close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотическое построение оптимального многопараметрического перелета. 2. Второе и третье приближения

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2009. Вып. 3
УДК 531.1:629.76
В. С. Новоселов
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО
МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА.
2. ВТОРОЕ И ТРЕТЬЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
1. В статье [1] сформулирована задача оптимизации многопараметрического перелета и построены нулевое и первое приближения. Особенностями исследования являются
отказ от традиционного импульсного рассмотрения участков активного движения [2, 3]
и учет ограничений на время перелета и скорость касательной встречи. Применяется
развитая в книгах [4, 5] вариационная схема аналитической оптимизации траекторий
в гравитационном поле, построенная на основе принципа максимума. Начальная орбита
и орбита контакта являются близкими и круговыми. Перелет состоит из трех участков: баллистического и двух участков включения двигателя, создающего предельное
реактивное ускорение β. Поскольку эллиптическая траектория баллистического участка близка к круговой, то для ее описания используются элементы Лагранжа. За методический малый параметр принято отношение разности радиусов граничных орбит
−1
. Для определенности принимаем rк > rн .
к радиусу начальной орбиты ε = (rк − rн )rн
Буквами «н» и «к» отмечаем соответственно характеристики начальной орбиты и орбиты контакта. Характеристики начала и конца переходного эллипса снабжаем индексами
«–» и «+». Кроме значений радиусов граничных орбит постановка задачи учитывает
следующие параметры: 1) приведенное реактивное ускорение β̃ = εβ, где β̃ порядка
единицы; 2) характеристики относительной скорости контакта, взятой в долях орби
тальной скорости инспектируемого объекта в виде εν + ε2 ν + ε3 ν , где ν , ν и ν
порядка единицы; 3) параметр σ, определяющий слабое ограничение на длительность
полета [1].
2. В настоящей работе исследование проводится с точностью до третьего порядка
малости относительно величины ε. Как и в статье [1], штрихами отмечаем члены соответствующих порядков, члены нулевого по ε порядка – индексами нуль. За фазовые
переменные xj , j = 1, 4, принимаем радиальную и трансверсальную скорости, полярный радиус и полярный угол. Управление, которым является угол наклона тяги к полярному радиусу, обозначаем через ψ. По теореме [4, 5] о допустимости упрощенного
определения управлений при решении задачи с точностью до ε3 необходимые условия экстремума, в том числе условия трансверсальности и уравнения для лагранжевых множителей, можно удовлетворять с точностью до ε2 . Поэтому дифференциальное
уравнение Эйлера–Лагранжа для первого лагранжевого множителя, как и в статье [1],
принимаем в виде
dλ1
= ε2 (λ02 x02 (x03 )−1 − λ03 ),
(1)
dτ
Новоселов Виктор Сергеевич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики управляемого движения факультета прикладной математики–процессов управления СанктПетербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 190. Научные направления: аналитическая динамика управляемых систем, управление движением в гравитационном
поле, вариационные методы механики. E-mail: novoselov@apmath.spbu.ru.
c В. С. Новоселов, 2009
104
где τ – вспомогательная независимая переменная такая, что dτ = ε−2 dt. Из [1] следует
λ1 = cos ψ + 0(ε3 ),
−1
x01 = 0,
−3
λ03 = −ærн 2 ,
λ2 = sin ψ + 0(ε3 ),
x02 = ærн 2 ,
x03 = rн ,
π
.
2
ψ0 =
(2)
На основании формул (1) и (2) получаем
dψ
= 0 + 0(ε3 ),
dτ
ψ=
π
+ εψ + ε2 ψ ,
2
ψ = const,
ψ = const.
Будем обозначать вспомогательную независимую переменную на первом активном
участке через τ1 , на втором – τ2 , а ее значение в конце соответствующего активного
участка через Λi , i = 1, 2. Для характеристических скоростей запишем
Vi = εβ̃Λi = εVi + ε2 Vi + ε3 Vi ,
Vi0 = 0.
(3)
В статье [1] при сохранении членов порядка ε было получено
V1 =
1 − 12
ær ,
4 н
1
−1
V2 = ( − ν )ærн 2 ,
4
ψi =
π
+ εψi ,
2
где æ – квадратный корень из произведения универсальной гравитационной постоянной на массу центрального тела. Постоянные величины ψi в первом приближении
не определялись. Фазовые переменные на первом активном участке имели вид
x1 = 0,
−1
x2 = ærн 2 + εβ̃τ1 ,
x3 = rн ,
x4 = 0.
(4)
Соответственно на втором активном участке
x1 = x1 (tк ) = 0, x2 = x+
2 + εβ̃τ2 ,
1
− 12
+ ν − εV2 , x3 = rн (1 + ε),
x+
1−ε
2 = ærн
2
x4 = π.
(5)
Выполним интегрирование уравнений движения (см. [1], формула (12)) для активных участков, сохраняя величины третьего порядка малости по ε. Начинаем с уравнения изменения радиальной скорости x1 . Для первого участка с учетом (4) получим
−3
x1 (τ1 ) = −ε2 β̃ψ1 τ1 + ε3 β̃τ1 (ærн 2 τ1 − ψ1 ).
(6)
В конце участка на основании (2) и (6)
−3
2 3
3
−1
2
V1 2 .
x−
1 = −ε V1 ψ1 − ε (V1 ψ1 + V1 ψ1 ) + ε ærн β̃
(7)
Для второго участка с учетом (5)
+
x1 (t + T2 ) =
x+
1
−ε
2
β̃ψ2 τ2
3
+ ε β̃τ2
1
−2 −1
ærн τ2 − æ2 rн
β̃ − ψ2
2
− 32
В точке контакта x1 (t+ + T2 ) = 0, поэтому на основании (8) имеем
1 − 12
− 32 −1
2 3
3
ær
x+
=
ε
V
ψ
+
ε
(V
ψ
+
V
ψ
)
+
ε
ær
β̃
V
−
V
2 1
н 2
2 2
2 2
2 .
1
2 н
.
(8)
(9)
105
Дифференциальное уравнение для трансверсальной скорости (8) статьи [1] при сохранении членов порядка ε3 на основании (4) и (5) примет вид
1
dx2
= εβ̃τi 1 − ε2 ψi 2 .
dτi
2
Отсюда получаем
1 2 2
x2 (τi ) = x2 |τi =0 + εβ̃τi 1 − ε ψi ,
2
−1
x2 |τ1 =0 = ærн 2 ,
x2 |τ2 =0 = x+
2.
(10)
С учетом формулы (3), приравнивая x2 (λ2 ) правой части формулы (3) статьи [1], находим
1 2
− 32
−
2 3
x2 = ærн + εV1 + ε V1 + ε V1 − V1 ψ1 ,
2
1
3 1 − 12
− 12
− 12
+
2
+ ν + V2 + ε ærн
+ ν −ν
x2 = ærн − ε ærн
− V2 −
2
8 2
5
3
1 1
−1
+ ν − ν + ν
+ V2 − V2 ψ22 .
(11)
−ε3 ærн 2
16 8
2
2
Для величины полярного радиуса на основании (6)–(9) и дифференциального урав2
3
нения dx
dτi = ε x1 получим на активных участках
x3 = const,
x3 (τ1 ) = x−
3 = rн ,
В результате интегрирования уравнения
лим изменение полярного угла
dx4
dτi
x3 (τ2 ) = x+
3 = rн (1 + ε).
(12)
= ε2 x2 x−1
3 с помощью (10) и (11) опреде-
1
−3
−1 2
x4 (τ1 ) = x4н + ε2 ærн 2 τ1 + ε3 β̃rн
τ1 ,
2
1
− 32
− 12 1
+
2
3 −1
x4 (τ2 ) = x4 + ε ærн τ2 − ε rн τ2 ærн ( + ν ) + V2 − β̃τ2 .
2
2
Угловые положения первой и второй точек отсечки двигателя будут равны
1
− 32 −1
−1
2
x−
+ ε3 V1 2 β̃ −1 rн
,
4 = ε ærн V1 β̃
2
1 − 32 −1
− 12 1
2
3 −1 −1
+
ν
V
+
ε
ær
−
ε
r
)
+
β̃
β̃
ær
.
V
V
(
x4 (tк ) = x+
н 2
н 2
н 2
4
2 2
(13)
3. Представления (7), (9), (11)–(13) приравняем соответствующим выражениям (2)
статьи [1] для фазовых переменных xj в точках начала и конца переходного эллипса.
При этом примем во внимание полученные в [1] первые приближения для элементов
Лагранжа и фокального параметра
h = 0,
Из соотношения
106
k =
1
,
2
p =
1
rн .
2
−
− −1
h sin x−
− 1,
4 + k cos x4 = p(x3 )
отвечающего полярному радиусу начальной точки переходного эллипса, и формул (12)
и (13) находим
−1
−1
,
k = p rн
.
(14)
k = p rн
Соответственно с помощью формулы для полярного радиуса конечной точки переходного эллипса имеем
1
k =− ,
4
k
=
1
1 −1
−1
− p rн
+ p rн
− h x4+ + (x4+ )2 .
2
4
(15)
По формулам (14) и (15) находим
1
p = − rн ,
4
p
=
1 rн 1 + 4h x4+ + (x4+ )2 .
8
(16)
На баллистическом участке радиальная скорость представлялась в виде [1]
1
x1 = æp− 2 (k sin x4 − h cos x4 ).
Отсюда для начальной точки переходного эллипса с учетом (14)–(16) получим разложение
1 −
1 − 12
2 3
x
h
=
ær
h
+
ε
−
h
+
.
(17)
−ε
x−
н
1
2 4
4
Приравняем правые части (7) и (17):
1 ψ ,
4 1
1
1 1 −1 2 −1
V1 ψ1 + V1 ψ1 + V1 ψ1 + x4 − − rн
= æ−1 rн2
V1 β̃ .
4
2
1
h = æ−1 rн2 V1 ψ1 =
h
(18)
Соответствующие вычисления для конечной точки переходного эллипса приводят с использованием (9) к выражениям
1
1
1 1 − ν ψ2 + x4+ ,
h = æ−1 rн2 V2 ψ2 + x4+ =
2
4
2
1
1 1 3 V ψ + V2 ψ2 + V2 ψ2 − x4+ + x4 + +
h = æ−1 rн2
4 2 2
8
2
1 − 12
−1 −1 β̃ V2
ærн − V2 .
+ rн
(19)
2
Сопоставим (18) и (19):
ψ1 − (1 − 4ν )ψ2 = 2x4+ ,
(20)
3
1
ψ1 − (1 − 4ν )ψ2 = − x4+ + 4(V1 2 − V2 2 + ærн V2 ) +
4
2
1
1
+ æ−1 rн2 (V2 ψ2 − V1 ψ1 ) + 2 x4 + − x4 − + 4æ−1 rн2 V2 ψ2 − V1 ψ1 .
− 12
(21)
В статье [1] показано, что ψ2 = −ψ1 . Отсюда с помощью формулы (20) получим
x4+ = (1 − 2ν )ψ1 = −(1 − 2ν )ψ2 .
(22)
107
Проведя разложения по степеням ε выражения трансверсальной скорости баллистического полета
1
x2 = xp− 2 (1 + k cos x4 + h sin x4 ),
для начальной точки переходного эллипса на основе формул
13
1 +
5
− 12
− 12
V1 = − ærн ,
− x4 h −
V1 = ærн
32
128 4
(11), (15), (16) запишем
1 +
1 2
x
+ ψ1 .
(23)
4 4
8
Соответствующие вычисления для трансверсальной скорости конца баллистического
участка дают
1
7
−1
,
V2 = ærн 2 − + ν − ν
32 2
23
8 1 1 +
1 +
1
− 12
2
− ν + ν − ν + x4 h − x4
+ (1 − 4ν )ψ2 .
(24)
V2 = ærн
128 3
2
4
4
8
Формулы (22)–(24) приводят к следующим поправкам второго и третьего порядков
для суммарной характеристической скорости:
3 1 − 12
− + ν −ν
,
V1 + V2 = ærн
8 2
9
8
1 1
−1
V1 + V2 = ærн 2
− ν + ν − ν + (1 − 2ν )−1 (x4+ )2 .
32 3
2
4
4. Изменение полярного угла на переходном эллипсе при использовании элементов
Лагранжа h и k определяется интегралом площадей вида [6]
+
x4
3
(1 + h sin x4 + k cos x4 )−2 dx4 = æp− 2 (tк − T1 − T2 ).
(25)
x−
4
3 %
&
Здесь, согласно статье [1], tк = πæ−1 rн2 1 + 34 ε − εσ, далее T1 и T2 – длительности
участков активного движения для основной независимой переменной t. Выделяя в (25)
члены различных порядков, получаем
1
−3
−3
−2
(1 − 2ν )β̃ −1 ,
x4+ = −ærн 2 (σ + V1 β̃ −1 + V2 β̃ −1 ) = −æσrн 2 − æ2 rн
2
1
x4 + − x4 − = − π − x4+ + 4h +
4
− 32 3
−1
−1
−1
− β̃
V1 + V2
σ + V1 β̃ + V2 β̃
+ ærн
,
4
3
3
1 + 4h x4+ + (x4+ )2 − x4+ − x + − x − −
x4 + − x4 − = − π
16
8
2
3
− 32 27
−1
−1
−1
−1
−
V1 + V2
σ + V1 β̃ + V2 β̃
V + V2 β̃ + β̃
− ærн
.
32
4 1
108
(26)
Соотношения (22) и (26) определяют управления первого порядка
1
−3
−2 −1
ψ1 = −ψ2 = −æσrн 2 (1 − 2ν )−1 − æ2 rн
β̃ .
2
(27)
В статье [1] отмечалось, что ν < 12 . Поэтому ψ1 < 0, ψ2 > 0.
Условия трансверсальности (9) статьи [1] можно представить в виде
C = −æ−2 p2 H,
Ak + Bh + C = 0,
H = λ,
(28)
где A, B, C – постоянные интегрирования уравнений Эйлера–Лагранжа на баллистическом участке; λ – лагранжев множитель, отвечающий слабому ограничению на длительность перелета. Учитывая полученные [1] значения A0 = B 0 = C 0 = 0, λ0 =
λ = 0, A = −ψ1 = ψ2 , B = 14 , C = 0, с помощью (28) находим
2
C = −æ−2 rн
λ ,
λ =
2
λ = 0,
A k + B h − æ−2 rн
1 2 −2 æ rн (ψ2 − ψ1 ) .
4
(29)
Из формул (27) и (29) следует, что λ > 0.
5. Для определения управлений второго порядка ψ1 и ψ2 рассмотрим условие
Вейерштрасса–Эдмана непрерывности первого лагранжевого множителя в точках соединения активных и баллистического участков. На основании формулы (2), а также
формулы (14) статьи [1] имеем
cos ψ = A cos x4 + B sin x4 + CG1 .
(30)
1
Функцию G1 можно принять [6] в виде G1 = 2 + 0(h2 + k 2 ) 2 . Уравнение (30) в конце
первого участка активного движения во втором приближении дает
A = −ψ1 − (1 − 2ν)−1 x4+ .
Соответственно для начальной точки второго активного участка
1 A = ψ2 + (1 − 2ν )−1 x4+ − x4+ .
4
Отсюда находим
ψ1 + ψ2 =
1
+ 2(1 − 2ν )−1 x4+ .
4
(31)
Из уравнений (21) и (31) с использованием формул (18), (23), (24), (26) и (27) получим
1
ψ1 = −a + bx4+ ,
− 2(1 − 2ν )−1 − b ,
ψ2 = a + x4+
4
π 3 − 32
5
−2 −1
− ærн σ − æ2 rн
a = (1 − 2ν )−1
(32)
β̃ (1 − ν − 2ν 2 + ν ) ,
4
4
4
21 25 −2
2
b = (1 − 2ν )
− + ν + ν + 2ν ,
8
4
109
1
−3
−2 −1
x4+ = −æσrн 2 − (1 − 2ν )−1 æ2 rн
β̃ .
2
6. Выше дано полное аналитическое построение оптимального перелета третьего
порядка в зависимости от параметров: радиусов граничных орбит rн и rк , характеристик слабого ограничения на длительность полета σ и относительной скорости контакта
ν , ν , ν , а также приведенного реактивного ускорения β̃. Можно сделать некоторые
качественные выводы. На уровне второго приближения тяга перестает быть трансверсальной. На первом участке активного движения направление тяги смещено в сторону
полярного радиуса, а на втором участке – на такую же величину в обратную сторону. Полученная на основе анализа членов третьего порядка формула (32) показывает,
что выражение поправок к углу наклона тяги в указанном приближении становится
более сложным.
Результаты представлены в виде конечных формул для членов разложений трех
−1
. Можно их записать и в суммарном
порядков по малому параметру ε = (rк − rн )rн
виде. Так, для минимальной суммы характеристических скоростей с учетом членов
третьего порядка получено выражение
3 1
rк − rн
1
−3
− + ν − ν
+
V1 + V2 = ærн 2 (rк − rн )
− ν +
2
rн
8 2
(rк − rн )2 9
8
1 +
− ν + ν − ν +
2
rн
32 3
2
2 1
1
σ
1 2 −3
−
− ærн 2 β̃ −1
.
+ æ rн (1 − 2ν )
4
1 − 2ν 2
Построенная аналитическая теория дает также решения задач с частичным учетом отмеченных выше факторов. При β̃ = ∞ имеем импульсный перелет. Если
ν = ν = ν = 0, то приходим к перелету с мягким контактом. Если β̃ = ∞
и ν = ν = ν = 0, то получаем аналитическое представление оптимального импульсного компланарного перехода между круговыми орбитами с ограничением на время [7].
При этом надо учесть, что ограничение на длительность перелета в настоящей работе
несколько отличается от принятого в статье [1].
Литература
1. Новоселов В. С. Асимптотическое построение оптимального многопараметрического перелета.
1. Нулевое и первое приближения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 1. С. 103–108.
2. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты в космическом пространстве с двигателями
большой тяги. М.: Наука, 1976. 744 с.
3. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета: учеб. пособие.
М.: Наука, 1990. 448 с.
4. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. 317 с.
5. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая механика управляемой системы: учеб. пособие.
СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 298 с.
6. Новоселов В. С. Варьирование динамических моделей движения: учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 108 с.
7. Новоселов В. С. Оптимальная траектория импульсного перехода между близкими круговыми
орбитами со слабым ограничением на время // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика,
астрономия. 1989. Вып. 1. С. 76–80.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.
Статья принята к печати 5 марта 2009 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
272 Кб
Теги
асимптотическое, оптимальное, построение, многопараметрических, третья, приближение, второй, перелет
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа