close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотическое разложение в центральной предельной теореме для сумм зависимых случайных величин.

код для вставкиСкачать
Математические
структуры и моделирование
УДК 519.214.5
2009, вып. 19, с. 518
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ АЗЛОЖЕНИЕ
В ЦЕНТАЛЬНОЙ ПЕДЕЛЬНОЙ ТЕОЕМЕ ДЛЯ
СУММ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
А.. ринь
It is reeived an asymptoti expansion with a member of an order n?1 in the
entral limit theorem for stationary sequenes with uniform strong mixing.
1. Введение. Формулировки основных результатов
Пусть {?n } = {?n , n = 1, 2, ...} стационарная в узком смысле последовательность и пусть
? = 0,
E 1
2
E?1
< ?, Tn =
n
X
j=1
?j , ?n2 = DTn ? ?, n ? ?,
Fn (x) = P{Tn < x?n }, ?(x) = (2?)
? 21
Zx
??
t2
exp ?
2
dt,
?n = sup |Fn (x) ? ?(x)| .
x
Для последовательностей слабо зависимых величин оценки скорости стремления ?n к нулю последовательно улучшались на протяжении более чем тридцати лет, пока наконец Е.ио в [1? не получил неулучшаемую по порядку оценку
1
?n = O(n? 2 ) для последовательностей ограниченных величин с равномерно
сильным перемешиванием (?перемешиванием).
Настоящая работа посвящена дальнейшему уточнению центральной предельной теоремы для сумм слабо зависимых случайных величин. Выделен класс
последовательностей {?n } (так называемые последовательности с симметричным распределением), для которых при экспоненциально быстром ?перемешивании E|?1 |5 < ? и
lim sup |E exp {it?1 }| < 1,
(1)
t??
доказан аналог асимптотического разложения Эссеена в центральной предельной теореме (см., например [2, гл.5, теорема 20?). Из этого разложения (см.
теорему 1), в частности, следует, что ?n = O(n?1 ).
c 2009 А.. ринь.
Copyright Омский государственный университет.
E-mail: griniran@gmail.com
абота поддержана грантом ФФИ 060100127.
6
А.. ринь.
Асимптотическое разложение...
2. Последовательности с симметричным распределением
Пусть ? = (?1 , ..., ?n ) случайный вектор, ? отображение множества
{1, 2, ..., n} в множество {?1, 1}, то есть ? = (?1 , ..., ?n ), ?k = ±1, k = 1, 2, ..., n,
и пусть ? = {?} = {?1, 1}{1,2,...,n}. Обозначим ? ? ? = (?1 ?1 , ..., ?n ?n ). аспределение вектора ? будем называть симметричным, если все векторы ? ? ?, ? ? ?
имеют одинаковое распределение. Будем говорить, что последовательность {?n }
имеет симметричное распределение, если все ее конечномерные распределения
симметричны.
Простейшим примером последовательности с симметричным распределением является последовательность независимых одинаково распределенных величин с симметричными распределениями.
Введем характеристическую ункцию вектора ? :
)
( n
X
f?1 ,...,?n (t1 , ..., tn ) = E exp i
tk ?k .
k=1
d
Будем использовать обозначение ? = ? в случае, когда распределения случайd
ных векторов ? и ? совпадают, и {?n } = {?n }, когда совпадают конечномерные
распределения последовательностей {?n } и {?n }.
Следующие условия эквивалентны:
a) последовательность {?n } имеет симметричное распределение;
b) при любом натуральном n и любых действительных t1 , ..., tn
Лемма 1.
f?1 ,...,?n (t1 , ..., tn ) = E
n
Y
cos(tk ?k );
(2)
k=1
d
) {?n } = {?n ?n }, где {?n } последовательность независимых случайных
величин, таких, что
{?n = 1} = P{?n = ?1} =
P
1
2
и последовательность случайных величин {?n } не зависит от {?n }.
Доказательство достаточно прозрачно и здесь не приводится.
З а м е ч а н и е 1. Если {?n } стационарная последователность, удовлетворяющая условию СП с коэициентом ?(n), а {?n } последовательность,
определенная в пункте c) леммы 1, то последовательность {?n ?n } также удовлетворяет условию СП с коэициентом ?1 (n) ? ?(n) [3?.
З а м е ч а н и е 2. Нетрудно убедиться, что если {?n } последовательность с
симметричным
распределением,
то при каждом натуральном p последовательp
P
ность
?(j?1)p+l , j = 1, 2, ... также имеет симметричное распределение.
l=1
7
Математические структуры и моделирование. 2009. Вып. 19.
Если {?n } стационарная последовательность с симметричным
распределением и E|?1 |4 < ?, то
a) ETn = 0, ETn3 = 0, n = 1, 2, ...;
b) ?n2 = DTn2 = n?12 , nP= 1, 2, ...;
2 2
) ETn4 = nE?n4 + 6
E?i ?j , n = 1, 2, ...
Лемма 2.
1?i<j?n
Утверждения леммы являются следствием симметричности распределений
величин ?j , ?j ?k ), ?j , ?k3, j 6= k.
3. Вспомогательные результаты
Пусть {?n } = {?n , n = 1, 2, ...} стационарная последовательность. Обозначим через F?n и F?n ? алгебры, порожденные, соответственно, семействами
{?k : k ? n} и {?k : k ? n}.
Пусть последовательность {?n } удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (?перемешивания) с коэициентом перемешивания ?(n) и пусть случайные величины ? и ? измеримы относительно F?0
и F?n соответственно,
Лемма 3.
1
k?kp = (E|?|p) p < ?, k?kq < ?, p > 1, q > 1, p?1 + q ?1 = 1.
Тогда при любых комплексных a и b
1
(3)
|E?? ? E? E?| ? 2? p (n)k? ? akp k? ? bkq .
Если же
то
k?k1 = E|?| < ?, k?k? = vrai sup|?| ? ?,
(4)
|E?? ? E? E?| ? 2?(n)k? ? ak1 k? ? bk? .
Доказательство леммы
17.2.3 в [4? или из [5, . 236?.
легко
получается,
например,
из
теоремы
Пусть последовательность {?n } удовлетворяет ?перемешивания,
?n ? ?, n ? ? и пусть E|?|p < ?, p > 2. Тогда kTn kp ? C(p) ?n , где
0 < C(p) < ? не зависит от n.
Лемма 4.
При 2 < p < 3 утверждение леммы доказано в [4, теорема 18.5.1?, в общем
случае оно следует, например, из теоремы 1.1 в [6?.
Обозначим ?k (?) k?й семиинвариант случайной величины ?.
Пусть {?n } стационарная последовательность с симметричным
распределением, пусть E|?1|4 < ?. Тогда
a) ?1 (Tn ) = 0, ?3 (Tn ) = 0, n = 1, 2, ...;
b) ?2 (Tn ) = n?12 , n = 1, 2, ...;
Лемма 5.
8
А.. ринь.
) Если
?
P
k=1
Асимптотическое разложение...
1
? 2 (k) < ?, то
?4 = ?4 (?1 ) + 6
?
X
E
k=1
Если же
?
P
k=1
?02 ? E?02
?k2 ? E?k2 < ?.
1
k? 2 (k) < ?, то
sup |?4 (Tn ) ? n?4 | ? C < ?.
n
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как в наших предположениях ?k (Tn ) = ETnk , k = 1, 2, 3, то утверждения a) и b) следуют из соответствующих утверждений леммы (2). Обозначим
2 1
?k = E (?02 ? E?02) (?k2 ? E?k2 ) . В силу леммы 3 |?k | ? 2 k?02 ? E?02 k2 ? 2 (k), откуда
следует первое утверждение пункта ) леммы. С учетом утверждений b) и )
леммы (2) получаем
X
2
2 2
2 4
?4 (Tn ) = ETn4 ? 3 ETn2 = nE?n4 + 6
E?i ?j ? 3n ?1 =
1?i<j?n
= nE?14 ? 3n?14 + 6
X
E
1?i<j?n
= n?4 (?1 ) + 6
?i2 ? E?i2
n?1
X
k=1
Отсюда
|?4 (Tn ) ? n?4 | ? 6n
?
X
k=n
2
? 12 ?02 ? E?02 2
?j2 ? E?j2 =
(n ? k)?k .
|?k | + 6
?
X
k=1
n?1
X
k=1
k|?k | ?
1
k? 2 (k) < ?.
Лемма доказана.
Пусть E?12 < ?, а n и p натуральные числа. Обозначим
Qj = ?n
?1
p
X
?(j?1)p+l , j = 1, 2, ...
l=1
(
fr (t) = E exp it
Введем ункцию
Fk (z) = E
k
Y
j=1
r
X
j=1
Qj
)
, r = 1, 2, ...
(f1 + z (exp {itQj } ? f1 )) =
(5)
Математические структуры и моделирование. 2009. Вып. 19.
=
k
X
9
z m f1k?m ESm (X1 , ..., Xk ),
m=1
где f1 = f1 (t), Xj = exp {itQj } ? f1 , j = 1, ..., k, а
S0 (x1 , ..., xk ) = 1,
Sm (x1 , ..., xk ) =
X
1?j1 <...<jm ?k
xj1 ...xjk ?
m-й элементарный симметрический многочлен. Из ормулы Тейлора для
ункции Fk (z) (см.,например, [7, с. 67?) получаем при l < k
fk (t) = Fk (1) = f1k + f1k?1 ES1 (X1 , ..., Xk )+
+f1k?2ES2 (X1 , ..., Xk ) + ... + f1k?l ESl (X1 , ..., Xk ) + Rl ,
где
1
Rl = Rl (X1 , ..., Xk ) =
2?i
Z
|z|=?
Fk (z) dz
, |?| > 1.
(z ? 1) z l+1
(6)
(7)
Пусть gl = EX1 ...Xl , l ? 1, ? 2 = E|X1 |2 = 1 ? |f1 |2 .
В дальнейшем будем обозначать через ?i = ?i (t, n, ...), i = 1, 2, , ... - ограниченные величины, (т.е. sup |?i (t, n, ...)| < ?); если g(t, n, ...) ? ch(t, n, ...), где
t,n,...
c ? 0 не зависит от t, n, ..., то будем писать g ? h, а g ? h будет обозначать,
что g ? h и h ? g.
1. Если последовательность {?n } удовлетворяет условию ?перемешивания с коэициентом перемешивания ?(n), то
a) ES1 (X1 , ..., Xk ) = 0;
1
b) ES2 (X1 , ..., Xk ) = (k ? 1)g2 + O(? 2 k 2 ? 2 (p));
1
) ES3 (X1 , ..., Xk ) = (k ? 2)g3 + O(? 2 k 3 ? 2 (p));
1
d) ES4 (X1 , ..., Xk ) = (k ? 3)g4 + (k?3)(k?4)
g22 + O(? 2 k 4 ? 2 (p)).
2
Лемма 6.
Д о к а з а т е л ь с т в о. a)
S (X1 , ..., Xk ) = E
E 1
k
P
Xj = 0.
j=1
b) В сумме ES2 (X1 , ..., Xk ) имеется k ? 1 слагаемое вида EXj Xj+1 = g2 и
(k ? 1)(k ? 2)/2 слагаемых вида EXj Xl , l > j + 1, каждое из которых по лемме
1
1
3 не превосходит 2? 2 (p)kXj k2 kXl k2 == 2? 2 ? 2 (p), что дает нам нужную оценку
для ES2 (X1 , ..., Xk ). Соотношение ) доказывается аналогично с учетом того,
что |Xj | ? 2 при всех j .
k ? 3 слагаемых вида
d) В сумме ES4 (X1 , ..., Xk ) имеется
EXj Xj+1 Xj+2 Xj+3 = g4 и (k ? 3)(k ? 4)/2 слагаемых вида EXj Xj+1 Xl Xl+1 ,
1
l > j +2, каждое из которых по лемме 3 равно g22 +O ? 2 ? 2 (p) . Все прочие слагаемые имеют вид EXi Xj Xk Xl , где либо j > i+1, либо l > k+1; по лемме 3 такие
1
слагаемые равны O ? 2 ? 2 (p) , а количество этих слагаемых равно Ck4 ?(k?3)?
?(k ? 3)(k ? 4)/2 = O (k 4 ) . Сказанное доказывает утверждение d).
10
А.. ринь.
Асимптотическое разложение...
?
P
1
Пусть n = kp. Если E|?1 |5 < ?, и
j? 2 (j) < ?, то существует
j=1
?
? > 0 такое, что при |t| ? ? k
a)
4
2
t4 ?4
|t|5
t
t
+ ?1
+ 5
;
f1 (t) = exp ? +
(8)
2k 4!?14 nk
n2
k2
Лемма 7.
b)
|gl? |
|t|5 ?
t4
? 2 + 5 , gl = f1?l gl , l = 2, 3, 4.
n
k2
(9)
Д о к а з а т е л ь с т в о. a) В силу леммы 5
ln f1 (t) =
4
X
(it)l ?l (Tp )
l=1
где
Производную
d5
dt5
l!?nl
+ r4 (t) = ?
t2
t4 ?4
t4
+
+
?
+ r4 (t),
2
2k 4!?14 nk
n2
(10)
t5 d5
r4 (t) =
ln f1 (t)
, c ? (0, t).
5! dt5
t=c
можно представить в виде дроби со знаменатеln f1 (t)
t=c
лем f15 (c), а слагаемые в числителе являются произведениями производных
(l)
(0)
f1 (c), l = 0, 1, ..., 5, суммарный
порядок которых равен 5 (считаем f1 (c) =
?
f1 (c)). Так как при |t| ? ? k
|f1 (t) ? 1| ?
t2 ?p2
?2
?
,
2?n2
2
то при достаточно малых ? |f1 (c)| ? 21 . Далее с учетом леммы 4 получаем
l
|Tp |l
?p
? 2l
?
=
k
?
.
?nl
?n
5
Отсюда следует, что |r4 (t)| ? ?|t|k и из (10) следует теперь (8).
(l)
|f1 (c)|
E
b) Нетрудно подсчитать, что g2? = f1?2 f2 ? 1, g3? = f1?3 f3 ? 1 ? 2g2? ? g2?? ,
g4? = f1?4 f4 ? 1 ? 2g3? ? 2g3?? + 3g2? + 2g2?? + g2??? , где
g2?? = EX1 X3 , g2??? = EX1 X4 , g3?? = f1?3 E exp {it(Q1 + Q2 + Q4 )} ? 1.
Представив все входящие в эти выражения характеристические ункции в виде
(8) и воспользовавшись справедливым при любом комплексном z неравенством
p
| exp{z} ? 1| ? |z| exp{|z|}, последовательно оценим g2 , g3 , g4 ; при |t| ? ? k/l
получим
4
5
|t|
|t|5
t4
t
?
+
+
?
1
?
l = 2, 3, 4.
|gl | ? exp ?3l
5
5 ,
n2
n2
k2
k2
Лемма доказана.
Математические структуры и моделирование. 2009. Вып. 19.
11
Пусть 2q < p. Обозначим
p?2q
Uj =
?n?1
X
?(j?1)p+q+l ,
Vj =
?n?1
q
X
(?(j?1)p+l + ?jp?q+l),
l=1
l=1
u = u(t) = E exp{itU1 }, v = v(t) = E exp{itV1 }.
Тогда Qj = Uj + Vj , Xj = Yj + Zj , j = 1, 2, ..., где
Yj = (exp{itUj } ? u)v, Zj = exp{itUj }(exp{itVj } ? v) + uv ? f1 ,
так что
Fk (z) = E
k
Y
(f1 + z (Yj + Zj )) .
(11)
j=1
Лемма 8.
k
|Fk (z)| ? 1 ? ? 2 + ?2 ? 2 + 8?2 ?(p) 2 + 16??(q)Bk ,
(12)
где ? 2 = 1 ? |v|2 , ? = |z| ? 1, а
k?1 Y
l?1
X
k?l?1
Bk =
k (f1 + zXj )k? 1 ? ? 2 + ?2 ? 2 + 8?2 ?(p) 2 +
l=2
j=1
k?1
Y
k?2
+k (f1 + zXj )k? 1 ? ? 2 + ?2 ? 2 + 8?2 ?(p) 2 .
j=1
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как EYj = 0, |Yj | ? 2, то с помощью леммы 3 при 1 < l < k получаем
l?1
k
Y
Y
|E (f1 + zXj )zYl
(f1 + zZj )| ?
j=1
? |E
l?1
Y
j=l+1
(f1 + zXj )EzYl
j=1
k
Y
(f1 + zZj )|+
j=l+1
l?1
k
Y
Y
+4??(q) k (f1 + zXj )k? k
(f1 + zZj )k1 ?
j=1
? 4??(q)|E
l?1
Y
j=1
j=l+1
(f1 + zXj )| · k
k
Y
(f1 + zZj )k1 +
j=l+1
l?1
k
Y
Y
(f1 + zZj )k1 ?
+4??(q) k (f1 + zXj )k? k
j=1
? 8??(q) bl , bl = k
j=l+1
l?1
Y
j=1
(f1 + zXj )k? k
k
Y
(f1 + zZj )k1 .
j=l+1
(13)
12
А.. ринь.
Асимптотическое разложение...
Положим
k
k?1
Y
Y
b1 = k (f1 + zZj )k1 , bk = k (f1 + zXj )k? .
j=2
j=1
Применяя последовательно соотношение (13), из (11) получаем
|Fk (z)| ? |E
k?1
Y
? |E
k?1
Y
j=1
j=1
(f1 + zXj )zYk | + |E
k?1
Y
j=1
(f1 + zXj )(f1 + zZk )| ?
(f1 + zXj )(f1 + zZk )| + 8??(q)bk ? ... ?
k
k
Y
X
bl .
? |E (f1 + zZj )| + 8??(q)
j=1
Имеем
E
r
Y
j=1
|f1 + zZj | ?
E
(14)
l=1
Y
j?1
?
|f1 + zZj |2 · E
Y
j?2
??
|f1 + zZj |2
! 12
,
(15)
Q ? Q ??
где
и
обозначают произведения по нечетным и четным индексам соответственно. Так как EZ1 = 0, то
E
|Z1 |2 ? E|Z1 ? uv + f1 |2 = E| exp{itV1 } ? v|2 = 1 ? |v|2 = ? 2 .
Применяя последовательно соотношение (4) и учитывая, что при ? ? 1,
a = |f1 |2 ? 2Rezf1 (uv ? f1 ) имеет место ||f1 + zZj |2 ? a| ? 4?2 , получаем
E
Y
j?1
?
|f1 + zZj |2 ?
E
|f1 + zZ1 |2 + 8?2 ?(p)
E
Y
j?3
?
|f1 + zZj |2 ? ...
[ r+1 ]
? 1 ? ? 2 + ?2 ? 2 + 8?2 ?(p) 2 .
Аналогично
E
Y
[ r ]
|f1 + zj |2 ? 1 ? ? 2 + ?2 ? 2 + 8?2 ?(p) 2 .
(17)
r
|f1 + zZj | ? 1 ? ? 2 + ?2 ? 2 + 8?2 ?(p) 2 .
(18)
??
j?2
(16)
Из (15), (16) и (17) следует
E
r
Y
j=1
Из (14) и (18) вытекает утверждение леммы.
Математические структуры и моделирование. 2009. Вып. 19.
13
4. Основные результаты
Пусть {?n } стационарная последовательность с симметричным распределением и экспоненциально быстрым ?перемешиванием и пусть
5
E|?1 | < ? и выполнено условие (1). Тогда
2
6
x
?4 (3x ? x3 )
exp
?
+
O
n? 5 .
Fn (x) = ?(x) + ?
2
4! 2??14 n
Теорема 1.
Для доказательства потребуется еще несколько лемм.
При выполнении условий теоремы 1 существует ? > 0 такое, что
2
4
itTn
t
t4 ?4
t + |t|5
?
fn (t) = E exp
(19)
= exp ? +
+ ?4
,
6
?n
2
4!?14 n
n5
?
1
где |t| ? ? k, k = k(n) = [na ] , a = 1 ? ?
? 0, 235.
6
5
Лемма 9.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если |t| ? n?2 , то, положив в (8) p = n, k = 1, получим
2
t
t4 ?4
t4
fk (t) = exp ? +
+ ?5 2 ,
2
4!?14 n
n
откуда следует (19).
?
Пусть теперь n?2 ? |t| ? ? k. Положим
q = n0,5?a , p = n1?a , n = kp.
Аналогично (10) нетрудно получить
ln |v(t)|2 = ?
2t2 q
t4 q 2
t2 q
+ ?6 2 ? ?
? |v(t)|2 ? 1, n ? ?,
n
n
n
откуда при достаточно больших n выводим
? 2 = 1 ? |v|2 ?
3t2 q
t2 q
q
, ?2 ?
? 5,
n
n
n
? 2 = E |exp {itX1 } ? f1 |2 ? E |exp {itX1 } ? 1|2 ?
(20)
t2 ?p2
1
? .
2
?n
2
(21)
Положив в (6) и (7) l = 4, с помощью леммы 6 получаем
(
fk (t) = f1k (t) 1 + (k ? 1)g2? + (k ? 2)g3? + (k ? 3)g4? +
(k ? 3)(k ? 4) ? 2
2 4 21
(g2 ) + ?7 ? k ? (p) + R4 ,
+
2
(22)
14
А.. ринь.
Асимптотическое разложение...
Z
1
Fk (z) dz |R4 | = ? (? ? 1)?1 ??5 sup |Fk (z)|, |?| > 1.
2?i
(z ? 1) z 5 |z|=?
|z|=?
(23)
1 ? ?2
. При достаточно малых ? и достаточно больших n
k? 2
с помощью (20), (21), (23) и леммы 8 получаем
Положим в (12) ?2 =
kqt2
1
n5
n5
? 6?2k 2 qn?1 ? , ?2 ?
? .
n
4
qk
16
k2
52
1
kq
5
5
k
|t| 1 + + n ?(p)
+ 16t4 n9 ?(q)Bk ?
|R4 | ? 90f1
n
k
5
|t|
k
? f1 ?
+ t4 n9 ?(q)Bk ,
n
??2 = (1 ? ? 2 )?1 k? 2 ? 6
где
k2
1
5
Bk ? k(1 + 2?) 1 + + n ?(p)
? k(1 + n3 )k .
k
k
(24)
(25)
По условию ?(n) ? exp{??n}, и так как k ln n = o(q), то из (25) следует
n9 ?(q)Bk ? exp 9 ln n + k ln(1 + n3 ) ? ?q ? exp {??q} ,
и соотношение (24) можно переписать так:
|R4 | ?
f1k
|t|
?
n
5
(26)
+ t4 exp {??q} .
Из (22) с помощью (9), (21), и (26) получаем
4
|t|5
kt
k
+ 3
fk (t) = f1 (t) 1 + ?8
+ ?9 t4 exp {??q} .
2
n
k2
(27)
Далее, из (8) следует
f1k (t)
t2
t4 ?4
= exp ? +
+ ?1
2
4!?14 n
kt4 |t|5
+ 3
n2
k2
,
откуда с помощью (27) выводим
4
2
t4 ?4
|t|5
kt
t
+ ?10
+ 3
+ ?9 t4 exp {??q} .
fk (t) = exp ? +
2
4!?14 n
n2
k2
?
Нетрудно видеть, что если |t| ? ? k, то при достаточно малых ? > 0
4
2
t4 ?4
kt
|t|5
t
?2
,
+ |?10 |
+ 3
exp {??q} = o n exp ? +
2
4!?14 n
n2
k2
(28)
(29)
15
Математические структуры и моделирование. 2009. Вып. 19.
так что (29) можно переписать так:
4
2
t4 ?4
|t|5
kt
t
+ ?11
+ 3
.
fk (t) = exp ? +
2
4!?14 n
n2
k2
(30)
fk (t).
Обозначим
Будем
считать
(30)
первой
итерацией
для
a
k1 = k1 (n) = k(p) = [p ]. Заменив в (30) n на p, k на k1 , получим
!)
(
p
?n
t2
t4 ?4
k1 t4 |t|5
,
|t|
?
?
f1 t
k1 ,
= exp ? +
+ ?12
+
3
4
?p
2
4!?1 p
p2
2
k
1
откуда
(
f1 (t) = exp ?
2
4
t ?4
t
+
+ ?13
2k 4!?14 nk
5
4
|t|
k1 t
+ 5 3
2
n
k 2 k12
!)
p
, |t| ? ? kk1 .
Отсюда, повторив доказательство леммы 7, можно получить
|gl?| ?
|t|5
k1 t4
+
l = 2, 3, 4.
3 ,
5
n2
k 2 k12
Если теперь провести приведенные выше рассуждения настоящей леммы с использованием двух последних соотношений вместо (8) и (9), то можно получить
вторую итерацию для fk (t) :
(
!)
?
t2
t4 ?4
|t|5
kk1 t4
fk (t) = exp ? +
+
?
+
,
|t|
?
?
k,
14
3
2
4!?14 n
n2
(kk1 ) 2
и т.д. После шестой итерации получим
2
4
?
t
t4 ?4
|t|5
Kt
fk (t) = exp ? +
k,
+
?
+
,
|t|
?
?
15
3
2
4!?14 n
n2
K2
где K = kk1 k2 k3 k4 k5 ? nA ,
A = a
5
P
(31)
(1 ? a)l = 1 ? (1 ? a)6 =
l=0
4
.
5
Из (31) следует теперь утверждение леммы в случае, когда n = kp.
Пусть теперь n = kp + r, 0 ? r < n. Введем Qj , j = 1, ..., k по ормулам (5)
и положим
r
n
o
X
?1
?
Q?k+1 = ?n
?kp+l , f1 (t) = E exp{itQ?k+1 }, X?k+1 = exp itQ?k+1 ? f?1 .
l=1
Необходимые изменения в доказательстве равенства (19) достаточно прозрачны: главное - для f1k f?1 сохраняется то же представление, что и для f1k в (28),
а новые (по сравнению с ESl (X1 , ..., Xk )) слагаемые в ESl (X1 , ..., Xk , X?k+1 ) и
k
Q
(f1 + zXj ) (f?1 + z X?k+1 )
ѕлишнийї (по сравнению с Fk (z)) сомножитель в E
j=1
оцениваются в общем так же, как и старые. Доказательство остается принципиально тем же, хотя и более громоздким.
16
А.. ринь.
Лемма 10.
Асимптотическое разложение...
?
?
При ? k ? |t| ? ? n, ? > 0.
|fn? (t)| ? exp ?bt2 , b > 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть kp ? n < (k + 1)p. Используя замечание 2
и лемму 1, аналогично (18) получаем
k
Y
k
|fn?(t)| ? E
cos (tQ1 ) ? Ecos2 (tQj ) + 2?(p) 2 ?
j=1
k2
1 + f1 (2t)
?
+ 2?(p) .
2
h 2i
t
Пусть k = k(n) = N
, p = nk . Тогда p = p(n) ? nN
?
t2
(32)
N
.
?2
В силу леммы 9
2t2
? exp {?2N} ,
f1 (2t) ? exp ?
k
так что N > 0 можно подобрать так, чтобы 2?(p) < 81 , f1 (2t) < 41 , и из (32)
следует теперь
k2
3
(ln 4 ? ln 3) 2
?
t .
|fn (t)| ?
? exp ?
4
2N
?
Лемма 11. При |t| ? ? n
|fn? (t)| ? µn , 0 < µ < 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если имеет место (1), то для любого ? > 0
найдется ? < 1 такое, что |E exp {it?1 }| = |E cos {it?1 }| ? ?, |t| ? 2? (см.,
например, [2, . 22?). Выберем натуральное p так, чтобы 2?(p) < (1 ? ? )/8.
Тогда в силу лемм 3 и 1
[ np ]
n
Y
Y
?1 cos it?n ?jp ?
|fn?(t)| = E
cos it?n?1 ?j ? E
j=1
j=1
[ n |
? E cos t?n?1 ?1 + 2?(p) p ?
?
r
1+?
+ 2?(p)
2
n
1 ? ? [p|
1?
, |t| ? ??n |t|.
8
Из последнего соотношения следует утверждение леммы.
![ np |
?
Математические структуры и моделирование. 2009. Вып. 19.
17
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1.
Воспользуемся следующим вариантом классического неравенства Эссеена:
1
|F (x) ? G(x)| ?
?
ZT f (t) ? g(t) 24m
+
,
t
?T
(33)
?T
где F - ункция распределения, f соответствующая ей характеристическая
ункция, G ункция ограниченной вариации, g ее преобразование Фурье,
F (x) ? G(x) ? 0, x ? ±?, g(0) = 1, f ? (0) = g ?(0) = 0, |G? (x)| ? m (см.,
например, [9, с. 603?).
Положим в (33)
2
?4 (3x ? x3 )
x
F (x) = Fn (x), G(x) = ?(x) + ?
.
exp ?
4
2
4! 2??1 n
Тогда
f (t) =
fn? (t),
t2
g(t) = exp ?
2
?4 t4
1+
4!?14 n
(см., например, [2, с. 180?).
?4 t4
. С помощью соотношения (19) получаем при
Обозначим ?n (t) =
4!?14 n
?
1
|t| ? ? k, k = [na ] , a = 1 ? ?
6
5
4
2
t + |t|5
t exp ?n (t) + ?4
? 1 ? ?n (t) .
|f (t) ? g(t)| = exp ?
6
2
n5
Так как ?n (t) ? 0,
t4 + |t|5
6
5
?
? 0 при |t| ? ? k, n ? ?, то, воспользовавшись
n
справедливым при любых комплексных u и v неравенством
1 2
|exp{u + v} ? 1 ? v| ? |u| + |v| exp{max(|u|, |v|)},
2
получаем
4
5
t
+
|t|
exp ?n (t) + ?4
? 1 ? ?n (t) ?
6
n5
4
5
t + |t|
t4 + |t|5
2
?
+
?
(t)
?
.
6
6
n
n5
n5
Следовательно,
2
?
t4 + |t|5
t
, |t| ? ? k.
|f (t) ? g(t)| ?
exp ?
6
2
n5
Положив
g(t)|
? при |t|
? k ? |t| ?
утверждение
6
(34)
теперь
? в (33) T = n 5 и воспользовавшись для оценки? |f (t) ?
? ? k соотношением (34), а для оценки |f (t)| = |fn (t)| при
?
?
6
? n леммой 10 и при ? n ? |t| ? n 5 леммой 11, получим
теоремы.
18
Литература
1. Rio, E. Sur le theoreme de Berry-Esseen pour les suites faiblement dependantes.
(Frenh) / E. Rio // J.Probab. Theory Relat. Fields. 1996. V.104. N.2. P.255-282.
2. Петров, В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин /
В.В. Петров. М.: Наука, 1987.
3. Bradley, R. On the ?-mixing ondition for stationary random sequenes / R. Bradley
// Duke Mathematial Journal. 1980. V.47. N.2. P.421433.
4. Ибрагимов, И.А. Независимые и стационарно связанные величины / И.А. Ибрагимов, Ю.В. Линник. М.: Наука, 1965.
5. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. М: Наука,
1977, 351 с.
6. Peligrad, M. The onvergene of moments in the entral limit theorem for ?-mixing
sequenes of random variables / M. Peligrad // Pros. of the Amerian Math. So. 1987. V.101. N.1. P.142-148.
7. Лаврентьев, М.А. Методы теории ункций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1973.
8. Лоэв, М. Теория вероятностей / М. Лоэв. М.: ИЛ, 1962.
9. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. / В. Феллер. М.: Мир, 1984.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
233 Кб
Теги
величины, асимптотическое, суммы, теорема, случайных, разложение, центральной, предельных, зависимый
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа