close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Гауссовские почти периодические в среднем квадратичном соленоидальные векторные поля.

код для вставкиСкачать
134 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
MSC 81P20
АУССОВСКИЕ ПОЧТИ ПЕИОДИЧЕСКИЕ В СЕДНЕМ
КВАДАТИЧНОМ СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ ВЕКТОНЫЕ ПОЛЯ
Л.Т. Фат, Ю.П. Вирченко
Белгородский государственный университет,
ул. Победы, 85, Белгород, 308015, оссия, e-mail: virhbsu.edu.ru
Аннотация. ассматриваются случайные гауссовские векторные поля в R3 с нулевым
средним значением, реализации которых с вероятностью единица являются почти-периодическими
в среднем квадратичном. Находится общий вид корреляционной ункции таких случайных
полей в том случае, когда они с вероятностью единица являются гладкими и обладают свойством соленоидальности.
Ключевые слова: соленоидальное поле, ункции почти периодические в среднем квад-
ратичном, гауссовское случайное поле, корреляционная ункция.
Пусть A?i (x), i = 1, 2, 3 гауссовское случайное векторное поле с нулевым средним,
hA?i (x)i = 0. Оно полностью характеризуется корреляционной ункцией
Kij (x, y) = hA?i (x)A?j (y)i ,
x, y ? R3 ; i, j = 1, 2, 3.
Пусть это поле является гладким с вероятностью единица и с той же вероятностью
обладает свойством соленоидальности, то есть для почти каждой его реализации выполняется
?i A?i (x) = 0 .
(1)
Это приводит к тому, что корреляционная ункция Kij (x, y) удовлетворяют уравнению
?Kij (x, y)
?Kij (x, y)
=
= 0.
?xi
?yj
Будем, далее, считать, что поле A?i (x), x ? R3 таково, что с вероятностью единица
его реализации представляются почти-периодическими в среднем квадратичном ункциями. Это означает, что почти каждая случайная реализация представима в виде ряда
X
A?i (x) =
a?i (?) exp(i(?, x)) ,
(2)
??A?
где суммирование производится по случайному не более чем счетному множеству A?
векторов ? из R3 , однозначно определяемому реализацией A?i (x), а набор случайных
коэициентов a?i (?), ? ? A?, i = 1, 2, 3 квадратично суммируем
X
|a?i (?)|2 < ? ,
(3)
??A?
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34 135
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
где множество A? векторов ? определяется условием
Z
1
A?i (x) exp(?i(x, ?))dx 6= 0 .
a?i (?) = lim3
??R |?|
(4)
?
Заметим, во избежание возможного ошибочного представления, что наличие разложений (2) случайных реализаций гауссовского поля A?i (x), x ? R3 не означает, что это
поле обязательно обладает дискретным спектром. Это связано с тем, что множество A?
векторов ?, по которому производится суммирование в (2), не является иксированным, как это было бы при наличии только дискретного спектра у поля A?i (x), а это
эективно может приводить к появлению непрерывного спектра у поля A?i (x).
Формулу (2) можно представить в следующем виде
Z
A?i (x) =
exp(i(?, x))A??(k)dk ,
(5)
R3 ЧR3
где A??(k) обобщенная случайная ункция
A??i (k) =
X
?? ?A?
1
a?i (? )?(? ? ? ) =
(2?)3
?
?
Z
A?i (x) exp(?i(?, x))dx ,
(6)
R3 ЧR3
Целью настоящего сообщения является доказательство общего представления для
корреляционных ункций случайных гауссовских векторных полей описанного выше
типа.
1. Основная теорема.
Пусть гауссовское случайное векторное поле A?i (x) является с вероятностью единица почти-периодическим в среднем квадратичном и с той же
вероятностью все его частные производные ?i A?j (x) реализаций поля A?i (x) локально
квадратично интегрируемы и являются почти периодическими ункциями в среднем
квадратичном, для которых выполнено условие ?i A?i (x) = 0.
Тогда для корреляционной ункции поля {A?i (x)} справедливо следующее представление
(x ) (x )
Ki1 i2 (x1 , x2 ) = ??i1 j1 k1 ?i2 j2 k2 ?j1 1 ?j2 2 Rk1 k2 (x1 , x2 ) ,
(7)
где Ri1 i2 (x1 , x2 ) корреляционная ункция некоторого гладкого с вероятностью единица гауссовского поля с нулевым средним.
(Операторы ?(x1 ) , ?(x2 ) обозначают градиенты, соответственно, по переменным
x1 и x2 .)
Ввиду наличия соленоидальности у реализаций A?i (x) с вероятностью единица,
подставив разложение (2) в (1), получим
?i A?i (x) =
X
??A?
?i a?i (?) exp(i(?, x)) = 0 ,
136 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
где в левой части, ввиду гладкости случайных реализаций A?i (x) в среднем квадратичном, стоит ряд, квадратично суммируемый с вероятностью 1,
X
??A?
?2 |a?i (?)|2 < ? .
(8)
Вследствие однозначности разложения почти-периодической в среднем квадратичном в ряд вида (2), получаем бесконечный набор условий для коэициентов разложения
?i a?i (?) = 0 , ? ? A? .
(9)
ассмотрим набор случайных коэициентов a?i (?), ? ? A?, занумерованных случайным счетным множеством A? ? R3 , который представляет ненулевые значения линейного преобразования (4) некоторой реализации A?i (x) исходного случайного поля.
Этот набор можно рассматривать как реализацию случайного поля {a?i (?); ? ? R3 },
которое получается линейным преобразованием (4) случайного поля {A?i (x); x ? R3 }
и которая обращается в нуль при ? ? R3 \ A? (по этой причине такое случайное поле
{a?i (?); ? ? R3 } несепарабельно). Такой подход позволяет избавиться от явного учета
случайного множества A?. Кроме того, при таком рассмотрении поле {a?i (?); ? ? R3 }
является гауссовским, так как оно получается посредством линейного преобразования
гауссовского случайного поля {A?i (x); x ? R3 }. Оно имеет нулевое среднее значение,
1
ha?i (?)i = lim3
??R |?|
Z
hA?i (x)i exp(?i(x, ?))dx = 0 ,
?
где ? может (после усреднения) принимать любые значения из R3 .
На основании (5) и (6) имеет место
Di1 ,i2 (?1 , ?2 ) ?
Z
Ki1 ,i2 (x1 , x2 ) exp(?i[(?1 , x1 ) ? (?2 , x2 )])dx1 dx2 =
R3 ЧR3
=
Z
?
hA?i1 (x1 )A?i2 (x2 )i exp(?i[(?1 , x1 ) ? (?2 , x2 )])dx1 dx2 = hA??(?1 )A?? (?2 )i ,
R3 ЧR3
1
Ki1 ,i2 (x1 , x2 ) =
(2?)6
Z
Di1 ,i2 (?1 , ?2 ) exp(i[(?1 , x1 ) ? (?2 , x2 )])d?1 d?2 .
(10)
(11)
R3 ЧR3
Поэтому обобщенная случайная ункция A??(k) полностью характеризуется корреляционной ункцией Di1 ,i2 (?1 , ?2 ) и эта обобщенная тензор-ункция однозначно характеризует корреляционную ункцию Ki1 ,i2 (x1 , x2 ) для случайных полей, реализации которых
принадлежат пространству почти-периодических в среднем квадратичном случайных
полей.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34 137
Свернув тензор Di1 ,i2 (?1 , ?2 ) с вектором ?1 или вектором ?2 и применив ормулу
(9) и (6) для усредняемых реализаций a?i1 (?1 ), a?i2 (?2 ), получим необходимое и достаточное условие для корреляционной ункции Di1 ,i2 (?1 , ?2 ) для того, чтобы поле {a?i (?)}
соответствовало соленоидальному полю {A?i (x)},
(?1 )i1 Di1 ,i2 (?1 , ?2 ) = (?2 )i2 Di1 ,i2 (?1 , ?2 ) = 0 .
(12)
Проанализируем это условие. Для этого представим общее решение уравнения (9) в
следующем виде, рассматривая его при иксированном значении вектора ?,
a?i (?) = ?ijk ?j b?k (?) ,
(13)
где ?ijk псевдотензор Леви-Чивитта, b?k (?) некоторый случайный вектор. Такое
представление связано с тем, что весь класс векторов a, ортогональных вектору ?,
описывается ормулой a = [?, b], где b произвольный вектор, неколлинеарный вектору ?. Общее решение вырожденного линейного уравнения (13) относительно вектора
b?i (?) при иксированном значении вектора a?k (?) имеет вид (если ? 6= 0)
b?i (?) = ?(?)?i ? ??2 ?ijk ?j a?k (?) ,
(14)
где ?(?) произвольная ункция от ?. Если рассматривать это решение для всей
совокупности случайных реализаций a?i (?), то совокупность всех ункций b?i (?), ? ? R3
будет составлять случайное поле {b?i (?)} при условии, что, дополнительно, определено
случайное скалярное поле с реализациями ?(?), ? ? R3 .
С другой стороны, из ормул (13) и (14) видно, что скалярное поле {?(?)} не дает
в клада в поле a?i (?) и поэтому его можно выбрать произвольно. Положим его равным
нулю. Тогда b?i (?) = ???2 ?ijk ?j a?k (?) и поле {b?i (?)}, как линейное преобразование гауссовского поля является тоже гауссовским и обладает вслед за полем {a?i (?)} нулевым
средним значением. Его реализации обращаются в нуль в тех же точках, что и порождающие их реализации a?i (?), то есть семейством векторов ? ? R3 , в которых реализация
b?i (?) не обращается в нуль, является семейство A?, соответствующее порождающей реализации. Тогда распределение вероятностей поля {b?i (?)} порождается распределением
вероятностей поля {a?i (?)}. При этом в силу выполнимости свойства (8) для реализаций
a?i (?) с вероятностью 1, для реализаций b?i (?) выполняется с той же вероятностью
X
?4 |b?i (?)|2 < ?
(15)
??A?
с тем же семейством A?. И обратно, если выполняется (14), то поле {a?i (?)}, определяемое ормулой (13), является гауссовским поле с нулевым средним, для которого
выполняется условие (8). Тогда определив произвольное гауссовское поле {b?i (?)} с нулевым средним и с реализациями, удовлетворяющими с вероятностью 1 условию (15),
мы, тем самым, определим однозначным образом случайное поле {a?i (?)}.
? (?)} с реализациями
Введем обобщенное случайное поле {B?
i
X
? (?) =
B?
b?i (?? )?(?? ? ?) .
i
?? ?A
138 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
Оно является гауссовским полем с нулевым средним, так как получается из поля A??i (?)
на основе его линейного преобразования. Поэтому поле {B?i (?)} полностью определяется
своей обобщенной корреляционной ункцией
? (? )B?
? ? (? )i .
Ci1 ,i2 (?1 , ?2 ) = hB?
i1
1
2
i2
Определив урье-преобразование
Z
X
? (?) exp(i(x, ?))d? =
B?i (x) = B?
b?i (?)ei(x,?) ,
i
??A?
R3
? (?)} и которое, таким образом
которое является линейным преобразованием поля {B?
i
является гауссовским случайным полем с нулевым средним, выразим, аналогично ормуле (11), корреляционную ункцию Ri1 ,i2 (x1 , x2 ) = hB?i1 (x1 )B?i2 (x2 )i, следующим образом его полностью определяющую через корреляционную ункцию Ci1 ,i2 (?1 , ?2 ),
Z
1
Ri1 ,i2 (x1 , x2 ) =
Ci1 ,i2 (?1 , ?2 ) exp(i[(?1 , x1 ) ? (?2 , x2 )])d?1 d?2
(16)
(2?)6
R3 ЧR3
так, что имеет место обратная связь
Z
Ci1 ,i2 (?1 , ?2 ) =
Ri1 ,i2 (x1 , x2 ) exp i[(x2 , ?2 ) ? (x1 , ?1 ]) dx1 dx2 .
R3 ЧR3
Корреляционные ункции Ri1 ,i2 (x1 , x2 ), Ci1 ,i2 (?1 , ?2 ) являются положительно определенными, то есть имеют место неравенства
Z
Ri1 ,i2 (x1 , x2 )ui1 (x1 )u?i2 (x2 )dx1 dx2 ? 0 ,
R3 ЧR3
Z
Ci1 ,i2 (?1 , ?2 )u?i1 (?1 )u??i2 (?2 )d?1 d?2 ? 0
R3 ЧR3
для любых инитных измеримых вектор-ункций ui (·). Кроме положительной определенности, корреляционная ункция Ri1 ,i2 (x1 , x2 ), дополнительно, должна быть диеренцируемой как по переменной x1 , так и по переменной x2 . Она должна быть подчинена дополнительному условию, которое является следствием (15). Такое условие ормулируется в терминах корреляционной ункции Ri1 ,i2 (x1 , x2 ) случайного поля {B?i (x)}
для которого, в силу выполнимости условия (15), существуют все вторые частные производные
X
?k ?l B?i (x) = ?
?k ?l b?i (?)ei(x,?) ,
??A?
как интегрируемые и почти-периодические в среднем квадратичном ункции.
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34 139
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Из ормулы (13) вытекает следующая связь между корреляционными ункциями
Ci1 ,i2 (?1 , ?2 ) и Di1 ,i2 (?1 , ?2 ),
Di1 ,i2 (?1 , ?2 ) = ?i1 j1 k1 ?i2 j2 k2 (?1 )j1 (?2 )j2 Ck1 ,k2 (?1 , ?2 ) .
(17)
Воспользовавшись определениями корреляционных ункций Ki1 i2 (x1 , x2 ) и Ri1 i2 (x1 , x2 ),
получим ормулу (7) ормулировки теоремы. Заметим, что корреляционная ункция (7) удовлетворяет условию
(x )
(x )
?i1 1 Ki1 i2 (x1 , x2 ) = ?i2 2 Ki1 i2 (x1 , x2 ) .
2. Пример гауссовского соленоидального поля.
Пусть sj , j = 1, 2, 3 псевдовектор в R3 и a?j , b?j , j = 1, 2, 3 два гауссовских случайных эквивалентных вектора с
нулевым средним значением ha?j i = hb?j i = 0 и ковариационной матрицей ha?i a?j i = hb?i b?j i =
? 2 ?ij . Эти векторы статистически зависимы так, что hai bj i = r 2 ?ijk sk и шестимерный
случайный вектор ha?j , j = 1, 2, 3; b?j , j = 1, 2, 3i является гауссовским с ковариационной
матрицей
2
? 1 F
G=
,
Fij = r 2 ?ijk sk .
FT ?21
Эта матрица симметрична и неотрицательна при |s|r 2 ? ? 2 ,
2
2
2
2
hu, vi, Ghu, vi = ? (u + v ) + r (u, [v, s]) ? (v, [u, s]) ? 0 ,
как это необходимо для того, чтобы представлять ковариационную матрицу случайного
вектора. Последнее неравенство следует
непосредственно из неравенств
(u, [v, s]) ? ?|s| · |u| · |v|, (v, [u, s]) ? |s| · |u| · |v|.
Ковариационная матрица каждого из векторов ?ikl sk a?l , ?jmn sm b?n равна ? 2 Sij , Sij =
2
s ?ij ? si sj . Так как среднее
?ikl sk ?jmn sm ha?l b?n i = ?r 2 Sin ?jmn sm ,
то ковариационная матрица соответствующего шестимерного вектора равна
2
? S
?SF
.
?(SF)T
?2 S
Определим стохастически трансляционно инвариантное случайное поле
B?j (x) = a?j cos(s, x) + bj sin(s, x)
с дискретным спектром, сосредоточенном на векторах s, -s, корреляционной ункцией
Rj1 ,j2 (x1 , x2 ) = ? 2 ?j1 j2 cos(s, x1 ? x2 ) + r 2 ?j1 j2 l sl sin(s, x2 ? x1 )
140 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
и поле Aj (x) = ?ijk sj Bk (x) с корреляционной ункцией ?i1 j1 k1 ?i2 j2 k2 sj1 sj2 Rk1 k2 (x1 , x2 ).
Отметим появление в корреляционной ункции Rij (x, y) слагаемого, пропорционального ?j1 j2 l sl , на возможность существования гауссовских полей такого типа указывалось
в работах [4-7?, однако, вопреки примененной в этой работе по отношению к полям такого типа терминологии, реализации рассматриваемого нами поля не обладают какойлибо топологической нетривиальностью. Соответствующее обобщенное случайное поле
? (?) определяется ормулой
B?
j
? (?) = 1 a? ?(? ? s) + ?(? + s) ? i b? ?(? ? s) ? ?(? + s) .
B?
j
j
j
2
2
Вычисление его корреляционной ункции дает
? (? )B?
? ? (? )i =
Cij (?1 , ?2 ) = hB?
1
2
1
= ?(?1 ? ?2 ) ? 2 ?ij (?(?1 ? s) + ?(?1 + s)) + ir 2 ?ijl sl (?(?1 ? s) ? ?(?1 + s)) .
2
Соответственно, корреляционная же ункция D (? , ? ) поля A?? (?) равна
ij
1
2
j
1
Dij (?1 , ?2 ) = ?(?1 ? ?2 ) ? 2 Sij (?(?1 ? s) + ?(?1 + s)) + ir 2 Sik ?jkl sl (?(?1 ? s) ? ?(?1 + s)) .
2
3. Стохастически симметричные гауссовские поля.
Если почти-периодическое
в среднем квадратичном случайное поле {A?i (x)} стохастически трансляционно инвариантно (однородно), то его корреляционная ункция Ki1 i2 (x1 , x2 ) зависит только от
разности x = x1 ? x2 . В этом случае соответствующее обобщенное случайное поле
{A??i (?)} обладает корреляционной ункцией Di1 ,i2 (?1 , ?2 ), которая пропорциональна
?(?1 ? ?2 ), как это имело место в примере, приведенном выше. Тогда, вследствие (17),
таким же свойством обладает корреляционная ункция Ck1 ,k2 (?1 , ?2 ), то есть корреляционная ункция Ri1 i2 (x1 , x2 ) ? Ri1 i2 (x) также зависит от разности x = x1 ? x2 . В
этом случае ормула (7) принимает вид
Ki1 i2 (x) = ?i1 j1 k1 ?i2 j2 k2 ?j1 ?j2 Rk1 k2 (x) ,
(18)
где градиенты вычисляются по переменной x.
Di1 i2 (?1 , ?2 )
обладает
свойством
Так
как
корреляционная
ункция
Di1 i2 (?1 , ?2 )(?1 )i1 = Di1 i2 (?1 , ?2 )(?2 )i2 = 0, то соленоидальные случайные поля вырождены корреляционный оператор имеет собственные ункции с нулевым собственным значением. Это, в частности, приводит к тому, что эти поля не могут быть тохастически серически симметричными, то есть для них в каждой пространственной точке с радиус-вектором x поле не может быть стохастически эквивалентно полю
Uij A?j (x) (радиус-вектор не поворачивается). Это означает, что корреляционная ункция Ki1 i2 (x1 , x2 ) не может обладать свойством
Ui1 j1 Ui2 j2 Kj1 j2 (x1 , x2 ) = Ki1 i2 (x1 , x2 ) ,
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34 141
так как в противном случае должно иметь место равенство
Ui1 j1 Ui2 j2 Dj1 j2 (?1 , ?2 ) = Di1 i2 (?1 , ?2 ) ,
то есть Dj1 j2 (?1 , ?2 ) = D(?1 , ?2 )?j1 j2 , что противоречит существованию собственного
вектора с нулевым собственным значением. Напротив, поле с локальной аксиальной
стохастической симметрией возможно, у которого корреляционная ункция имеет вид
Dj1 j2 (?1 , ?2 ) = D1 (?1 , ?2 ) ?j1 j2 s2 ? sj1 sj2 + ?j1 j2 l sl D2 (?1 , ?2 ) ,
где D1 (?1 , ?2 ) > 0 и ункция D2 (?1 , ?2 ) такова, что имеет место неравенство
Z
D(?1 , ?2 )uj1 (?1 )uj2 (?2 )d?1 d?2 ? 0
R3 ЧR3
для любой вектор-ункции uj (?).
Литература
1. Фат Лам Тан, Вирченко Ю.П. Стохастически однородные и изотропные магнитные
поля // Belgorod State University Sienti Bulletin Mathematis & Physis. 2013. 19(162);32. С.176-183.
2. Скороход Теория случайных процессов.
3. Ахиезер Н.И., лазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / М.: Наука, Физматлит, 1966. 544 .
4. Slezova Zh.V., Tur A.V., Yanovskii V.V. Eet of Topologially Non-trivial Magneti Fields
on the Magneti Moment Evolution / Funtional Materials. 2000. 7; ќ3. P.384-389.
5. Chehkin A.V., Tur A.V., Yanovskii V.V. Anomalous Flow of Passive Admixture in Helial
Turbulene / Geophys. Astrophys. Fluid Dynamis. 1998. 88. P.187-213.
6. Тур А.В., Чечкин А.В., Яновский В.В. Аномалии переноса в отражательно неинвариантной теории турбулентности / Электромагнитные явления. 1998. 1,ќ2. C.233-238.
7. Chehkin A.V., Tur A.V., Yanovskii V.V. Kineti eets stohasti topologial nontrivial
elds // Physia A. 1994. 208. P.501-522.
GAUSSIAN ALMOST-PERIODIC IN QUADRATIC AVERAGE SENSE
SOLENOIDAL VECTOR FIELDS
Lam Tan Phat, Yu.P. Virhenko
Belgorod State University,
Studenheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:virhbsu.edu.ru
Abstrat. Gaussian random vetor elds in R3 with zero average value are under onsideration.
Their realizations are almost-periodi in the quadrati average sense with the probability one. The
general form of the orrelation funtion of suh random elds are found when they are smooth and
solenoidal with the probability one.
Key words: solenoidal eld, almost periodi funtions in the quadrati average sense, gaussian
random eld, orrelation funtion.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
302 Кб
Теги
почта, средней, соленоидальные, векторных, гауссовских, квадратичної, поля, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа