close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Весовые Оценки коммутаторов Кальдерона на комплексной плоскости.

код для вставкиСкачать
УДК 517.518.14
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 3
ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ КОММУТАТОРОВ КАЛЬДЕРОНА
НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
А. С. Меркулов1 , Н. А. Широков2
1. Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена,
аспирант, merculov1983@mail.ru
2. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, shirokov@star.math.spbu.ru
1. Введение
Сингулярные операторы, известные как коммутаторы Кальдерона [1] — это операторы Tn следующего вида: если a(x) — вещественная функция с компактным носителем
на оси, удовлетворяющая условию Липшица, то для гладкой финитной функции f положим
n
Z
a(y) − a(x)
f (y)
Tn f (x) = lim
dy,
(1)
ε→+0
y−x
y−x
|y−x|>ε
∗
Tn f (x) = sup ε>0 Z
|y−x|>ε
a(y) − a(x)
y−x
n
f (y)
dy
y−x
.
(2)
Прямая оценка Tn f и Tn∗ f в норме Lp (R) рассматривалась также в работе [2]. Важность изучения операторов Tn f связана для таких случаев и с одним из возможных
подходов к оценке интеграла типа Коши
Z
f (ζ)
dζ
ζ −z
Γ
для кривых Γ, являющихся графиками функций, удовлетворяющих условию Липшица.
Аналогом преобразования Гильберта на прямой
Z
f (y)
Hf (x) = lim
dy
ε→+0
y−x
|y−x|>ε
для комплексной плоскости является сингулярный интегральный оператор
Z
f (ζ)
Sf (z) = lim
dsdτ, ζ = s + iτ.
ε→+0
(ζ − z)2
|ζ−z|>ε
Естественно в этой связи определить аналог коммутаторов Кальдерона для плоскости следующим образом: если комплекснозначная функция V удовлетворяет условиям
c
48
А. С. Меркулов, Н. А. Широков, 2010
|V (z) − V (ζ)| ≤w|z − ζ|, то для гладкой финитной функции f положим
n
Z
V (ζ) − V (z)
f (ζ)
Tn f (z) = lim
dσ(ζ),
ε→+0
ζ −z
(ζ − z)2
(3)
|ζ−z|>ε
Tn∗ f (z) = sup ε>0 Z
|ζ−z|>ε
V (ζ) − V (z)
ζ −z
n
f (ζ)
dσ(ζ)
(ζ − z)2
,
(4)
где σ(ζ) — плоская мера Лебега в C. Эти операторы были определены в работе [3], в
ней же была доказана ограниченность этих операторов в норме Lp (C), 1 < p < ∞.
Оказывается, что операторы Tn и Tn∗ , определенные в (3) и (4), ограничены и во
всех весовых пространствах Lp (ω) с весом ω, удовлетворяющим на плоскости условию
Макенхаупта Ap . Изложению этих результатов и посвящена данная работа.
2. Определения и формулировки
Вес ω ≥ 0, определенный на комплексной плоскости C, называют удовлетворяющим
весу Макенхаупта Ap , 1 < p < ∞, если для любого круга B справедливо неравенство

p−1

Z
Z
1
1
 1
ωdσ  
ω − p−1 dσ 
≤ c0 ,
(5)
|B|
|B|
B
B
где σ — плоская мера Лебега, |B| — площадь B, c0 = c0 (ω).
Пусть V (z) — комплекснозначная функция, определенная на комплексной плоскости
и удовлетворяющая соотношению
|V (z) − V (ζ)| ≤ w|z − ζ|,
где
z, ζ ∈ C.
(6)
Фиксируем δ > 0 и обозначим через ε(z) измеримую функцию на C, для которой
ε(z) ≥ δ. Определим следующие операторы:
n
Z
V (ζ) − V (z)
f (ζ)
Tn,ε(·),δ f (z) =
dσ(ζ),
(7)
ζ −z
(ζ − z)2
|ζ−z|>ε(z)
∗
Tn f (z) = sup ε>0 Z
|ζ−z|>ε
V (ζ) − V (z)
ζ −z
n
f (ζ)
dσ(ζ)
(ζ − z)2
В равенствах (7) и (8) будем рассматривать функции f ∈ Lp (ωdσ).
Теорема. Справедлива оценка


Z
C
1/p
(Tn∗ f )p ωdσ 

≤ b(p, n)wn 
Z
C
1/p
|f |p ωdσ 
.
,
(8)
(9)
где постоянная w определена в (6), а функция b(p,n) имеет степенной рост по n.
49
3. Оценки оператора Lλ,ε(·),δ
Свяжем с операторами Tn,ε(·),δ , определенными в (7), оператор Lλ,ε(·),δ следующим
образом. Пусть λ — комплексное число, |λ| < 1/w, где w взято из (6). Положим
Lλ,ε(·),δ f (z) =
∞
X
(n + 1)λn Tn,ε(·),δ f (z)
(10)
n=0
Для оператора Lλ,ε(·),δ получается выражение
Lλ,ε(·),δ f (z) =
Z
|ζ−z|>ε(z)
+
Z
|ζ−z|>ε(z)
=
f (ζ)
dσ(ζ)+
(ζ − z)2
"
∞
X
n
(n + 1)λ
n=1
Z
|ζ−z|>ε(z)
V (z) − V (ζ)
z−ζ
n #
f (ζ)
dσ(ζ) =
(ζ − z)2
1
f (ζ)
dσ(ζ) =
2
(ζ − z)2
(ζ)
1 − λ V (z)−V
z−ζ
Z
f (ζ)
dσ(ζ).
=
(z − ζ − λ(V (z) − V (ζ)))2
(11)
|ζ−z|>ε(z)
Введем обозначение Aλ (z) = z − λV (z). Поскольку
|Aλ (z) − Aλ (ζ)| ≥ |z − ζ| − |λ| |V (z) − V (ζ)| ≥ |z − ζ|(1 − |λ|w),
Aλ (z) — обратимое отображение комплексной плоскости C на себя, удовлетворяющее
условию Липшица.
Пусть αλ — обратное к Aλ отображение. Введем обозначение τ = Aλ (z) и сделаем в
интеграле (11) замену переменной Aλ (ζ) = t, ζ = αλ (t). Пусть µλ (t) — модуль якобиана
при такой замене. Тогда
Z
f (αλ (t))µλ (t)
Lλ,ε(·),δ f (z) =
dσ(t).
(12)
(τ − t)2
{t∈C:|αλ (t)−αλ (τ )|>ε(z)}
Будем поточечно оценивать интеграл в (12). Положим
Z
ϕ(t)
∗
S ϕ(τ ) = sup dσ(t)
(t
− τ )2
ε>0
|t−τ |>ε
M ϕ(τ ) = sup
ε>0
1
πε2
Z
|t−τ |<ε
50
|ϕ(t)|dσ(t).
,
(13)
(14)
Тогда имеем
Z
Lλ,ε(·),δ f (z) =
f (αλ (t))µλ (t)
dσ(t)−
(τ − t)2
{t∈C:|t−τ |>(1−|λ|w)ε(z)}
Z
−
{t∈C:|t−τ |>(1−|λ|w)ε(z)}\{t∈C:|αλ (t)−αλ (τ )|>ε(z)}
f (αλ (t))µλ (t)
dσ(t),
(τ − t)2
из чего следует оценка
Z
∗
|Lλ,ε(·),δ f (z)| ≤ S (f (αλ )µλ )(τ ) +
(1−|λ|w)ε(z)<|t−τ |<2ε(z)
|f (αλ (t))|µλ (t)
dσ(t).
|τ − t|2
(15)
Положив для краткости |f (αλ (t))|µλ (t) = ψ(t), (1 − |λ|w)ε(z) = a, 2ε(z) = b, получим
Z
a<|t−τ |<b
ψ(t)
dσ(t) =
|t − τ |2
=
Zb
a
=
1
b2
Z
|t−τ |<b
Z2π
0
dθ
Zb
a
ψ(τ + reiθ )
rdr =
r2
 r 2π
′
Z Z
dr

ψ(τ + reiθ )rdθ =
ψ(τ + ρeiθ )ρdθdρ =
r2
a
0
0 0
r


Z
Zb
Z
1
1 

ψ(t)dσ(t) −
ψ(t)dσ(t) + 2
ψ(t)dσ(t) dr ≤

3
a
r
dr
r2
Z2π
Zb
a
|t−τ |<a
≤ πM ψ(τ ) + 2π
|τ −t|<r
M ψ(τ )
b
dr = π 1 + 2 log
M ψ(τ ),
r
a
Zb
a
поэтому (15) влечет оценку
2
|Lλ,ε(·),δ f (z)| ≤ S (f (αλ )µλ )(τ ) + π 1 + 2 log
1 − |λ|w
∗
M (f (αλ )µλ )(τ ).
(16)
Поточечная оценка (16) приводит к следующей интегральной оценке:
Z
C
Lλ,ε(·),δ f (z)p ω(z)dσ(z) ≤ 2p−1
Z
S ∗p (f (αλ )µλ )(τ )ω(z)dσ(z)+
C
p−1 p
+ 2 π 1 + 2 log
2
1 − |λ|w
p Z
M p (f (αλ )µλ )(τ )ω(z)dσ(z).
Через bS ∗ (p, c0 ) и bM (p, c0 ) обозначим постоянные в следующих неравенствах:
Z
Z
S ∗p (f0 )(z)ω(z)dσ(z) ≤ bS ∗ (p, c0 ) |f0 (z)|p ω(z)dσ(z),
C
(17)
C
(18)
C
51
Z
p
M (f0 )(z)ω(z)dσ(z) ≤ bM (p, c0 )
C
Z
|f0 (z)|p ω(z)dσ(z),
(19)
C
где для веса ω(z) выполнено соотношение (5) с постоянной c0 .
Обозначая через b(p, c0 , |λ|) величину
p
2
p−1
p−1 p
∗
bM (p, c0 ),
b(p, c0 , |λ|) = 2 bS (p, c0 ) + 2 π 1 + 2 log
1 − |λ|w
из (17)–(20) находим следующую оценку:
Z
Z
Lλ,ε(·),δ f (z)p ω(z)dσ(z) ≤ b(p, c0 , |λ|) |f (αλ (τ ))µλ (τ )|p ω(z)dσ(z),
C
(20)
(21)
C
где в (21) по-прежнему в правой части τ = Aλ (z), z = αλ (τ ), следовательно,
Z
Z
1
|f (αλ (τ ))µλ (τ )|p ω(z)dσ(z) = |f (z)|p p
ω(z)dσ(z).
JAλ (z)
C
(22)
C
Оценим модуль якобиана JAλ (z) снизу. Для произвольной точки z положим Bδ (z) =
{ζ : |ζ − z| ≤ δ}; пусть s(δ) — площадь Aλ (Bδ (z)). Тогда
s(δ)
.
πδ 2
JAλ (z) = lim
δ→0
(23)
Поскольку |Aλ (z) − Aλ (ζ)| ≥ |z − ζ|(1 − |λ|w), в фигуру Aλ (Bδ (z)) можно поместить
круг с центром в Aλ (z) и радиусом не менее (1 − |λ|w)δ, поэтому (23) влечет
JAλ (z) ≥ (1 − |λ|w)2 .
(24)
Наконец, используя (21), (22), (24), получаем оценку
Z
Z
Lλ,ε(·),δ f (z)p ω(z)dσ(z) ≤ b(p, c0 , |λ|)
|f (z)|p ω(z)dσ(z).
(1 − |λ|w)2p
C
(25)
C
4. Оценка оператора Tn∗
Пусть 0 < ρ < 1/w. Определение (10) приводит к формуле
Tn,ε(·),δ f (z) =
1
2πi(n + 1)
Z
Lλ,ε(·),δ f (z)
dλ,
λn+1
|λ|=ρ
которая дает следующую поточечную оценку:
1
|Tn,ε(·),δ f (z)| ≤
2π(n + 1)ρn
52
Z2π
0
|Lρeiθ ,ε(·),δ f (z)|dθ.
(26)
Выберем ρ = ρn = (1 − 1/n)1/w, n ≥ 2, тогда 1/ρnn = 1/(1 − 1/n)n wn , 1 − ρn w = 1/n и
(26) вместе с (25) влекут
Z
|Tn,ε(·),δ f (z)|p ω(z)dσ(z) ≤
C
≤
2
wn
π(n + 1)
=
p Z
C
p
 2π
Z
 |Lρ
iθ
n e ,ε(·),δ
0

f (z)|p dθ ω(z)dσ(z)(2π)p−1 =
Z2π Z
2
n
p−1
w
(2π)
dθ |Lρn eiθ ,ε(·),δ f (z)|p ω(z)dσ(z) ≤
π(n + 1)
0
C
p
Z
2
wn (2π)p b(p, c0 , ρn )n2p |f (z)|p ω(z)dσ(z).
≤
π(n + 1)
(27)
C
Отметим, что определение (20) позволяет оценивать рост постоянной в правой части
(27) в зависимости от n:
4p
n2
n+1
p
wnp b(p, c0 , ρn ) < 4p np wnp (2p−1 bS ∗ (p, c0 )+
def
+ 2p−1 π p (1 + 2 log 2n)p bM (p, c0 )) = b1 (p, c0 , n)wnp .
(28)
В левой части соотношения (27) в качестве ε(·) можно выбирать любую измеримую
на C функцию, удовлетворяющую условию ε(z) ≥ δ, тогда как правая часть (27) от
выбора ε(·) не зависит, поэтому (27) и (28) влекут
Z
C

 sup ε≥δ>0 
Z
|ζ−z|>ε
V (ζ) − V (z)
ζ −z
n
p
f (ζ)

dσ(ζ)
 ω(z)dσ(z) ≤
(ζ − z)2
Z
≤ b1 (p, c0 , n)wnp |f (z)|p ω(z)dσ(z).
(29)
C
Наконец, поскольку правая часть в (29) не зависит от δ, соотношение (29) влечет нужную оценку (9), что и требовалось доказать.
Литература
1. Calderon A. P. Commutators of singular integral operators // Proc. Mat. Acad. Sei. 1965.
Vol. 53. P. 1092–1099.
2. Benedek A., Panzone R. Continuity properties of the Hilbert transform // J. Func. Anal.
1971. Vol. 7. N 2. P. 217–234.
3. Широков Н. А. Оценки в Lp (C) некоторых сингулярных интегральных операторов //
Изв. АН Арм. ССР. 1980. Т. XV. № 1. С. 63–76.
Статья поступила в редакцию 22 марта 2010 г.
53
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
210 Кб
Теги
оценки, коммутаторы, комплексная, плоскости, кальдероном, весовые
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа