close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Весовые оценки решения анизотропно вырождающегося уравнения с граничными условиями Неймана в точках вырождения.

код для вставкиСкачать
2005
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (518)
УДК 517.956
М.Р. ТИМЕРБАЕВ
ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНО
ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
НЕЙМАНА В ТОЧКАХ ВЫРОЖДЕНИЯ
В данной статье доказаны теоремы гладкости и получены априорные оценки в весовых пространствах Соболева решения вырождающегося на части границы модельного уравнения эллиптического типа
X
; @m(xmamm@m u) ; xm
@i (aij @j u) = f
(1)
i;j<m
(@i | дифференцирование по xi ) в цилиндрической области = 0 (0; 1) Rm с граничными
условиями
xmamm @mu = 0 на ;; u = 0 на @ n ;:
(2)
Здесь 0 | область в Rm;1 с достаточно гладкой границей, параметры , определяют степени
сингулярности (вырождения при положительных значениях, неограниченности при отрицательных) коэффициентов дифференциального оператора в окрестности ; = fx = (x1 ; x2 ; : : : ; xm ) 2
: xm = 0g; коэффициенты aij (x) достаточно гладкие и образуют положительно определенную
матрицу при каждом x 2 (более точно условия на коэффициенты будут сформулированы в
разделе 4).
Гладкость решения вырождающегося уравнения для граничных условий Дирихле в весовых
нормах пространств Соболева рассматривалась в [1], [2]. Отметим, что поведение решения вырождающегося уравнения существенным образом зависит от типа граничных условий, задаваемых
в точках вырождения коэффициентов дифференциального оператора. Так, в [3] было доказано,
что в случае условий Дирихле решение в окрестности точек вырождения имеет погранслой,
определяемый степенью вырождения коэффициентов, при любой сколь угодно гладкой правой
части. Там же установлено, что этот погранслой можно факторизовать, представив его в виде
произведения известной сингулярной функции и гладкой, что позволяет строить, несмотря на
нерегулярность данных, эффективные конечно-элементные схемы численного решения задачи
[4]. Качественно иная картина имеет место в случае условий Неймана на ;. Именно, в работе показано, что в этом случае решение в окрестности ; регулярно и его дифференциальноинтегральные свойства в значительной степени определяются соответствующими свойствами
правой части, а не вырождением коэффициентов дифференциального оператора.
Для исследования гладкости решения используется дифференциально-операторный подход
(см. [5]{[8], а также [3]): задача (1), (2) рассматривается как двухточечная граничная задача
вида
;DtaDu + t bu = f в (0; 1); taDu(0) = 0; u(1) = 0;
по выделенной переменной t = xm 2 (0; 1) в бесконечномерном гильбертовом пространстве функций переменной x0 = (x1 ; x2 ; : : : ; xm;1 ) 2 0 с операторными коэффициентами a(t), b(t) в этом
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
гранты ЄЄ 03-01-00380, 04-01-0821, и Министерства образования, грант Є E02-1.0-189.
63
пространстве. Таким образом, решение уравнения (1) представляется элементом тензорного произведения пространств функций по переменным x0 и t. Особенность этого подхода заключается
в том, что исследование свойств решения дифференциально-операторного уравнения удается
свести к анализу решения скалярного уравнения с числовым коэффициентом вместо операторного.
Как и в [3], где рассматривалось уравнение (1) с граничными условиями Дирихле, правая
часть f считается функцией весового пространства L2; (
), т. е. x;m f 2 L2 (
). Теоремы гладкости для (1), (2) устанавливаются при условиях < + 2 и ;1=2 < < + 1=2. Заметим,
что интервал (;1=2; + 1=2) непуст, только если > ;1. В работе показано, что при условии
;1 решения задачи не существует на классе сколь угодно гладких финитных в функций
f (x), т. е. ограничение > ;1 является необходимым для разрешимости.
1. Пространства вектор-функций
1. Основные обозначения. Оператор типа Харди. Пусть > 0 и T = (0; ), X | сепарабельное (вещественноеpили комплексное) гильбертово пространство со скалярным произведением xy
и нормой jxjX = x x, сопряженное к X , отождествляется с X . Пространство всех непрерывных линейных операторов из X в гильбертово пространство Y обозначается через B (X ! Y ),
а из X в X | через B (X ). Для p 2 [1; 1) и вещественного через Lp; (T ; X ) обозначается
пространство измеримых функций f : T ! X таких, что функция t 2 T ! t; jf (t)jX является
элементом пространства Лебега Lp (T ). Полагаем
kf jLp; (T ; X )k =
1=p
Z
T
jt; f (t)jpX dt
:
Здесь и далее t будет обозначать, в зависимости от контекста, не только степень числа t, но
и символ степенной функции t ! t . Как обычно, если = 0 или X совпадает с полем скаляров,
то эти символы в обозначении пространства опускаются.
Для положительных на T измеримых функций a(s), b(s) определим формальный интегральный оператор
Ku(s) = a(s)
s
Z
0
b(t)u(t)dt;
(3)
интеграл в котором понимается в смысле Бохнера в случае X -значной измеримой функции u.
Таким образом, измеримая функция u : T ! X принадлежит области определения D(K ) оператора K , если bu 2 L1 ((0; s); X ) для любого s 2 T . Формально сопряженный к нему оператор
K определяется формулой
Z K v(t) = b(t) a(s)v(s)ds:
t
Заметим, что пространство L2; (T ; X ) содержится в D(K ) тогда и только тогда, когда t b 2
L2 (0; s) для любого s 2 T , т. е. b 2 L2;; (0; s). Это следует из того, что при всех u 2 L2; (T ; X )
функция b(t)u(t) = t b(t)t; u(t) должна быть интегрируема на (0; s) по Бохнеру, что равносильно интегрируемости на (0; s) скалярной функции t b(t)'(t) при любой ' 2 L2 (T ). Отсюда
следует необходимость включения b 2 L2;; (0; s). Следующее утверждение легко выводится из
так называемого обобщенного неравенства Харди ([9], c. 120).
2
Лемма 1.1 ([3]). Пусть b 2 L2;; (0; s) для любого s 2 T , (s) = s b(s). Если K (s) c(s) почти всюду на T для некоторой постоянной c > 0, то интегральные операторы K и
K ограничены в пространствах L2; (T ; X ) и L2;; (T ; X ) соответственно и kK kL2; !L2; =
kK kL2;; !L2;; 2c.
64
2. Пространства дифференцируемых вектор-функций. Через D обозначим оператор дифференцирования в пространстве X -значных распределений D0 (T ; X ) ([10], c. 18), поэтому Du = u0
будет обобщенной производной распределения u. Для натурального m и 2 (;1; +1) введем весовое пространство Соболева X -значных функций Hm (T ; X ) = fu 2 L1;loc(T ; X ) : Dmu 2
L2; (T ; X )g с нормой
kuj Hm(T ; X )k = kDmujL2;(T ; X )k + kujL2 (; X )k;
где = [; ] для некоторого фиксированного 2 (0; ) (различный выбор приведет лишь к
эквивалентным нормировкам). В тех случаях, когда интервал T и пространство X подразумеваются из контекста, будем использовать обозначения L2; и Hm .
Заметим, что если > ;1=2, то пространство H1 (T ; X ) непрерывно вложено в пространство
абсолютно непрерывных X -значных функций W11(T ; X ), поскольку
Z
T
jDu(t)jX dt 1=2 Z
Z
T
jt;Du(t)j2X dt
1=2
T
t2 dt
< +1:
Следовательно, для u 2 H1 (T ; X ) определен \след" ujt=0 = u(0). Будем использовать также
обозначение H_ 1 (T ; X ) для функций u 2 H1 (T ; X ) таких, что u( ) = 0. Следующее утверждение
фактически является переформулировкой леммы 1.1.
1
Лемма 1.2. Пусть 6= ;1=2. Для u 2 H (T ; X ) положим u0 = u(0), если > ;1=2 и
u0 = u( ), если < ;1=2. Тогда
ku ; u0 jL2;+1(T ; X )k j +1 0;5j kDujL2; (T ; X )k:
2
Лемма 1.3. Пусть > ;1=2 и 2 (;1; +1). Введем пространство W = H ; (T ; X ) \
1
H ;+1(T ; X ), наделенное нормой, равной сумме норм пространств, участвующих в пересечении, и определим на W дифференциальные операторы F = t D; A = DF = Dt D . Тогда
(i) F 2 B (W ! W11 );
(ii) Fujt=0 = 0 для любой функции u 2 W ;
(iii) оператор A является изоморфизмом (т. е. непрерывным взаимнооднозначным отобра_ = fv 2 W : v( ) = 0g на L2; ; при этом сущежением \на") пространства W
ствуют такие постоянные c1 , c2 , зависящие от , , но не зависящие от , что
c1 kf jL2; k kujW k c2 kf jL2; k, где u 2 W_ есть единственное решение уравнения
Au = f .
00
;1 u0 , то A 2 B (W !L2; ). Поэтому F 2 B (W !H 1 ),
Доказательство. Так как Au = t u + t
откуда при условии > ;1=2 следует (i). Далее, в силу (i) для u 2 W функция w = t u0
имеет след в нуле w(0) 2 X . По условию леммы w 2 L2; +1 ; по лемме 1.2 w ; w(0) 2 L2; +1.
Следовательно,
Z
Z
Z
Z
jw(0)j2X jt;;1j2 dt = jt;;1w(0)j2X dt 2 jt;;1(w(0) ; w(t))j2X dt + 2 jt;;1w(t)j2X dt < 1;
T
T
T
T
откуда следует, что w(0) = 0, т.к. ; ; 1 < ;1=2.
(iii) Для произвольной функции f 2 L2; функция
u(s) = ;
Z
s
t;
t
Z
0
f ( )d dt
является, очевидно, решением задачи Au = f , t Du(0) = 0, u( ) = 0. В силу леммы 1.2 t Du 2
L2;+1 и kDujL2;;+1k 1=( + 1=2)kf jL2; k. Следовательно, D2 u = t; f ; t;1 Du 2 L2; ; и
kD2ujL2;;k + kDujL2;;+1k jj++ 1+=23=2 kf jL2; k: 65
2. Необходимые условия существования решения задачи Неймана
Пусть функции a(t), b(t) положительны и непрерывны на (0; ]. Рассмотрим на T обыкновенное дифференциальное уравнение
; DaDu + bu = f
(4)
с правой частью f 2 L1 (T ). Под решением задачи (4), удовлетворяющим условию aDu(0) = 0,
будем понимать локально интегрируемую функцию u такую, что aDu 2 C [0; ] и a(t)u0 (t) ! 0
при t ! 0. Заметим, что 1) u 2 H 1 (; ) для любого 2 (0; ); 2) если u | нетривиальное решение
однородного уравнения (4), то у функций u(t), u0 (t) существует не более одного нуля на полуинтервале (0; ], причем в разных точках. Это следует из классической теории обыкновенных
дифференциальных уравнений (см., напр., [11], с. 129), т. к. уравнение регулярно на (; ).
Лемма 2.1. Пусть ab 2 L1 (T ). Если bu 2 L1 (0; s) для любого s 2 T и
0 u(s) a(s)
то
u(s) 0.
Доказательство.
формулу
s
Z
0
b(t)u(t)dt;
Для степени оператора K (см. (3)) по индукции нетрудно установить
a(s) Z s (C (s) ; C (t))n;1 b(t)u(t)dt; n 1;
(n ; 1)! 0
Rs
где C (s) = a(t)b(t)dt. Так как a; b > 0, то из условия леммы для любого s 2 T следует
K n u(s) =
0
0 u(s) Ku(s) K 2u(s) K n+1 u(s) =
Z s
n Zs
= an(s! ) (C (s) ; C (t))n b(t)u(t)dt a(s)nC! (s) b(t)u(t)dt ! 0
0
0
при n ! 1.
Теорема 2.1. Пусть коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют условиям 1=a 2 L1 (T ),
Rs
R
a1 b 2 L1 (T ), где a1(s) = a(1t) dt. Если b(t)dt = +1, то
(i)
(ii)
0
T
не существует нетривиального решения однородного уравнения DaDu = bu с граничным
условием aDu(0) = 0;
на классе гладких финитных правых частей f 2 C01 (T ) не существует решения (4) с
граничными условиями aDu(0) = 0, u( ) = 0.
Доказательство. (i) Пусть DaDu = bu и aDu(0) = 0. Если предположить, что решение u
нетривиально, то, как было замечено выше, у функции u(t) существует не более одного нуля
на (0; ]. Поэтому в силу однородности уравнения можем считать, что u(t) > 0 на (0; ) для
некоторого 2 T . Так как для 0 < t < s < a(s)u0(s) ; a(t)u0 (t) =
Z
t
s
b()u( )d
и a(t)u0 (t) ! 0 при t ! 0, то
Rs
1) существует предел t!lim
b( )u()d = a(s)u0 (s) > 0, откуда bu 2 L1 (T );
0+0 t
2) u(t) возрастает на (0; ), поэтому существует неотрицательный предел t!lim
u(t);
0+0
R
3) т. к. по условию b(t)dt = +1 и bu 2 L1 (T ), то с необходимостью u(t) ! 0 при t ! 0.
T
66
Rs
Rs
Обозначим w(s) = b(t)u(t)dt. Из однородного уравнения (4) следует u(s);u(t) = w( )=a( )d !
t
0
u(s) при t ! 0. Таким образом, w=a 2 L1 (T ) и для любого s 2 (0; )
Z s
Z t
Z s
Z s
1
0 < u(s) = a(t) b( )u( )d dt = (a1 (s) ; a1 (t))b(t)u(t)dt a1 (s) b(t)u(t)dt;
0
0
0
0
Rs
где a1 (s) = a(1t) dt. В силу леммы 2.1 u(s) 0 на (0; ), следовательно, u(s) 0 на (0; ).
0
Полученное противоречие доказывает утверждение (i) теоремы.
(ii) Пусть f 2 C01 (T ), 0 f (t) 1, f 6 0 и f (t) = 0 для t 2 [0; ], где 2 T . Предположим,
что существует решение задачи (4) с граничными условиями aDu(0) = 0, u( ) = 0. В силу (i)
u(t) = 0 для всех t 2 [0; ] и u(t) 0 на [; ]. Тогда
Z s
Z t
0 u(s) = a(1t) b( )u( ) ; f ( )d dt 0
0
Z s
Z s
(a1 (s) ; a1(t))(b(t)u(t) ; f (t))dt a1(s) b(t)u(t)dt 8s 2 T:
0
0
Применив лемму 2.1, получим, что u 0 на T , что противоречит выбору f 6 0.
; c2 для некоторых постоянных c1 ,
Следствие 2.1. Пусть a(t) t (т. е. 0 < c1 a(t)t
c2 ), b(t) t в окрестности t = 0 , причем < + 2. Для того чтобы существовало решение
задачи (4) с граничными условиями aDu(0) = 0, u( ) = 0, необходимо, чтобы > ;1.
R
Доказательство. Предположим, что ;1, т. е.
b dt = 1. Тогда < + 2 1 и
T
1=a 2 L1 (T ), a1 b t1;+ , откуда a1 b 2 L1 (T ). Таким образом, выполнены все условия теоремы. Следовательно, не существует решения рассматриваемой задачи на классе гладких правых
частей.
3. Весовые оценки решения уравнения со скалярными коэффициентами
В этом разделе рассматриваются двухточечная граничная задача
; DtDu + t u = f в T = (0; ); tDu(0) = 0; u( ) = 0
(5)
и соответствующая ей однородная задача с неоднородными граничными условиями
; DtDu + t u = 0 в T = (0; ); tDu(0) = u0; u( ) = u1;
(6)
где > 0 | произвольный параметр. Установим некоторые свойства функции Грина задачи (5),
используя которые, получим оценки весовых норм решений (5) через правую часть с константами, не зависящими от длины интервала и параметра > 0. Это позволит установить аналогичные результаты в случае переменных операторных коэффициентов. Ввиду следствия 2.1
всюду далее предполагается > max(;1; ; 2).
Теорема 3.1. (i) Существует единственное решение
(t) задачи (6), удовлетворяющее
условиям t D (0) = 0, ( ) = 1. Это решение представимо сходящимся в [0; +1) рядом
1
P
(t) = an tn , где = 2 + ; > 0, 0 < an = o( n1! ).
n=0
(ii) Существует единственное решение '(t) задачи (6), удовлетворяющее условиям
tD'(0) = 1, '( ) = 0. Решение имеет вид
Z '(s) = ; (0) (s) t 12 (t) dt;
s
где (t) | функция из утверждения (i).
67
Доказательство. Утверждение (i) докажем сначала для случая = . Тогда уравнение
(6) примет вид u00 (t) + t u0 (t) ; u(t) = 0. Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
1
u(t) = P ant2n . Подставляя u(t) в уравнение, получим
n=0
1
X
n=1
2n(2n ; 1)an t2n;2 + Отсюда, полагая a0 = 1, находим
1
X
n=1
2nan t2n;2 ; an = 4n(n ; 1a+n0;;15(1 + )) = =
;
4n n!
n=1
an;1 t2n;2 = 0:
n
nQ
;1
j =0
1
X
(j + 0;5(1 + ))
(n 1):
Очевидно, 0 < an = o n1! , и ряд сходится для всех t, следовательно, функция u(t) аналитична и
по построению удовлетворяет уравнению (6). При этом t u0 (t)jt=0 = 2a1 t+1 jt=0 = 0 (поскольку
= > ;1) и u( ) > 0. Осталось положить (t) = u(t)=u( ), и утверждение (i) в случае = доказано.
В общем случае в уравнении (6) сделаем замену переменной t = sr , где r = 2=(2 + ; ) > 0.
Для функции ub(s) = u(sr ) получим уравнение ;Ds^ Dub + r2s^ ub = 0, где b = r( ; 1) + 1 =
1
r( + 1) ; 1 > ;1. По доказанному ub(s) = P ans2n , где коэффициенты an вычисляются, как
n=0
и выше, с заменой на r2 и на b = r( + 1) ; 1. Обратной заменой s = t1=r получим
1
P
представление решения u(t) = an tn , где = 2 + ; > 0. При этом для (t) = u(t)=u( )
n=0
выполнены граничные условия t D (0) = 0, ( ) = 1. Утверждение (i) доказано и в общем
случае.
Для доказательства (ii) воспользуемся формулой
Z '(s) = c (s) t 12 (t) dt;
s
которая дает второе линейно-независимое решение однородного уравнения (6). Тогда '( ) = 0
и
Z c при s ! 0;
0
0
s ' (s) = cs (s) t 12 (t) dt ; (cs) ! ; (0)
s
т. к.
Z 1; ; s1;
0 s 0 (s) t 12 (t) dt s 0 (s) 2 (0)(1
; ) ! 0 при s ! 0;
s
в силу s 0 (s)js=0 = 0 и s 0 (s)js=0 = 0. Для выполнения условия t '0 (t)jt=0 = 1 нужно положить
c = ; (0).
Из последнего утверждения следует существование функции Грина ;(s; t) = ;(t; s) =
c0 '(s) (t) (t < s) для задачи (5), где постоянная c0 удовлетворяет равенству 1=c0 = s ('(s) 0 (s);
'0 (s) (s)) для любого s 2 T . Учитывая граничные свойства функций ', , получаем
1=c0 = ; (0) в пределе при s ! 0, т. е. c0 = ;1= (0) < 0. Таким образом, решение задачи
(5) представимо интегралом
u(s) = Gf (s) :=
Z
T
;(s; t)f (t)dt = Kf (s) + K f (s)
(7)
для тех правых частей, для которых интеграл определен. Интегральные операторы K , K являются взаимно сопряженными операторами типа Харди и имеют вид
Kf (s) = c0 '(s)
s
Z
0
(t)f (t)dt;
K f (s) = c0
68
(s)
Z
s
'(t)f (t)dt:
(8)
Выясним, при каких значениях параметра интегральный оператор G в (7) определен на классе
правых частей f 2 L2; . Для этого понадобятся два вспомогательных утверждения, касающихся
свойств функций ', , определяющих функцию Грина.
Лемма 3.1.
Для всех
s 2 T 0 < c0 '(s) < s 10 (s) .
Заметим, что на интервале T имеют место неравенства ; 0 > 0, ' < 0.
Далее, функция w(s) = s '0 (s)'(s) строго возрастающая, т. к. w0 (s) = s '0 2 (s) + s '2 (s) > 0.
Поскольку w( ) = 0, то w(s) < 0 и, следовательно, '0 (s) > 0 для всех s 2 T . Отсюда
Доказательство.
1 = s '(s) 0 (s) ; s '0 (s) (s) < s '(s) 0 (s) или 0 < c '(s) < 1 : 0
c
s 0 (s)
0
Лемма 3.2.
Для любых
s
Z
0
Доказательство.
s
Z
0
t
; > ;1
t
Z s
+
1
;
(t)dt max 1; + 1 s
t (t)dt:
0
С учетом положительности коэффициентов an в разложении имеем
1 (n + + 1)a sn++1
n++1
X
a
s
n
n
;
(t)dt = n + + 1 = s
(
n
+
+
1)(
n
+ + 1) n=0
n=0
Zs
1 a sn++1
X
+
1
+
1
n
;
;
max 1; + 1 s
= max 1; + 1 s
t (t)dt: n=0 n + + 1
0
1
X
(i) Интегральный оператор K в (8) определен на функциях из L2; (T ; X ) тогда и только тогда, когда > ;1=2, при этом K 2 B (L2; ! L2; ; ) и
Теорема 3.2.
+
1
kK kL2; !L2;; max 2; + 1=2 :
(ii)
Интегральный оператор
когда < + 1=2, при этом
K в (8)
непрерывен из
L2;
в
L2; ;
тогда и только тогда,
kK kL2; !L2;; max 2; ;++11=2 :
(iii)
когда
Интегральный оператор
G в (7)
;1=2 < < + 1=2, при этом
непрерывен из
L2;
в
L2; ;
тогда и только тогда,
kGkL2; !L2;; max 2; ++1=12 + max 2; ;++11=2 :
Доказательство. (i) Поскольку
положительна на [0; ], интегрируемость функции (t)f (t)
для произвольной функции f 2 L2; (T ; X ) будет обеспечена только в случае > ;1=2. Пусть
69
это условие выполнено. Положим (t) = t2 (t). Имеем
Rs
2 2
K(s) = c0 '(s) 0 t (t)dt [в силу возрастания (t)] (s)
s2 (s)
Rs 2
Rs
t (t)dt
c0 '(s) t2 (t)dt
0
0
[по
лемме
3.1]
s2
s2 s 0 (s) =
Rs 2
Rs 2
t (t)dt
t (t)dt
=
0
Rs
s2 (t 0(t))0 dt
0
=
0
Rs
s2 t
0
(t)dt
[по лемме 3.2] Rs
s2 ; t (t)dt
+
1
+
1
0
max 1; 2 + 1
= max 1; 2 + 1 s1 :
Rs
s2 t (t)dt
0
Применяя теперь к интегральному оператору s K лемму 1.1, получим оценку в (i).
(ii) Так как K и K | интегральные операторы с взаимно транспонированными ядрами, то
kK kL ; !L ;; = kK kL ;; !L ;; = kK kL ;!L ;; ;
2
2
2
2
2
2
где = ; . Таким образом, K непрерывен из L2; в L2; ; тогда и только тогда, когда K
непрерывен из L2; в L2;; . Последнее в силу (i) имеет место в том и только том случае, когда
= ; > ;1=2, т. е. при < + 1=2. Оценка для соответствующей операторной нормы K вытекает из оценки (i) с заменой на ; . Утверждение (iii) является простым следствием
утверждений (i) и (ii).
Введем пространство W = H2; (T ; X ) \ H1;+1(T ; X ) \ L2; ; (T ; X ) с нормой пересечения и
положим W_ = fv 2 W : v( ) = 0g. Заметим, что t Du(0) = 0 для u 2 W_ по лемме 1.3. Определим
на W_ дифференциальный оператор Au = ;Dt Du + t u.
Теорема 3.3. Для того чтобы решение задачи (5) существовало на классе правых частей
f 2 L2; (T ; X ) и принадлежало пространству W_ , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ;1=2 < < + 1=2. При этом условии оператор A является изоморфизмом
_ на L2; (т. е. непрерывным отображением с непрерывным обратным). Кроме
пространства W
того, имеет место двусторонняя априорная оценка
kD2 ujL2;;k + kDujL2;;+1k + kt ujL2; k kf jL2; k
_ есть единственное решение уравнения
с постоянными, не зависящими от и , где u 2 W
Au = f .
Доказательство. Необходимость условия ;1=2 < < + 1=2 вытекает из теоремы 3.2.
Пусть оно выполнено. Тогда решение u 2 L2; ; представимо интегралом (7), причем по утверждению (iii) теоремы 3.2 имеет место оценка
+
1
+
1
kt ujL2; k max 2; + 1=2 + max 2; ; + 1=2 kf jL2; k:
Таким образом, ;Dt Du = f ; t u 2 L2; . Применяя лемму 1.3 (iii), получим утверждение
теоремы.
70
Замечание 1. Так как > ;1, то интервал (;1=2; + 1=2) возможных значений весового
параметра непуст и максимален в том смысле, что при ;1=2 на классе правых частей
f 2 L2; (T ; X ) решения задачи не существует , а при +1=2 решение задачи, вообще говоря,
не принадлежит пространству W_ .
Замечание 2. Вторая часть утверждения теоремы означает, что существуют такие постоянные c1 , c2 , не зависящие от и , что для решения задачи (5) справедливо неравенство
c1kf jL2; k kD2 ujL2; ;k + kDujL2; ;+1 k + kt ujL2; k c2 kf jL2; k:
Далее существенно то, что в этой оценке постоянные могут быть выбраны независимо от параметра и длины интервала .
4. Весовые оценки решения уравнения с операторными коэффициентами
Рассматривается двухточечная граничная задача в гильбертовом пространстве X :
; DtaDu + t bu = f в T = (0; ); t Du(0) = 0; u( ) = 0:
(9)
Предполагается, что коэффициенты a(t), b(t) при каждом t 2 [0; ] являются самосопряженными
положительными операторами в пространстве X , причем a(t) 2 B (X ), b(t) 2 B (X1 ! X ),
где X1 X | некоторое гильбертово пространство, непрерывно и плотно вложенное в X ,
причем b(t) при каждом t 2 [0; ] является изоморфизмом X1 на X . Следовательно, оператор
b(t) неограничен в X , если X1 6= X . Далее, предполагается, что функции a : [0; ] ! B (X ),
b : [0; ] ! B (X1 ! X ) являются непрерывными функциями в соответствующих операторных
нормах и, кроме этого, для функции a выполнены следующие условия:
1) для любого t 2 T существует предел a0 (t) = hlim
(a(t + h) ; a(t))=h в норме B (X );
!0
0
2) для любого 2 T функция ka ()kX !X ограничена на [; ];
3) t!lim
tka0 (t)kX !X = 0.
0+0
По аналогии с предыдущим разделом введем пространство W = H2;(T ; X ) \ H1;+1 (T ; X ) \
L2;; (T ; X1 ) с нормой пересечения, и решение задачи (9) будем искать в подпространстве W_ =
fv 2 W : v( ) = 0g (граничное условие tDu(0) = 0 для u 2 W выполнено автоматически по
лемме 1.3).
Сначала распространим теорему 3.3 на случай постоянных операторных коэффициентов
a(t) a, b(t) b. Нетривиальность обобщения заключается в замене числового параметра > 0
в уравнении (5) на самосопряженный положительный неограниченный в X оператор b.
Теорема 4.1. Пусть a, b | постоянные операторы в (9). Тогда при 2 (;1=2; + 1=2)
_ на L2; (T ; X ); при этом
оператор A = ;Dt aD + t b является изоморфизмом пространства W
имеет место двусторонняя оценка с постоянными, независящими от :
kD2ujL2;;(T ; X )k + kDujL2;;+1(T ; X )k + kujL2;; (T ; X1 )k kf jL2; k;
_ есть единственное решение уравнения Au = f .
где u 2 W
Доказательство. Пусть a = I | тождественный оператор. Тогда доказательство сводится
к получению оценки kbujL2; ; (T ; X )k c(; )kf jL2; (T ; XP)k. Используем спектральное представление ([12], c. 375) X на гильбертову прямую сумму L2 (i ) относительно оператора b,
i2J
где J | некоторое множество, fi : i 2 J g | семейство конечных положительных мер, определенных
на борелевских множествах спектра (b) (0; +1). Пусть U | изоморфизм X0 на
P
L2 (i ), осуществляющий спектральное представление относительно b. Тогда по определению
i2 J
(U bx)i () = (U x)i () i -п. в. 8i 2 J:
71
Для f 2 L2; (T ; X ) положим fi (t; )=(U f (t))i (). Тогда задача ;D(t Du) + t bu=f , t Du(0)=0,
u( ) = 0 эквивалентна задаче
;DtDi(t; ) + t i(t; ) = fi(t; ) в T; tDi(0; ) = 0; i(; ) = 0
для 2 (b), i 2 J , где u и связаны соотношением i (t; ) = (U u(t))i (). По теореме 3.3 для
2 (b), i 2 J имеем
Z
Z
2
2
;
jt i(t; )j dt c jt; fi (t; )j2dt;
T
T
где c = c(; ) не зависит от и i 2 J . Интегрируя это неравенство по мере i на спектре (b) и
суммируя затем по i 2 J , получим неравенство
kbujL2;; (T ; X )k c(; )kf jL2; (T ; X )k
в силу определения спектрального представления U . Отсюда следует утверждение теоремы при
a = I , поскольку имеет место эквивалентность норм с константами, зависящими только от
оператора b: kbujL2; ; (T ; X )k kujL2; ; (T ; X1 )k.
Случай произвольного a сводится к a = I умножением уравнения на a;1=2 . Тогда уравнение
примет вид
;D(tDub) + t bbub = f;b
где ub(t) = a1=2 u(t), fb(t) = a;1=2 f (t) и bb = a;1=2 ba;1=2 2 B (a1=2 (X1 ) ! X ). Понятно, что ограниченные операторные множители a1=2 , a;1=2 не влияют на принадлежность функции соответствующему классу. По доказанному
kD2ujL2;;(T ; X )k + kDujL2;;+1(T ; X )k + kujL2;; (T ; X1 )k ckf jL2; k;
где c зависит только от , , . Обратное неравенство очевидно в силу определения пространства W .
Установим теперь локальную гладкость решения задачи (9) в случае переменных операторных коэффициентов.
Теорема 4.2. Пусть a(t), b(t) | операторнозначные функции, удовлетворяющие условиям, сформулированным выше. Тогда при 2 (;1=2; + 1=2) и достаточно малом оператор
A = ;Dt aD + t b является изоморфизмом пространства W_ на L2; (T ; X ).
Доказательство. \Замораживая" коэффициенты a, b в нуле, введем дифференциальный
оператор A0 = ;Dta(0)Du + t b(0)u. По предыдущей теореме A0 является изоморфизмом пространства W_ на L2; (T ; X ). Почти очевидно, в силу гладкости a, b операторы A и A0 будут мало
отличаться при малых > 0. Действительно, для u 2 W_
Au ; A0u = (a(0) ; a(t))Dt Du ; ta0 (t)Du + t (b(t) ; b(0))u;
поэтому
kAu ; A0ujL2; (T ; X )k (tmax
ka(t) ; a(0)kX !X +
2[0; ]
+ tmax
kta0 (t)kX !X + tmax
kb(t) ; b(0)kX1 !X ) kujW k ( )kujW k:
2[0; ]
2[0; ]
Из условий, наложенных на коэффициенты a, b, получаем ( ) ! 0 при ! 0. Поэтому норма
kA ; A0kW_ !L2; может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно малого > 0.
Заметим далее, что из оценки теоремы 4.1 следует ограниченность сверху нормы kA;0 1 kL2; !W_
постоянной, не зависящей от . Следовательно, при достаточно малом > 0 будет выполнено
неравенство kA;0 1 (A0 ; A)kW_ !W_ < 1, что обеспечивает существование оператора
A;1 2 B (L2; ! W_ ).
72
Теорема 4.3. Если ;1=2 < < + 1=2, то существуют такие постоянные 2 (0; ),
c = c > 0, что для всех u 2 W_ справедлива оценка
kujW k c(kAujL2; (T ; X )k + kDujL2((; ); X )k):
Доказательство. Определим покрытие O = f(aj ; bj ) : j = 0; N g отрезка [0; ] интервалами
(aj ; bj ) достаточно малой длины, считая, что a0 < 0 < a1 < b0 < a2 <b1 < <aN <bN ;1 < < bN .
Пусть f'j 2 C01 (aj ; bj ) : j = 0; N g | подчиненное покрытию O разбиение единицы отрезка
[0; ]. Обозначим = (a1 ; ), T0 = (0; b0 ), TN = (aN ; ), Tj = (aj ; bj ) при j = 1; N ; 1. Для u 2 W_
положим f = Au, uj (t) = 'j (t)u(t), fj (t) = 'j (t)f (t). Тогда
Auj = fj ; '0j (tau0 + (tau)0 ) ; '00j tau gj :
Так как '0 (t) = 1 на [0; a1 ], то на этом отрезке '00 (t) = '000 (t) = 0 и по теореме 4.2
ku0 jW k = ku0 jW (T0 )k c0kg0 jL2; (T0 ; X )k c01 (kf jL2; (T ; X )k + kDujL2(; X )k + kujL2 (; X )k):
Поскольку Duj (aj ) = 0, uj (bj ) = 0 при j = 1; N ; 1, а также DuN (aN ) = 0, uN ( ) = 0, то,
применяя теорему 4.2 на интервале Tj (j = 1; N ) для невырожденного случая = = = 0,
получим
kuj jW k cj (kD2 uj jL2(Tj ; X )k + kDuj jL2(Tj ; X )k + kuj jL2(Tj ; X1 )k) cj1 kgj jL2 (Tj ; X )k cj2 (kf jL2; (T ; X )k + kDujL2 (; X )k + kujL2 (; X )k):
Для завершения доказательства осталось заметить, что
kujW k N
X
j =0
kuj jW k и kujL2(; X )k ckDujL2 (; X )k;
т. к. u( ) = 0.
Пусть X1=2 = [X1 ; X ]1=2 | промежуточное между X1 и X пространство ([10], с. 23). Введем
пространство функций V = H_ ;1 =2 (T ; X ) \ L2;;=2 (T ; X1=2 ) с нормой пересечения и форму на этом
пространстве
Z
a(v; u) =
t a(t)Dv(t) Du(t) + t b(t)1=2 v(t) b(t)1=2 u(t)dt:
T
В силу условий на операторные коэффициенты a и b форма a непрерывна и эллиптична на V . По
теореме Рисса отсюда следует, что для любого линейного непрерывного функционала F 2 V существует единственное решение вариационной задачи об отыскании функции u 2 V такой,
что
a(v; u) = F (v )
(10)
и для решения справедлива двусторонняя априорная оценка kujV k kF jV k. Покажем, что
при условии =2 ; 1 решение u R2 W_ задачи (9) является решением задачи (10) с функционалом интегрального вида F (v) = v(t) f (t)dt. Для этого понадобятся два вспомогательных
T
утверждения.
1
Лемма 4.1. Пусть > ;1=2 и =2 ; 1. Тогда W H;=2 (T ; X ) L2;; (T ; X ).
1
1
Доказательство. Первое включение очевидно, поскольку W H ;+1 H;=2 (T ; X ), т. к.
; + 1 ;=2 по условию. Докажем второе. Если < 1, то по лемме 1.2 H;1 =2 (T ; X ) W11 (T ; X ) C ([0; ]; X ) L2;; (T ; X ) в силу > ;1=2. Если > 1, то снова по лемме 1.2
H;1 =2 (T ; X ) L2;1;=2 L2;; (T ; X ), т. к. 1 ; =2 по условию. Наконец, если = 1,
то, выбирая " 2 (0; + 1=2), будем иметь H;1 =2 (T ; X ) H;1 1=2;" (T ; X ) [по лемме 1.2] L2;1=2;"(T ; X ) L2;; (T ; X ), т. к. 1=2 ; " > ; в силу выбора ".
73
Из леммы, в частности, следует, что для любых функций f 2 L2; (T ; X ), v 2 H;1 =2(T ; X )
скалярная функция
t ! v(t) f (t) интегрируема по Лебегу на T , и поэтому функционал
R
v 2 V ! F (v) = v(t) f (t)dt непрерывен на V для любой f 2 L2; (T ; X ).
T
1
Лемма 4.2. В условиях предыдущей леммы для любых функций u 2 W , v 2 H;=2 (T ; X )
0
1
0
имеем 1) t v u 2 W1 (T ) и 2) lim t v u = 0.
t!0
0
0
0 0 0 0
Доказательство. 1) Дифференцируя функцию ' = t v u , получим ' = v (t u ) + t v u .
0
0
0
Отсюда следует, что ' 2 L1 (T ), т. к. t v u 2 L1 (T ) в силу первого включения леммы 4.1 и
v (t u0 )0 2 L1 (T ) в силу второго включения этой же леммы.
Rt
2) Положим w = (t u0 )0 , '(t) = jw( )jX d . Тогда '0 2 L1 (T ), '0 v 2 L1 (T ; X ) и 'v0 2 L1 (T ; X ),
0
т. к. ' 2 L2; +1(T ) и +1 =2. Поскольку '(0) = 0, то ([3], лемма 2.2) lim
'v = 0. Cледовательно,
t!0
0
0
lim
t v u = 0, т. к. jt v(t) u (t)j '(t)jv(t)jX .
t!0
Из доказанных лемм следует, что если u 2 W_ является решением задачи (9) для
f 2 L2; (T ; XR), то при условии =2 ; 1 u является решением задачи (10) с функционалом F (v) = v(t) f (t)dt. Действительно, умножим уравнение (9) скалярно слева на произT
вольнуюR функцию v 2 V и проинтегрируем
равенство
по T . Тогда, учитывая лемму 4.2, поR
R
лучаем v(t) Dt aDu dt = t Dv(t) aDu dt = t aDv(t) Du dt, что приводит к (10), т. к.
T
T
T
R
R
v t bu dt = t b1=2 v b1=2u dt. Отсюда, в частности следует, что имеет место вложение (при
T
T
=2 ; 1) W_ V .
Теорема 4.4. Если ;1=2 < < + 1=2 и =2 ; 1, то оператор A изоморфно отобра_ на L2; (T ; X ).
жает пространство W
Доказательство. Пусть f 2 L2; (T ; X ) и u 2 V | решение задачи (10) с функционалом
R
F (v) = v(t) f (t)dt. Используем те же построения и обозначения, что и в доказательстве теореT
мы 4.3. Обозначим через wj 2 W_ (Tj ), j = 0; N , решения задач Awj = gj на Tj с соответствующими
граничными условиями. Поскольку gj 2 L2; , то эти решения существуют по теореме 4.2 (если
интервалы Tj достаточно малы) и kwj jW (Tj )k ckgj jL2; k. С другой стороны, для произвольной
функции v 2 V
Z
T
или
fj v dt =
Z
T
t aD('j v) Du dt +
+
Z
T
Z
'j t b1=2 v b1=2 u dt =
T
1
=
2
t b v b1=2('
j u)dt +
Z
Z
T
Z
T
t aDv D('j u)dt +
'0 v (taDu + D(t au))dt +
Z
T
'00j v tau dt
Z
t aDv D('j u)dt + t b1=2 v b1=2 ('j u)dt = v gj dt;
T
T
_
откуда
в
силу
единственности
решения
следует
'
u
=
w
2
W
для всех j = 0; N . Так как
j
j
P
_
'j 1 на [0; ], то u 2 W и kujW k ckf jL2; (T ; X )k.
Теорема 4.5. Если ;1=2 < < + 1=2 и пространство X1 компактно вложено в X , то
_ на L2; (T ; X ).
оператор A изоморфно отображает пространство W
Доказательство. В силу предыдущей теоремы, утверждение достаточно доказать для случая < =2;1. Пусть 2 (0; ) | постоянная, фигурирующая в теореме 4.3 и = (; ). Так как
имеет место естественное непрерывное вложение W H 2 (; X ) \ L2 (; X1 ), а из компактности
вложения X1 X следует компактность вложения H 2 (; X ) \ L2 (; X1 ) H 1 (; X ) ([13], теорема 2), то W компактно вложено в H 1 (; X ). Отсюда, из теоремы 4.3 и из ([14], теорема 2.6) с
74
учетом того, что нуль-пространство оператора A состоит только из нуля, теперь следует оценка
kujW k ckAujL2; (T ; X )k 8u 2 W_ . Это означает, что оператор A изоморфно отображает W_ на
замкнутое в L2; (T ; X ) подпространство F = A(W_ ). Для завершения доказательства осталось
показать, что F плотно в L2; (T ; X ), и тем самым будет установлено равенство F = L2; (T ; X ).
Пусть f 2 L2; (T ; X ) | произвольная функция, n 2 T | убывающая при n ! 1 к нулю последовательность и fn | \срезки" функции f на (n ; ), т. е. сужения f на (n ; ), продолженные
нулем на (0; n ). Так как fn 2 L2;=2;1 и < =2 ; 1 по предположению, то по теореме 4.4 для каждого n 1 существует единственная функция un 2 W_ такая, что Aun = fn. Осталось заметить,
что fn ! f в L2; (T ; X ), откуда следует плотность F в L2; (T ; X ) в силу произвольности f .
В заключение применим полученные результаты к граничной задаче (1), (2) и установим
для нее весовые теоремы гладкости с оценками решения в весовых соболевских нормах. Задачу
(1), (2) представим как дифференциально-операторное уравнение (9). Для x = (x1 ; : : : ; xm ) 2 положим t = xm 2 T , x0 = (x1 ; : : : ; xm;1 ) 2 0 . Введем пространства
X = L2(
0 ); X1 = fu 2 W22 (
0 ) : uj@ 0 = 0g:
Для каждого t 2 [0; 1] определим операторы a(t) 2 B (X ), b(t) 2 B (X1 ! X ) формулами
X
(a(t)u)(x0 ) = amm (x0 ; t)u(x0 ); (b(t)u)(x0 ) = ;
@i (aij (x0 ; t)@j u(x0 )):
i;j<m
Условия amm 2 C (
), aij 2 C 1(
) при i; j < m обеспечивают непрерывность в операторных
нормах введенных функций a : [0; 1] ! B (X ), b : [0; 1] ! B (X1 ! X ). Предполагается также, что
amm(x) > 0 для всех x 2 и матрица faij (x)gi;j<m симметрична и равномерно положительно
определена для x 2 , откуда следует самосопряженность и положительная определенность
операторов a(t), b(t) в X . Для коэффициента amm (x) предполагается также, что
1) @m amm 2 C (
0 [; 1]) для любого 2 (0; 1);
2) max
jxm@mamm(x)j ! 0 при xm ! 0.
x0 2
0
Эти условия обеспечивают выполнимость условий 1){3) для оператор-функции a(t), сформулированных в начале раздела 4. Введем пространство функций W с конечным квадратом нормы
Z
kujW k2 = jxm; @m2 uj2 + jxm;;1@muj2 +
X
i;j<m
jxm; @ij2 uj2 + jxm; uj2dx
и удовлетворяющих граничным условиям (2). Поскольку в рассматриваемом случае пространство X1 компактно вложено в X , то из теоремы 4.5 вытекает
Теорема 4.6. Если < + 2 и ;1=2 < < + 1=2, то дифференциальный оператор
в левой части (1) является изоморфизмом пространства W на L2; (
). Следовательно, для
любой правой части f 2 L2; (
) существует единственное решение u 2 W задачи (1), (2) и
справедлива двусторонняя оценка kujW k kf jL2; (
)k.
Литература
1. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства // ДАН СССР. { 1981. { Т. 257. { Є 2. { С. 278{282.
2. Кыдыралиев С.К. О повышении гладкости решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. { 1989. { Т. 25. { Є 3. { С. 529{531.
3. Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением на
части границы // Изв. вузов. Математика. { 2003. { Є 1. { С. 60{73.
4. Тимербаев М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифференц. уравнения. { 2000. { Т. 52. { Є 7. { С. 1086{
1093.
5. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. { М.: Наука, 1980. { 207 с.
75
6. Тепоян Л.П. Вырождающиеся диффренциально-операторные уравнения второго порядка //
Дифференц. уравнения. { 1987. { Т. 23. { Є 8. { С. 1366{1367.
7. Ятаев Н.М. О вырождающихся дифференциально-операторных уравнениях третьего порядка // Дифференц. уравнения. { 1989. { Т. 25. { Є 3. { С. 477{481.
8. Дезин А.А. Дифференциально{операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач // Тр. Матем. ин-та РАН им. В.А. Стеклова. { 2000. { Т. 229. { 175 с.
9. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных
функций. { М.: Наука, 1989. { 254 с.
10. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. { М.: Мир,
1971. { 371 с.
11. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. { М.: Ин. лит., 1962. { 351 с.
12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. { М.: Ин. лит., 1966.
{ 1063 c.
13. Шахмуров В.Б. Теоремы вложения в абстрактных анизотропных пространствах и их применения // ДАН СССР. { 1985. { Т. 281. { Є 5. { С. 1068{1072.
14. Тимербаев М.Р. Пространства с нормой графика и усиленные пространства Соболева. I //
Изв. вузов. Математика. { 2003. { Є 5. { С. 55{65.
Казанский государственный
университет
Поступила
10.08.2004
76
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа