close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вероятностная модель динамики взаимодействующих частиц с ограниченным временем жизни.

код для вставкиСкачать
Ма▓ема▓и╖е▒кие
▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование
1998. В╗п. 1, ▒.60-71.
УДК 519.711.3
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
С ОГРАНИЧЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ ЖИЗНИ
Н.В. Пе░╢ев
A stochastic model of interacting populations of the particles with a limited
life span is concidered. The population { size and age { dependent branching
process is used for the construction the model equations. The Monte { Carlo
approach for the simulation the population dynamics is presented here.
1.
Введение
Ве░о┐▓но▒▓н╗е модели ╕и░око п░имен┐╛▓▒┐ п░и из│╖ении динамики поп│л┐╢ий в зада╖а╡ биологии, ╜кологии, демог░а┤ии и во многи╡ д░│ги╡ обла▒▓┐╡
е▒▓е▒▓вознани┐. В п░иложени┐╡ ╖а▒▓о ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ ▒овок│пно▒▓и кле▓ок,
г░│пп╗ молек│л, о▒оби не▒кол╝ки╡ конк│░и░│╛╣и╡ видов, на▒еление ░азли╖н╗╡
воз░а▒▓н╗╡ г░│пп, ▓е╡ни╖е▒кие │▒▓░ой▒▓ва и ▓. д. В▒е ╜▓и об║ек▓╗ модели░овани┐ б│дем обозна╖а▓╝ в дал╝ней╕ем ▓е░мином └╖а▒▓и╢╗┴. Дл┐ по▒▓░оени┐
ве░о┐▓но▒▓н╗╡ моделей динамики поп│л┐╢ий и▒пол╝з│е▓▒┐ аппа░а▓ ▓ео░ии ▒л│╖айн╗╡ п░о╢е▒▒ов, ко▓о░╗й под░обно опи▒ан в бол╝╕ом коли╖е▒▓ве ░або▓ (▒м.,
нап░име░, [1] { [10]). Во многи╡ ▒л│╖а┐╡ динамика модели░│ем╗╡ поп│л┐╢ий
▒│╣е▒▓венн╗м об░азом зави▒и▓ о▓ ▒лед│╛╣и╡ ┤ак▓о░ов : 1) взаимодей▒▓вие
межд│ ▒обой ╖а▒▓и╢ ░азли╖н╗╡ видов ░азного воз░а▒▓ного ▒о▒▓ава; 2) ▒▓а░ение ╖а▒▓и╢ и и╡ гибел╝ п░и до▒▓ижении оп░еделенного воз░а▒▓а; 3) ░ождение
нов╗╡ ╖а▒▓и╢ за ▒╖е▓ ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓и╢, п░и╖ем одна ╖а▒▓и╢а на п░о▓┐жении ▒воей жизни може▓ по░ожда▓╝ неко▓о░ое коли╖е▒▓во нов╗╡ ╖а▒▓и╢.
У╖е▓ │казанн╗╡ ┤ак▓о░ов п░иводи▓ к зна╖и▓ел╝н╗м ▒ложно▒▓┐м п░и по▒▓░оении моделей динамики поп│л┐╢ий и, как ▒лед▒▓вие, не позвол┐е▓ в полной ме░е
и▒пол╝зова▓╝ изве▒▓н╗е анали▓и╖е▒кие ме▓од╗ дл┐ и╡ и▒▒ледовани┐. В ╜▓и╡
▒л│╖а┐╡ дл┐ п░оведени┐ ░а▒╖е▓ов можно п░имен┐▓╝ ме▓од Мон▓е { Ка░ло [11],
о░иен▓и░ованн╗й на ░еализа╢и╛ моделей в виде п░ог░амм дл┐ в╗▒окоп░оизводи▓ел╝н╗╡ ЭВМ.
В на▒▓о┐╣ей ░або▓е опи▒╗вае▓▒┐ ве░о┐▓но▒▓на┐ модел╝ динамики поп│л┐╢ий взаимодей▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓и╢ ▒ ог░ани╖енн╗м в░еменем жизни. Модел╝
c 1998 Н.В. Пе░╢ев
E-mail: perts@omsk.edu
61
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1998. В╗п. 1.
п░ед▒▓авл┐е▓ ▒обой ░азновидно▒▓╝ ма░ков▒кого ▒л│╖айного п░о╢е▒▒а, ▒о▒▓о┐ни┐ми ко▓о░ого ┐вл┐╛▓▒┐ ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐, ╡а░ак▓е░из│╛╣ие воз░а▒▓ной ▒о▒▓ав поп│л┐╢ий ╖а▒▓и╢ ░азли╖н╗╡ видов. По▒▓░оен╗ ░ек│░░ен▓н╗е ▒оо▓но╕ени┐, ко▓о░╗е зада╛▓ п░авило пе░е╡ода из одного ▒о▒▓о┐ни┐ в д░│гое за
неко▓о░╗й п░омеж│▓ок в░емени. На о▒нове ╜▓и╡ ▒оо▓но╕ений ░аз░або▓ан алго░и▓м ▒▓а▓и▒▓и╖е▒кого модели░овани┐ на ЭВМ динамики ░а▒▒ма▓░иваем╗╡
поп│л┐╢ий ╖а▒▓и╢. Указан╗ п░име░╗ п░именени┐ п░ед▒▓авленной модели.
2.
Опи▒ание модели
Б│дем ░а▒▒ма▓░ива▓╝ поп│л┐╢ии, ко▓о░╗е ▒о▒▓о┐▓ из ╖а▒▓и╢ видов A1, A2; :::,
Am. П░инимаем, ╖▓о кажда┐ ╖а▒▓и╢а на п░о▓┐жении ▒воей жизни може▓ │╖а▒▓вова▓╝ в ░азли╖н╗╡ взаимодей▒▓ви┐╡ ▒ ╖а▒▓и╢ами д░│ги╡ видов. Ин▓ен▒ивно▒▓и взаимодей▒▓вий п░опо░╢ионал╝н╗ коли╖е▒▓в│ │╖а▒▓в│╛╣и╡ в ни╡ ╖а▒▓и╢
оп░еделенного воз░а▒▓а. В ░ез│л╝▓а▓е о▒│╣е▒▓влени┐ взаимодей▒▓ви┐ ╖а▒▓и╢╗
мог│▓ ▒о╡░ани▓╝▒┐ или погибн│▓╝, однов░еменно ▒ ╜▓им возможно ░ождение нов╗╡ ╖а▒▓и╢ н│левого воз░а▒▓а. П░едполагаем ▓акже, ╖▓о за в░ем┐ ▒воей жизни
либо в кон╢е жизни ╖а▒▓и╢╗ мог│▓ по░ожда▓╝ нов╗е ╖а▒▓и╢╗ н│левого воз░а▒▓а.
П│▒▓╝ 0 < i < 1 озна╖ае▓ мак▒имал╝но доп│▒▓им│╛ п░одолжи▓ел╝но▒▓╝
в░емени жизни ╖а▒▓и╢ вида Ai; 1 i m. Дл┐ │╖е▓а воз░а▒▓ного ▒о▒▓ава поп│л┐╢ий ╖а▒▓и╢ вида Ai ░азоб╝ем п░омеж│▓ок [0; i] на li +1 ╖а▒▓и╖н╗╡ п░омеж│▓ков ▒ помо╣╝╛ ▓о╖ек 0 = i(0) < i(1) < ::: < i(k) < ::: < i(li+1) = i; 1 i m.
Взаимодей▒▓вие ╖а▒▓и╢ межд│ ▒обой, изменение воз░а▒▓ного ▒о▒▓ава ╖а▒▓и╢ и
и╡ гибел╝ в▒лед▒▓вие ▒▓а░ени┐ б│дем запи▒╗ва▓╝ в виде ▒лед│╛╣ей ▒╡ем╗ :
k
i
i
A(isik ) !
W(0)i ; 1 i m;
A(isik ); 0 k li; Ai(i) !
( )
(1)
+1
rj (sj +j )
U(sjj ) !
(2)
+ W(0)
Vj
j ; 1 j n:
В ▒оо▓но╕ении (1) пе░вое в╗░ажение озна╖ае▓, ╖▓о ╖а▒▓и╢╗ вида Ai воз░а▒▓а
sik ▓акого, ╖▓о i(k) sik < i(k+1), ▒ ▓е╖ением в░емени пе░е╡од┐▓ в ▒лед│╛╣│╛
воз░а▒▓н│╛ ка▓его░и╛, 0 k li; 1 i m. В▓о░ое в╗░ажение в (1) │каз╗вае▓ на ▓о, ╖▓о ╖а▒▓и╢╗ вида Ai, до▒▓иг╕ие п░едел╝ного воз░а▒▓а i, погиба╛▓, по░ожда┐ п░и ╜▓ом ▒овок│пно▒▓╝ ╖а▒▓и╢ W(0)i ; 1 i m. Совок│пно▒▓╝
(0)
(0)
W(0)i = i1A(0)
1 + i2 A2 + ::: + im Am ▒о▒▓ои▓ из i1 ╖а▒▓и╢ вида A1, i2 ╖а▒▓и╢
вида A2, ... , im ╖а▒▓и╢ вида Am н│левого воз░а▒▓а, 1 i m. Па░аме▓░╗
ij мог│▓ п░инима▓╝ нео▓░и╢а▓ел╝н╗е ╢ело╖и▒ленн╗е зна╖ени┐, 1 i; j m.
Е▒ли дл┐ ┤ик▒и░ованного
1 i m окаже▓▒┐, ╖▓о i1 = i2 = ::: = im = 0,
(0)
▓о б│дем пи▒а▓╝, ╖▓о Wi = D, понима┐ под D ▒овок│пно▒▓╝ погиб╕и╡ ╖а▒▓и╢
в▒е╡ видов.
Соо▓но╕ение (2) озна╖ае▓, ╖▓о ╖а▒▓и╢╗ видов A1; A2; :::; Am │╖а▒▓в│╛▓ в n
░азли╖н╗╡ взаимодей▒▓ви┐╡ межд│ ▒обой ▒ ин▓ен▒ивно▒▓┐ми rj > 0; 1 j n.
П░и ┤ик▒и░ованном 1 j n ▒овок│пно▒▓╝ ╖а▒▓и╢ U(sjj ) = j1A(1sj ) +
1
62
Н.В.Пе░╢ев. Ве░о┐▓но▒▓на┐ модел╝ динамики...
j2A(2sj ) + ::: + jmA(msjm), в ко▓о░│╛ в╡оди▓ по ji ╖а▒▓и╢ вида Ai воз░а▒▓а sji,
0 aji sji < bji i ; 1 i m, в ▓е╖ение неко▓о░ого п░омеж│▓ка в░емени j
може▓ о▒│╣е▒▓ви▓╝ взаимодей▒▓вие межд│ ▒обой, 1=rj задае▓ ▒░еднее зна╖ение
j . В ░ез│л╝▓а▓е о▒│╣е▒▓влени┐ взаимодей▒▓ви┐ ▒овок│пно▒▓╝ U(sjj ) пе░е╡оди▓
в ▒овок│пно▒▓╝ ╖а▒▓и╢ V(jsj +j ) = j1A(1sj +j ) + j2A(2sj +j ) + ::: + jmAm(sjm+j )
▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣его воз░а▒▓а sji + j , 0 aji sji + j < bji i ; 1 i m, и по(0)
(0)
░ождае▓ ▒овок│пно▒▓╝ ╖а▒▓и╢ W(0)j = j1 A(0)
1 + j 2 A2 + ::: + jm Am н│левого воз░а▒▓а. Па░аме▓░╗ ji мог│▓ п░инима▓╝ нео▓░и╢а▓ел╝н╗е ╢ело╖и▒ленн╗е зна╖ени┐, а па░аме▓░╗ ji; ji { зна╖ени┐ 0 или 1, 1 i m; 1 j n. П░и ┤ик▒и░ованном 1 j n должн╗ в╗полн┐▓╝▒┐ не░авен▒▓ва ji ji; 1 i m,
п░и╖ем, е▒ли j1 = j2 = ::: = jm = 0, ▓о ▒░еди по▒ледни╡ не░авен▒▓в ╡о▓┐
б╗ одно должно б╗▓╝ ▒▓░огим. Е▒ли дл┐ неко▓о░ого 1 j n окаже▓▒┐, ╖▓о
ji = ji = 0; 1 i m, ▓о б│дем пи▒а▓╝, ╖▓о V(jsj +j ) + W(0)j = D.
ri
D, ко▓о░а┐ озна╖ае▓,
В ▒оо▓но╕ении (2) може▓ в▒▓░е╖а▓╝▒┐ запи▒╝ Ai(sii) !
╖▓о ╖а▒▓и╢а вида Ai оп░еделенного воз░а▒▓а sii, погибае▓ в ░ез│л╝▓а▓е взаимодей▒▓ви┐ ▒ ┤ак▓о░ами, ко▓о░╗е в модели ┐вно не │╖и▓╗ва╛▓▒┐, 1 i m.
Така┐ гибел╝ може▓ б╗▓╝ ▓акже ▒в┐зана ▒ ╜миг░а╢ией ╖а▒▓и╢╗ или ее п░ев░а╣ением в ╖а▒▓и╢╗ неко▓о░╗╡ видов, ко▓о░╗е в модели не ░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐.
Гибел╝ ╖а▒▓и╢ в ░ез│л╝▓а▓е о▒│╣е▒▓влени┐ взаимодей▒▓вий ░азли╖н╗╡ ▓ипов
п░иводи▓ к ▓ом│, ╖▓о неко▓о░╗е ╖а▒▓и╢╗ вида Ai мог│▓ не до▒▓ига▓╝ ▒воего
п░едел╝ного воз░а▒▓а i ; 1 i m. К░оме ▓ого, в (2) може▓ ▒оде░жа▓╝▒┐ заrk (skk +k )
пи▒╝ A(kskk) !
Ak
+ W(0)
k ; 1 k m. Э▓а запи▒╝ озна╖ае▓, ╖▓о за в░ем┐
▒воей жизни(0)╖а▒▓и╢а вида Ak неко▓о░ого воз░а▒▓а skk може▓ по░ожда▓╝ ▒овок│пно▒▓и Wk ╖а▒▓и╢ н│левого воз░а▒▓а, 1 k m.
Со▒▓о┐ни┐ поп│л┐╢ии
╖а▒▓и╢ вида Ai б│дем опи▒╗ва▓╝ ▒ помо╣╝╛ ▓о╖е╖(
k)
н╗╡ ░а▒п░еделений !i (t), ко▓о░╗е в неко▓о░╗й момен▓ в░емени t о▓░ажа╛▓
воз░а▒▓ной ▒о▒▓ав ╜▓ой поп│л┐╢ии, 0 k li; 1 i m; t0 t T , где [t0; T ]
{ п░омеж│▓ок в░емени, на ко▓о░ом из│╖ае▓▒┐ динамика ░а▒▒ма▓░иваем╗╡(k)поп│л┐╢ий. В ┤ик▒и░ованн╗й момен▓ в░емени t ▓о╖е╖ное ░а▒п░еделение !i (t)
имее▓ ▒лед│╛╣│╛ ▒▓░│к▓│░│ :
2
1
2
!i(k)(t) = f(ti1 + i(k+1); n(i1k)(t)); :::; (tij + i(k+1); n(ijk)(t)); :::; (tijk + i(k+1); n(ijkk)(t))g;
0 k li; 1 i m;
(3)
где ti1 < ::: < tij ::: < tijk t { момен▓╗ ░ождени┐ ╖а▒▓и╢ вида Ai н│левого воз░а▒▓а, tij + i(k+1) { момен▓╗ пе░е╡ода ╖а▒▓и╢ вида Ai, име╛╣и╡ воз░а▒▓ sij = t tij ; i(k) sij < i(k+1), в ▒лед│╛╣│╛ воз░а▒▓н│╛ ка▓его░и╛,
1 j jk ; 0 k < li; 1 i m. Е▒ли k = li, ▓о tij + i(li+1) = tij + i озна╖а╛▓
момен▓╗ гибели ╖а▒▓и╢ вида Ai п░и до▒▓ижении ими
п░едел╝ного воз░а▒▓а
i; 1 j jk ; 1 i m. Положи▓ел╝н╗е вели╖ин╗ n(ijk)(t) озна╖а╛▓ коли╖е▒▓во
╖а▒▓и╢ │казанного в╗╕е воз░а▒▓а sij ; 1 j jk ; 0 k li; 1 i m. Э▓и
вели╖ин╗ зада╛▓▒┐ в момен▓╗ tij по ▒овок│пно▒▓┐м W(0)i , W(0)
i ░одив╕и╡▒┐ ╖а▒▓и╢ н│левого воз░а▒▓а, а за▓ем ▒ ▓е╖ением в░емени они мог│▓ │мен╝╕а▓╝▒┐
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1998. В╗п. 1.
63
в▒лед▒▓вие │╖а▒▓и┐ ╖а▒▓и╢ в ░азли╖н╗╡ ▒овок│пно▒▓┐╡ Uj взаимодей▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓и╢, 1 i m; 1 j n. П░и ┤ик▒и░ованном 1 i m вели╖ина
1 (k) jk < 1 задае▓(k)коли╖е▒▓во
╜лемен▓ов,
в╡од┐╣и╡
в ▓о╖е╖ное ░а▒п░еделение
(
k)
(
k)
(
k)
!i (t), а ▒│мма ni1 (t) + ni2 (t) + ::: + nijk (t) = xi (t) озна╖ае▓ об╣ее коли╖е▒▓во ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡
в момен▓ в░емени t ╖а▒▓и╢, име╛╣и╡ воз░а▒▓ si, ▓акой,
(
k
)
(
k
+1)
╖▓о i si < i ; 0 k li. Е▒ли в неко▓о░╗й момен▓ t ╖а▒▓и╢╗ вида Ai
о▓▒│▓▒▓в│╛▓, ▓. е. jk = 0; x(ik)(t) = 0, ▓о !i(k)(t) б│дем наз╗ва▓╝ н│лев╗м ▓о╖е╖н╗м ░а▒п░еделением и пи▒а▓╝, ╖▓о !i(k)(t) = ;; 0 k li; 1 i m. О▓ме▓им,
╖▓о в нен│лев╗╡ ▓о╖е╖н╗╡ ░а▒п░еделени┐╡ (3) в▒е ╜лемен▓╗ │по░┐до╖ен╗ по
▒воим пе░в╗м компонен▓ам. В по▒лед│╛╣и╡ в╗кладка╡ б│дем п░едполага▓╝,
╖▓о в ▓е╖ение п░омеж│▓ка в░емени [t0; T ] ╖и▒ло ╖а▒▓и╢ в▒е╡ видов коне╖но.
Опи╕ем далее ▒об╗▓и┐, ко▓о░╗е мог│▓ п░иводи▓╝ к изменени┐м ▓о╖е╖н╗╡
░а▒п░еделений (3). За┤ик▒и░│ем момен▓ в░емени t и ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐
!i(k)(t); 0 k li; 1 i m; t0 t T . П░имем, ╖▓о за ин▓е░вал в░емени
(t; t + h) л╛ба┐ ▒овок│пно▒▓╝ U(sjj ) ╖а▒▓и╢ оп░еделенного воз░а▒▓а sj незави▒имо
о▓ д░│ги╡ ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓и╢ и п░ед╕е▒▓в│╛╣и╡ ▒об╗▓ий взаимодей▒▓в│е▓
межд│ ▒обой ▒ ве░о┐▓но▒▓╝╛ rj h + o(h); h ! 0; 1 j n. Ве░о┐▓но▒▓╝ взаимодей▒▓ви┐ не▒кол╝ки╡ ▓аки╡ г░│пп ░авна o(h). Ве░о┐▓но▒▓и о▒│╣е▒▓влени┐
░азли╖н╗╡ ▓ипов взаимодей▒▓ви┐ ╖а▒▓и╢ за ин▓е░вал (t; t + h) б│дем задава▓╝
▒лед│╛╣ими ▒оо▓но╕ени┐ми. Ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о за (t; t + h) п░оизойде▓
░овно L взаимодей▒▓вий j { го ▓ипа ░авна o(h) п░и L 2 и qj (x(t))h + o(h) п░и
L = 1; h ! 0, где
qj (x(t)) = rj
m
Y
i=1;ji 6=0
xi(t; aji; bji); 1 j n:
(4)
Ве░о┐▓но▒▓╝ ▓ого, ╖▓о за ин▓е░вал (t; t + h) не п░оизойде▓ взаимодей▒▓ви┐ ни
одного из n ▓ипов ░авна 1 Q(x(t))h + o(h); h ! 0, где
Q(x(t)) =
m
X
j =1
qj (x(t)):
(5)
В ┤о░м│ле (4) вели╖ина xi(t; aji; bji) озна╖ае▓ коли╖е▒▓во ╖а▒▓и╢ вида Ai оп░еделенного воз░а▒▓ного диапазона 0 aji sji < bji i; 1 i m; 1 j n.
В ╖а▒▓но▒▓и, вели╖ина xi(t) = xi(t; 0; i) задае▓ об╣ее коли╖е▒▓во ╖а▒▓и╢ вида
Ai; 1 i m. П░имем, ╖▓о п░и ┤ик▒и░ованном 1 j n п░омеж│▓ок [aji; bji)
вкл╛╖ае▓ в ▒еб┐ один или не▒кол╝ко ╖а▒▓и╖н╗╡ п░омеж│▓ков [i(k); i(k+1)),
ина╖е,
[ (k) (k+1)
[i ; i ); 1 i m;
(6)
[aji; bji) =
k2Fji
где Fji = fk : eji k djig; 0 eji dji li { задан╗, 1 i m. Заме▓им п░и
╜▓ом, ╖▓о
X (k )
xi (t); 1 i m:
(7)
xi(t; aji; bji) =
k2Fji
64
Н.В.Пе░╢ев. Ве░о┐▓но▒▓на┐ модел╝ динамики...
Оп░еделим ▒л│╖айн│╛ вели╖ин│ (t) как п░одолжи▓ел╝но▒▓╝ в░емени до
пе░вого о▒│╣е▒▓влени┐ одного из n ▓ипов взаимодей▒▓ви┐ ╖а▒▓и╢ межд│ ▒обой,
на╖ина┐ ▒ момен▓а t. П░едполагаем, ╖▓о на п░омеж│▓ке [t; t + (t)] не п░ои▒╡оди▓ никаки╡ ▒об╗▓ий, п░ивод┐╣и╡ к изменени┐м ▓о╖е╖н╗╡ ░а▒п░еделений
(3), за и▒кл╛╖ением ▓ого, ╖▓о в момен▓ t + (t) о▒│╣е▒▓вл┐е▓▒┐ взаимодей▒▓вие ╖а▒▓и╢ ▒ номе░ом (t). Воз░а▒▓ в▒е╡ ╖а▒▓и╢, ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ в момен▓
t, │вели╖ивае▓▒┐ на вели╖ин│ (t). Е▒ли Q(x(t)) > 0, ▓о вели╖ина (t) имее▓
╜к▒понен╢иал╝ное ░а▒п░еделение
P f (t) > sg = exp( Q(x(t))s); s 0;
(8)
а вели╖ина (t) задае▓▒┐ законом ░а▒п░еделени┐
P f (t) = j g = qj (x(t))=Q(x(t)); 1 j n;
(9)
п░и │▒ловии, ╖▓о взаимодей▒▓вие ╖а▒▓и╢ п░оизо╕ло.
П░и ┤ик▒и░ованном 1 i m во взаимодей▒▓вии ▒ номе░ом (t) мог│▓
п░инима▓╝ │╖а▒▓ие ╖а▒▓и╢╗ вида Ai воз░а▒▓а a(t)i si < b(t)i, п░и╖ем │╖а▒▓ие
л╛бой из ▓аки╡ ╖а▒▓и╢ п░едполагае▓▒┐ ░авнове░о┐▓н╗м. Из (6) и (7) ▒лед│е▓,
╖▓о в данном взаимодей▒▓вии │╖а▒▓в│е▓ ╖а▒▓и╢а из воз░а▒▓ного диапазона ▒
номе░ом k(t)i , ко▓о░╗й имее▓ закон ░а▒п░еделени┐
P fk(t)i = kg = x(ik)(t)=xi(t; a(t)i; b(t)i); k 2 F(t)i; 1 i m:
(10)
Дл┐ ┤ик▒и░ованного k(t)i в ▓о╖е╖ном ░а▒п░еделении !i(k t i )(t) │казанной ╖а▒▓и╢е ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ╜лемен▓
( )
(k(t)it i)(t) = (tig t i + i(k t i+1); n(igk tt ii)(t));
( )
( )
( )
( )
( )
по░┐дков╗й номе░ ко▓о░ого g(t)i ┐вл┐е▓▒┐ ▒л│╖айной вели╖иной ▒ ░а▒п░еделением
P fg(t)i = gg = nig(k t i )(t)=x(ik t i)(t); g = 1; 2; :::; jk t i ; 1 i m: (11)
( )
( )
( )
Оп░еделим ╜лемен▓ (k(t))i(t) по п░авил│ :
(k(t))i(t) = (tig t i + i(k t i+1); n(igk tt ii)(t) 1);
( )
( )
( )
( )
е▒ли (t)i = 1; (t)i = 0; k = k(t)i и (k(t))i(t) = ; в о▒▓ал╝н╗╡ ▒л│╖а┐╡,
0 k li; 1 i m. П░енеб░ега┐ ░ождением ╖а▒▓и╢ н│левого воз░а▒▓а,
можно запи▒а▓╝, ╖▓о ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ !i(k)(t) в момен▓ t+ (t) пе░е╡од┐▓
в ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ !i(k)(t + (t)), задаваем╗е ▒оо▓но╕ени┐ми :
!i(k)(t) ! !i(k)(t + (t)) = !i(k)(t)r(k(t))i(t); 0 k li; 1 i m:
(12)
Символ "r" в (12) озна╖ае▓, ╖▓о в ▒л│╖ае (t)i = 1; (t)i = 0; k = k(t)i ╜лемен▓ (k(t)it i)(t) ▓о╖е╖ного ░а▒п░еделени┐ !i(k)(t) п░и n(igk tt ii)(t) > 1 замен┐е▓▒┐
( )
( )
( )
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1998. В╗п. 1.
65
на ╜лемен▓ (k(t))i(t), а п░и n(igk tt ii)(t) = 1 он и▒кл╛╖ае▓▒┐ из !i(k)(t); 1 i m.
Е▒ли же (k(t))i(t) = ;, ▓о ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие !i(k)(t) в момен▓ t + (t) ▒о╡░ан┐╛▓▒┐ неизменн╗ми, 0 k li; 1 i m. Введем далее ╜лемен▓ (0)(t)i(t),
ко▓о░╗й б│дем задава▓╝ ▒лед│╛╣им об░азом : (0)(t)i(t) = ;, е▒ли (t)i = 0 и
(0)(t)i(t) = (t + (t) + i(1); (t)i), е▒ли (t)i > 0; 1 i m, ( (t) ┤ик▒и░овано).
П░и (t)i > 0 ╜лемен▓ (0)(t)i(t) ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓ ░одив╕им▒┐ в момен▓ t + (t)
╖а▒▓и╢ам вида Ai н│левого
воз░а▒▓а,
1 i m. П░едположим, ╖▓о ╖а▒▓и╢╗
(0)
(1)
вида Ai воз░а▒▓а 0 = i si < i не │╖а▒▓в│╛▓ во взаимодей▒▓вии ╖а▒▓и╢
▒ номе░ом (t); 1 i m. Тогда можно запи▒а▓╝, ╖▓о ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐
(3) в момен▓ t + (t) пе░е╡од┐▓ в ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ ▒лед│╛╣его вида :
( )
( )
!i(0)(t) ! !i(0)(t + (t)) = !i(0)(t) + (0)(t)i(t); 1 i m:
(13)
Зде▒╝ ▒имвол "+ " озна╖ае▓, ╖▓о !i(0)(t) дополн┐╛▓▒┐ нен│лев╗ми (0)(t)i(t), ко▓о░╗е ░азме╣а╛▓▒┐ в▒лед за(0)и╡ по▒ледними(0)╜лемен▓ами, 1 i m. Е▒ли же п░и
неко▓о░ом 1 k m (t)k (t) = ;, ▓о !k (t) в момен▓ t + (t) о▒▓а╛▓▒┐ неизменн╗ми. Об║един┐┐ далее ▒оо▓но╕ени┐ (12) и (13), пол│╖им, ╖▓о ▓о╖е╖н╗е
░а▒п░еделени┐ (3) измен┐╛▓▒┐ ▒лед│╛╣им об░азом :
!i(0)(t) ! !i(0)(t + (t)) = !i(0)(t)r(0)(t)i(t) + (0)(t)i(t);
(14)
!i(k)(t) ! !i(k)(t + (t)) = !i(k)(t)r(k(t))i(t); 1 k li;
1 i m:
Опе░а╢ии над !i(0)(t), обозна╖енн╗е ▒имволами "r" и " + ", п░имен┐╛▓▒┐ по▒ледова▓ел╝но ▒лева нап░аво, 1 i m. О╖евидно, ╖▓о пол│╖енн╗е ▓о╖е╖н╗е
░а▒п░еделени┐ !i(k)(t + (t)) ┐вл┐╛▓▒┐ │по░┐до╖енн╗ми по пе░в╗м компонен▓ам
▒вои╡ ╜лемен▓ов, 0 k li; 1 i m.
Е▒ли окаже▓▒┐, ╖▓о Q(x(t)) = 0, ▓о б│дем полага▓╝, ╖▓о t + (t) = T +
max(1; 2; :::; m), ▓. е. за о▒▓ав╕ий▒┐ п░омеж│▓ок модели░овани┐ [t; T ] в▒е ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ (3) не б│д│▓ измен┐▓╝▒┐ в▒лед▒▓вие взаимодей▒▓ви┐ ╖а▒▓и╢.
То╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ (3) мог│▓ измен┐▓╝▒┐ не ▓ол╝ко за ▒╖е▓ взаимодей▒▓ви┐ ╖а▒▓и╢, но и за ▒╖е▓ изменени┐ воз░а▒▓а ╖а▒▓и╢. П░и ╜▓ом, ╖а▒▓и╢╗
вида Ai, заве░╕а╛╣ие ▒вое ▒│╣е▒▓вование в неко▓о░╗й момен▓ t + i, незави▒имо о▓ д░│ги╡ ╖а▒▓и╢
и п░ед╕е▒▓в│╛╣и╡ ▒об╗▓ий мог│▓ по░ожда▓╝ ▒овок│п(0)
но▒▓и ╖а▒▓и╢ Wi ; 1 i m. Введем ▒л│╖айн│╛ вели╖ин│ (t) как п░одолжи▓ел╝но▒▓╝ в░емени до пе░вого пе░е╡ода неко▓о░ой ▒овок│пно▒▓и ╖а▒▓и╢ из
одного воз░а▒▓ного кла▒▒а в д░│гой, на╖ина┐ ▒ момен▓а t. П░едположим, ╖▓о на
п░омеж│▓ке [t; t + (t)] не п░ои▒╡оди▓ ▒об╗▓ий, ▒в┐занн╗╡ ▒ взаимодей▒▓вием
╖а▒▓и╢, ▓ол╝ко ли╕╝ воз░а▒▓ в▒е╡ ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓и╢ │вели╖ивае▓▒┐ на вели╖ин│ (t). Дл┐ ┤ик▒и░ованного 1 i m оп░еделим множе▒▓во индек▒ов
Gi (t) = fk : !i(k)(t) 6= ;; 0 k lig. П░имем, ╖▓о ╡о▓┐ б╗ одно Gi (t) не п│▒▓о,
66
Н.В.Пе░╢ев. Ве░о┐▓но▒▓на┐ модел╝ динамики...
1 i m. Тогда можно запи▒а▓╝, ╖▓о
t + (t) = minf(ti1 + i(k+1)); k 2 Gi (t) 6= ;; 1 i mg;
(15)
где вели╖ин╗ ti1 + i(k+1) зада╛▓ ближай╕ие к t момен▓╗ пе░е╡ода ╖а▒▓и╢ оп░еделенного воз░а▒▓а в ▒лед│╛╣ие воз░а▒▓н╗е кла▒▒╗, k 2 Gi(t) 6= ;; 1 i m.
Неко▓о░╗е из ╜▓и╡ момен▓ов в░емени мог│▓ б╗▓╝ одинаков╗, ╖▓о об│▒ловлено
возможно▒▓╝╛ однов░еменного ░ождени┐ ╖а▒▓и╢ ░азли╖н╗╡ видов и, к░оме
▓ого, возможно▒▓╝╛ ▒овпадени┐
г░ани╢ о▓дел╝н╗╡ воз░а▒▓н╗╡ диапазонов.
(
k+1)
П│▒▓╝ Ei(t) = fk : ti1 + i
= t + (t); k 2 Gi (t) 6= ;g; 1 i m. По
по▒▓░оени╛ ╡о▓┐ б╗ одно Ei(t) не п│▒▓о, 1 i m. Е▒ли дл┐ ┤ик▒и░ованного
1 i m Ei(t) 6= ;, ▓о ╜лемен▓ (ik)(t) = (ti1 + i(k+1); n(i1k)(t)) и▒кл╛╖ае▓▒┐
из !i(k)(t); k 2 Ei(t), а !i(k+1)(t) дополн┐е▓▒┐ ╜лемен▓ом i(k+1)(t) = (tij k +
i(k+2); n(ijk+1)
k (t)), ко▓о░╗й ░азме╣ае▓▒┐ в▒лед за по▒ледним ╜лемен▓ом ╜▓ого
(k )
▓о╖е╖ного ░а▒п░еделени┐, tij k = ti1; n(ijk+1)
k (t) = ni1 (t); k 2 Ei (t); k 6= li . В
о▒▓ал╝н╗╡ ▒л│╖а┐╡ положим, ╖▓о (ik)(t) = ;; i(k+1)(t) = ;; 0 k li; 1 i m.
Ва░иан▓ k = li 2 Ei (t) 6= ; озна╖ае▓, ╖▓о n(i1li)(t) ╖а▒▓и╢ вида Ai до▒▓игли п░едел╝ного воз░а▒▓а
и погиба╛▓, 1 i m. Кажда┐ из ▓аки╡ ╖а▒▓и╢ по░ождае▓
(0)
▒овок│пно▒▓╝
Wi ╖а▒▓и╢ н│левого воз░а▒▓а, 1 i m. В▒его же ░ождае▓▒┐
P
"j (t) = i2H (t) ni(1li)(t)ij ╖а▒▓и╢ вида Aj н│левого воз░а▒▓а, 1 j m, где
H (t) = fi : li 2 Ei(t) 6= ;; 1 i mg. Оп░еделим ╜лемен▓ j(0)(t) по ┤о░м│ле :
j(0)(t) = (t + (t) + j(1); "j (t)), е▒ли "j (t) > 0 и j(0)(t) = ;, е▒ли "j (t) = 0 или п░и
в▒е╡ 1 i m li 62 Ei(t) 6= ;; 1 j m.
И▒пол╝з│┐ введенн╗е в╗╕е обозна╖ени┐, можно запи▒а▓╝, ╖▓о ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ (3) в момен▓ в░емени t + (t) измен┐╛▓▒┐ ▒лед│╛╣им об░азом :
( +2)
( +2)
( +2)
( +2)
(0)
!i(0)(t) ! !i(0)(t + (t)) = !i(0)(t) (0)
i (t) + i (t);
!i(k)(t) ! !i(k)(t + (t)) = !i(k)(t) (ik)(t) + i(k)(t); 1 k li;
(16)
1 i m:
Символ╗ " " и " + " в (16) озна╖а╛▓, ▒оо▓ве▓▒▓венно, ╖▓о из !i(k)(t) и▒кл╛╖а╛▓▒┐ нен│лев╗е ╜лемен▓╗ (ik)(t), а по▓ом !i(k)(t) дополн┐╛▓▒┐ нен│лев╗ми ╜лемен▓ами i(0)(t); i(k)(t), ко▓о░╗е ░азме╣а╛▓▒┐ в▒лед за по▒ледними
╜лемен▓ами ╜▓и╡ ▓о╖е╖н╗╡ ░а▒п░еделений, 0 k li; 1 i m. Е▒ли же
п░и неко▓о░╗╡ 0 k li; 1 i (m
, │казанн╗е в╗╕е ╜лемен▓╗ ┐вл┐╛▓▒┐ н│лев╗ми, ▓о ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие !i k)(t) в момен▓ t + (t) о▒▓а╛▓▒┐ неизменн╗ми.
Не▓░│дно заме▓и▓╝, ╖▓о опи▒анн╗е в╗╕е ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐
(
k
)
!i (t + (t)); 0 k li; 1 i m, ┐вл┐╛▓▒┐ │по░┐до╖енн╗ми по пе░в╗м
компонен▓ам ▒вои╡ ╜лемен▓ов.
П│▒▓╝ дл┐ в▒е╡ 1 i m Gi (t) = ;. Э▓о озна╖ае▓, ╖▓о в момен▓ в░емени t
о▓▒│▓▒▓в│╛▓ ╖а▒▓и╢╗ в▒е╡ видов, ▓. е. xi(t) = 0, а ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ (3)
┐вл┐╛▓▒┐ н│лев╗ми, 0 k li; 1 i m. В ╜▓ом ▒л│╖ае б│дем гово░и▓╝, ╖▓о
░а▒▒ма▓░иваем╗е поп│л┐╢ии в╗░одили▒╝ к момен▓│ в░емени t. О▓▒╛да ▒лед│е▓,
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1998. В╗п. 1.
67
╖▓о на п░омеж│▓ке в░емени [t; T ] в▒е ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ !i(k)(t) о▒▓а╛▓▒┐
неизменн╗ми и ░авн╗ми !i(k)(t) = ;; 0 k li; 1 i m. П░имем зде▒╝, ╖▓о
t + (t) = T + max(1; 2; :::; m).
Ра▒▒мо▓░енн╗е в╗╕е ▒об╗▓и┐, ▒в┐занн╗е ▒ гибел╝╛ и ░ождением ╖а▒▓и╢,
п░ивод┐▓ к изменени┐м ▓о╖е╖н╗╡ ░а▒п░еделений (3) в момен▓ в░емени t + '(t),
где '(t) = (t), е▒ли (t) < (t) и '(t) = (t), е▒ли (t) (t). На п░омеж│▓ке
в░емени [t; t + '(t)) !i(k)(t) ▒о╡░ан┐╛▓▒┐ неизменн╗ми, а в момен▓ t + '(t) они
пе░е╡од┐▓ в !i(k)(t + '(t)), ко▓о░╗е зада╛▓▒┐ ┤о░м│лами (14), е▒ли (t) < (t) и
(16), е▒ли (t) (t); 0 k li; 1 i m. Дл┐ заве░╕ени┐ по▒▓░оени┐ модели
п░имем,
╖▓о в на╖ал╝н╗й момен▓ в░емени t0 задан╗ ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐
!i(k)(t0); 0 k li; 1 i m, ╡а░ак▓е░из│╛╣ие воз░а▒▓ной ▒о▒▓ав пе░вона╖ал╝но ▒│╣е▒▓в│╛╣и╡ ╖а▒▓и╢ в▒е╡ видов. Изменение ▓о╖е╖н╗╡ ░а▒п░еделений
(3) на п░омеж│▓ке [t0; T ] може▓ б╗▓╝ опи▒ано ▒ помо╣╝╛ по▒ледова▓ел╝но▒▓и
ftj ; !i(k)(tj ); 0 k li; 1 i mg; j = 0; 1; 2; :::; N , ко▓о░а┐ задае▓▒┐ ░ек│░░ен▓н╗ми ▒оо▓но╕ени┐ми. Зде▒╝ t1; t2; :::; tN { момен▓╗ изменени┐ ▓о╖е╖н╗╡
░а▒п░еделений (3). Э▓и момен▓╗ оп░едел┐╛▓▒┐ ▒лед│╛╣им об░азом :
tj = tj 1 + '(tj 1); j = 1; 2; :::; N;
(17)
где '(tj 1) = (tj 1), е▒ли (tj 1) < (tj 1 ) и '(tj 1) = (tj 1), е▒ли
(tj 1) (tj 1 ), а N ▓акой номе░, ╖▓о tN T; tN +1 > T . Вели╖ин╗
(t0); (t1); :::; (tN ); (t0); (t1); :::; (tN ) п░ин┐▓╗ │▒ловно незави▒им╗ми, а закон╗ и╡ ░а▒п░еделени┐ опи▒╗ва╛▓▒┐ ┤о░м│лами (8), (15) п░и заданн╗╡
!i(k)(t0); !i(k)(t1); :::; !i(k)(tN 1), ▒ │╖е▓ом ▒оо▓но╕ений Q(x(tj )) = 0; Gi (tj ) = ;
п░и неко▓о░╗╡ j = 0; 1; 2; :::; N , 0 k li; 1 i m. То╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ (3) на╡од┐▓▒┐ по ┤о░м│лам (14) и (16), п░именение ко▓о░╗╡ п░иводи▓ к
▒лед│╛╣им ▒оо▓но╕ени┐м. П│▒▓╝ (tj 1) < (tj 1). Тогда
!i(k)(tj ) = !i(k)(tj 1)r(k(t)j )i(tj 1); 1 k li;
1
!i(0)(tj ) = !i(0)(tj 1)r(0)(tj )i(tj 1) + (0)(tj )i(tj 1); 1 i m:
Е▒ли же (tj 1) (tj 1 ), ▓о
1
1
(18)
!i(k)(tj ) = !i(k)(tj 1) (ik)(tj 1) + i(k)(tj 1); 1 k li;
(0)
!i(0)(tj ) = !i(0)(tj 1) (0)
i (tj 1 ) + i (tj 1 ); 1 i m:
(19)
Элемен▓╗
(k(t)j )i(tj 1); (0)(tj )i(tj 1); (ik)(tj 1); i(0)(tj 1); i(k)(tj 1);
(20)
и▒пол╝з│ем╗е в (18), (19), ▒▓░о┐▓▒┐ по │казанн╗м в╗╕е дл┐ ни╡ ┤о░м│лам
п░и каждом ┤ик▒и░ованном t0; t1; :::; tN 1. В▒е ▒л│╖айн╗е вели╖ин╗, в╡од┐╣ие
в ┤о░м│л╗ дл┐ ╜лемен▓ов (20), ┐вл┐╛▓▒┐ │▒ловно незави▒им╗ми п░и заданн╗╡
!i(k)(t0); !i(k)(t1); :::; !i(k)(tN 1); 0 k li; 1 i m. В ┤о░м│ла╡ (18) { (20)
индек▒ j п░обегае▓ зна╖ени┐ 1; 2; :::; N .
1
1
68
Н.В.Пе░╢ев. Ве░о┐▓но▒▓на┐ модел╝ динамики...
Соо▓но╕ени┐ (18), (19) ┤о░мал╝но позвол┐╛▓ запи▒а▓╝ ┤о░м│л│ дл┐ пе░е╡одной ве░о┐▓но▒▓ной ┤│нк╢ии
P (1)(!; B ) = P f!(tj ) 2 B=!(tj 1) = !g;
(21)
где !(t) = (!i(k)(t); 0 k li; 1 i m), B { множе▒▓во доп│▒▓им╗╡ ▒о▒▓о┐ний ░а▒▒ма▓░иваем╗╡ поп│л┐╢ий ╖а▒▓и╢. На о▒нове (21) можно │каза▓╝ ▓акже
▒оо▓но╕ени┐ дл┐ пе░е╡одной ве░о┐▓но▒▓ной ┤│нк╢ии из ▒о▒▓о┐ни┐ !(t0) в неко▓о░ое ▒о▒▓о┐ние !(tk ); k = 1; 2; :::; N , (▒м. гл. 3 ░або▓╗ [8]). Однако п░ак▓и╖е▒кое п░именение ╜▓и╡ ▒оо▓но╕ений дл┐ на╡ождени┐ ве░о┐▓но▒▓н╗╡ ╡а░ак▓е░и▒▓ик коли╖е▒▓ва ╖а▒▓и╢ ░азли╖н╗╡ видов ┐вл┐е▓▒┐ за▓░│дни▓ел╝н╗м. По╜▓ом│
дл┐ и▒▒ледовани┐ динамики ░а▒▒ма▓░иваем╗╡ поп│л┐╢ий можно и▒пол╝зова▓╝
ме▓од ▒▓а▓и▒▓и╖е▒кого модели░овани┐ (ме▓од Мон▓е { Ка░ло). В ▒лед│╛╣ем
░азделе опи▒ан алго░и▓м, ко▓о░╗й позвол┐е▓ ░еализова▓╝ опи▒анн│╛ модел╝
на ЭВМ.
3.
Алго░и▓м модели░овани┐
За┤ик▒и░│ем момен▓╗ в░емени Z = fz0; z1; :::; zT g, в ко▓о░╗е на▒ ин▓е░е▒│╛▓
▒о▒▓о┐ни┐ !(t) модели░│ем╗╡ поп│л┐╢ий, z0 = t0 < zT = T . Зададим на╖ал╝ное
▒о▒▓о┐ние !(z0) поп│л┐╢ий и в▒е па░аме▓░╗, в╡од┐╣ие в опи▒ание модели (1),
(2). С╡ема алго░и▓ма имее▓ ▒лед│╛╣ий вид. Положим t = z0. Далее в╗полн┐ем
по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ дей▒▓вий.
1). В╗╖и▒л┐ем по ┤о░м│лам (4), (5) вели╖ин╗ qj (x(t)); 1 j n; Q(x(t)). П░и
Q(x(t)) > 0 гене░и░│ем ▒л│╖айное ╖и▒ло (t) = (ln u1)=Q(x(t)), где u1 { ░авноме░но ░а▒п░еделенна┐ на (0; 1) ▒л│╖айна┐ вели╖ина. Е▒ли Q(x(t)) = 0, ▓о
полагаем, ╖▓о (t) = 2T + max(1; 2; :::; m). Далее по ┤о░м│ле (15) на╡одим вели╖ин│ t + (t), е▒ли ▓ол╝ко ╡о▓┐ б╗ одно из множе▒▓в Gi(t) не п│▒▓о, 1 i m.
В п░о▓ивном ▒л│╖ае п░инимаем, ╖▓о t + (t) = T + max(1; 2; :::; m).
2). Полагаем t + '(t) = t + (t), е▒ли t + (t) < t + (t) и t + '(t) = t + (t) в
п░о▓ивном ▒л│╖ае. П│▒▓╝ дл┐ неко▓о░╗╡ ╜лемен▓ов zj1; zj2; :::; zjk множе▒▓ва Z
▒п░аведлив╗ не░авен▒▓ва t zj1 < zj2 < ::: < zjk < t + '(t). Положим ▓огда
!(zj1) = !(zj2) = ::: = !(zjk ) = !(t). Е▒ли zjk = zT , ▓о закан╖иваем в╗╖и▒лени┐,
ина╖е пе░е╡одим к ▒лед│╛╣ем│ ╕аг│.
3). Е▒ли t + (t) < t + (t), ▓о в╗би░аем номе░ ▓ипа взаимодей▒▓ви┐ ╖а▒▓и╢ (t)
из │▒лови┐
X
(t) 1
j =1
qj (x(t)) < u2Q(x(t)) (t)
X
j =1
qj (x(t)); 1 (t) n;
где u2 { ▒л│╖айна┐ вели╖ина, ░авноме░но ░а▒п░еделенна┐ на (0; 1) и не зави▒┐╣а┐ о▓ u1. Дл┐ ┤ик▒и░ованн╗╡ j = (t); 1 i m, ┤о░ми░│ем ╜лемен▓╗ ji(k)(t)
по опи▒анн╗м в п. 2 п░авилам. В ▒л│╖ае ji = 1; ji = 0 на╡одим номе░ k = kji
воз░а▒▓ного диапазона ╖а▒▓и╢╗ вида Ai, │╖а▒▓в│╛╣ей в j { м взаимодей▒▓вии.
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1998. В╗п. 1.
69
Дл┐ ╜▓ого ┤ик▒и░│ем набо░ Fji = fk : eji k dji g; eji; dji { задан╗. Далее
в╗би░аем номе░ k из │▒лови┐
k 1
X
v=eji
xi(v)(t) < u3xi(t; aji; bji) k
X
v=eji
x(iv)(t); eji k dji;
где u3 { ▒л│╖айна┐ вели╖ина, ░авноме░но ░а▒п░еделенна┐ на (0; 1) и не зави▒┐╣а┐ о▓ u1; u2. Дл┐ пол│╖енного k │▒▓анавливаем ╜лемен▓ (jik)(t), ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ий ░а▒▒ма▓░иваемой ╖а▒▓и╢е. Номе░ ╜▓ого ╜лемен▓а g = gji на╡одим из
▒оо▓но╕ений
X
n(ivk)(t) < u4x(ik)(t) n(ivk)(t);
v=1
v=1
g 1
X
g
1 g jk ;
где u4 { ▒л│╖айна┐ вели╖ина, ░авноме░но ░а▒п░еделенна┐ на (0; 1) и не зави▒┐╣а┐ о▓ u1; u2; u3. Далее ┤о░ми░│ем ╜лемен▓╗ ji(0)(t); 1 i m, по опи▒анн╗м
в п. 2 ┤о░м│лам. По▒ле ╜▓ого ▒▓░оим ▓о╖е╖н╗е ░а▒п░еделени┐ !i(k)(t + (t)),
и▒пол╝з│┐ ┤о░м│л╗ (14), 0 k li; 1 i m.
(k )
(k )
(0)
4). Е▒ли t + (t) t + (t), ▓о ┤о░ми░│ем ╜лемен▓╗ (0)
i (t); i (t); i (t); i (t),
1 k li; 1 i m, по опи▒анн╗м в п. 2 ┤о░м│лам. За▓ем ▒▓░оим ▓о╖е╖н╗е
(
k
)
░а▒п░еделени┐ !i (t + (t)), и▒пол╝з│┐ ┤о░м│л╗ (16), 0 k li; 1 i m.
5). Полагаем t = t + '(t) и возв░а╣аем▒┐ к ╕аг│ 1).
П░иведенна┐ ▒╡ема в╗╖и▒лений позвол┐е▓ по▒▓░ои▓╝ одн│ ░еализа╢и╛ модели░│емого п░о╢е▒▒а в заданн╗е момен▓╗ в░емени Z . Многок░а▓ное п░именение ╜▓ой ▒╡ем╗ дае▓ возможно▒▓╝ о╢ени▓╝ ве░о┐▓но▒▓н╗е ╡а░ак▓е░и▒▓ики
коли╖е▒▓ва ╖а▒▓и╢ ░азли╖н╗╡ видов ▒ помо╣╝╛ изве▒▓н╗╡ ▒▓а▓и▒▓и╖е▒ки╡ ме▓одов.
В закл╛╖ение ▒делаем не▒кол╝ко заме╖аний о▓но▒и▓ел╝но ░еализа╢ии на
ЭВМ п░иведенного в╗╕е алго░и▓ма.
A). Дл┐ подде░жани┐ ▓о╖е╖н╗╡ ░а▒п░еделений (3) можно п░имен┐▓╝ дв│нап░авленн╗е ▒пи▒ки, п░и ╜▓ом необ╡одимо о▒│╣е▒▓вл┐▓╝ кон▓░ол╝ за и▒пол╝зованием динами╖е▒ки ░а▒п░едел┐емой пам┐▓и. В каждом из ▒пи▒ков ░екоменд│е▓▒┐ в╗дели▓╝ ╜лемен▓, ░азбива╛╣ий ▒пи▒ок на две ╖а▒▓и, о▓ве╖а╛╣ие п░име░но ░авном│ коли╖е▒▓в│ ╖а▒▓и╢. Э▓о(kп░иводи▓
к ▒ок░а╣ени╛ в░емени пои▒ка опи▒анного на ╕аге 3) ╜лемен▓а ji )(t).
B). П░и зна╖и▓ел╝ном коли╖е▒▓ве ╖а▒▓и╢ може▓ оказа▓╝▒┐, ╖▓о в░ем┐ '(t) на▒▓ол╝ко мало, ╖▓о вели╖ин╗ t и t + '(t) б│д│▓ не░азли╖им╗ п░и в╗полнении
опе░а╢ии ▒ложени┐ на ЭВМ. Э▓а ▒и▓│а╢и┐ ▓акже должна кон▓░оли░ова▓╝▒┐ в
╡оде в╗╖и▒лений.
C). Неко▓о░╗е ▒╡ем╗ взаимодей▒▓ви┐ ╖а▒▓и╢ (2) мог│▓ вкл╛╖а▓╝ в ▒еб┐ до▒▓а▓о╖но бол╝╕ое коли╖е▒▓во ▓ипов взаимодей▒▓ви┐ n. В ╜▓ом ▒л│╖аеPдл┐ пои▒ка
(t) q (x(t))
номе░а (t) ▓░еб│е▓▒┐ ▒пе╢иал╝на┐ о░ганиза╢и┐ в╗╖и▒лени┐ ▒│мм j=1
j
и п░ове░ка │казанн╗╡ на ╕аге 3) не░авен▒▓в о▓но▒и▓ел╝но u2Q(x(t)).
70
4.
Н.В.Пе░╢ев. Ве░о┐▓но▒▓на┐ модел╝ динамики...
Закл╛╖ение
Опи▒анна┐ в╗╕е модел╝ и▒пол╝зовала▒╝ дл┐ п░оведени┐ ░а▒╖е▓ов по о╢енке
ве░о┐▓но▒▓н╗╡ ╡а░ак▓е░и▒▓ик неко▓о░╗╡ п░о╢е▒▒ов и ▒и▒▓ем. В ╖а▒▓но▒▓и,
░а▒▒ма▓░ивали▒╝ ве░о┐▓но▒▓н╗е модели п░о╢е▒▒ов имм│нного о▓ве▓а п░и заболевани┐╡. В одной из моделей и▒▒ледовал▒┐ ░о▒▓ поп│л┐╢ии лим┤о╢и▓ов в
│▒лови┐╡ ан▓игенной ▒▓им│л┐╢ии. Модел╝ вкл╛╖ала ╖а▒▓и╢╗ m = 46 видов,
ко▓о░╗е │╖а▒▓вовали в n = 50 ▓ипов взаимодей▒▓ви┐. Об╣ее коли╖е▒▓во ╖а▒▓и╢ ▒о▒▓авл┐ло по░┐дка 104 105 ╖а▒▓и╢. Аналоги╖на┐ модел╝ б╗ла и▒пол╝зована дл┐ опи▒ани┐ п░о╢е▒▒ов п░оли┤е░а╢ии и ди┤┤е░ен╢и░овки ▒▓волов╗╡
к░ове▓во░н╗╡ кле▓ок в ▒елезенке обл│╖енн╗╡ м╗╕ей. К░оме ▓ого, одна из моди┤ика╢ий модели п░имен┐ла▒╝ дл┐ п░огнози░овани┐ по▓░ебно▒▓ей ░егионов
в педагоги╖е▒ки╡ кад░а╡. Рез│л╝▓а▓╗ и▒▒ледований ▒ помо╣╝╛ │казанн╗╡ моделей п░ед▒▓авлен╗ в ░або▓а╡ [12] { [17].
Ли▓е░а▓│░а
1. Ба░▓ле▓ М.С. Введение в ▓ео░и╛ ▒л│╖айн╗╡ п░о╢е▒▒ов. { М.: Ино▒▓░анна┐ ли▓е░а▓│░а, 1958.
2. Ба░│╖а { Рид А.Т. Элемен▓╗ ▓ео░ии ма░ков▒ки╡ п░о╢е▒▒ов и и╡ п░иложени┐. {
М.: На│ка, 1969.
3. До░огов В.И., Чи▒▓┐ков В.П. Ве░о┐▓но▒▓н╗е модели п░ев░а╣ени┐ ╖а▒▓и╢. {
М.: На│ка, 1988.
4. Николи▒ Г., П░игожин И. Самоо░ганиза╢и┐ в не░авнове▒н╗╡ ▒и▒▓ема╡. {
М.: Ми░, 1979.
5. Сви░ежев Ю.М. Нелинейн╗е волн╗, ди▒▒ипа▓ивн╗е ▒▓░│к▓│░╗ и ка▓а▒▓░о┤╗
в ╜кологии. { М.: На│ка, 1987.
6. Сева▒▓╝┐нов Б.А. Ве▓в┐╣ие▒┐ п░о╢е▒▒╗. { М.: На│ка, 1971.
7. Сева▒▓╝┐нов Б.А., Калинкин А.В. Ве▓в┐╣ие▒┐ ▒л│╖айн╗е п░о╢е▒▒╗ ▒ взаимодей▒▓вием ╖а▒▓и╢ // Докл. АН СССР. 1982. Т.264. N 2. C.306-308.
8. Ха░░и▒ Е. Тео░и┐ ве▓в┐╣и╡▒┐ ▒л│╖айн╗╡ п░о╢е▒▒ов. { М.: Ми░, 1966.
9. Jagers P. Branching processes with biological applications. { London, Wiley and Sons,
1975.
10. Nisbet R., Gurney W. Modelling Fluctuating Populations. { New York, Wiley and
Sons, 1982.
11. Е░маков С.М., Ми╡айлов Г.А. К│░▒ ▒▓а▓и▒▓и╖е▒кого модели░овани┐. { М.: На│ка, 1976.
12. Пе░╢ев Н.В. Ве░о┐▓но▒▓на┐ модел╝ ин┤ек╢ионного заболевани┐. { П░еп░ин▓ N
107. { Ново▒иби░▒к: ВЦ СО АН СССР, 1984.
Ма▓ема▓и╖е▒кие ▒▓░│к▓│░╗ и модели░ование. 1998. В╗п. 1.
71
13. Пе░╢ев Н.В. С▓а▓и▒▓и╖е▒кое модели░ование п░о╢е▒▒ов имм│нного о▓ве▓а //
Ма▓е░иал╗ 7 В▒е▒о╛зного ▒ове╣ани┐ └Ме▓од╗ Мон▓е { Ка░ло в в╗╖и▒ли▓ел╝ной
ма▓ема▓ике и ма▓ема▓и╖е▒кой ┤изике┴. { Ново▒иби░▒к: ВЦ СО АН СССР, 1985.
14. Ма░╖│к Г.И. Ма▓ема▓и╖е▒кие модели в имм│нологии. 2-е изд. { М.: На│ка, 1985.
15. Пе░╢ев Н.В. Неко▓о░╗е ░ез│л╝▓а▓╗ ма▓ема▓и╖е▒кого модели░овани┐ п░о╢е▒▒ов ░азмножени┐ и ди┤┤е░ен╢и░овки ▒▓волов╗╡ к░ове▓во░н╗╡ кле▓ок в ▒елезенке обл│╖енн╗╡ м╗╕ей // Ма▓ема▓и╖е▒кие модели в имм│нологии и меди╢ине.
{ М.: Ми░, 1986. С.199-211.
16. Пе░╢ев Н.В., Ж│ков С.И. Со╢иал╝но { ╜кономи╖е▒кие и▒▒ледовани┐ в на░одном
об░азовании Севе░о { Каза╡▒▓ан▒кой обла▒▓и: О▓╖е▓ по НИР. Пе▓░опавлов▒кий педагоги╖е▒кий ин▒▓и▓│▓, 1993.
17. Пе░╢ев Н.В. Ма▓ема▓и╖е▒кое модели░ование по▓░ебно▒▓ей ░егионов в педагоги╖е▒ки╡ кад░а╡ // Ве▒▓ник Ом▒кого │ниве░▒и▓е▓а. 1997. N 3. С.21-23.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
294 Кб
Теги
динамика, ограниченными, временем, вероятностный, взаимодействующих, части, модель, жизнь
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа