close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением на части границы.

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 1 (488)
УДК 517.956
М.Р. ТИМЕРБАЕВ
ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
С АНИЗОТРОПНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ НА ЧАСТИ ГРАНИЦЫ
1. Введение
В статье исследуется разрешимость в различных весовых классах функций модельной задачи
X
; Dm(xm amm(x)Dm u(x)) ; xm
Di (aij (x)Dj u(x)) = f (x) при x 2 Q;
(1)
i;j<m
uj@Q
= 0:
(2)
m
m
;
1
Здесь Q = (0; 1) | цилиндрическая область в R , | регулярная область в R , (aij (x))
| симметричная положительно-определенная матрица при x 2 Q с достаточно гладкими коэффициентами (условия на коэффициенты см. в xx 3, 4), , | вещественные числа, удовлетворяющие условию < min(1; + 2). Такая задача возникает, например, при описании стационарного распределения температуры в теплопроводящей среде с существенно
различными (при
T
6= ) проводящими свойствами в окрестности части границы ; = @Q fxm = 0g в направлении
нормали к ; и по касательным направлениям. При положительных значениях или происходит запирание проводимости на ;, что приводит к возникновению погранслоя в окрестности
вырождения коэффициентов; отрицательные значения моделируют сверхпроводимость среды.
Таким образом, при 2 + 2 6= 0 решение имеет особенность при xm ! 0, которую необходимо
учитывать при численном решении.
Для оценок решений задач с вырождением коэффициентов применяют обычно весовые нормы пространств Соболева для самого решения (см., напр., [1]{[3]). В этом случае получение
двусторонних априорных оценок на классе регулярных правых частей невозможно, поскольку
специфика задачи такова, что даже при гладких правых частях решение имеет погранслой.
Наш подход заключается в использовании норм весовых пространств Соболева для решения,
поделенного на вес x1m; , который определяет этот погранслой в окрестности вырождения коэффициентов. Не очевидно, что результатом такого деления нерегулярного решения на нерегулярный вес будет гладкая функция, адекватная гладкости правой части. Априорные оценки,
полученные в работе, показывают, что решение (1), (2) в окрестности ; действительно можно
представить в виде u(x) = x1m; '(x) (или в виде u(x) = x;m '(x)), где '(x) является достаточно
гладкой (в зависимости от f (x)). Основываясь на этом представлении, в [4] для задачи (1), (2)
с изотропным вырождением ( = ) была предложена схема аппроксимации, совпадающая по
эффективности с обычной схемой метода конечных элементов для регулярных задач; там же
был анонсирован основной результат данной работы. Отметим также, что полученные в работе
оценки являются новыми и для регулярного случая = = 0.
Задача (1), (2) рассматривается в статье как частный случай абстрактной граничной задачи
в гильбертовом пространстве на интервале T = (0; 1) (xx 3, 4)
;Dt (ta(t)Dt u(t)) + t b(t)u(t) = f (t) при t 2 T; u(0) = u(1) = 0;
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(код проекта 01-01-00616).
60
с операторными коэффициентами a(t); b(t). В x 4 получены априорные оценки решения этой
задачи; свойства решения (1), (2) выводятся из них как непосредственные следствия. Техника,
используемая нами для исследования абстрактной задачи, существенно использует некоторые
свойства так называемых интегральных операторов Харди в пространствах вектор-функций;
эти вспомогательные для наших целей результаты устанавливаются в следующем параграфе.
2. Интегральный оператор Харди
1. Обобщенное неравенство Харди. Пусть 2 (0; +1] и T = (0; ). Для комплексного банахова пространства X с нормой j jX , p 2 [1; 1] и вещественного через Lp; (T ; X ) обозначается
пространство измеримых функций f : T ! X таких, что функция t 2 T ! t; jf (t)jX является
элементом пространства Лебега Lp (T ); при этом полагаем
1=p
Z
kf kLp; (T ;X ) = kt; f kp =
T
jt; f (t)jp dt
X
:
(Здесь и далее t будет обозначать в зависимости от контекста не только степень конкретного
числа t, но и символ степенной функции t ! t .)
Для положительных на T измеримых функций a(s); b(s) определим формальный интегральный оператор K вида
Ku(s) = a(s)
s
Z
b(t)u(t)dt;
(3)
интеграл в котором понимается в смысле Бохнера в случае B -значной функции u. Таким образом, измеримая функция u : T ! X принадлежит области определения D(K ) оператора K , если
bu 2 L1((0; s); X ) для любого s 2 T . Формально сопряженный к нему оператор K определяется
формулой
K v(t) = b(t)
0
Z
t
a(s)v(s)ds:
(4)
Выясним, при каких a, b операторы (4) действуют в весовых классах Lp . Заметим, во-первых,
что пространство Lp; (T ; X ) содержится в D(K ) тогда и только тогда, когда t b 2 Lq (0; s) для
любого s 2 T (здесь и далее в этом параграфе q = p=(p ; 1)), т. е. b 2 Lq;; (0; s). Это следует
из того, что при всех u 2 Lp; (T ; X ) должна быть интегрируема на (0; s) по Бохнеру функция
b(t)u(t) = t b(t)t; u(t), что равносильно интегрируемости на (0; s) скалярной функции t b(t)'(t)
при любой ' 2 Lp (T ). Отсюда следует необходимость включения b 2 Lq;; (0; s).
q
q;1 .
Теорема 2.1. Пусть 1 < p < 1, b 2 Lq;; (0; s) для любого s 2 T . Положим (s) = s b(s)
;
;
Тогда
K t Ku p q kt ukp 8u 2 Lp; (T ; X ). Константа q в этом неравенстве неулучшаема.
Для доказательства понадобится
0
Лемма 2.1 ([5], с. 120). Пусть (t), (t) > 0 на T , причем (0) = 0 и
F (s) =
0 1=p
Z
0
s
f (t)dt; k0 ;1=q f kp < +1:
F p qk0;1=q f kp . Константа q в этом неравенстве неулучшаема.
В случае (t) = t последнее соотношение известно как неравенство Харди [6]. Заметим, что
Тогда
в указанных монографиях это неравенство доказано для скалярных функций, однако в силу
неравенства
Z s
Z s
f
(
t
)
dt
jf (t)jX dt
0
0
X
оно непосредственно переносится на случай функций со значениями в произвольном B -пространстве X .
61
Для u 2 Lp; (T ; X ) положим
Доказательство теоремы 2.1.
f (t) = b(t)u(t); F (s) =
s
Z
0
f (t)dt; (s) =
s
Z
0
(t b(t))q dt:
По определению (0) = 0 и 0 2 L1 (T ). Тогда 0;1=q f = t; u 2 Lp (T ; X ) и
0 (s)1=p F (s) = (s) s; Ku(s):
(s)
K(s)
Далее, применяя лемму 2.1, получим требуемую оценку.
Следствие 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Если K (s) c (s) почти всюду
(п. в.) на T для некоторой постоянной c > 0, то интегральный оператор K ограничен в Lp; (T ; X )
и для его нормы справедлива оценка kK kLp; !Lp; cq. Следовательно, интегральный оператор
K , определяемый (4), является сопряженным к K ограниченным оператором в Lq;; (T ; X ) и
kK kLq; ; !Lq; ; cq.
Доказательство. Для всех u 2 Lp; (T ; X ) по теореме имеем
1 kt; Kuk t; Ku qkt; uk ;
p
c
K
p
p
откуда следует утверждение.
Замечание. Из того, что оператор K ограничен в Lp; (T ; X ), следует ограниченность K
в сопряженном пространстве (Lp; (T ; X )) , которое, вообще говоря, для бесконечномерного X
шире, чем Lq; ; (T ; X ) при соответствующем отождествлении линейных непрерывных функционалов на Lp; (T ; X ) с X -значными скалярно измеримыми функциями из класса типа Lq [7];
однако пространство Lq; ; (T ; X ) является замкнутым подпространством (Lp; (T ; X )) и сужение K на Lq; ; (T ; X ) является ограниченным оператором в этом пространстве.
Для произвольного комплексного числа положим
(
;1 ;
h (s; t) = s t ; если t s;
0;
иначе.
Интегральный оператор H с ядром h , действующий по формуле
Hu(s) =
Z
T
h (s; t)u(t)dt = s;1
называется интегральным оператором Харди.
s
Z
0
t;u(t)dt;
Lp; (T ; X ) при 1 < p < 1 тогда и только тогда,
когда = 1=q + ; Re > 0. При этом kH kLp; !Lp; = 1= .
Доказательство. Положим a = Re . Так как jh j = ha , то D (H ) = D (Ha ) и kH kLp; !Lp; =
kHakLp; !Lp; , так что достаточно доказать утверждение для Ha.
;a 2 Lq (0; s) при s > 0, что равноНеобходимость. Если Ha определен на Lp; (T ; X ), то t
сильно неравенству 1=q + ; a > 0.
q;a(q;1) . Тогда
Достаточность. Пусть = 1=q + ; a > 0. Положим (s) = s
Z s
a
;
1
H a ( s) = s
t( ;a)q dt = ( ;a(s)q) + 1 :
0
По теореме 2.1 для произвольной функции u 2 Lp; (T ; X ) имеет место неравенство
kt; Haukp ( ; aq)q + 1 kt; ukp = 1 kt; ukp ;
Теорема 2.2. Оператор
H
ограничен в
62
причем константа 1= здесь неулучшаема.
2. Дифференцирование оператора Харди. Для локально интегрируемой скалярной или B значной функции u на T через Du будет обозначаться обобщенная производная на T [8].
Лемма 2.2. Пусть u; Du 2 L1;loc (T ), v; Dv 2 L1;loc (T ; X ), причем uDv; Duv 2 L1 (T ; X ).
Тогда
uv (после возможного изменения на множестве меры нуль ) абсолютно непреT;
2) если для некоторого a 2 [0; ] существует предел lim
u(t), равный нулю или бесконечноt!a
сти, то lim u(t)v (t) = 0.
t!a
Доказательство. Утверждение 1) следует из того, что D (uv ) = uDv + Duv . Утверждение 2)
докажем сначала для скалярной функции v. Пусть, например, lim
u(t) = L, где L = 0 или L = 1.
t!0
Предположим противное, т. е. что b = lim
u(t)v(t) 6= 0 (в силу первой части утверждения этот
t!0
предел конечен). Обозначим '(t) = u(t)v(t). Найдется такое c 2 T , что j'(t)j jbj=2 > 0 для
всех t 2 [0; c]. Так как vDu 2 L1 (T ), то и vDu=' 2 L1 (0; c). С другой стороны,
Z c
v(t)Du(t) dt = Z c Du(t) dt = (ln ju(t)j + i arg(u(t)))jc ! 1 при s ! 0;
s
'(t)
s
s u(t)
т. к. u(s) ! L при s ! 0. Из полученного противоречия следует lim
u(t)v(t) = 0.
t!0
Пусть теперь v : T ! X и b = lim
u(t)v(t) 2 X . Фиксируем произвольный линейный неt!0
прерывный функционал x 2 X . Тогда скалярная функция w(t) = hx ; v(t)i и ее производная
Dw(t) = hx ; Dv(t)i локально интегрируемы (скобки h; i обозначают отношение двойственности
между X и X ), причем uDw; Duw 2 L1 (T ). По доказанному hx ; bi = lim
u(t)w(t) = 0, откуда в
t!0
силу произвольности x 2 X следует b = 0.
; u 2 L1 ((0; s); X ) для любого s 2 T . Тогда
Теорема 2.3. Пусть t
sDHu(s) = u(s) + ( ; 1)H u(s):
(5)
1; Du 2 L ((0; s); X ), то
Если к тому же t
1
DHu = H;1 Du:
(6)
1)
функция
рывна на
Доказательство. Формула (5) получается непосредственным дифференцированием интеграла по переменному верхнему пределу. Докажем формулу (6). Рассмотрим два случая.
1) 6= 1. По формуле интегрирования по частям для произвольных s; t 2 T , t < s
Z s
Z s
1
;
1
;
;
1
1
;
;
1
1
;
s
u()d = 1 ; u(s) ; s t u(t) ; s
Du()d :
(7)
t
t
Если Re 6= 1, то lim
t1; = L, где L = 0 или L = 1. Так как по лемме 2.2 lim
t1; u(t) = 0, то,
t!0
t!0
устремляя в (7) t к нулю, получим
Z s
Hu(s) = 1 ;1 u(s) ; s;1 1; Du()d :
(8)
0
Если же = 1+ai, где a 6= 0 | вещественное число, то из условия теоремы t1; Du 2 L1 ((0; s); X )
следует, что Du 2 L1 ((0; s); X ), поэтому существует lim
u(t) = b. Условие t; u 2 L1 ((0; s); X )
t!0
влечет b = 0. Так что lim
t1;u(t) = 0 и (8) имеет место. Итак, при всех 6= 1 (8) справедливо.
t!0
Дифференцируя это равенство, получим (6).
2) = 1. Тогда Du 2 L1 ((0; s); X ) и существует lim
u(t) = b. Так как t;1u 2 L1 ((0; s); X ), то с
t!0
необходимостью b = 0. Поэтому DH1 u(s) = u(ss) = H0 Du(s).
63
Далее предполагается, что интервал T = (0; ) конечен. Введем весовое пространство Собо1 (T ; X ) как множество всех локально интегрируемых на T функций
лева вектор-функций Wp;
1 (T ; X ) банахово относительно
со значениями в X таких, что Du 2 Lp; (T ; X ). Пространство Wp;
нормы
Z
1=p
Z
kukWp; (T ;X ) =
jt; Du(t)jpX dt + ju(t)jpX dt ;
T
S
где S | фиксированный компакт в T ненулевой меры (различный выбор S приводит лишь к
эквивалентным нормировкам). Если 1=q + > 0, то для s 2 T
s
Z
0
jDu(t)jX dt Z
s
0
1=q Z
tq dt
1=p
T
jt; DujpX dt
;
1 (T ; X ) W 1 ((0; s); X ), следовательно, любая
так что имеет место непрерывное вложение Wp;
1
1
функция u из Wp; (T ; X ) имеет \след" u(0). Можно показать, что при 1=q + 0 в про1 (T ; X ) имеются бесконечно дифференцируемые на T функции, неограниченные
странстве Wp;
1 (T ; X )
в окрестности нуля. До конца этого параграфа через W обозначается пространство Wp;
1
при 1=q + 0 и W = fu 2 Wp; (T ; X ) : u(0) = 0g при 1=q + > 0.
Лемма 2.3. При 1=q + 6= 0 имеет место непрерывное вложение W Lp; +1 (T ; X ).
Доказательство. Пусть сначала 1=q + > 0. Тогда для = 0 выполнены условия теоремы
2.2, в силу которой t;1 u = H0 Du 2 Lp; (T ; X ), если Du 2 Lp; (T ; X ), т. е. u 2 Lp; +1(T ; X ).
Пусть теперь 1=q + < 0 или 1=p + (; ) > 1. По теореме 2.2 H1 ограничен в Lq;; (T ; X ), а
потому его сопряженный H1 ограничен в Lp; (T ; X ) (это пространство можно отождествить с
замкнутым подпространством сопряженного к пространству Lq;; (T ; X )). Осталось заметить,
что для u 2 W
Z u( ) ; u(t) = Du(s)ds = t(H1 Du)(t);
t
откуда следует включение u 2 Lp; +1(T ; X ), т. к. вектор u( ) 2 X может рассматриваться при
1=q + < 0 как элемент пространства Lp; +1 (T ; X ).
Замечание. Вложение W Lp; +1 (T ; X ) точно в том смысле, что вложение W в более узкое
пространство Lp; +1+" (T ; X ) при " > 0 неверно. Кроме того, в формулировке леммы исключен
случай = ;1=q, поскольку в этом случае вложение W Lp; +1(T ; X ) не выполнено, а справедливо лишь более слабое включение W Lp; +1;" (T ; X ) для любого " > 0; точное вложение
имеет место в класс Lp с весом, не являющимся степенным. Этот случай мы опускаем.
Следствие 2.2. Если Du 2 Lp; (T ; X ), то существует x 2 X , что u(t) = x + U (t), где U 2
Lp; +1(T ; X ) при 1=q + 6= 0 и U 2 Lp;1=p;" (T ; X ) при = ;1=q для произвольного " > 0.
Из доказательства леммы 2.3 видно, что в качестве элемента x 2 X нужно взять u(0) при
1=q + > 0 либо u( ) при 1=q + 0.
Теорема 2.4. Пусть Re < 1=q + + 1. Тогда
1) H 2 B (W ) и для всех u 2 W справедливо равенство (6);
1 (T ; X )) и для всех u 2 W 1 (T ; X ) справедливо
2) если 1=q + > 0 и Re < 1, то H 2 B (Wp;
p;
равенство (6).
1; Du 2 L (T ; X ) для любой функДоказательство. 1) Из условия теоремы следует, что t
1
;
ции u 2 W . Покажем, что t u 2 L1 (T ; X ). Действительно, выберем " 2 (0; 1=q + + 1 ; Re ).
По лемме 2.3 W Lp; +1;"(T ; X ), поэтому функция
jt;u(t)jX = t1+;";Re jt";;1u(t)jX
интегрируема, т. к. первый сомножитель есть элемент пространства Lq (T ) в силу неравенства
" < 1=q + +1;Re (напомним, что интервал T конечен по предположению), а второй | элемент
64
пространства Lp (T ) в силу указанного выше вложения. Следовательно, для всех u 2 W по
1 (T ; X ),
теореме 2.3 имеет место равенство (6). Из этого равенства следует теперь, что H u 2 Wp;
поскольку Du 2 Lp; (T ; X ) и H;1 Du 2 Lp; (T ; X ) (теорема 2.2). Далее, если 1=q + > 0, то
для u 2 W по лемме 2.3 имеем включение u 2 Lp; +1 (T ; X ) и, применяя неравенство Гельдера,
получаем оценку
jH u(s)jX cs1=q++1;Re kt;;1ukp ! 0 при s ! 0:
То есть (H u)js=0 = 0 и H u 2 W . Ограниченность оператора H в W следует из ограниченности
оператора DH = H;1 D в Lp; (T ; X ) и из вложения W Lp; +1;" (T ; X ).
1 (T ; X ) имеем включение u;u(0) 2 W . По доказанному
2) Для произвольной функции u 2 Wp;
выше H (u;u(0)) 2 W . Осталось заметить, что H (u(0)) = (1;);1 u(0) 2 X является элементом
1 (T ; X ) как постоянная функция.
Wp;
3. Граничная задача в гильбертовом пространстве
1. Постановка задачи, существование и единственность решения. Пусть X0 , X1 | вещественные сепарабельные гильбертовы пространства, причем X1 непрерывно и плотно вложено
в X0 . Пусть также при 2 [0; 1] X = [X0 ; X1 ] обозначает промежуточное в смысле теории
интерполяции [9] гильбертово пространство. Нормы этих пространств обозначаются через j j .
Для элементов u; v 2 X0 через u v обозначается скалярное произведение этих векторов в X0 .
На интервале T = (0; 1) рассмотрим следующую задачу с вырождением при t = 0:
; D(t a(t)Du(t)) + t b(t)u(t) = f (t) при t 2 T; uj@T = 0:
(9)
Относительно входных данных в этом параграфе предполагается
1) < min(1; + 2); 2) f 2 L2; (T ; X0 ); где =2 ; 1;
(10)
3) коэффициенты a(t), b(t) | непрерывные в соответствующих операторных нормах функции
a : [0; 1] ! B (X0 ), b : [0; 1] ! B (X1; X0 ), причем при каждом t 2 [0; 1] операторы a(t), b(t)
являются самосопряженными положительно определенными операторами в пространстве X0
(таким образом, при X1 6= X0 оператор b(t) неограничен в X0 при каждом t).
Задача (1), (2) далее рассматривается как частная реализация (9). Это можно сделать следующим образом. Для x = (x1 ; : : : ; xm ) 2 Q положим t = xm 2 T , x0 = (x1 ; : : : ; xm;1 ) 2 . Введем
пространства
\
X0 = L2(
); X1=2 = W 12(
) = fu 2 W21 (
) : uj@ = 0g; X1 = W22 (
) X1=2 ;
(11)
при этом X1=2 = [X0 ; X1 ]1=2 [9]. Для каждого t 2 [0; 1] определим операторы a(t) 2 B (X0 ),
b(t) 2 B (X1 ; X0 ) формулами
(a(t)u)(x0 ) = am;m (x0 ; t)u(x0 ); (b(t)u)(x0 ) = ;
X
i;j<m
Di (aij (x0 ; t)Dj u(x0 )):
(12)
Условия amm 2 C (Q), aij 2 C 1 (Q) при i; j < m обеспечивают непрерывность в операторных
нормах введенных функций a : [0; 1] ! B (X0 ), b : [0; 1] ! B (X1 ; X0 ). Предполагается также, что
amm (x) > 0 для всех x 2 Q и матрица (aij (x))i;j<m симметрична и положительно определена
в Rm;1, откуда следует самосопряженность и положительная определенность операторов a(t),
b(t) в X0 .
Определим пространство функций, в котором будем искать решение (9). Поскольку 1=2 ;
=2 > 0, то, как было показано в предыдущем параграфе, у функций класса W21;;=2(T ; X0 )
65
корректно определены значения в граничных точках интервала T . Положим
V = fu 2 W21;;=2(T ; X0 ) : uj@T = 0g \ L2;;=2(T ; X1=2 );
Z
; =2
1=2
2
=
2
2
2
kukV = kt Duk2;0 + kt uk2;1=2 ; где kuk2; = ju(t)j2 dt:
T
В частности, для пространств (11) V состоит из функций на Q с конечной нормой пространства
Соболева с анизотропно вырождающимся весом и удовлетворяющих граничному условию (2)
u 2 V : kukV =
1=2
Z
X
xmjDm u(x)j2 + xm jDi u(x)j2 dx
Q
i<m
< 1 и uj@Q = 0:
На пространстве V рассмотрим интегральные формы
l(u; v) =
Z
T
t a(t)Du(t) Dv(t) + t b(t)u(t) v(t)dt; hf; vi =
Z
T
(13)
f (t) v(t)dt:
Вариационная формулировка (9) заключается в отыскании функции u 2 V такой, что
l(u; v) = hf; vi 8v 2 V:
(14)
Из условий на коэффициенты a(t), b(t) легко получаем
jl(u; v)j c1 kukV kvkV ; jl(u; u)j c0 kuk2V 8u; v 2 V;
(15)
т. е. форма l ограничена и эллиптична на V . Далее, по лемме 2.3 имеем вложение V L2; 1;=2 (T ; X0 ). Поэтому
jhf; vij kt1;=2 f k2;0kt=2;1 vk2;0 ckt; f k2;0kvkV ;
(16)
откуда f 2 V . Из (15), (16) и теоремы Ф. Рисса о представлении линейного непрерывного функционала следует существование и единственность решения (14). Установлена
Теорема 3.1. Для любой правой части f 2 L2; (T ; X0 ), где =2 ; 1, решение u(t) задачи
(9) или эквивалентной ей задачи (14) существует и единственно в пространстве V , и для
; f k2;0 .
некоторой постоянной c > 0, не зависящей от f , kukV ckt
;
Следствие 3.1. Для любой правой части f 2 L2; (Q) (, xm f 2 L2 (Q)), где =2 ; 1,
решение u(x) задачи (1), (2) существует и единственно в пространстве (13), и для некоторой
постоянной c > 0, не зависящей от f , kukV ckx;m f kL2 (Q) .
2. Инвариантность задачи относительно группы степенных преобразований. В уравнении
(9) сделаем замену переменной t ! s = t1=r , где r > 0 фиксировано. Тогда (9) запишется в виде
; Ds (s^ ab(s)Ds ub(s)) + s^bb(s)ub(s) = fb(s) при s 2 T; ub(0) = ub(1) = 0;
(17)
где обозначено ub(s) = u(sr ), ab(s) = a(sr ), bb(s) = r2 b(sr ), fb(s) = r2sr;1 f (sr ), b = r( ; 1) + 1, b =
r( + 1) ; 1. Кроме того, включение f 2 L2; (T ; X0 ) равносильно включению fb 2 L2;^ (T ; X0 ), где
b = r( + 1=2) ; 1=2. Непосредственной проверкой убеждаемся, что условия (10) для уравнения
(9) переходят в аналогичные для уравнения (17)
b 2 ; 1:
1) b < min(1; b + 2); 2) fb 2 L2;b (T ; X0 ); где b =
Таким образом, рассматриваемая задача (9) инвариантна относительно подгруппы преобразований интервала T в себя вида t ! s = t1=r (r > 0). В частности, (9) можно привести к изотропному
виду, выбирая r из условия b = b, откуда находим
r = 2 + 2 ; :
(18)
66
Что касается непосредственно самих условий (10), то можно сказать, что нарушение одного
из них кардинально меняет свойства задачи. Например, при < =2 ; 1 некорректна вариационная задача (14), поскольку интеграл в правой части может быть расходящимся. Тем не
менее, как будет показано далее, и в этом случае при необходимом дополнительном ограничении
> ; 3=2 решение (9) существует и единственно в определенном классе функций. При 1
функции пространства V не имеют следа при t = 0, поэтому граничное условие первого рода на
этом конце становится некорректным и следует ставить другие условия. При 2 + существенно меняются свойства дифференциального оператора в левой части уравнения. Последние
два случая требуют отдельного рассмотрения, выходящего за рамки данной статьи.
4. Априорные оценки
На протяжении этого параграфа будет рассматриваться граничная задача
Au = f на T = (0; ); uj@T = 0
(19)
c различными дифференциальными операторами A на T .
1. Вспомогательная задача. Начнем с оценок решения (19) для оператора A = ;D(t D).
Введем гильбертово пространство решений U; = U; (T ) как множество функций u с конечной
нормой
kukU; = ;kt1; D2(t;1 u)k22;0 + kt; D(t;1 u)k22;0 1=2
и удовлетворяющих условию u( ) = 0.
1;+min(0; +1=2) при
Лемма 4.1. Для любой функции u 2 U; справедлива оценка ju(t)j0 ct
p
1
;
+1=2 6= 0 и ju(t)j0 ct
j ln tj, если = ;1=2. Следовательно, при > ; 3=2 имеет место
непрерывное вложение U; C0 ([0; ]; X0 ) = fu 2 C ([0; ]; X0 ) : uj@T = 0g.
;1 u(t). Тогда D' 2 L2; (T ; X0 ). РазДоказательство. Пусть u 2 U; . Обозначим '(t) = t
берем два возможных случая.
Rs
1) > ;1=2. Здесь L2; (T ; X0 ) L1 (T ; X0 ) и '(s) = '(0) + D'(t)dt, откуда, оценивая
0
интеграл, получим
1;+ +1=2
ju(s)j0 = js1;'(s)j0 c0 s1; + sp + 1=2 kt; D'k2;0 cs1;:
R
где
2) ;1=2. Здесь '(s) = '( ); D'(t)dt и ju(s)j0 = js1; '(s)j0 c0 s1; +s1; (s)kt; D'k2;0 ,
s
(s) = p s
j + 1=2j ; если < ;1=2; (s) = j ln sj при = ;1=2: Теорема 4.1. При > ; 3=2 оператор A = ;D (t D ) осуществляет топологический изоморфизм пространства U; на пространство L2; (T ; X0 ). Следовательно, для любой функции
f 2 L2; (T ; X0 ) для решения (19) с оператором A = ;D(tD) справедлива оценка kukU; ckt; f k2;0 .
;1 u. Тогда t Du = (1 ; )' + tD' и Au =
Доказательство. Пусть u 2 U; , ' = t
2
( ; 2)D' ; tD ', отсюда следует непрерывность оператора A из U; в L2; (T ; X0 ).
Докажем непрерывность обратного оператора к A. Интегрируя уравнение (19) с f 2 L2; (T ; X0 ),
получим t Du(t) = x0 + F (t), где x0 2 X0 ; DF = ;f и согласно следствию 2.2 F 2
L2;+1;"(T ; X0 ), причем в этом включении можно положить " = 0, если + 1=2 6= 0, в противном случае " > 0 любое. Отсюда следует включение t; F 2 L1 (T ; X0 ). Далее, интегрируя
равенство Du(t) = t; (x0 + F (t)) с учетом граничных условий, будем иметь
+1=2
q
u(s) =
Z
0
s
t;F (t)dt ; s1;
67
Z
0
t; F (t)dt
или, вводя функцию '(s) = s;1 u(s) = H F (s) ; H F ( ) и используя формулы дифференцирования, по теореме 2.4 получим
D'(s) = H;1DF (s) = ;H;1 f; sD2 '(s) = (1 ; )H;1 f (s) ; f (s):
Oтсюда для решения u получим включение u 2 U; и его оценку, т. к. H;1 2 B (L2; (T ; X0 ))
при > ; 3=2 (теорема 2.2).
При ; 3=2 теорема не верна.
Замечание.
2. Задача с постоянными операторными коэффициентами. Обозначим через 'j (t), j = 0; 1,
числовые функции, являющиеся линейно независимыми решениями однородной задачи
D(t Du(t)) + tu(t) = 0 на T;
которые однозначно определяются из условий '0 (0) = 1, '0 ( ) = 0, '1 (0) = 0, '1 ( ) = 1. Тогда
решение задачи (19) с оператором A = D(t D) + t I представимо интегралом
u(s) =
Z
T
G(s; t)f (t)dt;
(20)
где функция Грина G(s; t) = G(t; s) = c0 '0 (s)'1 (t) при t s, 1=c0 = t D'1 (t)jt=0 . Для оценки (20) воспользуемся теоремой 2.1, но прежде установим некоторые свойства функции '1 (t),
представив ее в виде '1 (t) = k1 t1; z (t), где k1 6= 0 | некоторая постоянная. Подставляя это
выражение в однородное уравнение, получим уравнение для определения z (t):
tD2 z (t) + (2 ; )Dz(t) ; tz(t) = 0; z(0) = 1:
1
P
Полагая z (t) = cj tj , из последнего уравнения получим (выкладки опускаем, поскольку они
j =0
стандартны в такого рода рассуждениях) c0 = 1, c1 = 0, (j + 1)(j + 2 ; )cj+1 ; cj;1 = 0 для
j 1, отсюда
z (t) =
1
X
j =0
aj
j Y
1
1
;
j
k+ 2 :
где a = 4 j !
t2j ;
j
k=1
(21)
Видно, что степенной ряд (21) сходится всюду в комплексной плоскости. С помощью преобразования Лапласа можно представить z (t) в интегральном виде ([10], с. 395)
z(s) = Z
1
;1
(1 ; t2 );=2 est dt = 2
Лемма 4.2. Пусть
Z
1
0
Z 1
(1 ; t2 );=2 ch st dt; где 1 = (1 ; t2 );=2 dt:
;1
(22)
> ;1, 1 p < 1. Тогда
Z
0
s
t z p (t)dt 2 j2 j (8 ; 2) s z p (s) 8s 2 (0; 1):
min(1; 1 + )
Докажем утверждение сначала для = 0, p = 1. Обозначим для краткости k0 =
= max(1; 2;=2 ). Тогда для всех t 2 [0; 1] k0 (1 + t);=2 k1 и
j
j
=
2
k1 =k0 = 2 . Интегрируя (22) по интервалу (0; s) и используя свойства бета-функции B (p; q),
Доказательство.
min(1; 2;=2 ), k1
68
получим следующую цепочку неравенств:
s
Z
0
Z1
st
;=2 e ; 1 dt =
(1
;
t
)
1
t
t
0
0
1 nZ1
1 n
X
X
= 4k1 sn! (1 ; t);=2 tn;1 dt = 4k1 sn! B (n; 1 ; =2) =
0
n=0
n=0
1
1 Z1
n
X sn
X
n
+
1
;
=
2
;=2 (st) dt = 4k1 n! B (n + 1; 1 ; =2)
(8
;
2
)
k
(1
;
t
)
1
n
n!
n=0
n=0 0
z (t)dt = 2
Z
1
(1 ; t2 );=2 sh st dt 4k
(8 ; 2)2jj=2 Z
1
0
(1 ; t2 );=2 est dt (8 ; 2)2jj=2 z (s):
Таким образом, лемма справедлива для случая = 0, p = 1. Рассмотрим случай > ;1, p = 1.
Используя разложение (21), получим
s
Z
0
t z(t)dt =
1
X
1
X
an s +2n+1 =
0
n=0
n=0 + 2n + 1
1 a
1
X
X
(2
n
+
1)
a
n s2n+1 =
n
2
n
+1
s c s
=s
(
+
2
n
+
1)(2
n
+
1)
2
n
+
1
n=0Z
n=0
s
= c s z (t)dt c (8 ; 2)2jj=2 s z (s);
an
s
Z
t+2n dt =
0
где c = max(1; 1=( +1)). Пусть, наконец, p > 1. В силу (21) функция z (t) строго возрастающая
на положительной полуоси. Тогда
s
Z
0
t z p (t)dt =
s
Z
0
t z(t)zp;1 (t)dt s
Z
0
t z(t)dt z p;1 (s) c (8 ; 2)2jj=2 s zp (s): ; 3=2 < < 3=2 + ; . При всех > 0 оператор
U; на L2; (T ; X0 ). При этом
решение задачи (19) с указанным оператором A удовлетворяет следующей оценке с постоянной
c = c(; ; ) > 0, не зависящей от ; > 0,
kukU; + kt; uk2;0 ckt; f k2;0:
(23)
Доказательство. Из леммы 4.1 и теоремы 4.1 следует непрерывность оператора A из U;
в L2; (T ; X0 ). Необходимо показать, что задача разрешима в U; для всех f 2 L2; (T ; X0 ) и
выполнена оценка (23) с постоянной c, которая не зависит от и .
Рассмотрим сначала изотропный случай = . Пусть = 1. Тогда решение задачи представимо интегралом (20) с функцией Грина G(s; t) = c0 '0 (s)'1 (t) при t s, где '1 (t) = k1 t1; z (t),
1=k1 = 1; z ( ). Рассмотрим интегральный оператор
Теорема 4.2. Пусть
A = ;D(tD) + t I
< +2
и
осуществляет изоморфизм пространства
Kf (s) = c0 '0 (s)
s
Z
0
'1 (t)f (t)dt:
Обозначим для краткости через c; постоянную в неравенстве леммы 4.2 для = 2 + 2 ;
2 > ;1. Полагая (t) = t2 '1 (t) и используя лемму 4.2 при p = 2, оценим
K(s) = c0k12 '0 (s) Z s t z 2(t)dt c0 k12 '0 (s)c; s z 2 (s) = c c ' (s)' (s) = c s;
; 0 0
1
;
(s)
s2 '1 (s) 0
s2 '1 (s)
в силу свойства функции Грина G(s; s) = s; . Отсюда по теореме 2.1 получаем оценку
kt; Kf k
2;0
; c
t;
Kf 2c kt; f k :
;
2;0
K 2;0
69
Положим теперь = 2 ; 2 > ;1 и (t) = t2;2 '1 (t). Точно так же, как и выше,
K(s) = c0 k12'0 (s) Z s tz 2 (t)dt c0 k12 '0 (s)c; sz 2 (s) = c c ' (s)' (s) = c s;;
; 0 0
1
;
(s) s2;2 '1 (s) 0
s2;2 '1 (s)
отсюда kt Kgk2;0 c; t ; K Kg2;0 2c; kt ; gk2;0 , т.е. для сопряженного к K оператора K имеем kK kL2; !L2;; = kK kL2;; !L2;; 2c; . Поскольку u = Kf + K f , то из полученных
оценок следует kt; uk2;0 2(c; + c; )kt; f k2;0. Отсюда и из теоремы 4.1 следует доказательство для случая = 1, т. к. ;D(t Du) = f ; t u. Случай
p произвольного > 0 сводится к
рассмотренному переходом к новой переменной t ! s = t, относительно которой уравнение
примет вид
p
;Ds(s Dsub) + sub = =2;1fb на Tb = (0; );
p
где ub(s) = ub( t) = u(t). По доказанному kubkUb; + ks; ubk2;0 c=2;1 ks; fbk2;0 , причем c =
p
c(; ) не зависит от длины Tb. Переходя в последнем неравенстве к старой переменной t = s= ,
получим неравенство (23) при = с той же самой постоянной c.
В случае 6= сделаем замену t ! s = t1=r , где r определяется из (18), в результате чего
уравнение примет вид
;Ds (s^ Ds ub) + r2s^ ub(s) = fb(s) при s 2 Tb = (0; 1=r ); ubj@Tb = 0;
где ub(s) = u(sr ), fb(s) = r2 sr;1f (sr ), b = r(;1)+1. Как было отмечено в предыдущем параграфе,
включение f 2 L2; (T ; X0 ) равносильно включению fb 2 L2;^ (Tb; X0 ), где b = r( + 1=2) ; 1=2,
причем 2 ( ; 3=2; 3=2+ ; ) тогда и только тогда, когда b 2 (b ; 3=2; 3=2). По доказанному
b b )ks;^ fbk2;0 :
kubkU;^ ^ + r2ks^;^ ubk2;0 c(;
Отсюда, сделав обратную замену s ! t = sr , убеждаемся в справедливости оценки (23).
Замечание. Интервал ; 3=2 < < 3=2 + ; , указываемый в теореме, не пуст и максимален в том смысле, что при ; 3=2 невозможна оценка kukU; ckt; f k2;0 , а при
3=2 + ; , вообще говоря, kt; uk2;0 = 1 для u 2 U; .
Далее рассматриваются дифференциальные операторы с постоянными операторными коэффициентами a 2 B (X0 ), b 2 B (X1 ; X0 ), которые считаются самосопряженными и положительно
определенными операторами в X0 .
Теорема 4.3. Пусть < + 2. При ; 3=2 < < 3=2 + ; оператор A = ;D (t aD ) + t b
осуществляет изоморфизм U; \ L2; ; (T ; X1 ) на L2; (T ; X0 ). При этом имеет место оценка
решения задачи
kukU; + kt; buk2;0 ckt; f k2;0;
(24)
c = c(; ; ; a), не зависящей от и b.
Доказательство. Пусть сначала a = I | тождественный оператор. Тогда доказательство
сводится к получению оценки kt; buk2;0 c(; ; )kt; f kP
2;0 . Используем спектральное представление ([11], c. 375) X0 на гильбертову прямую сумму L2 (i ) относительно оператора b,
i2J
где J | некоторое множество, fi : i 2 J g | семейство конечных положительных мер, определенных
на борелевских множествах спектра (b) (0; +1). Пусть U | изоморфизм X0 на
P
L2 (i ), осуществляющий спектральное представление относительно b. Тогда по определению
i2J
(U bx)i () = (U x)i () i {п. в. 8i 2 J . Для f 2 L2; (T ; X0 ) положим fi (t; ) = (U f (t))i (). Тогда
задача ;D(t Du) + t bu = f , uj@T = 0 эквивалентна задаче
;Dt (tDt i(t; )) + t i (t; ) = fi(t; ) при t 2 T; i(0; ) = i(; ) = 0
с постоянной
70
для 2 (b), i 2 J , где u и связаны соотношением i (t; ) = (U u(t))i (). По теореме 4.2 имеем
2
Z
T
jt; i(t; )j2dt c
Z
T
jt; fi(t; )j2dt;
где c = c(; ; ) не зависит от и i. Интегрируя это неравенство по мере i на спектре (b)
и суммируя затем по i 2 J , получим неравенство, эквивалентное неравенству kt; buk2;0 ckt; f k2;0 в силу определения спектрального представления U .
Случай произвольного a сводится к a = I умножением уравнения на a;1=2 . Тогда уравнение
примет вид ;D(t Dub) + tbbub = fb, где ub(t) = a1=2 u(t), fb(t) = a;1=2 f (t) и bb = a;1=2 ba;1=2 2
B (a1=2 (X1 ); X0 ). Понятно, что ограниченные операторные множители a1=2, a;1=2 не влияют на
принадлежность функции соответствующему классу. По доказанному
ka1=2 t1; D2(t;1 u)k2;0 + ka1=2t; D(t;1u)k2;0 + ka;1=2 t; buk2;0 cka;1=2 t; f k2;0;
где c зависит только от , , . Отсюда вытекает (24).
В условиях теоремы для решения справедлива оценка
kukU; + kt; uk2;1 ckt; f k2;0;
где c = c(; ; ; a; b) не зависит от T .
Доказательство непосредственно следует из (24), т. к. jxj1 kb;1 kX0 !X1 jbxj0 .
3. Переменные операторные коэффициенты. Пусть a : [0; ] ! B (X0 ), b : [0; ] ! B (X1 ; X0 )
| непрерывные функции в операторных нормах и при каждом t 2 [0; ] операторы a(t), b(t)
являются самосопряженными положительно определенными операторами в пространстве X0
(для оператор-функций (12) задачи (1), (2) условия, обеспечивающие их непрерывность, были
оговорены в x 3). Для функции a : T ! B (X0 ) дополнительно предполагается существование
производной a0 (t), удовлетворяющей условиям
Следствие 4.1.
1) lim
tja0(t)jX0 !X0 = 0; 2) ja0 jX0 !X0 2 L2; (T );
t!0
где
(25)
(
tmin(0; +1=2) ; если + 1=2 6= 0;
(t) = p
j ln tj;
если = ;1=2:
Для функции (12) условия (25) примут вид
1) xlim
xm
m !0
Z
jDm a(x0; xm )j2 dx0
1=2
= 0; 2)
Z
Q
jx;m (xm )Dma(x)j2 dx < +1:
; 3=2 < < 3=2 + ; . Если выполнены условия (25), то при до > 0 дифференциальный оператор A = ;D(ta(t)D) + t b(t) осуществляет
изоморфизм U; \ L2; ; (T ; X1 ) на L2; (T ; X0 ). Tаким образом, для решения задачи (19) спраЛемма 4.3. Пусть
статочно малом
ведливы двусторонние оценки
kukU; + kt; uk2;1 kt; f k2;0:
Доказательство.
Наряду с оператором A рассмотрим дифференциальный оператор A0 =
;D(ta(0)D) + t b(0), который по теореме 4.3 является топологическим изоморфизмом пространства W = W (T ) = U; (T ) \ L2; ; (T ; X1 ) на L2; (T ; X0 ). Для доказательства достаточно
показать, что при достаточно малом > 0 разность A ; A0 можно сделать сколь угодно малой в
норме пространства B (W (T ); L2; (T ; X0 )). Так как Au(t);A0 u(t) = (a(0);a(t))D(t Du)+t (b(t);
71
b(0))u ; t a0(t)Du(t), то в силу непрерывности функций a, b и условий (25) при достаточно малом
> 0 будем иметь
kt; (Au ; A0 u)k2;0 tmax
ka(t) ; a(0)kX0 !X0 kukU; +
2[0; ]
+ tmax
kb(t) ; b(0)kX1 !X0 kt; uk2;1 + kt; a0Duk2;0 2[0; ]
"kukW + sup kta0kX0 !X0 kt; D(t;1u)k2;0 + (1 ; )kt; a0t;1uk2;0 t2[0; ]
2"kukW + ckt; ja0jX !X k2kukU; (2 + c)"kukW ;
0
0
где для оценки jt;1 u(t)j0 использована лемма 4.1.
Теорема 4.4. Пусть ; 3=2 < < 3=2 + ; и выполнены условия (25). Тогда для диф
ференциального оператора A = ;D (t a(t)D ) + t b(t) на W = U; \ L2; ; (T ; X1 ) имеет место
оценка
kukU; + kt; uk2;1 c(kt; Auk2;0 + k(; )Duk2;0)
2 (0; ), где постоянная c не зависит от u.
1
Доказательство. Пусть f'j 2 C0 (R) : j = 0; N g | разбиение единицы интервала T =
(0; ), подчиненное покрытию fTj : j = 0; N g, где интервалы Tj = (aj ; bj ) достаточно малы и
a0 < 0 < a1 < b0 < a2 < b1 < < aN < bN ;1 < < bN . Обозначим f = Au, uj = 'j u, fj = 'j f .
для некоторого
Тогда
Auj = fj ; D'j (D(t au) + t aDu) ; D2 'j tau = gj :
Используя локальные оценки леммы 4.3 для uj на каждом Tj и затем суммируя их по всем j ,
получим
kukW =
N
X
j =0
u
j W
N
X
j =0
kuj kW c
N
X
j =0
kt; gj k2;0 ce(kt; f k2;0 + k(; )Duk2;0);
т. к. производные D'j , D2 'j равны нулю в некоторой окрестности t = 0, поскольку в этой
окрестности '0 (t) 1 и 'j 0 при j 1.
Следствие 4.2. Если =2 ; 1 < 3=2 + ; , то дифференциальный оператор A =
;D(ta(t)D) + t b(t) осуществляет изоморфизм U; \ L2;; (T ; X1 ) на L2; (T ; X0 ) и, следовательно, для решения задачи (19) справедливы двусторонние оценки
kukU; + kt; uk2;1 kt; f k2;0:
Доказательство сразу следует из теоремы 3.1, т. к. k(; )Duk2;0 ckt=2 Duk2;0 .
Следствие 4.3. Пусть ; 3=2 < < 3=2 + ; и пространство X1 компактно вложено
в X0 . Тогда дифференциальный оператор A = ;D(t a(t)D) + t b(t) является изоморфизмом
пространства W = U; \ L2; ; (T ; X1 ) на L2; (T ; X0 ) и для решения задачи (19) справедливы
двусторонние оценки kukU; + kt; uk2;1 kt; f k2;0 .
Доказательство. Если X1 компактно вложено в X0 , то при некотором < ; 0:5(+ ) пространство U; \ L2; ; (T ; X1 ) компактно вложено в W21; (T ; X0 ). Отсюда и из оценки kukW c(kt; Auk2;0 + kt; Duk2;0) следует, что kt;Duk2;0 c1 kt; Auk2;0 ([12], с. 16). Таким образом,
оператор A действует непрерывно и взаимнооднозначно из W на некоторое замкнутое подпространство пространства L2; (T ; X0 ). С другой стороны, из следствия 4.2 вытекает, что множество
A(W ) плотно в L2; (T ; X0 ), поскольку содержит функции вида ("; )f , где " > 0 и f 2 L2; (T ; X0 )
любые. Таким образом, A(W ) = L2; (T ; X0 ) и A | изоморфизм.
72
Приведем теперь основной результат, касающийся задачи (1), (2). В этом случае по опреT делению (11) пространство Соболева X1 = W22 (
) W 12 (
) компактно вложено в пространство
X0 = L2 (
). Пространство W = U; \ L2; ; (T ; X1 ) | это пространство Соболева функций на
Q с анизотропным весом, имеющих конечную норму
kukW =
Z
Q
jx1; D2 (x;1 u(x))j2 + jx; D
m
m m
m
m
(x;1 u(x))j2 +
X
i;j<m
jxm; Di Dj u(x)j2 dx
1=2
и удовлетворяющих краевому условию uj@Q = 0. Применительно к рассматриваемому случаю
из последнего утверждения получим
Следствие 4.4. Пусть выполнены условия на коэффициенты дифференциального оператора A левой части уравнения (1), указанные выше, и ; 3=2 < < 3=2 + ; . Тогда оператор
A является изоморфизмом пространства W на L2; (Q). Следовательно, для решения задачи (1),
(2) имеют место двусторонние оценки kukW kx;m f kL2 (Q) .
Литература
1. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный
метод // ДАН СССР. { 1981. { Т. 257. { Є 1. { C. 42{45.
2. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // ДАН СССР. { 1981. { Т. 257. { Є 2. { C. 278{282.
3. Кыдыралиев С.К., Аширбаева А. Гладкость решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. { Бишкек, 1991. {
Bып. 23. { C. 137{142.
4. Тимербаев М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифференц. уравнения. { 2000. { T. 42. { Є 7. { C. 1086{
1093.
5. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных
функций. { М.: Наука, 1989. { 254 с.
6. Харди Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. { М.: Ин. лит., 1948. { 456 с.
7. Ionescu Tulcea A., Ionescu Tulcea C. Topics in the theory of lifting. { Berlin{N. Y.: SpringerVerlag, 1969. { 250 p.
8. Adams R.A. Sobolev spaces. { New York, San Francisco, London: Academ. press, 1975. { 270 p.
9. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. { М.: Мир, 1980. { 664 с.
10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. { 10-е изд. { М.: Наука, 1974. { 672 с.
11. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральная теория. { М.: Ин. лит.,
1966. { 1063 c.
12. Тимербаев М.Р. Об усиленных пространствах Соболева. { Казанск. матем. о-во, 1998. { 32 с.
Казанский государственный
Поступила
18.06.2002
университет
73
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
268 Кб
Теги
граница, решение, оценки, вырождением, часть, дирихле, задачи, весовые, анизотропные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа