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Асимптотическое построение оптимального многопараметрического перелета. 1. Нулевое и первое приближения

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???. 10. 2009. ???. 1
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????????? ??????????? ?????????????? ????????? [1, 2, 11?13].
?????????? ??????????????? ?????, ???????? ? ??????? ??????????? ?????????,
???????? ? ?????????? ????? ?????????????? ????? ?? ??????????? ?????????? ? ?????????????? ????. ??? ????????? (????????????) [14] ????????????? ????????? ?????? ???????????? ??????? ? ???????? ????????????? ?????????, ??????? ?????????
?????????? ????????? ????? ???????????? ????????????? ?????? ? ??????????????
????????. ????? ?? ????? ????????????? ????????, ????????? ? ????????? ? ??????????? ?????????????? ????, ???????? ???????????? ???????????? ????? ??????
??????????? ?????????? ??? ??????? ? ?????????? ???????? ?????????? ? ??????
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???????? ?????????????? ????? ?? ????????????? ??????????? ???????????? ????????
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???????? ????????????? ?????????. ??????? ???????? ????? ??????????? ?? ????? ????????.
2. ??????? ??? ???????????? ?????????????? ???????? ?????? ?????????? ???????????? ???????? ????? ???????? ????????? ????????????? ????????. ? ???? ?????? ?????????? ?????? ??????????? ??????? ? ???????? ? ?????? ?????????????? ??????????? ??????? ??? ??????????? ?????????? [15], ? ??????? ?????? ??????????????? e ? ????????? ?????????? ? ??????????? ?????????? ???????? h = e sin ?,
k = e cos ?. ?????????????? ????????? ?????? ???????? ?????? Ф?╗, ?????? ??????????????? ???????, ?????????? ??????? ????????, ? ?????? Ф?╗. ??????? ???????
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r? = r? (1 + ?). ???????? ?????????? ?????? ?????????? ? ????
????????? ?????? ????????? ? ?????? ??????-?????????????? ????, ????????? ??????? ???????? ???????????? ???????? ?????????? ?????????? ???????????????????? ?????????? ??????????????????? ???????????????? ????????????. ?????????? ?????????????? ?????: 190. ??????? ???????????: ????????????? ???????? ??????????? ??????, ?????????? ????????? ? ??????????????
????, ???????????? ?????? ????????. E-mail: novoselov@apmath.spbu.ru.
c ?. ?. ?????????, 2009
103
h = ?h + ?2 h + ?3 h ,
k = ?k + ?2 k + ?3 k .
???????? ???????? ????? ??????????????? ????????. ????? ???????? ?? ? ???????
????????? ???????? ????, ??? h0 = 0, k 0 = 0.
?????????? ???????????? ?????? ???????? ? ??????????? ?????????????? ????
? ????? ??????????? ?????????. ????????? ???? ???????? ????????? ????????????. ??? ???????? ? ??????? [10, 11], ? ???? ?????? ?? ??????????, ??????????? ??
???????? ??????? ????? ??? ????? ?????????????????? ????????? ??? ???????????
?? ???????? ??????????? ?????????, ?????? ????????? ?????? ??????????? ? ?????????? ?????????? ?????????? ? = const > 0. ???????????? ??????? ????????? ?????
????? T1 , ??????? ? T2 . ?????????????? ????? ?????????????????? ????????? V1 + V2 ,
Vi = ?Ti , i = 1, 2, ??? Ti0 = Ti = 0, Ti = ?2 Ti + ?3 Ti . ??? ? = 0 ?????? ????????
? ?????????? ?????? ????????? ? ?????????, ??????? Vi0 = 0. ????????? Vi = 0, ??
? = ??1 ??, ??? ?? ??????? ???????.
??????? ?????????? ????????? ????? xj , j = 1, 4. ??? ?????????? ? ??????????????? ????????, ???????? ?????? ? ???????? ????. ??????????? ???????? ???? ?
??????? ???? ? ????????? ???????. ?? ???????? ????????? ???????? ????? ???????????????? ????????? [7, 9]
2 ?2
x?1 = x22 x?1
3 ? Т x3 + ? cos ?,
x?2 = ?x1 x2 x?1
3 + ? sin ?,
x?4 = x2 x?1
3 .
x?3 = x1 ,
(1)
2
????? Т ? ???????????? ????????????? ?????????????? ?????????? ?? ????? ???????????? ????. ?? ?????????????? ??????? ??? ? = 0 ????? ???????? ??????? ?????????
(1) ? ???? [15]
1
1
x1 = Тp? 2 (k sin x4 ? h cos x4 ),
x2 = Тp 2 x?1
3 ,
x3 = p(1 + h sin x4 + k cos x4 )?1 ,
(2)
??? p ? ????????? ????????.
??????? ???????????? ???????? ? ???????? ????????????? ????????? ?????
x1 (t? ) = 0,
2 3 ?
x?
2 ? x2 (t? ) = (?? + ? ? + ? ? )x2 .
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1
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Тr? 2 , ?? ??? ??????????????? ???????? ? ????? ???????? ???????
1
1 3 1 ? 12
2 3
3 5
(3)
x2 (t? ) = Тr? 1 ? ?( + ? ) + ? ( + ? ? ? ) ? ? ( + ? ? ? + ? ) .
2
8 2
16 8
2
???? ??????? Ti = 0 ? ? = ? = ? = 0, ?? ? ????????? ?? ?????? ??????? ?2
??????????? ????? ??????? ???? ?????? ? ????????????? [16]
3
3
1 3
3
? + иии .
T? = ?Т?1 r?2 1 + ? + ?2 ?
4
32
128
????? ????????? ????????? ??????????? ?? ???????????? ??????
3
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T ?Т?1 r?2 1 + ? ? ??,
4
4
104
3 ?1 3
?Т r?2 ? ?.
(4)
4
????? ???????, ????????? ??????????? ????????: 1) ??????? ????????? ?????
r? ? r? ; 2) ??????????? ?????????? ????????? ??; 3) ?????????????? ?????????????
???????? ??????????? ???????; 4) ?????????? ??????? ??????????? ?? ???????????? ?????? ?.
??? ????????? ????????? ????? ??????? ???????. ?????????? ????? ?????????
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3
T0 = ?Т?1 r?2 ,
T =
t
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?dt + ?(t? ? t? ) = V1 + V2 + ?(t? ? t? ),
?=
(5)
t
?
??? ? = const > 0 ? ??????????????? ??????????? ?????????. ??? ??? V1 +V2 ???????
?, ??????? ?????? ??????????? (4) ?? ???????????? ??????, ?? ???????? ?0 = ? = 0.
??????? ?????????? ??????? ?? ???? ???: ???? ??????? ???????? ????????? ????????
? ??????? ?????????????? ????. ?????????????? ?????? ? ????? ??????????? ???????
??????????????? ??????? ???????? ????????? Ф?╗ ? Ф+╗. ????????? ??????? ? ????1
?? ??????: x1 (t? ) = 0, x2 (t? ) = Тr? 2 , x3 (t? ) = r? , ? ????? ????????: x1 (t? ) = 0,
x2 (t? ) ???????????? ???????? (3), x3 (t? ) = r? . ??? ??????? ?????? ??????? ????????? ??????? ????????????? ??????? ?????????? ? ?????? ?????????? ???????? ?
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xj (t? ? T2 ) = x+
(6)
xj (T1 ) = x?
j ,
j ,
??? ?????? ????? ????????? ?? ??????? (2). ?????????????????? ???????? ?????
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1
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+ 2 2
2
? 12 2 2
2
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)
+
(x
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Тr
,
V2 (x+
.
(7)
V1 = (x?
1
2
1 ) + (x2 (t? ) ? x2 )
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??????? ???????? ???????? ?????? ?????????? ? ???????????? (5) ? ????????????????? ????????????? (1)
H = ?(?1 + ?1 cos ? + ?2 sin ?) + H1 = const,
?1
?1
2
2 ?1
H1 = ?1 x?1
3 (x2 ? Т x3 ) ? ?2 x1 x2 x3 + ?3 x1 + ?4 x2 x3 .
(8)
????? ?j , j = 1, 4, ? ?????????? ?????????, ?????????? ?????????? (1). ?? ???????
????????????????? ? ??????? ???????????????????? ??????? [9]
?4 = 0,
? = H.
(9)
? ????????????? ? ????????? ????????? ?? ???????? ????????? ????????
?H
= ??1 sin ? + ?2 cos ? = 0,
??
(10)
???????? (8) ????? ???????? ? ????
??(?1 + ?1 cos ? + ?2 sin ?) + ?H1 = ?H.
(11)
??? ???????????? ???????? ????????? ???????? ????????????? ??????? ? ?????????? ????? ???????, ? ??????? ?????????? ????????? ????? ??????? ???????. ???
????? ????? ?????? ??????????????? ??????????? ?????????? ? ??????? ???????
105
d? = ??2 dt. ??????? ??? ???????? ???????? ????????? ??????????????? ?????????
????????:
dx1
2 ?2
= ?2 (x22 x?1
3 ? Т x3 ) + ??? cos ?,
d?
dx4
= ?2 x2 x?1
3
d?
dx3
= ?2 x1 ,
d?
? ????????? ???????????????
d?1
= ?2 (?2 x2 x?1
3 ? ?3 ),
d?
dx2
= ??2 x1 x2 x?1
3 + ??? sin ?,
d?
(12)
d?2
= ?2 x?1
3 (?2?1 x2 + ?2 x1 ? ?4 ),
d?
d?4
d?3
= ?2 x?2
= 0.
(13)
?1 (x22 ? 2Т2 x?1
3
3 ) ? ?2 x1 x2 + ?4 x2 ,
d?
d?
????????? ??????????????? ?? ??????? ??????????????? ???????? ????? ??????? [15]
?1 = A cos x4 + B sin x4 + CG1 ,
?2 = [(2 + h sin x4 + k cos x4 )(?A sin x4 + B cos x4 ) +
+ CG2 + D](1 + h sin x4 + k cos x4 )?1 ,
3
?3 = ?Тp? 2 (1 + h sin x4 + k cos x4 )(A sin x4 ? B cos x4 + CG3 ? D),
1
?4 = ?Тp? 2 (Ak + Bh + C),
C = ?Т?2 p2 H.
(14)
????? A, B, C, D ? ?????????? ??????????????. ???????? G1 , G2 , G3 ???????? ?????????? ????????? [15] ???? x4 .
4. ??? ?????? ???????? ????? ??????? t? = 0, x4 (0) = 0. ? ??????? ???????????
0
??? ? = 0 ????? h0 = k 0 = 0, p0 = r? , x0?
= x0+
s
s , s = 1, 2, 3. ?? ??????? (4) t? =
3
T 0 = ?Т?1 r?2 , ??????? x4 (t0? ) = ?. ??? ??? ?0 = 0, ?? ? ??????? (9) ? (14) ????????
H0 = C 0 = 0. ?? ?????? (10) ? (11) ? ??????? ??????????? ???????
?01 = cos ? 0 ,
?02 = sin ? 0 .
(15)
???????? ???????? ???????????????????? ????? ?????????? ?????? ????? ??? ?1
?????? (14) ? (15) ? ?????? ?????????? ???????? ? ??????????????? ????????. ? ??????? ??????????? ????????
0
0
?0?
1 = A = cos ?1 ,
0
0
?0+
1 = ?A = cos ?2 .
(16)
???????????? ?????? ??????? ? ?????? ? ??????? ????????????? ?????????? ???????? (6) ? ????????? ???? ??????. ? ???? ?????? (2) ? (12),
1
V1 cos ?10 = ?Т(p0 )? 2 h ,
1
?V20 cos ?20 = Т(p0 )? 2 h .
???????? ??????????? (16), ?????
1
A0 V1 + Т(p0 )? 2 h = 0,
1
A0 V2 ? Т(p0 )? 2 h = 0.
????????? V1 + V2 = 0, ??????? A0 = 0, h = 0. ?????? ?? ???????? (12) ? (16)
??????????
106
?
0+
, x0?
1 = x1 = 0.
2
??? ?????????? ?????? ??????? ? ? ???????????? ? ??????????? (12) ? (13) ????????
x3 , x4 ? ?????????? ????????? ?j ??????????? ????????????? ?? ???????? ????????.
?? ????????? ????????????? x3 ? ?????? ???????????? ?????????? ??? ?????????????
??????? (2) ?????
?10 = ?20 =
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k = p r?
,
?1 1 ? k = r?
p,
k =
1
,
2
p =
1
r .
2 ?
?? ?????? (11)?(13) ? ????????????????? ???? ???????? ??????????? ??????? H01 =
H1 = 0, ?. ?. H1 ????? ??????? ?2 . ???????? H ?? ??????? (9) ????? ??????? ?2 . ???????
?? ??????????? (11) ? ????????? ?? ?????? ??????? ?2 ????????
?1 = cos ? + o(?2 ),
?2 = sin ? + o(?2 ).
(17)
????????? ?? ??????? (13) ? ??? ?? ????????? ?j = const, ?? ?? ????????? (17)
?i = const,
?i = const,
i = 1, 2.
??? ???????? ????????? ??????? ?? ???????? (7) ? (12)
x1? = x1+ = 0,
x2? = V1 ,
x3+ = x2 (t? ) ? V2 ,
x3? = 0,
x3+ = r? .
? ?????? (2) ? (3) ???????
V1 =
1 ? 12
Тr ,
4 ?
1
? 12
V2 = ( ? ? )Тr?
.
4
(18)
?? ??????? V1 + V2 > 0, ?????????????, ? < 12 . ??? ?????????? ? ???????? (12) ? (17)
?????? ??????? ? ?? ????????? ????????????? ?????? ???? ??????????? ??????????
? ?????? ?????????? ???????? ? ??????????????? ???????? ?????
B 0 = 0,
D0 = 1,
A = ??1 = ?2 ,
B =
1
,
4
D = 0.
???????? ??????? ??????? ? ????? ??????? ???? ?1 ? ?2 ? ?-??????????? ?? ????????????. ???? ???????????? ?????? ?????? ??????? ???????????, ?? ????????? ???????? ????? ??????? ????????, ?. ?. ????????? ????????????????? ????. ??? ????????
??????? ? ???????????? ??????????? ????????????? ???????????? ???????? [9], ???????? ??????? ??????????? ??????? ????????????? ????? ????????????? ? ??????? ??
??????? ?????????, ?????? ?????????? ??????????? ? ?????????????? ?????????
???????? ? ???????????????? ?????????? ????????.
?1
??????????? ?????? ????? ?????? ??????? ??????? ???????????? ? = (r? ? r? )r?
?????? ?????? ?????????????????? ?????????, ? ???? ??????? (18), ???????? ??????
V1 + V2 =
1 ?3
Тr 2 (r? ? r? )(1 ? 2? ).
2 ?
???? ????????????? ???????? ???????? ? ?????? ??????????? ????? ????, ?? ? ??????? ? = 0. ? ???? ?????? ?????? ?????????????????? ????????? ? ?????? ???????????
????? ????? ??, ??? ? ? ??????????????? ?????????????? ???????? [16].
107
Summary
Novoselov V. S. Asympotically optimum multiparameter transfer. 1. Null and ?rst approximations.
The variation method of the optimal tra?c control in the problem of transfer in a gravitational
?eld with the second active sections is proposed. Analytical solution of the ?rst order taking into
account the value of reduced reactive acceleration, tangential contact with the preassigned relative
velocity, restriction for the ?ight duration is given.
Key words: analytical methods of space?ight mechanics, maneuvers in the central gravitational
?eld, optimal transfers between orbits, optimal direction of the thrust.
??????????
1. ????? ?. ?., ?????? ?. ?. ??????????? ???????? ? ??????????? ???????????? ? ??????????? ??????? ????????. ?.: ?????, 1976. 744 ?.
2. ?????????? ?. ?., ??????????? ?. ?. ?????? ???????? ???????????? ??????: ????.
???????. ?.: ?????, 1990. 448 ?.
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????. ?. ?. ??????, ?. ?. ???????. ?.: ???, 1963. ?. 177?242.
4. ?????? ?. ?. ?????????? ??????? ????? ?????????????? ???????? // ?????? ??????????? ? ???????????? ? ???????? ???????????? ?????? / ???. ? ????. ?. ?. ?????. ?.:
?????, 1965. ?. 387?415.
5. ?????? ?. ?. ??????????? ?????????? ??? ??????????? ????????? / ???. ? ????.
?. ?. ??????. ?.: ???, 1966. 152 ?.
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???????. ??-??, 1972. 317 ?.
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????????????? ????????? ???????? ???????? // ?????. ???????. ??-??. ???. 1: ??????????,
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13. ???????? ?. ?. ????????? ??????????? ??????? ??????? ??? ??????????? ?? ????? //
?????. ???????. ??-??. ???. 1: ??????????, ????????, ??????????. 1985. ? 15. ?. 83?85.
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???-?? ???????. ??-??, 1983. 108 ?.
16. ????????? ?. ?. ??????????? ?????????? ??????????? ????????????? ???????? ?????
???????? ????????? ???????? ?? ?????? ???????????? ?? ????? // ?????. ???????. ??-??.
???. 1: ??????????, ????????, ??????????. 1989. ???. 1. ?. 76?80.
?????? ??????? ? ?????? 7 ??????? 2008 ?.
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