close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Гипотеза чистоты для редуктивных групп.

код для вставкиСкачать
УДК 512.6
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2010, вып. 1
ГИПОТЕЗА ЧИСТОТЫ ДЛЯ РЕДУКТИВНЫХ ГРУПП
И. А. Панин
С.-Петербургское отделение математического ин-та им. В. А. Стеклова РАН,
член-корр. Российской академии наук, д-р физ.-мат. наук;
С.-Петербургский государственный университет,
профессор, paninv@gmail.com
Следующий вопрос был поставлен в [1, вопрос 6.4, с. 124]. Пусть R — локальное регулярное кольцо и пусть G — редуктивная групповая схема над R. Удовлетворяет ли
1
функтор S 7→ Hét
(S, G) свойству чистоты для R? В настоящей статье этот вопрос
изучается в ряде интересных частных случаев. А именно, пусть k — поле характеристики ноль и пусть G — одна из следующих алгебраических групп над k: PGLn , SL1,A ,
O(q), SO(q), Spin(q), SLn /µd , где d делит n (A — простая центральная k-алгебра). До1
казывается, что функтор R 7→ Hét
(R, G) обладает свойством чистоты для группы G и
регулярного локального кольца, содержащего поле k.
Основываясь на этом результате, естественно предположить, что упомянутый функтор действительно должен обладать свойством чистоты для произвольной связной редуктивной группы G над полем k характеристики ноль и произвольного регулярного
локального кольца, содержащего поле k. Для групп типа G2 и типа F4 с тривиальным
g3 -инвариантом гипотеза доказана в [2] и [3].
Указанные вопрос и гипотеза выглядят как расширение известных гипотез А. Гротендика и Ж.-П. Серра [5, Замечание 3, с. 26–27], [6, Замечание 1.11.а], [14, Замечание,
с. 31].
1. Введение
Пусть F — ковариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию
множеств. Говорят, что он удовлетворяет свойству чистоты для области R, если
для поля K имеется равенство
\
Im[F(Rp ) → F(K)] = Im[F(R) → F(K)].
htp=1
Ясно, что левая часть всегда содержится в правой части. Элементы из левой части
называются R-неразветветвленными.
Зафиксируем некоторые обозначения. Пусть k — поле характеристики ноль и k̄ — его
алгебраическое замыкание. Под редуктивной алгебраической k-группой в этой статье
имеется в виду геометрически связная редуктивная групповая k-схема. В частности,
такая алгебраическая k-группа всегда k-гладкая. Под регулярным локальным кольцом
в этой статье всегда имеется в виду регулярное локальное кольцо R, содержащее поле k.
Поле частных такого кольца R обозначается K. В основном, мы работаем с функтором
1
F вида S 7→ Hét
(S, G), заданном на категории коммутативных нетеровых k-алгебр.
c
И. А. Панин, 2010
51
2. Проективный линейный случай
1
2
Теорема 2.1. Пусть ξ ∈ Hét
(K, PGLn ) такой класс, что класс δ(ξ) ∈ Hét
(K, Gm )
1
явдяется R-неразветвленным. Тогда существует класс ζ ∈ Hét (R, PGLn ) с ζK = ξ.
Доказательство. Пусть Dξ — простая центральная K-algebra степени n, соответствующая ξ. Если Dξ ∼
= Ml (D′ ) для некоторого тела D′ , тогда существует ξ ′ ∈
1
Hét (K, PGLn′ ) такой, что D′ = Dξ′ . Тогда δ(ξ ′ ) = [D′ ] = [D] = δ(ξ). Заменяя ξ классом
ξ ′ , можно считать, что D := Dξ — это центральное тело над K степени n и класс [D]
является R-неразветвленным.
Можно найти R-алгебру Адзумайи A и целое число d такие, что AK = Md (D). Это
можно сделать, поскольку класс δ(ξ) является R-неразветвленным.
Существует левый проективный A-модуль P конечного ранга такой, что каждый
другой левый проективный A-модуль P конечного ранга изоморфен левому A-модулю
P m для подходящего целого m (см. [7, Cor.2]). В частности, каждые два левых проективных A-модуля изоморфны, если они имеют один и тот же ранг как R-модули. Имеет
место изоморфизм A ∼
= P s левых A-модулей для некоторого целого s. Поэтому имеет
место изоморфизм R-алгебр A ∼
= EndA (P s ) ∼
= Ms (EndA (P )). Положим B = EndA (P ).
Заметим, что BK = EndAK (PK ), поскольку P является конечно-представимым левым
проективным A-модулем.
Класс [PK ] является свободной образующей группы K0 (AK ) = K0 (Md (D)) ∼
= Z, поскольку класс [P ] является свободной образующей группы K0 (A) и K0 (A) = K0 (AK ).
Модуль PK является простым AK -модулем, поскольку [PK ] является свободной образующей группы K0 (AK ). Поэтому EndAK (PK ) = BK является телом.
Мы утверждаем, что BK и D являются изоморфными K-алгебрами. Дейсвительно,
AK = Mr (BK ) для некоторого целого r, поскольку PK — простой AK -модуль. С другой стороны, AK = Md (D). Как D, так и BK являются телами. Поэтому r = d и D
изоморфна BK как K-алгебра.
Утверждается, что B является R-алгеброй Адзумайи. Это утверждение является
локальным по отношению к этальной топологии на Spec(R). Поэтому достаточно проверить это утверждение для слоев B над геометрическими точками Spec(R). Можно считать, что R является строго гензелевым локальным кольцом. В этом случае A = Ml (R),
P = (Rl )m как проективные Ml (R)-модули. Поэтому B = EndA (P ) = Mm (R), что и доказывает утверждение. Так как BK изоморфна D, m = n. Итак, B — это R-алгебра
1
Адзумайи, причем BK изоморфна D. Пусть ζ ∈ Hét
(R, PGLn ) — это класс, представля2
ющий B. Тогда ζK = ξ, т. к. δ(ζ)K = [BK ] = [D] = δ(ξ) ∈ Hét
(K, Gm ).
3. Ортогональный случай
Мы воспроизводим здесь доказательство из [10, Cor.1].
Теорема 3.2. Пусть (W, ψ) — квадратичное пространство над K, которое является R-неразветвленным. Тогда существует квадратичное пространство (V, ϕ) над
R, расширяющее пространство (W, ψ), то есть пространства (V, ϕ) ⊗R K и (W, ψ)
изоморфны.
Доказательство. По теореме чистоты [9, Theorem A] существует квадратичное
пространство (V, ϕ) над R и целое n ≥ 0 такое, что (V, ϕ) ⊗R K ∼
= (W, ψ) ⊥ Hn , где H —
гиперболическая плоскость. Если n > 0, тогда пространство (V, ϕ) ⊗R K изотропно.
По основной теореме из [10] пространство (V, ϕ) тоже изотропно в том смысле, что
оно содержит гиперболическую плоскость в качестве прямого слагаемого. Мы можем
52
его отщепить. Повторяя эту процедуру несколько раз, мы приходим к случаю n = 0.
Последнее означает, что (V, ϕ) ⊗R K ∼
= (W, ψ).
4. Один общий результат
Теорема 4.3. Пусть π : G → G′ — центральная изогения редуктивных алгебраиче1
ских k-групп. Предположим, что функтор R 7→ Hét
(R, G′ ) удовлетворяет свойству
чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле k. Тогда то же самое
1
справедливо для функтора R 7→ Hét
(R, G).
Доказательство. Пусть Z = ker(π). Для k-алгебры R рассмотрим граничный
1
оператор δπ,R : G′ (R) → Hét
(R, Z). Он является групповым гомоморфизмом [13, Ch. II,
§ 5.6, Cor.2]. Положим
1
(R, Z)/Im(δπ,R ).
F(R) = Hét
Функтор F удовлетворяет свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле k [11]. Сейчас пусть R — такое кольцо. Рассмотрим коммутативную диаграмму
{1}
/ F(K)
O
δK
α
{1}
/ F(R)
/ H 1 (K, G)
ét O
πK
/ H 1 (R, G)
ét
∆K
γ
β
δ
/ H 1 (K, G′ )
ét O
π
/ H 1 (R, G′ )
ét
/ H 2 (K, Z)
ét O
α1
∆
/ H 2 (R, Z)
ét
1
Пусть ξ ∈ Hét
(K, G) — это R-неразветвленный класс, и пусть ξ¯ = πK (ξ). Ясно, что
1
′
1
¯
ξ ∈ Hét (K, G ) является R-неразветвленным. Поэтому существует ξ¯′ ∈ Hét
(R, G′ ) та′
2
кой, что ξ̄K = ξ̄. Функтор R 7→ Hét (R, Z) является функтором с трансферами, поскольку Z является коммутативной алгебраической k-группой. [11, Sect.1.1]. Этот функтор,
кроме того, гомотопически инвариантен. Таким образом, α1 инъективен по теореме
¯ = 0. Поэтому найдется
Воеводского [15, Cor.4.18]. Имеем ∆(ξ¯′ ) = 0, поскольку ∆K (ξ)
′
1
′
′
¯
ξ ∈ Hét (R, G) такой, что π(ξ ) = ξ .
1
Группа F(K) действует на множестве Hét
(K, G), поскольку Z — центральная под1
группа группы G. Если a ∈ F(K) и ζ ∈ Hét (K, G), мы будем писать a · ζ для результи1
1
рующего элемента в Hét
(K, G). Далее, для каждых ζ1 , ζ2 ∈ Hét
(K, G), имеющих одина1
ковый образ в Hét (K, G), существует единственный a ∈ F(K) такой, что a · ζ1 = ζ2 . Эти
замечания справедливы и для кольца R, и для всех его локализаций. Так как образы
′
1
′
1
ξK
и ξ в Hét
(K, G′ ) совпадают, найдется a ∈ F(K) такой, что a · ξK
= ξ в Hét
(K, G).
Утверждение 4.4. Указанный элемент a ∈ F(K) является R-неразветвленным.
Предполагая это утверждение верным, закончим доказательство теоремы. Найдется
a′ ∈ F(R) с a′K = a, поскольку функтор F удовлетворяет свойству чистоты для регу1
лярных локальных колец, содержащих поле k. Очевидно, что ξ ′′ = a′ · ξ ′ ∈ Hét
(R, G)
′′
таков, что ξK = ξ. Остается доказать утверждение.
Пусть p — простой идеал высоты один в R. Поскольку ξ является R-неразетвленным,
1
существует его подъем до элемента ξ˜ в Hét
(Rp , G). Положим ξp′ равным образу
′
1
′
1
˜ πp (ξ ) ∈ H (Rp , G′ ) совпадают, если рассмотрены в
ξ в Hét (Rp , G). Классы πp (ξ),
p
ét
1
′
Hét (K, G ). Отображение
1
1
Hét
(Rp , G′ ) → Hét
(K, G′ )
инъективно согласно лемме 4.5, сформулированной и доказанной ниже. Следовательно,
˜ = πp (ξ ′ ). Поэтому найдется класс ap ∈ F(Rp ) такой, что ap · ξ ′ = ξ˜ ∈ H 1 (Rp , G).
πp (ξ)
p
p
ét
53
′
1
′
′
Итак, ap,K · ξK
= ξ ∈ Hét
(K, G) и ap,K · ξK
= ξ = a · ξK
. Следовательно, a = ap,K , что и
доказывает утверждение 4.4.
Чтобы завершить доказательство теоремы, осталось доказать следующую лемму.
Лемма 4.5. Пусть H — редуктивная групповая схема над кольцом дискретного нормирования A. Предположим, что для каждой A-алгебры Ω алгебраическая Ωгруппа является связной. Пусть K — поле частных кольца A. Тогда отображение
1
1
Hét
(R, H) → Hét
(K, H)
инъективно.
1
Доказательство. Пусть ξ0 , ξ1 ∈ Hét
(R, H) — два класса. Пусть H0 — главное однородное H-пространство, представляющее класс ξ0 . Пусть H0 — это внутренняя форма
группы H, соответствующая указанному H-пространству H0 . Для каждой R-схемы S
1
1
имеет место хорошо известная биекция φS : Hét
(S, H) → Hét
(S, H0 ) непунктированных
множеств. Она переводит главное однородное H-пространство H0 ×R S в тривиальное
главное однородное H0 -пространство H0 ×R S. Эти биекции соответствуют морфизмам
1
R-схем. Предположим, что ξ0,K = ξ1,K , тогда ∗ = φK (ξ0,K ) = φK (ξ1,K ) ∈ Hét
(K, H0 ).
1
1
Ядро отображения Hét (R, H0 ) → Hét (K, H0 ) тривиально по теореме Нисневича [8]. По1
1
этому φR (ξ1 ) = ∗ = φR (ξ0 ) ∈ Hét
(R, H0 ). Следовательно, ξ1 = ξ0 ∈ Hét
(R, H).
5. Случай спинорной группы
Теорема 5.6. Пусть q — квадратичное пространство над полем k. Тогда функторы
1
1
R 7→ Hét
(R, Spin(q)), R 7→ Hét
(R, Sim+ (q))
удовлетворяют свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле k, где Sim+ (q) — это связная компонента k-группы подобий Sim(q) пространства q.
1
Доказательство. По теореме [10, Cor.1] функтор R 7→ Hét
(R, O(q)) удовлетворяет
свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле k. То же самое
1
верно и для функтора R 7→ Hét
(R, SO(q)), поскольку он классифицирует квадратичные
пространства дискриминанта disc(q). Теорема 4.3 завершает доказательство.
6. Случай SLn /µd , где d делит n
Теорема 6.7. Пусть R — регулярное локальное кольцо с полем частных K. Пусть
1
2
d делит n. Пусть ξ ∈ Hét
(K, SLn /µd ) — это класс такой, что класс δ(ξ) ∈ Hét
(K, Gm )
1
является R-неразветвленным. Тогда найдется класс ζ ∈ Hét (R, SLn /µd ) такой, что
ζK = ξ.
1
Доказательство. По теореме 2.1 функтор R 7→ Hét
(R, PGLn ) удовлетворяет свойству чистоты для регулярных локальных колец, содержащих поле k. Теорема 4.3 завершает доказательство.
7. Унитарный случай
Пусть l/k — квадратичное расширение, ¯ — это нетривиальный автоморфизм расширения l/k. Пусть z1 z̄1 + z2 z̄2 + . . . zn + z̄n — эрмитово пространство и Un — соответствующая унитарная алгебраическая k-группа.
Утверждение. Гипотеза чистоты справедлива для Un .
54
Ограничимся планом доказательства. Напомним, что для локального кольца R мно1
жество Hét
(R, Un ) состоит из классов изоморфизма эрмитовых прострнств ранга n над
l. Упомянутый план состоит из трех шагов:
(1) доказать чистоту для функтора Витта, классифицирующего эрмитовы пространства по модулю гиперболических;
(2) доказать вариант теоремы Шпрингера для эрмитовых пространств над полем и
затем над локальным кольцом;
(3) доказать, что рационально изотропное эрмитово пространство является локально
изотропным, следуя случаю квадратичных пространств.
Шаг 1 является стандартным при условии, что функтор Витта гомотопически инвариантен; шаг 3 является стандартным при условии, что шаг 2 сделан.
Что можно сказать по поводу шага 2? В случае поля пусть k ′ /k является сепарабельным расширением степени d. Выберем примитивный элемент α ∈ k ′ и обозначим
f (t) ∈ k[t] минимальный многочлен элемента α. Пусть l′ = l ⊗k k ′ и v ∈ l′n — такой
вектор, что h(v) = 0. Запишем v в виде v0 + αv1 + · · · + αd−1 vd−1 , где vi ∈ ln . Расмотрим v(t) = v0 + tv1 + · · · + td−1 vd−1 ∈ l[t]n . Тогда h(v(t)) ∈ k[t] и h(v(α)) = 0. Поэтому
h(v(t)) = f (t)g(t). Выбирая подходящий v, можно добиться того, что h(v(t)) является
сепарабельным степени 2d−2. В этом случае g(t) является сепарабельным степени d−2.
Пусть k ′′ = k[t]/(g(t)). Это сепарабельная k-алгебра степени d − 2. Пусть β =
t mod g(t). Тогда v(β) 6= 0, однако h(v(β)) = 0 ∈ k ′′ . Если d нечетно, то, повторив
процедуру несколько раз, мы получим 0 6= w ∈ ln такой, что h(w) = 0.
Остается проверить, что мы действительно можем добиться того, что h(v(t)) является сепарабельным степени 2d − 2. Для этой цели мы отсылаем читателя к [12].
Итак, план указан. Его реализацию мы оставляем читателю.
Литература
1. Colliot-Thélène J.-L., Sansuc J.-J. Fibrés quadratiques et composantes connexes réelles //
Math. Annalen. 1979. Vol. 244. P. 105–134.
2. Chernousov V., Panin I. Purity of G2 -torsors // C.R. Math. Acad. Sci. Paris, 2007. Vol. 345.
N 6. P. 307–312.
3. Chernousov V., Panin I. Purity of F4-torsors Purity of F4–torsors with trivial g3 invariant,
www.math.uni-bielefeld.de/LAG/2009
4. Grothendieck A. Le groupe de Brauer. II. Théorie cohomologique // Dix Exposés sur la
Cohomologie des Schémas, North-Holland, Amsterdam; Masson, Paris, 1968. P. 67–87.
5. Grothendieck A. Torsion homologique et section rationnalles // Anneaux de Chow et applications. Séminaire Chevalley, 2-e année, Secrétariat mathématique, Paris, 1958.
6. Grothendieck A. Le group de Brauer II // Dix exposés sur la cohomologique de schémes.
Amsterdam, North-Holland, 1968.
7. De Meyer F. R. Projective modules over central separable algebras // Canad. J. Math. 1969.
Vol. 21. P. 39–43.
8. Nisnevich Y. Rationally Trivial Principal Homogeneous Spaces and Arithmetic of Reductive
Group Schemes Over Dedekind Rings // C.R. Acad. Sci. Paris, Série I. 1984. Vol. 299. N 1. P. 5–8.
9. Ojanguren M., Panin I. A Purity Theorem for the Witt Group // Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup., Serie 4. 1999. Vol. 32. P. 71–86.
10. Panin I. Rationally isotropic quadratic spaces are locally isotropic // Invent. math. 2009.
Vol. 176. P. 397–403.
55
11. Panin I. A purity theorem for linear algebraic groups // www.math.uiuc.edu/K-theory/0729.
2005.
12. Panin I., Rehmann U. A variant of a Theorem by Springer // Algebra i Analyz. 2007.
Vol. 19. N 6. P. 117–125.
13. Serre J-P. Cohomologie Galoisienne. Springer-Verlag, 1964.
14. Serre J.-P. Espaces fibrés algébriques // Anneaux de Chow et applications. Séminaire
Chevalley. 2-e année. Secrétariat mathématique. Paris, 1958.
15. Voevodsky V. Cohomological theory of presheaves with transfers // Cycles, Transfers and
Motivic Homology Theories / by Vladimir Voevodsky, Eric. M. Friedlander, and Andrei Suslin.
Annals of Mathematics Studies, 143. Princeton University Press, Princeton; NJ, 2000. P. 87–137.
Статья поступила в редакцию 2009 г.
56
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
225 Кб
Теги
группы, гипотезы, редуктивных, чистота
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа