close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Весовые оценки преобразования Радона-Киприянова функций с ограниченным носителем.

код для вставкиСкачать
54 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
УДК 517.9
ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА-КИПРИЯНОВА
ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ НОСИТЕЛЕМ
Л.Н.Ляхов, О.И. Попова
Воронежский государственный университет,
Университетская пл., 1, Воронеж, 394006, Россия,
e-mail: lyakhov@box.vsi.ru , studentpmm@gmail.com
Аннотация. Для образа преобразования Радона-Киприянова введены весовые нормы функций определенных на бесконечном полуцилиндре. Доказано, что эти нормы эквивалентны нормам функций в пространстве Соболева-Киприянова.
Ключевые слова: Преобразование Радона-Киприянова, пространство Соболева-Киприянова.
Как известно, преобразование Радона, будучи интегральным преобразованием, улучшает свойства гладкости функции, и это преобразование, рассматриваемое как оператор в L2 , является непрерывным. Но так же известно, что в пространстве L2 соответствующий обратный оператор не является непрерывным. Поэтому исследование задач
компьютерной томографии на основе формул обращения преобразования Радона вынуждает использовать другие функциональные классы. В работах [1] и [2] (в [2] для
функций, определенных в R2 ) выяснилось, что к таким классам можно отнести пространство функций, определенных на цилиндре c нормой, согласованной с обычной
нормой пространства Соболева H s . Этот класс функций оказался в соответствующем
смысле эквивалентным обычному классу Соболева и оказался очень удобным в практических задачах компьютерной томографии (см. книгу Ф. Наттерера [3]).
В [4] введено специальное преобразование Радона1 , приспособленное для работы
с весовыми классами функций И.А.Киприянова и соответствующими сингулярными
дифференциальными операторами. В данной работе, следуя [1] и [3], вводится весовой
функциональный класс на полуцилиндре и приводятся оценки введенной в этом функциональном пространстве нормы преобразования Радона-Киприянова четных гладких
функций с ограниченным носителем. Эти нормы выражаются через нормы весового
класса Соболева-Киприянова Hγs (см. [5], [6]).
Пусть Rn ={x = (x1 , . . . , xn )} – евклидово пространство точек, а Rn+ – полупространство определенное неравенством x1 > 0, и пусть Ø+ – ограниченная область в Rn+ ,
прилегающая к гиперплоскости x1 = 0. Cкалярное произведение n-мерных векторов
n
P
обозначим hx, yi= xi yi . Уравнение произвольной гиперплоскости в Rn , ортогональной
i=1
1
Впоследствии это преобразование стало называться преобразованием Радона-Киприянова. Именно
это преобразование изучается в этой статье.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 55
вектору ξ, задается уравнением hξ, xi=p. Если |ξ|=1, а p > 0, то уравнение плоскости
называется нормальным.
∞
Через C0,ev
(Ø+ ) будем обозначать множество бесконечно дифференцируемых функций с носителем в Ø+ , четное, продолжение которых по переменной x1 является бесконечно дифференцируемой функцией в Rn .
Для произвольной локально интегрируемой в Rn+ функции четной по переменной
x1 через Πγx1 f (x) будем обозначать действие на эту функцию оператора Пуассона по
переменной x1 ∈ R1+ по формуле
Πγx1 g(x) = Πγx1 g(x1 , x′ ) =
Γ
Γ
γ
2
γ+1
2
Γ
1
2
Zπ
g(x1 cos α, x′ ) sinγ−1 α dα .
0
Здесь и всюду далее предполагается, что γ фиксированное положительное число.
Пусть функция f четная по x1 абсолютно интегрируемая по Rn+ с весом xγ1 . Преобразование Радона-Киприянова функции f введено в работе [4] и имеет вид
Z
Kγ [f ](ξ; p) =
f (x) Πγx1 (.p − hx, ξi) xγ1 dx ,
R+
n
где hξ, xi − p = 0 – нормальное уравнение плоскости с единичным вектором нормали
ξ, проходящей на расстоянии p от начала координат, δ(P ) – обычная2 δ-функция, сосредоточенная на поверхности P = 0. Как видим, функция Kγ [f ](ξ; p) определена на
полуцилиндре
(ξ; p) ∈ Z = S1+ (n) × R1 ,
где S1+ (n) = {ξ : |ξ| = 1, ξ1 > 0} – единичная полусфера с центром в начале координат,
принадлежащая полупространству Rn+ . Размерность цилиндра Z равна n. Отметим, что
преобразование Kγ создано для работы с сингулярными дифференциальными операторами типа оператора Бесселя. Для той же цели в [5], [6] введены весовые функциоℓ
нальные классы функций Соболева-Киприянова Wp,γ
и, в частности, функциональный
класс Hγl . В связи с этим возникает задача введения нормы для функций, определенных
в цилиндре Z так, чтобы она оказалась согласованной с нормой пространства СоболеваКиприянова Hγl . В данной работе решается именно эта задача в случае, когда носитель
функции f ограничен в полупространстве Rn+ . Следуя [1], [3], введем следующим образом подобие весовых киприяновских классов функций g = g(ξ, p), заданных на цилиндре Z. Функция g(ξ, p) ∈ Hγs (Z), если
kgk2Hγs (Z)
=
Z
S1+
ξ1γ
Z
R1
(1 + σ 2 )s |Fp→σ [g](ξ; σ)|2 dσ dS(ξ) < ∞ ,
(1)
2
В теории весовых обобщенных функций построенной на основе весового скалярного произведения (см. [6]) используется специальный класс δ-функций. В определении же преобразование РадонаКиприянова использована δ-функция с носителем на поверхности в Rn , теория описана в книге [7], гл.
III, §1.
56 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
где через F обозначено преобразование Фурье функций, действующее только по переменной p:
Z +∞
Fp→σ [g](ξ; σ) =
g(ξ; p)e−ipσ dp .
−∞
Пусть jν – j-функция Бесселя, связанная с функцией Бесселя первого рода Jν формулой
(см. [5], [6])
2ν Γ(ν + 1)
jν (t) =
Jν (t) .
tν
Смешанное интегральное преобразование Фурье-Бесселя функций, четных по переменной x1 и интегрируемых по Rn+ , определяется по формуле (см. [6])
Z
FB [f ](η) = f (x) j γ−1 (x1 η1 ) e−ihx,ηi xγ1 dx .
2
R+
n
Множество функций f , для которых конечна норма
kf kLγp =
Z
|f (x)|
p
xγ1
1/p
dx
(p ≥ 1) ,
обозначим Lγp (Rn+ ).
Для функций f и g, принадлежащих Lγ2 (Rn+ ), справедлива формула Планшереля,
выражающая инвариантность весового скалярного произведения
Z
(f, g)γ = f (x) g(x) xγ1 dx
при преобразовании Фурье-Бесселя:
Z
Z
γ
FB [f ](ξ) FB [g](ξ) ξ1 dξ = f (x) g(x) xγ1 dx .
R+
n
R+
n
Классический класс функций Соболева-Киприянова определяется с помощью смешанного интегрального преобразования Фурье-Бесселя (см. [6]) и представляет собой множество функций, для которых конечна норма
Z
2
kf (x)kHγs (Rn ) =
(1 + |η|2)s |FB [f ](η)|2η1γ dη .
R+
n
Теорема. Для всякого s существуют такие положительные константы c(s, n, γ),
∞
C(s, n, γ), что для f ∈ C0,ev
(Ω+ )
c(α, n, γ)kf kHγs (Ω+ ) ≤ kKγ [f ]k
s+
Hγ
n+γ−1
2
(Z) 6 C(s, n, γ)kf kHγs (Ωn ) .
(2)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 57
. Мы исходим из связи преобразований Фурье, Фурье-Бесселя и Радона, полученной в работе [1], которая заключается в следующем равенстве
Z+∞
FB [f ](η) = FB [f ](σξ) =
Kγ [f ](ξ; p) e−iσp dp = Fp→σ [Kγ [f ]](σξ) .
(3)
−∞
Здесь σ ∈ R1 , а ξ, вообще говоря, произвольная точка замкнутого полупространства Rn+ ,
но далее нам удобно считать её принадлежащей единичной полусфере Sn+ , поскольку
именно так эта переменная используется в определении нормы (1).
Согласно (1) и (3), имеем
kKγ [f ]k2H s+(n+γ−1)/2 (Z) =
=
Z
ξ1γ
=
Z
S1+ (n)
Z
(1 + σ 2 )s+(n+γ−1)/2 |Fp→σ [Kγ [f ]](σ ξ)|2 dσ dS(ξ) =
R1
S1+ (n)
ξ1γ
Z
(1 + σ 2 )s+(n+γ−1)/2 |FB [f ](σ ξ)|2 dσ dS(ξ) .
R1
Учитывая четность функции FB [f ](η) по переменной η1 = σ ξ1 , последнее выражение
можно переписать в виде интеграла по полной сфере и тогда
kKγ [f ]k2H α+(n+γ−1)/2 (Z) =
1
=
2
Z
S1 (n)
Z+∞
|ξ1 |γ
(1 + σ 2 )α+(n+γ−1)/2 |FB [f ](σξ)|2 dσ dS(ξ) .
(4)
−∞
Интеграл по переменной σ представим в виде суммы двух интегралов по полуосям
(−∞, 0] и [0, +∞). В первом из них сделаем замену σ = −σ1 . Получим
Z0
−∞
(1 + σ 2 )s+(n+γ−1)/2 |FB [f ](σξ)|2dσ =
=−
Z0
+∞
(1 + σ12 )s+(n+γ−1)/2 |FB [f ](−σ1 ξ)|2dσ1 =
Z+∞
=
(1 + σ 2 )s+(n+γ−1)/2 |FB [f ](−σξ)|2 dσ .
0
58 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
Теперь учтем, что интеграл по сфере не изменится, если заменить ξ на −ξ (|ξ1| = 1).
Тогда равенство (4) примет вид
Z
Z
n+γ−1
2
γ
kKγ [f ]k s+ n+γ−1 =
|ξ1 |
(1 + σ 2 )s+ 2 |FB [f ](σξ)|2dσ dS(ξ) =
H
(Z)
2
R+
1
S1 (n)
=
Z
ξ1γ
S1+ (n)
Z
(1 + σ 2 )s+
n+γ−1
2
|FB [f ](σξ)|2 dσ dS(ξ) .
R+
1
Здесь уже σ > 0, и поэтому эта величина может играть роль радиуса сферических координат в Rn+ . Предполагая, что в последнем выражении σ и ξ — сферические координаты
точки η∈Rn+ , т.е. η=σ ξ, η1 ≥0, |η|=σ, |ξ|=1, перейдем к декартовым координатам в Rn .
При этом
dη = σ n−1 dσ dS(ξ) ⇒ dσdS(ξ) = σ 1−n dη = |η|1−n dη ,
σ 1−n ξ1γ = (σξ1 )γ σ 1−γ−n = η1γ |η|1−γ−n .
Отсюда
=
kKγ [f ]k2 s+ n+γ−1
2
(Z)
H
Z
n+γ−1
2 η1γ |η|1−n−γ (1 + |η|2 )s+ 2 |FB [f ](η)|2 dη .
=
(5)
R+
n
Теперь учтем, что в наших рассуждениях3 n ≥ 1, γ > 0. Поэтому
|η| 6 (1 + |η|2 )1/2 =⇒ |η|1−n−γ ≥ (1 + |η|2)
−n+γ−1
2
.
Следовательно
kKγ [f ]k
2
H
s+
n+γ−1
2
(Z)
≥2
Z
(1 + |η|2)s |FB [f ](η)|2 η1γ dη = 2kf kHγs .
R+
n
Это и есть левое неравенство утверждения (2).
Для того, чтобы получить правое неравенство в (2), представим интеграл в правой
+
части равенства (5) в виде суммы интеграла по области Ω+
= {|η| 6
1 = {|η| 6 1}
+
+
1, η1 > 0} и интеграла по области Ω2 = {|η| ≥ 1} = {|η| ≥ 1, η1 > 0}.
В области Ω+
2 , очевидно, выполняется неравенство
2
2
2|η| ≥ (1 + |η| ), поэтому η|2 ≥ 2−1 (1 + |η|2). Следовательно,
Z
|η|1−n−γ (1 + |η|2)s+(n+γ−1)/2 |FB [f ](η)|2η1γ dη ≤
{|η|≥1}+
3
Интересно отметить, что в классических исследованиях обычно необходимо, чтобы n ≥ 2, так
как преобразование Радона не определено в R1 . Напротив, преобразование Радона-Киприянова в R1
определено.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
≤2
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 59
Z
(n−1+γ)/2
(1 + |η|2 )s |FB [f ](η)|2 η1γ dη 6
{|η|≥1}+
≤ 2(n−1+γ)/2 kf k2Hγs (Ωn ) .
(6)
Теперь перейдем к оценке этого же интеграла в области
+
Ω+
1 = {|η| 6 1} = {|η| 6 1, η1 > 0}.
В этой области функция |η|1−n−γ (1+|η|2)s+(n+γ−1)/2 η1γ имеет особенность (только в начале координат, поскольку область ограничена). Но переходя к сферическим координатам
в интеграле по {|η| 6 1}+ от этой функции, легко установить его сходимость. Введем
обозначение
Z
|η|1−n−γ (1 + |η|2)s+(n+γ−1)/2 η1γ dη = c1 (s, n, γ) .
Ω+
1
Имеем
Z
|η|1−n−γ (1 + |η|2)s+(n+γ−1)/2 |FB [f ](η)|2η1γ dη 6
Ω+
1
6 c1 (s, n, γ) sup |FB [f ](|η)|2 .
(7)
Ω+
1
Для доказательства теоремы остается оценить величину
sup
Ø+
1 =|η|≤1, η1 ≥0
|FB [f ](η)|2
через норму функции f в пространстве Соболева-Киприянова Hγs .
∞
Пусть функция χ ∈ C0,ev
(Rn ) и равна 1 на носителе supp f = Ω+ ∈ Rn+ . Положим
′
′
χη (x) = e−ihx ,η i j γ−1 (x1 η1 ) χ(x).
2
Тогда
FB [f ](η) =
Z
−ihx,ηi
f (x) j γ−1 (x1 η1 ) e
2
R+
n
xγ1
dx =
Z
f (x) χη (x) xγ1 dx .
R+
n
По условию теоремы функция f принадлежат весовому пространству Лебега Lγp (Rn+ )
(p ≥ 1), но то же самое можно сказать про функцию χη , поскольку она представляет
собой произведение бесконечно дифференцируемых функций, одна из которых имеет ограниченный носитель. Поэтому к весовому интегралу от произведения функций,
каждая из которых принадлежит Lγ2 , можно применить формулу Планшереля для смешанного преобразования Фурье-Бесселя. В результате получим равенство
Z
Z
γ
FB [f ](η) = χη (x)f (x)x1 dx = FB [χη ](ξ)FB [f ](ξ)ξ1γ dξ =
R+
n
Rn
60 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Z
=
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
FB [χη ](ξ) (1 + |ξ)|2)−s/2 (1 + |ξ)|2)s/2 FB [f ](ξ)ξ1γ dξ .
R+
n
К этому выражению применим неравенство Коши-Буняковского, тогда

1/2
Z


|FB [f ](η)]| 6  (1 + |ξ|2 )−s |FB [χη ](ξ)|2 ξ1γ dξ 
×
R+
n


× 
Z
1/2
R+
n

(1 + |ξ|2)s |FB [f ](ξ)|2 ξ1γ dξ 
= kχη kHγ−s (R+n ) kf kHγs (Ω+ ) .
Рассмотрим первый из этих интегралов. Функция FB [χη ] имеет следующий вид
Z
′ ′
′ ′
FB [χη ](ξ) = j γ−1 (x1 η1 )j γ−1 (x1 ξ1 )e−ihx , η i e−ihx , ξ i χ(x)xγ1 dx .
2
2
Rn
Теорема сложения для j-функций Бесселя утверждает, что (см. книгу [6]) j γ−1 (x1 η1 )j γ−1 (x1 ξ1 ) =
2
2
Tξη j γ−1 (xξ), где через Tηξ11 обозначен обобщенный сдвиг, действие которого по перемен2
ной x1 определяется по формуле
f → Txy11 f (x1 , x′ ) =
=
Таким образом,
Γ
Γ
γ
2
γ+1
2
Γ(1/2)
Zπ
0
FB [χη ](ξ) =
Z
q
f ( x21 + y12 − 2x1 y1 cos α, x′ ) sinγ−1 α dα .
Tηξ11 j γ−1 (x1 η1 )e−ihx , η +ξ i χ(x)xγ1 dx =
′
′
′
2
Rn
= Tηξ11 χ
e(η1 , η ′ + ξ ′) = (T η χ
e)(ξ) .
Здесь через χ
e обозначено действие смешанного преобразования Фурье-Бесселя на функцию χ, а оператор T η – смешанный обобщенный сдвиг (по первой переменной действует
обобщенный сдвиг, а по оставшимся – обычный).
Поскольку функция χ четная по x1 , бесконечно дифференцируема и имеет ограниченный носитель, то ее преобразование Фурье-Бесселя принадлежит подпространству
Sev (Rn+ ) пространства Шварца основных функций S(Rn ), убывающих быстрее любой
степени модуля переменной. Учитем, что обобщенный сдвиг, представляя собой интегральный оператор, является сглаживающим. Поэтому в равенстве
Z
2
kχη kHγ−s (R+n ) = |T η χ̂(ξ)|2 (1 + |ξ|2)−s ξ1γ dξ .
Rn
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 61
функция T η χ̂ ∈ Sev , но при этом функция (1 + |ξ|2)−s при любом действительном s
представляет собой мультипликатор пространства Sev . Следовательно, существует и
конечен
sup kT η χkHγ−s = c2 (s, n, γ) .
(8)
η∈Ø+
1
Из (6), использую (7) и (8), получим
kKγ [f ]k2H s+(n+γ−1)/2 (Z) ≤ (2(n+γ−1)/2 + c1 (s, n, γ) c22 (s, n, γ)kf k2Hγs (Ω+ ) .
γ
Это и есть правое неравенство для Kγ . Отметим, что для целых s ≥ 0 норма
Z
2
kf (x)kHγs (Rn ) =
(1 + |η|2 )s |FB [f ](η)|2 η1γ dη .
R+
n
эквивалентна следующей
kf (x)k2H̃ s (Rn )
γ
=
Z
R+
n
X
(Bxl11 Dxl ′ f )(x)xγ1 dx ,
′
2l1 +|l′ |6s
γ ∂
∂2
′
+
– сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, Dxl ′ =
где Bx1 =
2
∂x1 x1 ∂x1
l2
∂
∂ ln
,
.
.
.
,
, l′ = (l2 , . . . , ln ), |l′ | = l2 + . . . + ln .
∂xlnn
∂xl22
Если учесть, что при целых s σ s F [g](σ, θ) = F [Dps g(p, θ)](σ, θ), то норма k · kHγs (Z)
функций, определенных на полуцилиндре, эквивалентна норме
Z
Z X
γ
2
kgkH̃ sγ =
θ1
|Dpl g(o, θ)|2 dp .
S1+ (n)
R1
l6s
Таким образом, для целых значений s ≥ 0, как следствие доказанной теоремы, мы
получим неравенства
ckf kH̃γs (Ω+ ) ≤ kKγ [f ]k
s+
H̃γ
n+γ−1
2
(Z)
6 Ckf kH̃γs (Ωn ) .
Интересно, что здесь в средней части находятся весовые Lγ2 -нормы обычных производных, а крайние члены неравенства содержат весовые Lγ2 -нормы сингулярных Bпроизводных. С другой стороны, это и не удивительно, поскольку известно ([8]), что
′
смешанные производные типа Bxl11 Dxl ′ g(x) при s = 2l1 + |l′ | связаны соотношением
′
′
ξ12l1 (ξ ′ )l Dps Kγ (p; ξ) = Kγ [Bxl11 Dxl ′ g(x)](p; ξ).
62 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24
Литература
1. Smith K.T. Practical and mathematical aspects of the problem of the reconstructing
a function from radiographs // Bull. AMS. – 1977. – 83. – P.1227-1270.
2. Natterer F. A Sobolev space analysis of picture reconstruction // SIAM J. Appl.
Math. – 39 – P.402-411.
3. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер. – М.: Мир, 1990. – 280 с.
4. Киприянов И.А., Ляхов Л.Н. О преобразованиях Фурье, Фурье-Бесселя и Радона // ДАН. – 1998. – 360;2. – C.157-160.
5. Киприянов, И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых
классов // Тр. МИРАН. – 1967. – 89. – С. 130-213.
6. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов. –
М.: Наука, 1997. – 200 c.
7. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними /
И.М. Гельфанд. – М.: ГИФМЛ, 1959. – 470 с.
8. Ляхов, Л.Н. Преобразование Киприянова-Радона // Тр. МИРАН. – 2005. – 248. –
С.153-163.
WEIGHT ESTIMATES FOR TRANSFORMATION
OF RADON-KIPRIYANOV’s FUNCTIONS WITH BOUNDED SUPPORT
L.N Lyakhov, O.I. Popova
Voronezh State University,
Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia,
e-mail: lyakhov@box.vsi.ru , studentpmm@gmail.com
Abstract. For the image of Radon-Kipriyanov’s transformation are introduced weight norms
of functions defined on infinite half-cylinder. It is proved that these norms are equivalent to norms
in Sobolev-Kipriyanov’s space.
Key words: Radon-Kipriyanov’s transformation, Sobolev-Kipriyanov’s space.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
227 Кб
Теги
ограниченными, оценки, носителей, функции, преобразование, весовые, киприянова, радона
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа