close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Группа характеров и мультипликативные функции на торе.

код для вставкиСкачать
Вестник КемГУ
№ 4 (48) 2011
УДК 515.17+517.545
ГРУППА ХАРАКТЕРОВ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ НА ТОРЕ
Т. С. Крепицина
GROUP OF CHARACTERS AND MULTIPLICATIVE FUNCTIONS ON TORUS
T. S. Krepizina
Автор поддержан грантом ФЦП, №02.740.11.0457.
В статье дается описание группы характеров и ее некоторых подгрупп, найдена связь с многообразием
Якоби. Найдены размерности и построены базисы в пространстве голоморфных мультипликативных функций и голоморфных дифференциалов Прима для любого порядка на торе.
In this article given a description for group of characters and her some subgroups. Connections their with Yacobi variety on torus are established. Dimensions and basics for space of holomorphic multiplicative functions and holomorphic Prymdifferentials for every orders on torus are obtained.
Ключевые слова: группа характеров на торе, дифференциал Прима, дивизоры, многообразие Якоби.
Keywords: group of characters on torus, Prym differential, divisors, Yacobi variety.
значно
Введение
Теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для случая специальных характеров на компактной римановой поверхности нашла
приложения в теории функций, аналитической теории чисел и в уравнениях математической физики.
На торе такие функции изучались в работах П. Аппеля, Е. Лакруа, А. Форсайта [1 – 4], где были получены формулы разложения в сумму и произведение
элементарных мультипликативных функций, а также найден общий вид таких функций. В дальнейшем, как правило, теория таких функций строилась
на компактной римановой поверхности рода g ³ 2
(Ф. Прим, Г. Рост, П. Аппель, Х. Фаркаш, И. Кра,
Р. Ганнинг [3; 4]). Гиперэллиптические поверхности
и, в частности, тор, находят даже большее приложение в современной математике, чем в случае g ³ 2 .
Это связано с тем, что на них можно строить явно
такие функции и дифференциалы Прима, в отличие
от общего случая, где в основном встречаются только теоремы существования.
Цель настоящей работы – опиисать группу характеров и ее некоторые подгруппы, связь с многообразием Якоби для тора. Найти размерности и построить базис в пространстве голоморфных мультипликативных функций и дифференциалов Прима
для любого порядка на торе.
определяется
* 2
(r(a1 ), r(b1 )) Î [ ] ,
либо
либо
вектором
через
отображение
 : C 2  Hom(G, * ) по правилу
C 2 ' (x , y )  rx ,y Î Hom(G, * ) ,
где rx ,y (a1 ) = exp 2pix , rx ,y (b1 ) = exp 2piy . Характер r Î Hom(G, * ) называется несущественным,
если
существует
c ÎC ,
такая,
что
r(a1 ) = exp 2pic, r(b1 ) = exp 2pic m , где для канонического базиса z1 голоморфных абелевых дифференциалов на римановой поверхности F двойственного к {a1, b1 } имеем
ò z1 = 1 , ò z1 = m . Несущеa1
b1
ственные характеры образуют подгруппу L1, которая биективно отображается на множество
L0 = {(x , y ) Î 2 : y = mx } [1].
Мультипликативной функцией f на F для r называется однозначная мероморфная функция
w = f (z ) на C , удовлетворяющая условиям:
f (z + 1) = r(a1 )f (z ), f (z + m) = r(b1 )f (z ) .
Если f0 – мультипликативная функция на F без
§ 1. Предварительные сведения
Пусть F будет компактная риманова поверхность рода g = 1 , F =  , где Г – группа с двумя
G
образующими:
a1 (z ) = z + 1,
b1(z ) = z + m,
нулей и полюсов, то
df0
f0
= d (log f0 ) – голоморфный
абелев дифференциал на F.
df
Отсюда 0 = d (log f0 ) = cz1 , а значит:
f0
Im m > 0. Фундаментальная группа для поверхности F имеет следующее алгебраическое представление: p1 (F ) @ G = a1, b1 : [a1, b1 ] = 1 . В дальней-
P
f 0 ( P)  f 0 ( P0 ) exp  c 1 ,
(1.1)
P0
где c Î , P, P0 Î F , и P0 – фиксированная точка.
шем будем отождествлять a1, b1 с петлями канони-
Эту функцию f0 назовем мультипликативной еди-
ческого базиса в p1 (F ) . Характер r на F это произ-
ницей на поверхности F для r .
вольный голоморфизм Г в * =  \ {0} . Он одно73
Вестник КемГУ
№ 4 (48) 2011
Определение. q – дифференциалом Прима Ф
относительно группы Г для r , т. е. (r, q ) – диффе-
a
D =
¹ 1 , a j b j Î N степени нуль на
b
Q1 1 ...Qsbs
торе F будет дивизором для мультипликативной
функции:
q
ренциалом, называется дифференциал F(z )dz , такой, что F(Tz )(T ' z )q = F(z )r(T ), z Î C , T Î G.
Дивизором D называется выражение вида
D =
a
P1 1 ...Pmam
, где
a
P1 1 ,..., Pmam
z
æm z
ö÷
s
çç
f (z) = f (z0)expççåaj ò tPP - åbj ò tQ P ÷÷÷exp2picz =
j 0
j 0÷
çè j =1 z0
j =1 z
ø÷
0
H(z -a)
s(z +a)s(z -b)
= Aelz
F(z) = Aelz
F(z)
H(z)
s2(z)
– точки на F , а
a1,..., am являются целыми числами. Обозначим
через rr (D -1 ) и ir-1 (D ) пространства функций для
для
некоторого
нормированного
характера
r(a1 ) = exp 2pic, r(b1 ) = exp 2pi(c m + d ), d , не
r кратных дивизору D -1 и 1-дифференциалов для
r-1 кратных дивизору D соответственно. Также
принадлежит Z , и F(z ) – эллиптическая функция
для G , а H (z )s(z ) – классические функции Вейерштрасса на F .
степень deg D = a1 + ... + am .
Теорема (Римана-Роха для характеров) [1; 3].
Пусть F – компактная риманова поверхность рода
один. Тогда для любого характера r, r ¹ 1 верно
§ 2. Группа характеров для тора
Теорема 1. Отображение
1
1
y(r) =
(log r(b1 ) - log r(a1 )m) Î J (F ) = 
L(1; m)
2pi
-1
равенство rr (D ) = deg D + ir-1 (D).
Теорема (Римана-Роха для q – дифференциалов
и характеров) [1]. Для любого q Î Z верно
*
задает изоморфизм Hom(G,  )
( f )Z q
( f )Z q -1
ir,q (D ) = deg D + i(
) = - deg D + r (
)
D
D
при любом характере r на римановой поверхности
@ J (F ).
L1
Доказательство. Докажем, что y будет корректно определенный групповой гомоморфизм из
F рода g = 1 , где f – любая мультипликативная
функция для r , f ¹ 0 и Z – канонический класс
дивизоров абелевых дифференциалов на F .
Многообразие Якоби для поверхности F есть
фактор пространство J (F ) = F
, где L(1; m) –
L(1; m)
целочисленная решетка, порожденная 1, m .
Теорема (Абеля для характеров на торе) [1; 3].
Пусть [F ;{a1, b1 }] – отмеченная компактная римано-
Hom(G,C * ) на J (F ) . Если для r существует
f1, f2 ¹ 0 мультипликативные функции, то f =
теореме Абеля имеем: y(r) = j(( f1 )) = j(( f2 )),
y(r1r2 ) = j((f1 f2 )) = j((f1 )) + j((f2 )) = y(r1 ) + y(r2 )
и y(r)-1 = -y(r), r1, r2 и r Î Hom(G, * ) .
a
P1 1 ...Pmam
дивизор степени нуль на F . Тогда
b
Q1 1 ...Qsbs
существует мультипликативная функция f для r с
(f ) = D 
m
s
j =1
k =1
å aj z j - å bk wk
f1
f2
– однозначная мероморфная функция на компактной
римановой поверхности F . Следовательно, дивизор
( f1 ) – линейно эквивалентен дивизору ( f2 ) , и по
ва поверхность рода 1, r – характер на F и
D =
P1 1 ...Pmam
Покажем, что y отображение «на». По теореме
Якоби для любого a Î J (F ) существует Da Î F ,
такой,
=
что
jP
0
(Da ) = a .
Таким
образом,
æ D ö÷
D
jP ççç a ÷÷ = a и дивизор a степени нуль является
÷
0 ç
1÷
P01
è P0 ø
1
(log r(b1 ) - log r(a1 )m),
2pi
где j(Pj ) = z j , j(Qk ) = wk и j – отображение
=
дивизором мультипликативной функции fa с некоторым ra . Отсюда:
Якоби на F со значениями в J (F ) . При этом
æ D ö÷
y(ra ) = j(( fa )) = jP ççç a ÷÷ = a .
0 ç
è P 1 ÷ø÷
P
P
P
æm
s
÷ö
ç
f (P) = exp ççç åaj ò tP P - åbj ò tQ P + 2pic1 ò z1 ÷÷÷ ,
j 0
j 0
÷÷
çè j =1 Q0
j =1 Q
ø
Q0
0
0
Из теоремы Абеля для характеров имеем, что
r Î Ker y тогда и только тогда, когда r – несущест-
где tQ P – нормированный абелев дифференциал
j 0
венный характер, то есть r Î L1 . Теорема доказана.
третьего рода на F с простыми полюсами в P,Q на
F.
Следствие. [1 – 3] Каждый дивизор
Известно, что Hom(G, * ) @ [S 1 ]2 ´ L1 (прямое
произведение групп), где S 1 = {z Î  :| z |= 1} и
74
Вестник КемГУ
определены
проекции:
№ 4 (48) 2011
выше теореме. Пусть r – произвольный характер и
j0 : Hom(G, * )  [S 1 ]2 ;
r(a1 ) = exp(s + it ) = exp 2pic,
j0 : Hom(G, * )  L1, где по теореме Фаркаша-Кра
r(b1 ) = exp(u + iv ) = exp(2pi mc + 2pid ),
любой характер r = r0 r1 , r0 – нормированный,
s, t, u, v Î  .
r1 – несущественный характеры и j0 (r) = r0 ,
В терминах отображения Â : C 2  Hom(G,C * )
характер r имеет комплексные координаты c, d ,
j1 (r) = r1. Приведем формулировку и доказательство теоремы Фаркаша-Кра. Используемые при этом
обозначения будут нужны нам в дальнейшем.
Теорема
(Фаркаш-Кра)
[3].Для
любого
или x = c, y = d + mc . Построим r1 – единственный несущественный характер по разложению
r : r1(a1 ) = exp 2pic, r1(b1 ) = exp 2pi mc ,
где 2pi mc = a + i b, a, b Î  . Имеем: a = s ,
r Î Hom(G, * ) существует и единственно пред-
ставление в виде r = r0 r1 где r0 Î [S 1 ]2 , r1 Î L1 .
Доказательство. Положим,
r(a1 ) = exp(s + it ), s, t Î  , r(b1 ) = exp(u + iv ),
u, v Î  .
b = Y -1 (-u + Xs ) , где a, s, u Î  , W = X + iY ;
или 2pi mc = s + i(-Y -1u + Y -1Xs ), c Î  . Число
c есть координата r1 по отображению Â . Последнее равенство можно переписать в виде:
Построим несущественный характер r1 , такой,
2pi mc = ln | r(a1 ) | +i(-Y -1(ln | r(b1 ) |) +
что | r1 (T ) |=| r(T ) |, T Î G . Выберем константы
c = a + i b, a, b Î  , из представления несущественного характера
r1 (a1 ) = exp c, r1 (b1 ) = exp Wc, Wc = mc
следующим образом:
| r1 (a1 ) |=| exp c1 |= exp a1 = exp s1 =| r(a1 ) | .
Отсюда a = s + 2pin, n Î  . Но так как a, s Î  ,
то n = 0 и a = s . Затем
| r1 (b1 ) |=| exp(mc) |= exp Re(mc) = exp u =| r(b1 ) | ,
+Y -1X (ln | r(a1 ) |)).
(1.3)
Положим, r(a1 ) = z1, r(b1 ) = w1. Компоненты
вектора (z1, w1 ) представляют собой координаты
характера r в карте y1 : Hom(G,C * )  [C * ]2 . Поэтому равенство (1.3) дает вид функций
занных координатах:
y1
j1
j1 в ука-
Â
[* ]2 ' (z1, w1 ) ¬ r  r1 
c,
или Re(mc) = u
(1.2)
Покажем, что такой выбор c действительно
возможен и единственный. Матрицу b – периодов
W = (m) , состоящую только из одного элемента,
можем записать в виде W = X + iY , где Y – положительное число. Из (1.2) получаем
Re[(X + iY )(a + i b )] = u , где a, b, u Î  . Так
как уже выбрали a = s , то требуется решить уравнение
Re[(X + iY )(a + i b )] = u или Y b = -u + Xs,
где r Î Hom(G,C * ), r1 Î L1 и
2pi mc = ln | z1 | +i(-Y -1(ln | w1 |) + Y -1X (ln | z1 |)).
Следовательно, координаты a и b будут вещественными гармоническими функциями от комплексных переменных z1 и w1 . Таким образом,
2pi m
c комплексно-гармонически зависит от z1, w1 ,
но не будет, очевидно, комплексно-аналитически
зависеть от них. Утверждение теоремы относительно проекции j1 доказано.
для которого b = Y -1(-u + Xs ) – единственное
решение. Таким образом, несущественный характер
r1 будет единственно определен. Теорема доказана.
Рассмотрим проекцию j0 , найдя r0 =
Теорема 2. Проекции j0 и j1 являются комплексно-гармоническими, но не комплексноаналитическими отображениями относительно ко-
ординатах. Имеем:
ординатных карт на Hom(G, * ) .
Доказательство. Возьмем терминологию из доказательства теоремы Фаркаша-Кра. Начнем с проекции j1 , так как ее явный вид найден в указанной
75
r
в коr1
Вестник КемГУ
№ 4 (48) 2011
exp(s + it)
= exp(i(t + (Y -1u) - (Y -1Xs))) =
exp(a + ib)
é æ Argz1
öù
1
1
= exp ê 2pi ççç
+ (Y -1(ln | w1 |)) - (Y -1X(ln | z1 |))÷÷÷ú = exp(2pix10 );
ê èç 2p
÷øûú
2p
2p
ë
exp(u + iv )
exp(u + iv )
exp(iv )
r0 (b1 ) =
=
=
=
1
1
1
exp(2pi mc)
exp((X + iY )(s + i(-Y u + Y Xs )))
exp[i(XY Xs + Ys - XY -1u )]
é
æ Argw1
öù
1
= exp ê 2pi ççç
+
(XY -1(ln | w1 |) - (XY -1X + Y )(ln | z1 |)) ÷÷÷ ú = exp(2piy10 ) .
ê
çè 2p
2p
ø÷ ûú
ë
r0(a1) =
Из последних равенств следует, что вещественные координаты
x10 , y10
для r0 в картах Â
в L1 Ç L1 , то существовала бы и последователь-
и y1
ность различных (cn , Wcn ) , сходящаяся к (0, 0) , но
будут вещественными гармоническими функциями
от z1 и w1 , но не будут комплексно-
это противоречит дискретности решетки из утверждения (i). Предложение доказано.
аналитическими относительно этих координат. Теорема доказана.
Предложение 1. (i) Множество L1 Ç L1 есть
§ 3. Голоморфные мультипликативные
функции и дифференциалы Прима на торе
Если r – несущественный характер, то единица
изоморфный образ при отображении Â дискретной
решетки в  , порожденной линейно независимыми
im
-i
и
;
над  комплексными числами
2 Im m
2 Im m
(ii) L1 Ç L1 @ 2
f0 для r имеет вид f0 (z ) = M (z 0 ) exp 2picz на

. Если r – существенный характер, то нетривиG
альная мультипликативная функция f для r должна
иметь полюса на торе.
Теорема 3. Пусть r – любой характер на торе
F . Тогда для любого q Î  размерность пространства голоморфных (r, q ) -дифференциалов на F
равна:
ì
r Î L1
ï1, при
ir,q (1) = dim Wqr (1; F ) = ï
í
ï
0,
при
r Î Hom(G, * ) \ L1.
ï
î
и является подгруппой в
*
группе Hom(G,  ) .
Доказательство. (i) Ясно, что 1 Î L1 Ç L1 .
Найдем все пресечение L1 Ç L1 . Пусть r Î L1 Ç L1 ,
то есть r = r1 , где r1 – некоторый несущественный
характер. Имеем
exp(2pic) = r1(a1 ) = exp 2pic1 = exp(-2pic1 ),
Причем пространство Wqr (1; F ) порождено диф-
exp(2pi mc) = r1 (b1 ) = r1 (b1 ) = exp(-2pic1m).
ференциалом вида M (z 0 )(exp 2picz )(dz )q на торе
Эти равенства эквивалентны двум равенствам
F.
Доказательство. Пусть сначала q = 0 . В случае r = 1, q = 0 это утверждение является классическим фактом [3] и уже знаем, что
r (1) = i(1) = g = 1 . По теореме Римана-Роха для
характеров r ¹ 1 имеем:
c = -c1 + k, Wc = -Wc1 + n, k, n Î  . Из первого
следует, что c1 явно выражается через c Î  и
k Î  . Из второго найдем общий вид для c :
Wc = W(c - k ) + n , или
(W - W)c = -Wk + n,
rr-1 (1) = ir(1).
1
1
c=
(-Y -1 Wk + Y -1n) = (k + i(Y -1Xk - Y -1n)).
2p
2
1
Координаты для (-Y -1W;Y -1 ) линейно неза2i
висимы над  , так как Y – положительное число и
координаты (-W; I 1 ) линейно независимы над  .
(1.4)
По определению ir (1) ³ 0 . Затем ir (1) £ 1 , так
как ir (1) = i(( f )-1 ) = r (( f )) - deg( f )-1 £ 1 ввиду
того, что r (( f )) £ 1 при deg( f ) = 0 , где f – отличная от тождественного нуля мультипликативная
F
для
r.
Кроме
того,
функция
на
Последнее утверждение есть классический факт из
теории компактных римановых поверхностей и их
многообразий Якоби.
(ii) Это утверждение следует из того, что Â есть
голоморфный изоморфизм из L0 в L1 и из пункта
ir (1) = 1  rr-1 (1) = 1  существует отличная от
тождественного нуля мультипликативная голоморфная функция f0 Î Lr-1 (1) . Здесь f0 не может
быть постоянной, так как постоянные функции не
принадлежат нетривиальному характеру. Затем f0
(i) доказываемой теоремы. Так, если бы существовала последовательность различных rn  1, n  ¥
76
Вестник КемГУ
№ 4 (48) 2011
P
P
éP
ù
ê
ú
f (P ) = exp ê ò tP P - ò tQ P + log r(a1 )ò z1 ú ,
1 0
êP 1 0
ú
P0
P0
ë 0
û
где j(P1 ) = j(Q1 ) + y(r) в J (F ) и y(r) ¹ 0.
Теорема 4. Для любого несущественного характера r и любой точки Q1 на торе F не существует
не имеет нулей из-за того, что deg( f0 ) = 0 и f0 не
имеет полюсов. Следовательно, f0 – единица (т.е.
мультипликативная функция для несущественного
характера r-1 ). Поэтому ir (1) = 1 , если и только
если r – несущественный характер.
Пусть r – несущественный характер на
F , r ¹ 1 . Тогда по теореме Римана-Роха для дифференциалов имеем:
мультипликативной функции для r с единственным
простым полюсом Q1 на F .
Доказательство 1. Для r = 1 это утверждение
есть известный классический факт [3].
Пусть r – любой несущественный характер на
торе F и r ¹ 1 . Предположим, что существует
1. Если q > 1 , то ir,q (1) = r (Z q -1 ) .
2. Если q = 1 , то ir,q (1) = r (1) = 1 .
3. Если q = 0 , то ir,0 (1) = r (Z -1 ) = i(1) = g = 1 .
4. Если q < 0 , то ir,q (1) = r (Z q -1 ) .
функция f0 для r , такая, что ( f ) =
= D, где
Q1
deg D = 0. Для такого дивизора D существует
Но
r(Z -q ) = ir,q (1) = (g - 1)(2q - 1) + r(Z q -1 ) = r(Z q -1 ) ,
функция f1 для некоторого нормированного харак-
а значит, r (Z -q ) = r (Z q -1 ) . Затем на торе есть голоморфный, отличный от нулевого, абелев дифференциал, например, dz, где (dz ) = 1 на F . Умноже-
тера r1 на торе F и ( f1 ) = D. Рассмотрим функf
. Так как (g ) = 1 , то g будет мультипf1
ликативной единицей для некоторого несущественr
r
ного характера r0 =
. Отсюда r1 =
, а знаr1
r0
цию g =
ние на него дает равенство ir,q (1) = ir,q +1(1; F ) . Из
r (1) = 1 следует r (Z q -1 ) = 1 для любого q .
Пусть r – существенный характер на торе F .
Тогда при q ³ 1 имеем ir,q (1) = r (( f )Z q -1 ) £ 1, так
r
= r1 = 1 на F [3]. Следовательно, f1 буr0
дет однозначной функцией с единственным и
простым полюсом в Q1 на F . Противоречие.
Доказательство 2. Докажем от противного. ЕсP
ли существует функция f для r с ( f ) = 1 на торе
Q1
чит,
q -1
как deg(( f )Z ) = 0. Но, если существует f – голоморфный m – дифференциал Прима (f ¹ 0) для
существенного характера r на торе F , т. е.
f = f (z )dz q для r на F , то функция
P1
f
= f буdz q
дет голоморфной мультипликативной на торе для
существенного характера r , где dz – голоморфный
F , то для дивизора D =
абелев дифференциал на F =  . У этой функции
G
нет полюсов, так как dz не имеет нулей на торе, а
значит, нет нулей, ввиду того, что deg( f ) = 0. Следовательно, f будет единицей для существенного
P1
Q1
имеем два условия:
deg D = 0. и j(D ) = y(r) = 0 в J (F ) . По класси-
ческой теореме Абеля [3] существует f1 – однозначная функция на торе F с единственным простым полюсом в Q1 на F . Противоречие.
Теорема доказана.
характера r . Противоречие. Поэтому ir,q (1) = 0
при q ³ 1 и существенном характере r .
Рассмотрим случай q < 0 . Если существует нетривиальный голоморфный дифференциал Прима
Литература
1. Чуешев, В. В. Мультипликативные функции
дифференциала Прима на переменной компактной
римановой поверхности. Ч. 2. / В. В. Чуешев. – Кемерово: Кузбассвузиздат, 2003.
2. Appell, P. Principes de la theorie des fonctionselliptiqueset applications / P. Appell, E. Lacour. –
Paris: Gauthier-Villars, 1897.
3. Farkas, H. M. Riemann surfaces, Grad. Texts
in Math., 71 / H. M. Farkas, I. Kra. – New-York:
Springer-Verlag, 1992.
4. Gunning, R. C. On the period classes of Prym
differentials / R. C. Gunning // J. ReineAngew. Math. –
1980. – № 319. – 153 – 171.
f = f (z )dz -m , m = -q > 0 для существенного характера r на компактной римановой поверхности
F , то умножая на dz m – нетривиальный голоморфный абелев дифференциал, получим, что f (z ) единица для r . Противоречие.
Теорема доказана.
Следствие 1. Для любого существенного характера r на торе F существует мультипликативная
функция f для r , имеющая точно один простой
полюс в любой точке Q1 на F . При этом:
77
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
276 Кб
Теги
торей, характеру, мультипликативный, группы, функции
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа