close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Восстановление дифференциального оператора 4-го порядка по нулям собственных функций.

код для вставкиСкачать
?(1, t, . . . , tn ),
если
t ? R2? (A? )(R2? (A? )).
Используя таким образом точ-
ки из (6), мы приходим к выводу, что если
(2)
Pn (A, ti+1 )
>
(1)
(<)Pn (A, ti+2 ), i
= 1, n.
(2)
(1)
Pn (A, ti ) < (>)Pn (A, ti+1 ),
то
Следовательно, производная полинома
Pn (A, t) обязана иметь, по крайней мере, n нулей. Это означает, что A = On+1
и противоречит (8). Теорема доказана.
Примеры показывают, что решение задачи (1) может удовлетворять
условиям теоремы 2, а может и не удовлетворять, то есть оно не является необходимым условием решения.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ
на поддержку ведущих научных школ (НШ-2970.2008.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сендов Б. Хаусдорфовы приближения. София, 1979. 372 c.
2. Сорина Е.В. О наилучшем приближении многозначного отображения полиномиальной полосой // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл.
13-й Сарат. зимней шк. Саратов, 2006. С. 164-165.
3. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. 320 c.
УДК 517.984
М.Ю. Игнатьев
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
4-ГО ПОРЯДКА ПО НУЛЯМ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим самосопряженный дифференциальный оператор
L,
порож-
денный дифференциальным выражением
`y = y (4) + (p(x)y 0 )0 + q(x)y
с вещественными коэффициентами
p(x) ? C 2 [0, 1], q(x) ? C[0, 1] и краевыми
условиями
y(0) = y 00 (0) = y(1) = y 00 (1) = 0.
Пусть
{?n }, n = n0 , n0 + 1, . . . ,
собственные значения оператора
L,
за-
4
n ? ? ?n = (n? + O(1)) и пусть
(n)
yn (x) соответствующие собственные функции. Обозначим через XL множество нулей функции yn (x). Из асимптотик собственных функций [1] сле(n)
дует, что, начиная с некоторого номера N , множества XL
непусты и их
(n)
элементы xj
могут быть занумерованы так, что справедлива асимптотика
нумерованные таким образом, что при
(n)
xj = jn?1 +o(n?1 ) при n ? ? равномерно по c1 n < j < c2 n для любых фикS
(n)
сированных 0 < c1 < c2 < 1. Обозначим XL =
XL . Из асимптотики
n=N,?
23
(n)
xj
XL всюду плотно на отрезке [0, 1]. Пусть X произвольное
всюду плотное на [0, 1] подмножество XL . Рассмотрим следующую обратную
следует, что
задачу.
Задача 1. По заданному множеству
X и числам ?? , ? = 0, 3, таким,
что ?n =
n? +
3
P
4
??
?? n
+ o(n )
, найти коэффициенты p(x) и q(x).
3
P
(n)
?3
?=0
Обозначим
??n = n? +
?=0
?? n?? , ?j
(n)
= ??n xj ? j? .
Основной результат
статьи содержит следующая теорема.
Теорема 1. Пусть x произвольная точка из интервала (0, 1) и
(n )
пусть последовательность xk = xjk k
Обозначим ?k =
? X такова, что lim xk = x.
k??
(n )
?jk k .
Тогда существуют пределы lim ??nk ?k = ?(x),
k??
lim ??3nk ?k ? ??2nk ?(xk ) = ?(x). Далее, для каждого x ? (0, 1)
k??
p(x) = ?4?0 (x),
q(x) = ?4? 0 (x) ? 2?2 (x)?0 (x) + 2(?0 (x))2 + 4?(x)?0 (x) ? ?000 (x) ? 4?(x)?00 (x).
Из теоремы 1 следует единственность решения задачи 1, а также конструктивная процедура ее решения, состоящая в последовательном нахож-
?(x), ?(x), а затем коэффициентов p(x), q(x).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты
07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).
дении функций
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 c.
Т.В. Иофина
УДК 517.51
СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ И ИХ ЛИНЕЙНЫХ
СРЕДНИХ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ
В ПРОСТРАНСТВАХ ЛИПШИЦА
{pi }?
i=1 последовательность натуральных чисел, такая что
2 ? pi ? N , m0 = 1, mn = p1 p2 . . . pn при n ? N. Каждое x ? [0, 1) имеет раз?
P
xn
ложение x =
mn , где xn ? Z и 0 ? xn < pn . Для таких x, y ? [0, 1) опредеПусть
n=1
лим разность
z = x y , где z =
?
P
n=1
неотрицательное
zn
mn , zn
= xn ? yn (mod pn ). Каждое целое
k представимо в виде k =
?
P
n=1
24
mn?1 kn , где kn ? Z и 0 ? kn <
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
306 Кб
Теги
дифференциальной, нуля, восстановлен, оператора, функции, порядке, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа