ и всех v ∈ M выполнено (16).
1
~
Так как любой элемент v ∈ M представим в
r
~
виде v = v~ + mes −1 (Ω ) ∫ vdx , где v~ ∈ M 1 ,
Ω
grad v = grad v~ , равенство (16) справедливо для
сужения u~ на множество Ω \ Ω 0 , функции
u ∈ M и всех v ∈ M , то есть u – решение задачи (4), (2), (7), (8).
Пусть функции u1 , u2 ∈ M – решения задачи
(4), (2), (7), (8). Обозначим w = u1 − u2 ∈ M ,
тогда
div ( A grad w ) = 0 ,
γ iν A grad w,1 = 0 ,
)
Ω\Ω0
Если uλ – решение задачи (5), (11), то при
всех v ∈ H 1 (Ω )
r
∫ ( Aλ grad uλ ⋅ grad v )dx =
Тогда функция u ∈ M 0 удовлетворяет равенству (16) при всех v ∈ M 0 , то есть является
решением задачи (4), (2), (6), (8). Единственность решения этой задачи вытекает из взаимной однозначности соответствия между функ~
циями из M 0 и M 0 .
r
∫ ( A grad w ⋅ grad w)dx =
=
Ω
(18)
r
r
r
F ⋅ grad v dx + γ ν Aλ grad uλ − Fλ , γ 0 v ,
∫(
)
(
)
Ω \ Ω0
то есть справедливо (17). Обратно, если (17)
выполнено для некоторого uλ ∈ H 1 (Ω ) и всех
v ∈ H 1 (Ω ) , то, ввиду (18), имеют место соотношения (5) и (11).
Справедливость теорем 3, 4 следует тогда из
леммы Лакса – Мильграма. ▪
Доказательство
uλ ∈ H 01
теорем
5,
6.
Пусть
(Ω )
– решение задачи (5), (10) (для решения задачи (5), (11) доказательство аналогично). Положим
r
r
g λ = Fλ − Aλ grad uλ .
(19)
r
Согласно (5), div g λ = 0 . Обе части равенства
r
r
grad uλ = Aλ−1 Fλ − Aλ−1 g λ
(20)
r
умножим скалярно на функцию v ∈ K (div, Ω ) и
проинтегрируем по области Ω :
r r r
r r
−1 r
−1
∫ Aλ gλ ⋅ v dx = ∫ Aλ Fλ ⋅ v dx =
(
)
Ω
=
∫ (A
Ω \Ω0
(
Ω
r
−1
)
)
r r
F ⋅ v dx .
(21)
r r
Положив v = g λ , получим, используя неравенство Гельдера:
122
А.В. Калинин, А.А. Тюхтина
r2 r
∫ F dx .
r 2 r α 22
g
∫ λ dx ≤ α 2
1
Ω \ Ω0
(22)
Ω\Ω0
r
Возьмем 0 < η < λ . Записав для функции g η
равенство, аналогичное (21), и вычитая его из
r
(21) получаем, что для всех v ∈ K (div, Ω ) справедливо равенство
r r r
r
r r r
−1 r
∫ A g λ − g η ⋅ v dx + λ ∫ g λ − g η ⋅ v dx =
( (
) )
Ω \ Ω0
((
Ω0
(
) )
правой части, получим:
∫
Ω0
)
(
2
r
r 2 r
α2
∫ (ηgη − λgλ ) dx ≤ λ − η 2 T (Ω, Ω0 ) ×
α1
 r r
 1
α
×   2 + 2η2T (Ω, Ω 0 ) 2 + 2 λ − η  ∫ F 2 dx .



 α
 4
 Ω \ Ω0
 1
При λ, η < 1 получаем равномерную оценку
2 r
∫ grad uλ − uη dx ≤ c1 λ − η ,
(
с1 = T (Ω, Ω 0 )
)
r
r
r
1
g λ − g η 2 dx ,
2 τ Ω∫
Ω \ Ω0
))
)(
Ω \Ω0
(η − λ )
2
≤
4λ
(23)
r2 r
∫ g η dx .
Ω0
Из (21) следует, что
∫ (g η ⋅ v )dx = 0
r
r r
при
Ω0
r
всех v ∈ K (div; Ω 0 ) I {D (Ω 0 )}n . Используя условия на матрицу А и применяя лемму 4 и оценку (22) к интегралу в правой части (23), получаем
r2 r
r
r 2 r (η − λ )2
α3
∫ gλ − gη dx ≤ 4λ T (Ω, Ω0 ) α22 ∫ F dx .
1 Ω \ Ω0
Ω \ Ω0
(
)
Заменяя в знаменателе λ на λ − η и опять
применяя лемму 4, имеем
r
r
gλ − gη
2
2, Ω
≤ T (Ω, Ω 0 ) λ − η
2
α 32
4α12
))

α22 
α
α
 T (Ω, Ω 0 ) 2 + 2 + 2  ×
2
2

2 4α1
α1 

r2 r
× ∫ F dx .
0
где τ – произвольное положительное число.
λ−η
Возьмем τ =
. Тогда
2λ
r
r
r
r
−1 r
∫ A g λ − g η ⋅ g λ − g η dx ≤
( (
))
Ω \ Ω0
Ω
0
+
( (
))
где
r
r
r τ r r
g λ − g η 2 dx ≤ ∫ g η2 dx +
2Ω
(
, α = 1 / 2 , найдется
Ω
Ω \ Ω0
+λ
(
(
))
)(
r
r
r
r
− g η ⋅ g λ − g η dx +
λ
(
Ω0
Ω0
−1
2, Ω \ Ω 0
при λ → 0 .
Для всех λ, η > 0 , ввиду равенства (20),
r 2 r
2 r
−1 r
∫ grad uλ − uη dx = ∫ A gη − gλ dx +
)
r r
r
Положив v = g λ − g η и оценивая интеграл в
(A (gr
α 32 / 2 r
F
2α1
r
r r
функция g ∈ K (div,Ω) такая, что gλ − g 2,Ω → 0
+
r r r
= (η − λ ) ∫ g η ⋅ v dx .
∫
с = T (Ω, Ω 0 )
r
F
2
2, Ω \ Ω 0
Согласно лемме 6, существует функция
u ∈ H 01 (Ω ) такая, что при λ → 0 uλ → u по
H 01 (Ω ) , и справедлива
оценка (12) с константой c1 .
норме пространства
Из (19) получаем, что A grad uλ Ω \Ω0 =
r r
= F − g λ Ω \Ω0 ,
r
grad uλ Ω 0 = λg λ Ω 0 .
r
Поскольку g λ сходятся в {L2 (Ω )}n при
r
r
λ → 0 , то grad u (x ) = 0 при x ∈ Ω 0 , то есть, по
~
~
Пусть v~ ∈ M 0 ,
определению, u ∈ M 0 .
r
r
r
v~ (x ) = v (x ) при x ∈ Ω \ Ω 0 , где v ∈ M 0 . Тогда
r
∫ ( A grad u ⋅ grad v )dx =
Ω \ Ω0
λ →0
Поскольку выполнены условия леммы 6, где
r
H = {L2 (Ω )}n ,
K = K (div; Ω ) ,
F (λ ) = g λ ,
Ω \ Ω0
r
= lim ∫ ( Aλ grad uλ ⋅ grad v~ )dx −
λ→0
.
r
∫ ( A grad uλ ⋅ grad v )dx =
= lim
Ω
r
r
− lim ∫ (g λ ⋅ grad v~ )dx =
λ →0
Ω0
r
r
∫ (F ⋅ grad v )dx ,
Ω \ Ω0
то есть сужение функции u на множество
Ω \ Ω 0 удовлетворяет равенству (16) и, следова-
Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений
тельно, является решением задачи (4), (2), (6).
Так как
r r
A grad u = F − g ,
для u выполнено условие (8). ▪
Замечание. Сформулированные в работе утверждения остаются справедливыми при более
общей структуре множества Ω 0 [7]. Пусть
[m / 2 ]+1
Ω 0 = U Ω 2i −1 \ Ω 2i , m ∈ N . Здесь для всех
i =1
k ≤ m множества Ω k ⊂ Ω таковы, что
Ω 0 = Ω , Ω k ⊂ Ω k −1 , k = 1,…, m, Ω m +1 = ∅ .
При этом Ω k =
mk
U Ωik , где
i =1
Ω ik – односвязные
области класса C 2 , такие, что Ωik I Ω kj = ∅
при i ≠ j , i, j = 1,..., mk , k = 1,..., m , множества
Ω ik \ Ω k +1 , k = 0,..., m − 1 , связны. Тогда
[m / 2 ]
[m / 2 ]+1
Ω \ Ω 0 = U Ω 2i \ Ω 2i + 1 , s = ∑ m 2t −1 .
i =0
t =1
ꇷÓÚ‡ ‚˚ÔÓÎÌÂ̇ ÔË ÙË̇ÌÒÓ‚ÓÈ ÔÓ‰‰ÂÊÍ ‚
‡Ï͇ı ‡Ì‡ÎËÚ˘ÂÒÍÓÈ ˆÂ΂ÓÈ ‚‰ÓÏÒÚ‚ÂÌÌÓÈ
ÔÓ„‡ÏÏ˚ «ê‡Á‚ËÚË ̇ۘÌÓ„Ó ÔÓÚÂ̈ˇ· ‚˚Ò¯ÂÈ ¯ÍÓÎ˚ (2009–2010 „Ó‰˚)» åËÌӷ̇ÛÍË êî
(„ËÒÚ‡ˆËÓÌÌ˚È ÌÓÏ 2.1.1/3927), „‡ÌÚ‡
êîîà (ÔÓÂÍÚ 09-01-97019-_ÔÓ‚ÓÎʸÂ_‡), θÌÓÈ ˆÂ΂ÓÈ ÔÓ„‡ÏÏ˚ «ç‡Û˜Ì˚Â Ë Ì‡Û˜ÌÓÔ‰‡„ӄ˘ÂÒÍË ͇‰˚ ËÌÌÓ‚‡ˆËÓÌÌÓÈ êÓÒÒËË» ̇
2009–2013 „„. (¯ËÙ Á‡fl‚ÍË çä-13è-13, ÍÓÌÚ‡ÍÚ
№ è945).
Список литературы
1. Янушаускас А.И. Введение в аналитическую
теорию вырождающихся эллиптических уравнений
(учеб. пособие и метод. указания для студентов-
123
математиков). Вильнюс: МВ и ССО ЛитССР, ВГУ,
1974. 152 с.
2. Ильин А.М. Вырождающиеся эллиптические
и параболические уравнения// Математический
сборник. 1960. Т. 50. № 4. С. 443–498.
3. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С.
Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.
4. Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах.
М.: Наука, Физматлит, 1995. 320 с.
5. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в
электротехнике. М.: Мир, 1988. 208 с.
6. Калинин А.В., Морозов С.Ф. Стационарные
электромагнитные поля в неоднородных средах с
непроводящими и слабо проводящими включениями
// Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. № 1 (20).
C. 48–62.
7. Калинин А.В. Оценки скалярных произведений векторных полей и их применение в математической физике: Учебное пособие. Н. Новгород: Издво Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2007. 319 с.
8. Темам Р. Уравнения Навье – Стокса. Теория и
численный анализ. М.: Мир,1981. 408 с.
9. Масленникова В.Н., Тимошин М.А. Обобщенные решения с первыми производными из Lp в задаче
обтекания для системы Стокса// Сибирский математический журн. 1994. Т. 35. № 1. С. 135–162.
10. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные
граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
372 с.
11. Рамм Ж. де. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956. 251 с.
12. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1985. 415 с.
13. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике
и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.
14. Girault V. Raviart P. Finite element methods for
Navier – Stokes equations. B.–N.Y.–Tokyo: SpringerVerlag, 1986. 374 p.
ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS
OF SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR ELLIPTIC EQUATIONS
A.V. Kalinin, A.A. Tyukhtina
The asymptotic properties of solutions of some boundary value problems for elliptic equations in divergent form
are studied.
Keywords: elliptic equations, asymptotic behavior.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
276 Кб
Теги
асимптотическое, поведения, решение, уравнения, эллиптическая, некоторые, задачи, краевых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа