close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Глобальная устойчивость и колебания динамических систем описывающих синхронные электрические машины.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9:531.36
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 4
ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
И КОЛЕБАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ,
ОПИСЫВАЮЩИХ СИНХРОННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ∗
Г. А. Леонов1 , А. М. Зарецкий2
1. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, leonov@math.spbu.ru
2. С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, zaretsky.alexander@gmail.com
В работе рассматривается новая математическая модель синхронной машины в
предположении о равномерно вращающемся магнитном поле, создаваемом обмотками
статора. Это предположение восходит к классическим идеям Н. Тесла и Г. Феррариса
[1]. Для полученных уравнений синхронной машины на основе метода нелокального сведения [2, 3] найдены условия глобальной устойчивости и исследована задача о
предельной нагрузке [2–4]. Также найдены эффективные достаточные условия существования круговых решений и предельных циклов второго рода [3, 5]. Метод нелокального сведения и теорема о существовании круговых решений и предельных циклов второго рода является распространением классических результатов Ф. Трикоми
[6, 7] на многомерные модели синхронных машин.
Математическая модель синхронной машины. Рассмотрим синхронную
машину при последовательном соединении полюсов обмотки возбуждения, последовательно подключённой к источнику постоянного напряжения [1]. В предположении о
равномерно вращающемся магнитном поле математическая модель такой синхронной
машины при сильном регулировании [8, 9] может быть описана уравнениями
n2
√
π
S2 B X
2πk
J θ̈ = mθ̇ + n1 S1 B 2 sin θ +
i+
ik cos θ +
− M,
4
2
n2
k=1
√
π
di
L1 + R1 i = −4n1 S1 B 2 sin θ +
θ̇ + e,
dt
4
dik
S2 B
2πk
L2
+ R2 ik = −
cos θ +
θ̇,
k = 1 . . . n2 .
dt
2
n2
(1)
Здесь θ — угол между радиус-вектором к стержню с током in и вектором напряжённости B магнитного поля; i — ток в обмотке возбуждения; ik — токи в стержнях короткозамкнутой демпферной обмотки; e — постоянное напряжение, подведённое к обмотке
возбуждения; R1 , L1 — активное и индуктивное сопротивления обмотки возбуждения;
R2 , L2 — активное и индуктивное сопротивления стержней демпферной обмотки; n1 —
количество витков в обмотках возбуждения; n2 — количество стержней в демпферной обмотке; S1 — площадь витка обмоток возбуждения; S2 — площадь диаметрального сечения демпферной обмотки; m — коэффициент сильного регулирования; J —
момент инерции ротора; M — момент внешних сил (момент нагрузки).
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке правительства Российской Федерации (Министерство образования и науки России).
c Г. А. Леонов, А. М. Зарецкий, 2012
18
Преобразуем систему дифференциальных уравнений (1) к более удобному для
исследования виду. Используя невырожденную замену координат
π
e
, s = θ̇, x = i + ,
4
R
n2
n2
L2 X
π 2πk
L2 X
π
2πk
z=−
ik sin θ − −
,
y=−
ik cos θ − −
,
n 2 S2 B
4
n2
n 2 S2 B
4
n2
k=1
k=1
m
X
π
zk = −
ik+j + cot
ik ,
k = 2 . . . (n2 − 1),
n
2
j=−m
θ 7→ −θ −
получим систему
dθ
= s,
dt
ds
= −µs + a1 x sin θ + a2 y − ϕ(θ),
dt
dx
= −c1 x − b sin θs,
dt
dy
= −c2 y − zs − s,
dt
dz
= −c2 z + zs,
dt
dzk
= −c2 zk ,
k = 2 . . . (n2 − 1),
dt
где
n1 BS1
n2 (BS2 )2
R1
R2
,
b=
,
c1 =
,
c2 =
,
J
8JL
L1
L2
n1 BS1
m
M
en1 BS1
d=
,
µ= ,
γ=
,
ϕ(θ) =
sin θ − γ.
L1
J
J
JL
Заметим, что уравнения с переменными zk легко интегрируются. Таким образом,
динамика синхронной машины может быть описана системой уравнений:
a=
dθ
dt
ds
dt
dx
dt
dy
dt
dz
dt
= s,
= −µs + ax sin θ + by − ϕ(θ),
= −c1 x − d sin θs,
(2)
= −c2 y − zs − s,
= −c2 z + xs.
Глобальная устойчивость синхронной машины
Определение 1. Систему (2) будем называть системой градиентного типа, если
любое решение стремится при t → +∞ к состоянию равновесия.
19
Система дифференциальных уравнений (2) является системой с цилиндрическим
фазовым пространством [3, 5]. Если в цилиндрическом фазовом пространстве стационарное множество состоит из одного асимптотически устойчивого состояния равновесия, а остальные состояния равновесия неустойчивы по Ляпунову, то такую систему
градиентного типа будем называть глобально устойчивой.
Теорема 1. Система дифференциальных уравнений (2) при γ = 0 глобально устойчивая.
Доказательство этой теоремы основано на использовании функций Ляпунова [2,
10, 11] вида
Zθ
1 2
a 2 b 2 b 2
V = s + x + y + z + ϕ(ζ)dζ.
2
2d
2
2
θ1
Рассмотрим задачу о предельной нагрузке для системы (2). Не умаляя общности,
можно считать, что синхронному режиму работы двигателя без нагрузки (γ = 0)
соответствует стационарное решение системы (2): θ = s = x = y = z = 0. Через
некоторое время τ происходит мгновенный наброс нагрузки γ > 0. Новое устойчивое
состояние равновесия имеет вид θ = θ0 , s = x = y = z = 0. Здесь θ0 удовлетворяет
условиям
ϕ(θ0 ) = 0, ϕ′ (θ0 ) > 0, θ0 ∈ [0, 2π).
Математическая постановка задачи о предельной нагрузке такова: найти условия, при которых решение θ(t), s(t), x(t), y(t), z(t) с начальными данными θ(0) =
s(0) = x(0) = y(0) = z(0) = 0 находилось бы в области притяжения стационарного решения θ(t) = θ0 , s(t) = x(t) = y(t) = z(t) = 0, т. е. должны быть выполнены
соотношения
lim θ(t) = θ0 ,
t→+∞
lim y(t) = 0,
t→+∞
lim s(t) = 0,
t→+∞
lim x(t) = 0,
t→+∞
lim z(t) = 0.
(3)
t→+∞
Теорема 2. Пусть существует такое число λ > 0, что выполнены следующие
условия:
1)
λ < min{µ, c1 , c2 };
2) дифференциальное уравнение
F
с начальными данными
p
dF
= −2 λ(µ − λ)F − ϕ(σ)
dσ
(4)
F (θ0 ) = 0,
удовлетворяет условию
F (0) > 0.
(5)
Тогда решение системы (2) с начальными данными θ = x = y = z = 0 удовлетворяет
соотношениям (3).
20
Доказательство. Введём функцию
V (θ, s, x, y, z) =
1 2
a
b
b
1
s + x2 + y 2 + z 2 − F 2 (θ).
2
2d
2
2
2
В силу (4) на решениях системы (2) имеет место соотношение
a
V̇ + 2λV = − (c1 − λ)x2 − (c2 − λ)(y 2 + z 2 )−
d
dF
− (µ − λ)s2 − λF 2 (θ) + −
F (θ) − ϕ(θ) s ≤
dθ
p
√
≤ −( µ − λs − λF (θ))2 ≤ 0.
Таким образом, множество [5]
n
o
Ω0 = V (θ, s, x, y, z) ≤ 0
является положительно инвариантным множеством.
Используя инвариантность системы (2) относительно сдвига на 2πk, k ∈ Z, по
координате θ, получаем положительную инвариантность множеств
n
o
1
a
b
b
1
Ωk = Vk (θ, s, x, y, z) = s2 + x2 + y 2 + z 2 − Fk2 (θ) ≤ 0 ,
2
2d
2
2
2
где Fk (σ) — сдвинутое на величину 2πk решение F (σ).
В силу условия (5) дифференциальное уравнение (4) имеет решение F (σ) такое,
что либо существует точка θ2 , удовлетворяющая
F (θ2 ) = F (θ1 ) = 0,
F (σ) > 0,
θ2 < 0,
∀σ ∈ (θ2 , θ1 ),
либо для решения выполнено неравенство
F (σ) > 0,
∀σ ∈ (−∞, θ1 ).
Здесь θ1 соответствует неустойчивому состоянию равновесия системы (2) и удовлетворяет условиям
ϕ(θ1 ) = 0, ϕ′ (θ1 ) < 0, θ1 ∈ [0, 2π).
В первом случае положительно инвариантное множество Ω0 является ограниченным. Во втором случае множество Ω = Ω1 ∩ Ω0 является ограниченным. Очевидно,
что множество Ω также является положительно инвариантным, так как является
пересечением положительно инвариантных множеств.
Покажем, что при выполнении условий теоремы множества Ω и Ω0 содержат
начальные данные θ = s = x = y = z = 0 и состояние равновесия системы (2)
θ = θ0 , s = x = y = z = 0. Так как θ0 ∈ (0, θ1 ) и F (σ) > 0 для всех σ ∈ (0, θ1 ),
выполняется
(θ0 , 0, 0, 0, 0) ∈ Ω,
(θ0 , 0, 0, 0, 0) ∈ Ω0 .
Из инвариантности уравнения (4) относительно сдвига на 2πk, k ∈ Z, и условия (5)
следует
Vk (0, 0, 0, 0, 0) = −Fk (0) = −F (0) < 0.
21
Таким образом, получаем
(0, 0, 0, 0, 0) ∈ Ω,
(0, 0, 0, 0, 0) ∈ Ω0 .
Покажем теперь, что любое ограниченное решение системы (2) стремится к состоянию равновесия. Для этого рассмотрим функцию
1
a
b
b
W (θ, s, x, y, z) = s2 + x2 + y 2 + z 2 +
2
2d
2
2
Zθ
ϕ(ζ)dζ.
θ1
Не трудно видеть, что на решениях системы (2) выполнено
Ẇ (θ(t), s(t), x(t), y(t), z(t)) ≤ 0.
(6)
Пусть u = (θ, s, x, y, z) — ограниченное при t ≥ 0 решение системы (2). Тогда
функция W тоже ограничена при t ≥ 0. Из соотношения (6) следует, что на решениях
системы (2) функция W не возрастает по t при t ≥ 0. Отсюда и из ограниченности
функции W при t ≥ 0 следует существование конечного
lim W (θ(t), s(t), x(t), y(t), z(t)) = L.
t→+∞
Из ограниченности решения следует, что множество Ω∗ её ω-предельных точек не
пусто. Пусть u∗ ∈ Ω∗ . Тогда в силу положительной инвариантности Ω∗ траектория,
выпущенная из точки u∗ , при всех t ∈ R1 расположена в Ω∗ . Поэтому при всех t ∈ R1
W (θ(t, u∗ ), s(t, u∗ ), x(t, u∗ ), y(t, u∗ ), z(t, u∗ )) ≡ L. Используя (6), получаем тождества
s ≡ 0, x ≡ 0, y ≡ 0, z ≡ 0. Из (2) и (6) получим, что θ̇ ≡ 0. Следовательно, θ ≡ const
и множество Ω∗ является подмножеством стационарного множества системы (2).
Таким образом, любое ограниченное решение системы (2) стремится к состоянию
равновесия. Отсюда, из ограниченности и положительной инвариантности множеств
Ω и Ω0 и из включений
(θ0 , 0, 0, 0) ∈ Ω,
(0, 0, 0, 0) ∈ Ω,
(θ0 , 0, 0, 0) ∈ Ω0 .
(0, 0, 0, 0) ∈ Ω0
следует (3).
Следствие 1. Пусть c = min{c1 , c2 } и выполнено
2
Zθ1
0
где
Γ=
ϕ(ζ)dζ ≥ −Γθ12 ,
n µ2 /4,
c(µ − c),
(7)
µ < 2c,
.
µ > 2c.
Тогда решение системы (2) с начальными данными θ = x = y = z = 0 удовлетворяет
соотношениям (3).
22
Доказательство. Из положительности параметров системы (2) следует существование такого числа λ > 0, что λ < min{µ, c}. Следовательно,
Γ(λ) = λ(µ − λ) > 0.
В [3] показано, что решение уравнения (4) с начальными данными F (θ1 ) = 0
может быть оценено следующим образом:
F (0) ≥ 2
Zθ1
ϕ(ζ)dζ + Γ(λ)θ12 .
0
Очевидно, что наилучшая оценка достигается при максимальном Γ(λ). Учитывая
λ < min{µ, c}, получаем
max Γ(λ) =
n µ2 /4,
c(µ − c),
µ < 2c,
µ > 2c.
Следовательно, в силу (7) выполнены все условия теоремы 3. Таким образом, по теореме 3 решение системы (2) с начальными данными θ = x = y = z = 0 удовлетворяет
соотношениям (3).
Следствие 1 является улучшением широко применяемого в инженерной практике
метода площадей [2, 5].
Круговые решения и предельные циклы второго рода
Определение 2. Будем говорить, что решение u(t) = (θ(t), ξ(t)) системы дифференциальных уравнений (2) является круговым, если существуют такие числа ε > 0
и τ , что при всех t ≥ τ имеет место неравенство
|θ̇(t)| ≥ ε.
Определение 3. Решение u(t) системы дифференциальных уравнений (2) будем
называть предельным циклом второго рода, если существуют число τ > 0 и целое
число j 6= 0 такие, что имеют место равенства
θ(τ ) − θ(0) = 2πj,
ξ(τ ) = ξ(0).
Круговые решения и предельные циклы второго рода соответствуют таким режимам работы, при которых ротор синхронной машины совершает провороты на сколь
угодно большой угол θ. Ясно, что наличие таких решений исключает глобальную
устойчивость системы (2).
Теорема 3. Пусть существует такое число λ > 0, что выполнены следующие
условия:
1) λ < min{c1 , c2 } и выполнено
λ−µ−
(a1 + 1)2
(a2 + 1)2
−
≥ 0;
4(c1 − λ) 4(c2 − λ)
(8)
23
2) решение F (σ) уравнения
dF
= −λF − ϕ(σ)
dσ
с начальными данными F (θ0 ) = 0 удовлетворяет условию
(9)
F
inf F (σ) > 0,
∀σ > σ0 ,
(10)
где ∀σ0 > θ0 .
Тогда для любого числа ε > 0 существует круговое решение (θ, ξ) системы (2), удовлетворяющее условиям θ(0) = θ0 и
s(0) > 0,
|ξ(0)| < ε.
(11)
Если, кроме этого, µ > 0, то система (2) имеет предельный цикл второго рода.
Доказательство. Введём функцию
1 2
V (θ, ξ) =
F (θ) − s2 + x2 + y 2 + z 2 .
2
Отметим, что для θ = θ0 всегда существует вектор ξ0 = (s0 , x0 , y0 , z0 ), удовлетворяющий условию (11), при котором функция V (θ0 , ξ0 ) < 0. Следовательно, на некотором
промежутке [0, T ) выполнено V (θ(t), ξ(t)) < 0. Тогда
1
1
0 < − F 2 (θ(t)) + s2 (t),
2
2
∀t ∈ [0, T ).
Отсюда и из условий (11) и (10) следует
F (θ(t)) < s(t),
∀t ∈ [0, T ).
(12)
Покажем, что функция
Zt h
i
V (θ(t), ξ(t)) +
2λV (θ(τ ), ξ(τ )) + δ(τ ) dτ
(13)
0
является невозрастающей функцией от t на промежутке [0, T ). Здесь
δ(t) =
1
(a + d)2
(b + 1)2 2
λ−µ−
−
s (t).
2
4(c1 − λ) 4(c2 − λ)
Из условия (8) теоремы 3 следует, что функция δ(t) является неотрицательной.
Используя (8), (12) и тот факт, что F является решением уравнения (9), на решениях системы (2) получим
24
p
dV
a + d 2
+ 2λV + δ = −(c2 − λ)z 2 −
c1 − λx − √
s −
dt
2 c1 − λ
p
2
b+1
dF
−
c2 − λy + √
s + ϕ(θ)s + F
s + λF 2 (θ) ≤
dθ
2 c2 − λ
dF
≤ F
+ λF + ϕ(θ) s = 0.
dθ
Из последнего неравенства следует, что функция (13) является невозрастающей на
промежутке [0, T ).
Покажем, что функция V (θ(t), ξ(t)) < 0 на промежутке [0, ∞). Путь
V (θ(t), ξ(t)) < 0 на промежутке [0, T ). Докажем, что соотношение
(14)
V (θ(T ), ξ(T )) = 0
не выполнено. Предположим противное: пусть V (θ(T ), ξ(T )) = 0. Но тогда существует
T1 < T такое, что
δ(t) > |2λV (θ(T ), ξ(T ))|,
∀t ∈ (T1 , T ).
Поскольку функция (13) не возрастает на промежутке [0, T ), имеет место соотношение
ZT h
i
V (θ(T ), ξ(T )) − V (θ(t), ξ(t)) +
2λV (θ(τ ), ξ(τ )) + δ(τ ) dτ ≤ 0,
t
∀t ∈ (T1 , T ).
Из последних двух неравенств имеем V (θ(T ), ξ(T )) < V (θ(t), ξ(t)) на промежутке
(T1 , T ) и, следовательно, V (θ(T ), ξ(T )) < 0. Получили противоречие с (14). Таким
образом, функция V (θ(t), ξ(t)) < 0 при t ≥ 0 и, следовательно,
F (θ(t)) < s(t),
(15)
∀t ≥ 0.
Таким образом, существует решение системы (2) с начальными данными θ(0) =
θ0 , s(0), x(0), y(0), z(0), которые удовлетворяют (11) и V (θ(t), ξ(t)) < 0 при t ≥ 0.
Следовательно, из оценок (15) и (10) можно сделать вывод о том, что такое решение
является круговым.
Рассмотрим теперь множество
n
o
Ω = (θ, ξ)V (θ, ξ) < 0, s > 0, θ ≥ θ(0) .
Из того, что на решениях системы (2) с начальными данными из Ω выполнено
V (θ(t), ξ(t)) < 0 при всех t ≥ 0, следует положительная инвариантность множества
Ω. Но тогда в силу непрерывной зависимости решений системы (2) от начальных
данных положительно инвариантно и замыкание Ω.
Пусть δ < min{µ, c1 , c2 }. Введём в рассмотрение функцию
U (θ, ξ) =
1 2
a
b
b
s + x2 + y 2 + z 2 − ν,
2
2d
2
2
где ν > δ −1 max |ϕ(θ)|. Из ограниченности функции ϕ(θ) следует, что ν < +∞. На
решениях системы (2) имеет место оценка
dU (θ(t), ξ(t))
+ δU (θ(t), ξ(t)) ≤ 0,
dt
Поэтому [5] положительно инвариантно множество
n
o
Σ = (θ, ξ) U (θ, ξ) ≤ 0 .
∀t ≥ 0.
25
Из непрерывности F (σ) на [θ0 , +∞) и соотношений F (θ0 ) = 0, F (σ) > 0, ∀σ > θ0
следует существование числа θ∗ > θ0 такого, что
F (θ∗ + 2π) > F (θ∗ ).
Из оценки (15) следует, что для любого вектора
n
o
u1 = (θ1 , ξ1 ) ∈ Σ1 = (θ, ξ) ∈ Ω ∩ Σ θ = θ∗
найдётся число t(u1 ) > 0, для которого выполнены условия
n
o
u(t(u1 ), u1 ) ∈ Σ2 = (θ, ξ) ∈ Ω ∩ Σ θ = θ∗ + 2π
u(t, u1 ) ∈
/ Σ2 ,
∀t ≥ 0,
t 6= t(u1 ).
Здесь через u(t, u1 ) обозначено решение системы (2) с начальными данными u1 =
(θ1 , ξ1 ). Определим преобразование T : Σ1 → Σ2 ,
T u = u(t(u), u),
и Q : Σ2 → Σ 1 ,
u ∈ Σ1 ,
(θ, ξ) 7−→ (θ − 2π, ξ).
Наличие непрерывной зависимости решений системы (2) от начальных данных
и тот факт, что Σ2 — множество без контакта, обеспечивают непрерывность преобразования T . Следовательно, непрерывен оператор QT . Легко показать, что множество Σ1 = Ψ ∪ Σ является выпуклым. Поэтому, по известной теореме Брауэра [12]
о неподвижной точке, существует точка u0 , обладающая свойством QT u0 = u0 . Это
означает, что
θ(t(u0 ), u0 ) = θ(0, u0 ) + 2π,
ξ(t(u0 ), u0 ) = ξ(0, u0 ).
Следовательно, решение u(t, u0 ) системы (2) является предельным циклом второго
рода.
Литература
1. Иванов-Смоленский А. В. Электрические машины. М.: Энергия, 1980. 928 с.
2. Леонов Г. А., Кондратьева Н. В. Анализ устойчивости электрических машин переменного тока. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. 259 с.
3. Барбашин Е. А., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым
пространством. М.: Наука, 1969. 299 с.
4. Янко-Триницкий А. А. Новый метод анализа синхронных двигателей при резкопеременных нагрузках. М.: ГЭИ, 1958. 104 с.
5. Гелиг А. Х., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.
6. Tricomi F. Sur une equation differetielle de l’electrotechnique // C.R. Acad. Sci. Paris.
T. 193. 1931. 635–636 p.
7. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentatasi in elettrotechnica //
Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa Scienze Fisiche, Matematiche. Serie II. 1933.
26
8. Ботвинник М. М. Регулирование возбуждения и статическая устойчивость синхронной машины. М.; Л.: ГЭИ, 1950. 59 с.
9. Веников В. А., Герценберг Г. Р., Совалов С. А., Соколов Н. И. Сильное регулирование
возбуждения. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1963. 152 с.
10. Леонов Г. А., Буркин И. М., Шепелявый А. И. Частотные методы в теории колебаний. I. Многомерные аналоги уравнения Ван-Дер-Поля и динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992. 366 с.
11. Leonov G. A., Ponomarenko D. V., Smirnova V. B. Frequency-Domain Methods for Nonlinear Analysis. Theory and Applications. Singapore, World Scientific. 1996. 498 p.
12. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Изд-во Моск. ун-та, 1984. 296 с.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.
27
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
269 Кб
Теги
синхронный, описывающих, электрический, система, устойчивость, колебания, динамическое, машина, глобальные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа