close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Гельдерева устойчивость в задачах стохастического программирования с вероятностными ограничениями.

код для вставкиСкачать
Программные продукты и системы
№ 4, 2006 г.
В статье приведено описание программного комплекса для исследования процессов выпучивания и потери устойчивости упругопластических систем и сравнение полученных результатов с экспериментальными
данными по двухосному сжатию пластин для оценки
достоверности полученного решения. В основу решения
положены современная концепция устойчивости упругопластических систем В.Г. Зубчанинова и теория устойчивости упругопластических пластин и оболочек
при сложном нагружении на основе теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина [2].
Задача решается методом конечных элементов (КЭ)
как пространственная задача теории пластичности с
учетом геометрической нелинейности и больших деформаций. Для ее решения сконструирован пространственный восьмиузловой изопараметрический КЭ (рис. 1).
Рассматриваемый КЭ описывается классом CBrick.
В нем хранятся координаты узлов и функции для обработки механических характеристик материала. В состав
класса CBrick входят восемь объектов класса
CGaussPoint. Класс CGaussPoint содержит описание
модели гауссовой точки, которая является полным аналогом материальной частицы в механике деформируемого твердого тела. Создание этого класса вызвано тем,
что численное интегрирование производится именно в
гауссовых точках. В свою очередь каждая гауссова точка (каждый объект класса CGaussPoint) содержит в себе
шесть объектов класса CSpace, по числу компонент тензора напряжений σ ij и тензора деформаций ε ij
(i,j=1,2,3). В объектах этого класса хранятся прогнозируемые и истинные значения компонент тензоров напряжений и деформаций и их приращения, а также механические характеристики материала. На языке UML
описанное агрегирование выглядит в виде диаграммы
классов (рис. 2).
7
5
CGaussPoint 8
t
8
6
s
3
* CBrick
8
6
CSpace
1
4 r
2
Рис. 1
Рис. 2
Математическое ядро программы реализовано в
классе CNumInt. Интерфейс класса составляют функции
по вычислению тензоров напряжений и деформаций,
векторы внутренних сил, векторы узловых перемещений, функции, реализующие процедуру численного интегрирования, а также решение системы линейных алгебраических уравнений методом LU-факторизации по
схеме Холецкого. Для реализации всех этих функций
разработаны дополнительные утилиты по обращению
матриц, вычислению их определите4
лей и отслежива3,5
нию их вырожденности.
3
Решение задачи
2,5
выпучивания упруТУПП
гопластических
2
систем сводится к
ТМУПД
1,5
решению системы
существенно нели1
Э кспе риме нт
нейных алгебраиче0,5
ских
уравнений.
0
Она решается по
0
0,5
1
шагам, на каждом
w /h
из которых реалиРис. 3
зуется итерационный процесс. Процесс итераций на каждом шаге продолжается до тех
пор, пока разность результатов на i-й и i+1-й итерации
превышает некоторую наперед заданную величину δ .
После достижения требуемой точности делается следующий шаг. В качестве итоговых результатов пользователь получает полную картину напряженно деформируемого состояния на всем протяжении процесса нагружения во всех точках упругопластической системы.
Для проверки достоверности было проведено
сравнение численных результатов с результатами экспериментального исследования процесса выпучивания
квадратных шарнирно-опертых пластин при двухосном
равномерном сжатии [1] (рис. 3). По горизонтальной
оси отложен безразмерный прогиб, а по вертикальной –
безразмерная равномерно распределенная погонная
нагрузка, действующая на единицу ширины срединной
поверхности.
На рисунке 3 треугольными маркерами обозначена
экспериментальная кривая, квадратными – кривая,
представляющая собой численные результаты, полученные с помощью теории малых упругопластических
деформаций (ТМУПД). Сплошной линией представлена
численная кривая, полученная с помощью теории упругопластических процессов (ТУПП) и рассматриваемого
КЭ. Максимальное расхождение с экспериментальными
данными составило 9%.
4,5
Список литературы
1. Гараников В.В., Лотов В.Н. Экспериментальное исследование процесса выпучивания пластин / Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела. // Матер.
Всесоюз. симпоз. – Калинин: КПИ, 1982. – С. 33 – 39.
2. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых
сред. - Тверь, 2000. – 703с.
ГЕЛЬДЕРЕВА УСТОЙЧИВОСТЬ В ЗАДАЧАХ СТОХАСТИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Р.Н. Гордеев, А.В. Язенин
В моделях принятия решений зачастую приходится
решать задачи оптимизации. В некоторых из них условия на допустимое множество задаются в лингвистической форме. Например, инвестор желает получить при-
44
быль с вероятностью не ниже некоторого заранее оговоренного уровня. Это приводит к формулировке оптимизационной задачи с вероятностными ограничениями [1]. Однако при решении подобных задач зачастую
Программные продукты и системы
№ 4, 2006 г.
мы не знаем априори распределения вероятностей в тех
или иных ситуациях и вынуждены вместо них использовать некоторые приближения или оценки. Для оценивания подобных приближений пользуются методами
теории устойчивости или анализа возмущений, приложение которых и рассмотрено в настоящей статье для
класса задач, определенного соотношением (1).
Рассмотрим следующую задачу оптимизации с вероятностными ограничениями
min{g(x) | x ∈ X,P(ξ ≤ h(x)) ≥ p} .
(1)
Здесь ξ – s-мерный случайный вектор, определенный на вероятностном пространстве (Ω, Α,P) ;
g : R m → R – целевая функция; X ⊆ R m – некоторое
множество; h : R m → R s система ограничений неравенств; p ∈ (0,1) – некоторый заданный уровень вероятности. Заданные ограничения по вероятности означают, что неравенство ξ ≤ h(x) должно быть выполнено с
вероятностью не ниже p. Наиболее очевидным представляется задать ограничения в виде системы линейных неравенств, то есть h(x) = Ax , где A – некоторая
матрица. Обозначим через µ := P ξ −1 ∈℘(R s ) (борелево пространство вероятностных мер, определенных на
R s ) распределение вероятностей случайного вектора
ξ . Сделаем некоторые предположения о выпуклости
рассматриваемой проблемы: g выпукла, X замкнуто и
выпукло, компоненты h вогнуты и вероятностная мера
µ является r -вогнутой для некоторого r < 0 .
Последнее предположение означает, что µ r является выпуклой функцией множеств, то есть
µ r ( λA + (1 − λ )B) ≤ λµ r (A) + (1 − λ )µ r (B)
(2)
верно для всех λ ∈ [0,1] и всех измеримых по Борелю и
s
выпуклых
множеств
A,B ⊆ R ,
таких
что
λ A + (1 − λ )B также измеримо по Борелю. Заметим, что
большинство многомерных распределений являются rвогнутыми для некоторого r < 0 [1].
Функцию распределения, соответствующую вероятностной
мере
µ,
представим
в
виде
Fµ (y) = µ(z ∈ R s | z ≤ y) , таким образом задачу (1)
можно переписать следующим образом:
min{g(x) | x ∈ X,Fµ (h(x)) ≥ p} .
Однако в большинстве случаев известна лишь частичная информация о µ , и проблема (1) решается в
предположениях некоторой меры v ∈℘(R s ) , являющейся оценкой для µ . Обычно v выбирается как параметрическая или непараметрическая оценка µ . Таким
образом, вместо задачи (1) решается некоторая задача
min{g(x) | x ∈ X, Fv (h(x)) ≥ p} .
(3)
И если получена достаточно хорошая аппроксимация v меры µ , очевидно, что решения задачи (3) будут
стремиться к решениям задачи (1) при условии, что v
стремится к µ .
Хотя предполагается, что исходная задача выпукла,
однако не следует делать предположений о возмущенной задаче (3). Это позволяет рассмотреть класс эмпирических аппроксимаций, которые не обладают свойствами выпуклости или гладкости. И поскольку в общем
случае задача (3) предполагает не единственное реше-
ние в условиях предположений (2), рассмотрим множества решений. Зависимость решений и оптимальных
значений от параметра v описывается точечно множественным отображением Ψ : ℘(R s ) → R m и расширеннозначной функцией ϕ : ℘(R s ) → R как
Ψ (v) = arg min{g(x) | x ∈ X,Fv (h(x)) ≥ p} ,
ϕ(v) = inf{g(x) | x ∈ X,Fv (h(x)) ≥ p} .
Рассмотрим условия, наложенные на исходную задачу (1), при которых Ψ и ϕ локально устойчивы относительно фиксированной меры µ . Для того чтобы
измерить расстояние между параметрами и между решениями, воспользуемся метрикой Колмогорова, заданной на множестве вероятностных мер,
d K (v1 , v 2 ) = sup | Fv1 (z) − Fv2 (z) | , ( v1 , v 2 ∈℘(R s ) ) и метz ∈R s
рикой Колмогорова, определенной на множестве замкнутых подмножеств R m ,
d H (A,B) = max{supd(a,B),supd(b, A)} , ( A,B ⊆ R m ).
a∈A
b∈B
Качественная устойчивость задачи (1) предполагает, что d H ( Ψ (µ ), Ψ (v)) → 0 при d K (µ , v) → 0 . При определенных условиях это означает, что предельные точки аппроксимирующих решений будут решениями исходной задачи и любое решение исходной задачи будет
пределом для последовательности аппроксимирующих
решений.
Помимо качественной устойчивости огромный интерес представляет вопрос количественной устойчивости. Напомним, что Ψ непрерывно в смысле Хаусдорфа-Гельдера с показателем k > 0 в µ , если существуют L, δ > 0 такие, что
d H ( Ψ (µ ), Ψ (v)) ≤ L[d K (µ , v)]k
(4)
s
для всех v ∈℘(R ) , d K (µ , v) < δ .
Существует прямая связь между непрерывностью
по Хаусдорфу-Гельдеру с показателем k отображения
множества решений и экспоненциальными границами
эмпирических приближений решения [2]. И отклонения
эмпирических аппроксимаций от множества решений
исходной задачи может быть оценено при помощи экспоненциальных границ [2,3].
Сформулируем утверждение, которое дает достаточные условия устойчивости оптимальных значений
возмущенной задачи.
Теорема 1. В дополнение к условиям (2) пусть выполнены следующие положения для фиксированной вероятностной меры µ ∈℘(R s ) :
1. Ψ (µ ) не пусто и ограничено.
2. Существует x ∈ X , такой что Fµ (h(x)) > p .
Тогда Ψ : ℘(R s ) → R m полунепрерывно сверху, в
смысле Берже, в µ , и существуют константы L, δ > 0 ,
такие что Ψ (v) ≠ ∅ и | ϕ(v) − ϕ(µ ) |≤ Ld K (v, µ ) для
всех v ∈℘(R s ) , d K (v, µ ) < δ .
Заметим, что в теореме 1 липшицева оценка для ϕ
имеет ограничения: одна из мер ( µ ) должна быть фиксирована. Более сильный результат, когда обе меры
варьируются около некоторой меры µ , не является
верным при сделанных предположениях.
45
Программные продукты и системы
№ 4, 2006 г.
Для формулировки условий устойчивости множества решений введем следующие объекты, где
V ⊃ Ψ (µ ) – открытый шар,
выбран в соответствии с условиями (2), так что µ является r-вогнутой.
4. σ непрерывна в смысле Хаусдорфа-Гельдера с
YV = [h(X ∩ cl V) + R s− ] ∩ Fµ−1 ([p / 2,1]) ,
показателем k −1 на YV .
π(y) = inf{g(x) | x ∈ X ∩ cl V,h(x) ≥ y}
Тогда Ψ непрерывна по Хаусдорфу-Гельдеру с
показателем ( 2k)−1 в µ , то есть существуют константы
L, δ > 0 , такие что
σ(y) = arg inf{g(x) | x ∈ X ∩ cl V,h(x) ≥ y} , ( y ∈ YV ),
Y(v) = arg min{ π(y) | y ∈ YV ,Fν (y) ≥ p} , ( ν ∈℘(R s ) ).
Заметим, что σ и π обозначают соответственно
множества решений и оптимальное значение параметрической задачи, ограничивающей решения исходной
задачи снизу, а параметр y соответствует правосторонним возмущениям в неравенствах, заданных отображением h. В противоположность многозначная функция Y
определяет множество решений параметрической задачи, ограничивающей решения исходной задачи сверху,
в которой явные ограничения неравенства заменены условием, наложенным на значения функции распределения Fv . Это позволяет отдельно рассматривать влияние
Fv и h на выполнение условий неравенства, определенного для задачи (3).
Сформулируем результат, позволяющий определить устойчивость множества оптимальных решений
задачи (3).
Теорема 2. В дополнение к условиям (2) пусть выполнены следующие предположения для некоторой
фиксированной меры µ ∈℘(R s ) .
1. Ψ (µ ) не пусто и ограничено.
2. Существует x ∈ X , такой что Fµ (h(x)) > p .
3. Fνr является строго выпуклой в некоторой вы-
пуклой окрестности U отображения Y(µ ) , где r < 0
d H ( Ψ (µ ), Ψ (v)) ≤ L[d K (µ, v)]1 /( 2k ) , ∀v ∈℘(R s ) ,
d K (µ , v) < δ .
Первое предположение теоремы 2 носит чисто технический характер и может быть усилено, например,
компактностью множества X. Второе может быть интерпретировано как условие Слейтера. В некоторых
случаях его можно проверить, не зная в явном виде меры µ . Третье предположение теоремы 2 выполнено для
r-вогнутых мер ( r < 0 ), для которых Fµr является стро-
го выпуклой на ограниченных выпуклых множествах. И
последнее предположение теоремы 2 требует Гельдеревой непрерывности σ при условии, что определена
метрика Хаусдорфа. Оно выполняется, например, в случае линейных отображений h, полиэдральных множеств
X и выпуклых квадратичных функций g.
Список литературы
1. Prekopa, A. Stochastic Programming. Kluwer, Dordrecht,
1995.
2. Henrion, R., Romisch, W. Metric regularity and quantitative
stability in stochastic programs with probability constraints. Math.
Program. 84, 55-88 (1999).
3. Henrion, R., Romisch, W. Stability of solutions to chance
constrained stochastic programs. In: (J. Guddat, R. Hirabayashi, H.Th.
Jongen and F. Twilt eds.) Parametric optimization and Related Topics
V, Peter Lang, Frankfurt a.M. 2000, pp. 95-114.
ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПРОЦЕССОВ СЛОЖНОГО НАГРУЖЕНИЯ
КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
С.Л. Субботин, А.А. Алексеев
Современные подходы к изучению напряженнодеформированного состояния тела с позиций математической теории упругопластических процессов основываются на совместном использовании данных экспериментальных исследований и численных методов расчета. На сегодняшний день среди численных методов
большое применение при расчете конструкций и сооружений получил метод конечных элементов (МКЭ).
Он требует значительных вычислительных затрат, поэтому его целесообразное применение невозможно без
использования ЭВМ.
Решение задач теории пластичности, в том числе
построение траекторий напряжений и деформаций в
краевых задачах, связано с широким применением численных методов расчета, реализованных в программных
комплексах на ЭВМ. В большинстве из них задачи теории пластичности решаются по деформационной теории. От того, насколько удачна данная модель и мате-
46
матический аппарат, реализующий ее в конкретной задаче, зависит достоверность получаемых результатов.
Деформационная теория пластичности при исследовании влияния сложного нагружения не всегда может дать
достоверные результаты, поэтому для решения рассматриваемых задач был составлен вычислительный алгоритм [1,2] на основе МКЭ с использованием теории
упругопластических процессов [3-5].
На основе этого алгоритма в среде программирования Visual Basic 6.5 был создан программный комплекс
для пошагового расчета краевых упругопластических
задач МКЭ. Программный комплекс можно условно
разделить на три подпрограммы: предпроцессор, расчетное ядро и постпроцессор.
Предпроцессорная часть является сервисной программой, ее функция – генерацией сетки конечных элементов (КЭ). Она предполагает ввод координат узлов,
локальной и глобальной нумерации КЭ, задание закреп-
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
260 Кб
Теги
гельдерева, вероятностный, стохастических, устойчивость, программирование, ограничениями, задача
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа