close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Весовая l1-интегрируемость функций и равенства Парсеваля по мультипликативным системам.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 8, c. 15–26
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0072
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
ВЕСОВАЯ L1 -ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ И РАВЕНСТВА
ПАРСЕВАЛЯ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ
Аннотация. В данной статье доказываются необходимые и достаточные условия весовой L1 интегрируемости функции на [0, 1) в терминах ее коэффициентов Фурье по мультипликативной системе ограниченного типа. Эти результаты являются аналогами тригонометрических
результатов М. Изуми, Ш. Изуми и М.М. Робертсона.
Ключевые слова: мультипликативные системы ограниченного типа, весовая L1 -интегрируемость, обобщенная монотонность.
УДК: 517.518
Введение
Пусть {pn }∞
n=1 — такая последовательность натуральных чисел, что 2 pn N, n ∈ N.
Положим по определению m0 = 1, mn = p1 . . . pn при n ∈ N. Тогда каждое x ∈ [0, 1) имеет
разложение
∞
xn /mn , xn ∈ Z(pn ) := Z ∩ [0, pn ).
(1)
x=
n=1
Разложение (1) будет единственным, если для x = k/mj , k, j ∈ N, 0 < k < mj , брать
разложение с конечным числом ненулевых xn . Если x, y ∈ [0, 1) записаны в виде (1), то по
∞
zn /mn , где zn = xn − yn (mod pn ), zn ∈ Z(pn ). Аналогично
определению x y = z =
n=1
определяется x ⊕ y.
Каждое k ∈ Z+ единственным образом представимо в виде
k=
∞
kj mj−1 ,
kj ∈ Z(pj ).
(2)
j=1
Для x ∈ [0, 1) и k ∈ Z+ , записанных в виде (1) и (2) соответственно, полагаем по определе
∞
xj kj /pj . Известно, что система {χk (x)}∞
нию χk (x) = exp 2πi
k=0 ортонормирована на
j=1
[0, 1) и полна в L[0, 1), причем χn (x ⊕ y) = χn (x)χn (y), χn (x y) = χn (x)χn (y) для почти
всех y ∈ [0, 1) при фиксированном x ∈ [0, 1) и n ∈ Z+ . Если k, l ∈ Z+ , записанные в виде
∞
ri mi−1 , где ri = ki + li (mod pi ), ki ∈ Z(pi ). Аналогично определяется
(2), то k ⊕ l := r =
k l.
i=1
Поступила 07.07.2011
15
16
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
Для любого [0, 1) имеем равенства
χk (x)χl (x) = χk⊕l (x),
χk (x)χl (x) = χkl (x).
Следует отметить, что при l ∈ Z ∩ [0, mk ) и j ∈ Z(pk+1 ) числа jmk + l и jmk ⊕ l совпадают.
1
1/p
p
p
|f (t)| dt
. Для f ∈ L1 [0, 1)
Как обычно, L [0, 1), 1 ≤ p < ∞, снабжены нормой f p =
0
по определению
f(n) =
1
f (t)χn (t) dt, n ∈ Z+ ,
и Sn (f )(x) =
0
n−1
f(k)χk (x), n ∈ N.
k=0
Легко видеть, что Sn (f )(x) =
1
f (x t)Dn (t) dt, где Dn (x) =
n−1
χk (x), n ∈ N.
k=0
0
[k/mn , (k+1)/mn ),
Пусть Ikn =
k ∈ [0, mn )∩Z, и osc(f, [a, b)) = sup |f (x) − f (y)| : x, y∈[a, b).
функция
χj постоянна на всех Ikn , а при j ≥ mn верно равенство
Известно,
что
при
j
<
m
n
χj (t) dt = 0 для всех Ikn . Эти и изложенные выше факты можно найти в ([1], § 1.5). Для
Ikn
x ∈ [0, 1) через I n (x) обозначим Ikn x. Если Fl1 (f ) := sup
m
k −1
k0 i=0
osc(f, Iik ) < ∞, то f
называется функцией ограниченной флуктуации. Это понятие и его обобщения введены
К. Оневиром и Д. Ватерманом [2].
∞
∈
RBV
S,
если
|ak − ak+1 | ≤ C|an | при всех n ∈ N, и {an }∞
Будем писать {an }∞
n=1
n=1 ∈
GM , если
2n−1
k=n
|ak − ak+1 | ≤ C|an | при всех n ∈ N. Первое из этих условий введено Л. Лейнд-
k=n
лером [3], второе — С.Ю. Тихоновым [4].
В данной работе изучается проблема весовой L1 -интегрируемости для функций, представимых рядами по системе {χk (x)}∞
k=0 . В тригонометрическом случае в первую очередь
исследовалась интегрируемость f (x)x−γ .
Теорема A ([5]). Пусть γ ∈ (0, 1), f (x)x−γ ∈ L(0, π) и an = an (f ) — косинус-коэффициенты
∞
an nγ−1 сходится.
Фурье f (x). Тогда ряд
n=1
Для обращения теоремы A требуются условия типа монотонности на an или условия неотрицательности на функцию f в окрестности нуля. В качестве примера приведем теорему
4.2 из [6].
∞
an cos nx сходится к f (x) при x ∈ (0, π)
Теорема B. Пусть 0 < γ < 1, an ↓ 0. Тогда ряд
n=1
и
f (x)x−γ
∈ L(0, π) в том и только том случае, когда ряд
∞
an nγ−1 сходится.
n=1
Близкие результаты, полученные до 1967 года, можно найти в [6], для {an } ∈ RBV S —
в [3]. М. Робертсон [7] изучал связь интегрируемости функции f (x)η(x), где f (x) имеет ряд
1/n
∞
∞
an cos nx, η(x) 0, η(x) ∈ L(0, 1), и сходимости ряда
an
η(x) dx. При этом
Фурье
n=1
n=1
0
из сходимости ряда следовала несобственная интегрируемость f η.
М. Изуми и Ш. Изуми [8], обобщая результаты М. Робертсона, получили следующие теоремы.
ВЕСОВАЯ L1 -ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
17
Теорема C. Пусть g(x) 0 на (0, π), g ∈ L(0, π), f ∈ L(0, π) имеет ряд Фурье
∞
an cos nx.
n=1
Если g(x) убывает и ряд
ственный интеграл
π
∞
n=1
an
1/n
g(x) dx сходится абсолютно, то существует несоб-
0
g(x)f (x) dx и
→0
∞
π
an bn = (2π −1 ) g(x)f (x) dx, где bn — косинус-ко-
n=1
0
эффициенты Фурье g, и ряд слева сходится абсолютно.
Теорема D. Пусть функции f (x), g(x) ∈ L(0, π) и имеют ряды Фурье
∞
∞
an cos nx,
n=1
bn cos nx соответственно. Если bn ↓ 0 и f (x)B(1/x) ∈ L(0, π), где B(u) =
n=1
то f g ∈ L(0, π), ряд
∞
∞
π
an bn сходится и (2π −1 ) g(x)f (x) dx =
an bn .
n=1
0
bn ,
1nu
n=1
Все теоремы A–D имеют аналоги для синус-рядов при более слабых условиях на f или g.
1
Для рядов по системе {χk (x)}∞
k=0 результаты об L -интегрируемости с весом можно найти в ([9], теоремы 5–7). В частности, теоремы 6 и 7 из [9] дают аналог теоремы B для класса
QM квазимонотонных коэффициентов и коэффициентов класса RBV S. Основной целью
данной работы является получение аналогов теорем C и D для мультипликативных систем
(теоремы 1 и 3). Из них выводятся следствия, соответствующие результатам М. Робертсона
и весу x−γ . Показывается, что в заключении следствия 2 нельзя заменить существование
несобственного интеграла на f (x)x−γ ∈ L[0, 1) (теорема 2). Наконец, устанавливается аналог теорем 6, 7 из [9] (теорема 5) для коэффициентов класса GM , который включает в себя
QM и RBV S ([4]).
Далее C, Ci обозначают положительные постоянные, не одинаковые в разных случаях.
Через z, z обозначены действительная и мнимая части z ∈ C соответственно.
Вспомогательные утверждения
Лемма 1 ([1], гл. 1, § 1.5; [10], гл. 4, § 4). 1) Dmn (x) = mn X[0,1/mn ) (x), где n ∈ Z+ и XE —
индикатор множества E.
2) Пусть n ∈ N и X ∈ [0, 1). Тогда |Dn (x)| N x−1 , где 2 pn N .
∞
bk χk (x) C|bn |x−1 , x ∈ (0, 1);
Лемма 2. Пусть bn ∈ RBV S и lim bn = 0. Тогда 1) n→∞
2) |bn | C|bm | при n m.
k=n
Первое неравенство леммы 2 установлено в ([9], формула (8)), а второе — в [3] в случае
bn ≥ 0.
Лемма 3. Пусть Fl1 (f ) < ∞. Тогда Sn (f )(x) равномерно ограничены.
Доказательство.
Из леммы 1 и равенства для Smn (f ) из введения легко следует формула
f (t)dt. Из условия леммы следует |f (x)| M на [0, 1), откуда на [0, 1)
Smn (f )(x) =
I n (x)
верно неравенство |Smn (f )(x)| M . С другой стороны, при k ∈ [mn , mn+1 ) имеем
mn+1 −1
|Sk (f )(x) − Smn (f )(x)| k=mn
|f(k)|.
18
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
При доказательстве теоремы 4.2 в ([10], гл. 4, § 2) получено неравенство (k mn )
1/mn m
1/mn
n −1 (j+1)/mn
1dx |f (x ⊕ t) − f (x)| dx dt,
|f (k)|
0
0
откуда
|f(k)| mn m−1
n
n −1
1/mn m
0
и
mn+1 −1
|f(k)| k=mn
j/mn
j=0
osc(f, Ijn )dt m−1
n Fl1 (f )
j=0
mn+1 −1
m−1
n Fl1 (f ) (N − 1)Fl1 (f ).
(3)
k=mn
Таким образом, для любого k ∈ N имеем |Sk (f )(x)| M + (N − 1)Fl1 (f ).
Лемма 4. Пусть g ∈ L1 [0, 1) и Fl1 (f ) < ∞. Тогда для f и g справедливо равенство Парсеваля
1
∞
f (x)g(x) dx =
g (i).
f(i)
0
i=0
Доказательство. Имеем по определению
1
1
n
f (t)g(t) dt −
g (i) =
(f (t) − Sn (f )(t))g(t) dt.
f (i)
0
(4)
0
i=0
Поскольку по условию f ограничена, по аналогу теоремы Карлесона [11] Sn (f )(t) → f (t)
почти всюду на [0, 1) и по лемме 3 имеем |f (t)−Sn (f )(t)| |g(t)| C|g(t)|. По теореме Лебега о
мажорируемой сходимости правая часть (4) стремится к нулю, откуда следует утверждение
леммы.
Лемма 5. Пусть функция f (t) ∈ L[0, 1) убывает и положительна на (0, 1). Тогда
a
1/n
f (t)χn (t) dt 3N
f (t) dt
0
0
для всех n ∈ N, 0 < a 1. Здесь N — мажоранта последовательности {pn }∞
n=1 .
Доказательство. Пусть n ∈ [mk , mk+1 ) ∩ Z. Тогда n = lmk + n , где 0 n < mk и l ∈
[1, pk+1 )∩Z. Согласно определению χn = χlmk ⊕n = χlmk χn . Если a ∈ [j/mk +b/mk+1 , j/mk +
(b + 1)/mk+1 ), b ∈ Z(pk+1 ), j ∈ Z ∩ [0, mk ), то
a
1/n
b−1
f (t)χn (t) dt f (t) dt+
f (t) dt (b+1)
f (t) dt N
f (t) dt, (5)
j/mk
i=0
I0k+1
0
Fj,b
Fj,i
0
k+1
0 = [j/m +b/m
, i ∈ Z(pk+1 ), Fj,b
где Fj,i = Ijp
k
k+1 , a). Поэтому разберем случай a = j/mk ,
k+1 +i
j ∈ [0, mk ) ∩ Z. В силу леммы 1
j/mk
0
j−1
f (t)χn (t) dt i=0
Iik
f (t)χlmk (t) dtχn (i/mk )
−1 j−1 pk+1
i=0
d=0
Jd
f (t) dtχlmk (i/mk
+ d/mk+1 ),
ВЕСОВАЯ L1 -ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
19
где Jd = [i/mk + d/mk+1 , i/mk + (d + 1)/mk+1 ). Так как χmk постоянна на всех Jd , пусть
pk+1 −1
положительна
χlmk (i/mk +d/mk+1 ) := cd , f (t) dt =: bd . Тогда по условию леммы {bd }d=0
и убывает, а сумма
Положим s =
pk+1
−1
Jd
cd равна нулю, поскольку l ∈ [1, pk+1 ) ∩ Z.
d=0
pk+1
−1
(cd )+ =
pk+1
−1
d=0
pk+1 −1
(cd )− , где a+ = max(a, 0), a− = a+ − a. Ясно, что
d=0
(cd )bd s
d=0
max
0d<pk+1
bd −
min
0d<pk+1
bd N (b0 − bpk+1 −1 ),
и аналогичная оценка верна для мнимых частей. Поэтому в силу убывания f
j/mk
0
j−1
f (t)χn (t) dt 2N
f (t) dt −
f (t)dt
Fi,0
i=0
Fi,pk+1 −1
f (t)dt ≥
Fi−1,pk+1 −1
2N
Здесь учтен тот факт, что
I0k+1
f (t) dt 2N
1/n
f (t) dt. (6)
0
f (t) dt. Объединяя оценки (5) и (6), полу-
Fi,0
чаем неравенство леммы.
Небольшое видоизменение доказательства теоремы 5 в [9] позволяет получить следующую лемму.
Лемма 6. 1) Пусть lim an = 0, 0 < γ < 1 и
n→∞
∞
nγ |an − an+1 | < ∞. Тогда ряд
n=1
∞
an χn (x)
n=1
сходится на (0, 1) к f (x) и x−γ f (x) ∈ L[0, 1).
∞
∞
ln(n + 1)|an − an+1 | < ∞. Тогда ряд
an χn (x) сходится на
2) Пусть lim an = 0 и
n→∞
n=1
n=1
(0, 1) к f (x) и f (x) ∈ L[0, 1).
∞
Лемма 7. Пусть γ > 0, {an }∞
n=1 ∈ GM и сходится ряд
∞
|ak |kγ−1 . Тогда сходится ряд
k=1
kγ |ak
− ak+1 | и
k=1
∞
k=n
∞
γ
γ−1
k |ak − ak+1 | C n |an | +
k
|ak | .
γ
k=n+1
(7)
20
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
Доказательство. Известно [4], что при n ν 2n верно неравенство |aν | C1 |an |. Пользуясь этим свойством и определением GM , получаем при 2l n m < 2l+1 n, l ∈ Z+
m
2 l
n−1
s+1 γ
j |aj − aj+1 | (2 n)
|ak − ak+1 | s+1
γ
k=2s n
s=0
j=n
C2
l
n |a2s n | C3 n |an | +
(s+1)γ γ
2
γ
s=0
l
s
n |a2s n |
2
s=1
C4 n |an | +
γ
l
2 n
k=2s−1 n+1
s
k
2 n
(s−1)γ γ
γ−1
1
k
m
γ
γ−1
|ak | C4 n |an | +
k
|ak | .
s=1 k=2s−1 n+1
k=n+1
При m → ∞ получаем неравенство (7).
Основные результаты
Теорема 1. Пусть f (x) ∈ L[0, 1), а g(x) ∈ L[0, 1) убывает и положительна на (0, 1),
1/n
∞
g(x)dx сходится абсолютно, то существует
f(n)
причем f(0) = 0. Если ряд
1
n=1
0
f (x)g(x)dx и справедливо равенство Парсеваля
→0
1
f (x)g(x) dx =
→0
∞
f(n)
g (n).
n=1
Доказательство. Для любых 0 < a < b 1 функция g(x)X(a,b) (x) имеет ограниченную
вариацию и тем более 1-флуктуацию. По лемме 4
b
1
f (x)g(x) dx =
a
f (x)g(x)X(a,b) (x) dx =
0
=
k
n=1
f(n)
∞
b
g(x)χn (x) dx =
f (n)
a
n=1
b
g(x)χn (x) dx +
a
∞
b −
f(n)
0
n=k+1
a
g(x)χn (x) dx,
0
b
1/n
g(x) dx, поэтому
но по лемме 5 имеем g(x)χn (x) dx 3N
0
0
b
b
k
∞
f (x)g(x) dx |f (n)|
g(x) dx + 6N
|f (n)|
a
n=1
a
n=k+1
1/n
g(x) dx = I1 + I2 .
0
В силу условия теоремы имеем I2 < ε/2 при достаточно больших k. Фиксируя такое k, при
1
f (x)g(x)dx.
a и b, близких к нулю, получаем I1 < ε/2, откуда вытекает существование
→0
Для доказательства равенства Парсеваля снова по лемме 4 отметим, что
1
1
∞
f (x)g(x) dx =
g(x)χn (x) dx.
f (n)
a
n=1
a
ВЕСОВАЯ L1 -ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
Аналогично рассуждениям выше
1
k
(n)
f
f
(x)g(x)
dx
−
a
n=1
1
a
21
∞
g(x)χn (x) dx 6N
|f(n)|
n=k+1
1/n
g(x) dx < ε/3
0
при достаточно больших k и всех 0 < a < 1. Фиксируя такое k, подберем a, для которого
a
a
k
(n)|
< ε/3 и
f
(x)g(x)dx
|
f
g(x) dx < ε/3.
→0
0
n=1
Тогда
1
→0
f (x)g(x)dx −
k
n=1
g (n) f (n)
1
f (x)g(x) dx −
a
+ k
f(n)
n=1
1
a
g(x)χn (x) dx+
k
f (x)g(x)dx +
|f (n)|
a
→0
n=1
a
g(x) dx < ε
0
при достаточно больших k.
Следствие 1. Пусть η(x) ∈ L[0, 1) положительна и убывает на [0, 1). Если ряд
1/n
∞
η(x)dx сходится абсолютно и
f(n)
n=1
0
t
−1
t
η(x) dx Cη(t),
t ∈ (0, 1),
(8)
0
то существует интеграл
1
f (x)η(x)dx.
→0
Следствие 1 является аналогом теоремы М. Робертсона [7].
Следствие 2. Пусть 0 < γ < 1, f ∈ L[0, 1) и ряд
существует интеграл
1
∞
f(n)nγ−1 сходится абсолютно. Тогда
n=1
f (x)x−γ dx.
→0
Доказательство. Достаточно взять g(x) = x−γ в теореме 1.
Покажем, что в следствии 2 существование несобственного интеграла нельзя заменить
на f (x)x−γ ∈ L[0, 1).
Теорема 2. Пусть 0 < γ < 1. Тогда существует такая f (x) ∈ L[0, 1), что ряд
∞
|f(n)|nγ−1
n=1
сходится, но f (x)x−γ ∈
/ L[0, 1).
Доказательство. Рассмотрим ψk (x) = k−1 m1−γ
k X[1/mk+1 ,1/mk ) (x)χm2k (x) и f (x) =
Тогда
f 1 ∞
k=1
ψk 1 ∞
k=1
−1 −1
m1−γ
<∞
k mk k
∞
k=1
ψk (x).
22
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
и
1
−γ
|f (x)|x
dx 0
∞ k=1
1/mk
1/mk+1
−1 γ
m1−γ
k k mk
−1
dx 2
∞
1/k = ∞.
k=1
Для нахождения ψk (n) изучим
1/mk
χm2k (x)χn (x) dx =
αnk =
1/mk+1
1/mk
1/mk+1
χm2k n (x) dx.
Ясно, что при nm2k+1 имеем m2k nm2k+1 и согласно введению
χm2k n (x) dx = 0,
Iik+1
i∈[0, mk+1 )∩Z, откуда
αnk =0. При n<m2k выражение m2k n принадлежит [m2k , m2k+1 )∩Z и
согласно введению
χm2k n (x) dx = 0 для всех i ∈ [0, mk+1 ) ∩ Z и снова αnk = 0. Наконец,
Iik+1
при n ∈ [m2k , m2k+1 ) рассмотрим два случая.
1) Пусть n ∈ [m2k , m2k + mk ). Тогда m2k n ∈ [0, mk ) и в этом случае используем
1/m
k
1 dx < 1/mk .
тривиальную оценку |αnk | 1/mk+1
2) Пусть m2k n ∈ [mi , mi+1 ), 2k i k. Тогда
1/m
k
χm2k n (x) dx можно рассматривать
1/mk+1
как g(m2k n), где g = X[1/mk+1 ,1/mk ) , и в силу оценки (3)
m2k+1 −1
mi+1 −1
|
g (j)| (N − 1)Fl1 (g) 2(N − 1) и
n=m2k +mk
j=mi
m2k+1 −1
|αnk | |
g (j)| C1 k.
j=mk
Используя вышеизложенные факты, находим
∞
|ψk (n)|nγ−1 m2k+1 −1
γ−1
k−1 m1−γ
k |αnk |m2k n=m2k
n=1
γ−1
−1
γ−1
C2 2k(γ−1) .
k−1 m1−γ
k m2k (mk mk + C1 k) C2 (m2k /mk )
Таким образом,
∞
|f(n)|nγ−1 n=1
∞
∞ ∞
∞ ∞
(
|ψk (n)|)nγ−1 =
|ψk (n)|nγ−1 C2 2k(γ−1) < ∞.
n=1 k=1
k=1 n=1
k=1
Замечание. В тригонометрическом случае более общий результат содержится в [12].
(0) = 0. Если
Теорема 3. Пусть f, g ∈ L[0, 1), причем {
g (n)}∞
n=1 ∈ RBV S и f (0) = g
∞
|
g(n)|, то ряд
g (n) сходится и его сумма
f(n)
f (x)G(1/x) ∈ L[0, 1), где G(u) =
равна
1
1nu
n=1
f (x)g(x) dx.
0
Доказательство. Используя оба утверждения леммы 2, получаем
∞
|
g(n)| + g(n)χn (x) G([1/x]) + C1 |
g ([1/x])|x−1 ≤ C2 G(1/x).
|g(x)| ≤
1≤n≤[1/x]
n≥[1/x]
ВЕСОВАЯ L1 -ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
23
Отсюда следует f g ∈ L1 [0, 1). По определению
1
f (x)g(x) dx−
0
n
g (i) =
f(i)
1
n
f (x) g(x)−
g(i)χi (x) dx =
0
i=1
1/n
0
i=1
1
+
=: I(n)+J(n).
1/n
Имеем
1/n
|I(n)| |f (x)|
0
n
1/n
|
g (i)|dx +
0
i=1
1/n
|f (x)g(x)| dx (1 + C2 )
|f (x)|G(1/x) dx,
0
поскольку n ≤ 1/x, и в силу условия находим, что lim I(n) = 0. Далее
1
J(n) =
f (x)
n→∞
∞
g(i)χi (x) dx. Так как lim g(n) = 0, то найдем последовательность
n→∞
i=n+1
1/n
g(n) = 0. Тoгда согласно пп. 1) и 2)
λn ∈ (1, n) со свойствами lim λn = +∞ и lim λn n→∞
n→∞
леммы 2
1/λn
f (x)
1/n
∞
i=n+1
g(i)χi (x) dx C1
1/λn
|f (x)|x−1 |
g (n)| dx 1/n
C3
1/λn
−1
|f (x)|x
|
g([1/x])| dx C4
1/n
1/λn
|f (x)|G(1/x) dx = o(1) (9)
1/n
при n → ∞. Далее
1
f (x)
1/λn
∞
i=n+1
g(i)χi (x) dx C1
1
|f (x)|x−1 |
g(n)| dx C1 λn |
g (n)|
1/λn
1
|f (x)| dx = o(1). (10)
0
Из (9) и (10) следует lim J(n) = 0, откуда получаем lim (I(n)+J(n)) = 0, что равносильно
n→∞
n→∞
равенству Парсеваля.
Замечание. Было бы интересно установить аналог теоремы 3 для квазимонотонной
g (n)}∞
{|
g (n)|}∞
n=1 или {
n=1 ∈ GM .
Аналогом теоремы М. Робертсона [7] является
Теорема 4. Пусть η(x) ∈ L1 [0, 1) положительна, убывает на (0, 1) и обладает свойствами (8) и
1
x−1 η(x) dx Cη(t), 0 < t < 1.
(11)
t
Если f, f η ∈ L1 [0, 1), то ряд
1/n
∞
η(x) dx сходится.
f(n)
n=1
0
24
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
Доказательство. Пусть bn =
1/n
η(x) dx. Тогда bn ↓ 0 и в силу (8) и (11) имеем
0
m
m
ln(n + 1)(bn − bn+1 ) =
n=1
+
m
bn ln(n + 1) −
n=1
1/n
η(x) dx C1 +
ln(1 + 1/n)
0
n=2
m+1
n=2
1/n
m
n
n=2
1
bn ln n ln 2
η(x) dx+
0
η(x) dx · n−2 C1 +
0
m
n−2 η(1/n).
n=2
Так как η(x) убывает, сумма в правой части (12) имеет предел в силу условия η ∈ L1 [0, 1).
∞
∞
ln(n + 1)|bn − bn+1 | < ∞ и по лемме 6 ряд
bn χn (x) сходится к g ∈ L1 [0, 1)
Поэтому
n=1
n=1
на [0, 1). С помощью оценки Dn 1 C2 ln(n + 1) ([10], гл. 4, § 3) из сходимости ряда
∞
∞
ln(n + 1)|bn − bn+1 | следует, что частичные суммы ряда
bn χn (x) фундаментальны
n=1
n=1
∞
в L1 [0, 1), откуда получаем,
что bn являются коэффициентами Фурье g по системе {χn }n=0 .
g(n). Следуя [8], находим в силу (8) и (11), что при m ∈ N
Пусть снова G(u) =
1nu
G(m) =
m l=1
=
m i
i=1 l=1
1
1/l
η(x) dx =
∞ m 0
+
l=1 i=l
∞ m l=1 i=m+1
x−1 η(x) dx + m
1/(m+1)
1/i
1/i
η(x) dx =
1/(i+1)
m η(x) dx =
i
1/(i+1)
1/m
η(x) dx 0
i=1
1
1/i
η(x) dx +
1/(i+1)
x−1 η(x) dx + 3m
1/m
m 1/(m+1)
η(x) dx 0
l=1
1/m
η(x) dx C3 η(1/m),
0
откуда при x ∈ [1/(n + 1), 1/n) ввиду монотонности η имеем, как выше,
G(1/x) G(n + 1) 1
−1
x
1/(n+2)
1/n
+ (n + 1 + n + 2)
0
η(x) dx 1/n
η(x) dx + (n + 1)
0
1
−1
x
η(x) dx x−1 η(x) dx+
1/n
1/n
η(x) dx + 5n
1/n
1
η(x) dx C4 η(1/n) C4 η(x).
0
Таким образом, из f η ∈ L[0, 1) следует f (x)G(1/x) ∈ L[0, 1) и осталось применить теорему 3.
При η(x) = x−γ , 0 < γ < 1, из теоремы 3 выводим
Следствие 3. Пусть 0 < γ < 1, f (x), f (x)x−γ ∈ L[0, 1). Тогда сходится ряд
∞
nγ−1 f(n).
n=1
Утверждения теорем 6 и 7 из [9] обобщает
Теорема 5. 1) Пусть {ak }∞
k=1 ∈ GM , 0 < γ < 1, и сходится ряд
∞
k=1
ak χk (x) сходится к f (x) на (0, 1) и
x−γ f (x)
∈ L[0, 1).
∞
k=1
kγ−1 |ak |. Тогда ряд
ВЕСОВАЯ L1 -ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
25
2) Пусть ak 0 при k ∈ N, {ak } ∈ GM , lim ak = 0, 0 < γ < 1 и ряд
n→∞
сходится к f (x) на (0, 1). Если x−γ f (x) ∈ L[0, 1), то сходится ряд
∞
∞
ak χk (x)
k=1
kγ−1 ak .
k=1
Доказательство. 1) При 0 < γ < 1, {ak } ∈ GM по лемме 7 сходится ряд
∞
kγ−1 |ak − ak+1 |,
k=1
∞
откуда по лемме 6 ряд
ak χk (x) сходится к f (x) на (0, 1), поэтому x−γ f (x) ∈ L[0, 1).
k=1
2) При выполнении условий данного пункта аналогично теореме 1 из [9] показывается,
∞
ak χk (x) сходится на (0, 1) к f (x). Пусть x−γ f (x) ∈ L[0, 1). Тогда f (x) ∈ L[0, 1)
что ряд
k=1
и ak = f(k), k ∈ N. Пусть q = [1/x] при x = 0. Тогда при n > q имеем в силу леммы 1 и
преобразования Абеля
n−1
q
n γ−1
γ−1
γ−1
γ−1
k
χk (x) k
+
((k − 1)
−k
)Dk (x) + nγ−1 |Dn+1 (x)|+
k=1
k=1
k=q+1
+ (q + 1)γ−1 |Dq+1 (x)| C1 x−γ + q γ−1 N x−1 + 2q γ−1 N x−1 C2 x−γ .
Аналогичная оценка верна и при n q. В итоге
1
n
n
kγ−1 ak =
f (x)
kγ−1 χn (x) dx C2
k=1
откуда
∞
0
k=1
kγ−1 ak < ∞.
1
x−γ |f (x)| dx,
0
k=1
Литература
[1] Голубов Б.И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша (Наука, М., 1987).
[2] Onneweer C.W., Waterman D. Uniform convergence of Fourier series on groups, Michigan J. Math. 18 (3),
265–273 (1971).
[3] Leindler L. A new class of numerical sequences and its application to sine and cosine series, Anal. Math. 28
(4), 279–286 (2002).
[4] Tikhonov S. Trigonometric series with general monotone coefficients, J. Math. Anal. Appl. 326 (1), 721–735
(2007).
[5] Heywood P. Integrability theorems for trigonometric series, Quart. J. Math. 13 (2), 172–180 (1962).
[6] Boas R.P. Integrability theorems for trigonometric transforms (Springer, N.Y., 1967).
[7] Robertson M.M. Integrability theorems for trigonometric series and transforms, Math. Zeitschrift 91 (1),
20–29 (1966).
[8] Izumi M., Izumi S. Integrability theorems for Fourier series and Parseval equation, J. Math. Anal. Appl. 18
(2), 252–261 (1967).
[9] Волосивец С.С. О некоторых условиях в теории рядов по мультипликативным системам, Anal. Math.
33 (3), 227-246 (2007).
[10] Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций
и гармонический анализ на нуль-мерных группах (Элм, Баку, 1981).
[11] Gosselin J.A. Convergence a. e. of Vilenkin–Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc. 185, 345–370 (1973).
[12] Dyachenko M., Tikhonov S. Integrability and continuity of functions represented by trigonometric series:
coefficients criteria, Stud. Math. 193 (3), 285–306 (2009).
26
С.С. ВОЛОСИВЕЦ
С.С. Волосивец
доцент, кафедра теории функций и приближений,
Саратовский государственный университет,
ул. Астраханская, д. 83, г. Саратов, 410012, Россия,
e-mail: VolosivetsSS@mail.ru
S.S. Volosivets
1
The weighted L -integrability of functions and the Parseval equality with respect to
multiplicative systems
Abstract. In this paper we prove necessary and sufficient conditions for the weighted L1 -integrability
of functions defined on [0, 1) in terms of Fourier coefficients with respect to a multiplicative system
of bounded type. These results are counterparts of trigonometric ones by M. and S. Izumi and
M.M. Robertson.
Keywords: multiplicative systems of bounded type, weighted L1 -integrability, generalized monotonicity.
S.S. Volosivets
Associate Professor, Chair of Function Theory and Approximation,
Saratov State University,
83 Astrakhanskya str., Saratov, 410012 Russia,
e-mail: VolosivetsSS@mail.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
219 Кб
Теги
мультипликативный, система, парсеваля, функции, весовая, интегрируемости, равенства
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа