close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Два признака сравнения для скалярных уравнений Риккати и некоторые их применения.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 11, c. 20–35
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
Г.А. ГРИГОРЯН
ДВА ПРИЗНАКА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
РИККАТИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Аннотация. Доказываются два признака сравнения для скалярных уравнений Риккати. На
основе этих признаков доказываются коэффициентные признаки существования (как не уходящих, так и уходящих на бесконечность) решений уравнения Риккати. Обобщается часть
теоремы Ляпунова об уравнении Хилла. Получены признаки существования решения системы Редгеффера.
Ключевые слова: уравнения Риккати, Хилла, Матье, система Редгеффера, признаки сравнения, диссипативность, консервативность, p-диссипативность, p-консервативность.
УДК: 517.923
1. Введение
Пусть −∞ ≤ τ1 < τ2 ≤ +∞. Рассмотрим уравнение Риккати
y (t) + a(t)y 2 (t) + b(t)y(t) + c(t) = 0, t ∈ (τ1 , τ2 ),
(1.1)
где a(t), b(t), c(t) — заданные на (τ1 ; τ2 ) непрерывные функции. Посредством соотношений
t
a(τ )y(τ )dτ , ψ(t) = y(t)φ(t),
(1.2)
φ(t) = λ0 exp
t0
λ0 = const = 0, решения y(t) уравнения (1.1) связаны с решениями φ(t), ψ(t) системы
φ (t) = a(t)ψ(t),
(1.3)
ψ (t) = −c(t)φ(t) − b(t)ψ(t)
(см. [1], сс. 153, 154), а посредством соотношения
t
a(τ )y(τ )dτ
φ(t) = λ0 exp
(1.4)
t0
— с решениями φ(t) уравнения
φ (t)
− b(t)φ (t) − c(t)φ(t) = 0 (a(t) = 0)
a(t)
(1.5)
(см. [2], сс. 391, 392). Одной из важных задач качественной теории дифференциальных
уравнений является изучение вопроса об осциллируемости или неосциллируемости данной
системы дифференциальных уравнений или дифференциального уравнения, в частности,
системы (1.3) или уравнения (1.5). Изучению этого вопроса посвящено много работ (см.,
например, [2], сс. 393–397, 427–436; [3]–[12]). Будем говорить что система (1.3) (уравнение
Поступила 20.09.2011
20
ДВА ПРИЗНАКА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
21
(1.5)) осциллирующая на (τ1 , τ2 ), если для любых t1 , t2 ∈ (τ1 , τ2 ) каждая из компонент
любого ненулевого решения системы (1.3) (каждое ненулевое решение уравнения (1.5)) обращается в нуль на (τ1 , t1 ] ∪ [t2 ; τ2 ) (промежутки (τ1 , t1 ] и [t2 , τ2 ) могут быть как конечными
так и полубесконечными, см. [2], с. 414; другие определения осциллируемости см. [9]–[13]).
Очевидно, в силу (1.2), (1.4) система (1.3) (уравнение (1.5)) не является осциллирующей
тогда и только тогда, когда уравнение (1.1) имеет решение на (τ1 , t1 ] ∪ [t2 , τ2 ).
В разделе 3 доказываются два признака сравнения для уравнений Риккати. Первый из
них относится к случаю когда a(t) не меняет знака, второй — к случаю когда a(t) может
менять знак (заметим, что в признаках сравнения Штурма, Хилла, Левина и др. a(t)(≡ 1) не
меняет знака; см. [3], сс. 755, 756; [7]). На основе этих признаков в разделе 4 доказываются:
1) теоремы существования решений (как не уходящих, так и уходящих на бесконечность)
уравнения (1.1);
2) обобщается часть теоремы Ляпунова об уравнении Хилла;
3) доказываются два признака существования решения системы Редгеффера, возникающей при изучении физической модели распределения электромагнитных волн на линии
передачи и в физической модели дифракции частиц вдоль стержня ([14], сс. 86, 89).
2. Предварительные соотношения
Лемма 2.1. Пусть −∞ ≤ τ1 < t−1 < t0 < t1 < τ2 ≤ +∞, и пусть y0 (t) — решение уравнеt
ния (1.1) на (t−1 , t1 ). Тогда если функция A0 (t) ≡ a(τ )y0 (τ )dτ ограничена снизу на [t0 , t1 )
t0
(сверху на (t−1 , t0 ]), то (t−1 , t1 ) не является максимальным интервалом существования
для y0 (t).
Доказательство. В силу (1.1)–(1.3) функции
t
a(τ )y0 (τ )dτ , ψ0 (t) = y0 (t)φ0 (t)
φ0 (t) = exp
t0
образуют решение системы (1.3) на (t−1 , t1 ). Пусть φ0 (t), ψ0 (t) — решение системы (1.3) на
(τ1 , τ2 ) с φ0 (t0 ) = φ0 (t0 ) и ψ0 (t0 ) = ψ0 (t0 ). В силу теоремы единственности φ0 (t) совпадает с
φ0 (t), а ψ0 (t) с ψ0 (t) на (t−1 , t1 ). Поэтому, в силу первого из соотношений (1.2) из непрерывности φ0 (t) на [t−1 , t1 ] (так как t±1 ∈ (τ1 , τ2 ) по условию леммы) следует, что существует
предел (конечный или бесконечный)
t1
t
a(τ )y0 (τ )dτ =
a(τ )y0 (τ )dτ
lim
t→t1 −0 t0
t
lim
t→t−1 +0 t0
t0
t−1
a(τ )y0 (τ )dτ =
a(τ )y0 (τ )dτ .
t0
Так как по условию леммы функция A0 (t) ограничена снизу на [t0 , t1 ) (сверху на (t−1 , t0 ]),
то из последнего равенства следует
t−1
t1
a(τ )y0 (τ )dτ ≥ M+
a(τ )y0 (τ )dτ ≤ M−
t0
t0
для некоторого конечного M+ (M− ). Следовательно, φ0 (t) > 0 на [t0 , t2 ) (на (t2 , t0 ]) для
некоторого t2 > t1 (t2 < t1 ). Значит, в силу (1.2) отношение y0 (t) ≡
ψ0 (t)
0 (t)
φ
является решением
уравнения (1.1) на [t0 , t2 ) (на (t2 , t0 ]). Так как на (t−1 , t1 ) функция φ0 (t) совпадает с φ0 (t),
22
Г.А. ГРИГОРЯН
а ψ0 (t) с ψ0 (t), то на (t−1 , t1 ) функция y0 (t) совпадает с y0 (t). Следовательно, (t−1 , t1 ) не
является максимальным интервалом существования для y0 (t).
В дальнейшем для сокращения записи положим
t
t
+
x(s)ds , Iu,v (t0 , t) ≡
u(τ )Jv (t0 , τ )dτ,
Jx (t0 , t) ≡ exp −
t0
−
Iu,v
(t0 , t) ≡
t0
t
t0 , t ∈ (τ1 , τ2 ),
Ju (τ, t)v(τ )dτ,
t0
где x = x(t), u = u(t), v = v(t) — непрерывные на (τ1 , τ2 ) функции, и будем всегда считать,
что t0 ∈ (τ1 , τ2 ). Перепишем уравнение (1.1) в виде
y (t) + h(t)y(t) + c(t) = 0,
(2.1)
где h(t) = a(t)y(t) + b(t). Интерпретируем (2.1) как линейное дифференциальное уравнение.
Тогда для решения y0 (t) уравнения (1.1) получаем соотношение
−
(t0 , t),
y0 (t) = y0 (t0 )Jh0 (t0 , t) − Ih,c
(2.2)
где h0 (t) = a(t)y0 (t) + b(t), или
t
φ0 (s)J−b (t0 , τ )c(τ )dτ ,
y0 (t) = Jh0 (t0 , t) y0 (t0 ) −
где φ0 (t) = exp
t
(2.3)
t0
a(s)y0 (s)ds . Умножив обе части равенства (2.2) на a(t) и проинтегри-
t0
ровав их в пределах от t0 до t, получим
+
(t0 , t) − r0 (t0 , t),
φ0 (t) = 1 + y0 (t0 )Ia,b
где r0 (t0 , t) =
t
t0
a(τ )φ0 (τ )dτ
τ
(2.4)
− (t , s)ds. Подставим (2.4) в (2.3). Получим
Is,c
0
t0
t
+
J−b (t0 , t)Ia,b (t0 , τ )dτ −
y0 (t) = Jh (t0 , t) y0 (t0 ) 1 −
t0
−
t
t0
где
J−b (t0 , τ )c(τ )dτ + r1 (t0 , t) , (2.5)
t
r1 (t0 , t) =
t0
r0 (t0 , τ )J−b (t0 , τ )c(τ )dτ.
(2.6)
Пусть ai (t), bi (t), ci (t) (i = 1, 2) — непрерывные на (τ1 , τ2 ) функции. Рассмотрим уравнения Риккати
(2.7i )
y (t) + ai (t)y 2 (t) + bi (t)y(t) + ci (t) = 0, t ∈ (τ1 , τ2 ),
i = 1, 2. Пусть Yi (t) — решение уравнения (2.7i ) на (τ1 , τ2 ). Тогда нетрудно проверить, что
[Y1 (t) − Y2 (t)] + hi (t)[Y1 (t) − Y2 (t)] = Fi (t),
(2.8i )
где hi (t) = ai (t)(Y1 (t) + Y2 (t)) + bi (t),
2
(t) + (b2 (t) − b1 (t))Y3−i (t) + c2 (t) − c1 (t),
Fi (t) = (a2 (t) − a1 (t))Y3−i
t ∈ (τ1 , τ2 ), i = 1, 2. Из соотношений (2.8i ) видно, что Y1 (t) − Y2 (t) является решением
уравнений
z (t) + hi (t)z(t) = Fi (t), i = 1, 2.
ДВА ПРИЗНАКА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
Поэтому
Y1 (t) − Y2 (t) = [Y1 (t0 ) − Y2 (t0 )]Jhi (t0 , t) +
23
t
Jhi (τ, t)Fi (τ )dτ,
(2.9i )
t0
t ∈ (τ1 , τ2 ), i = 1, 2.
3. Признаки сравнения
В этом разделе доказываются два признака сравнения для уравнений Риккати. Первый
из них относится к случаю, когда коэффициент a(t) в (1.1) не меняет знака, второй — к
случаю, когда a(t) может менять знак.
3.1. Случай, когда a(t) не меняет знака [13].
Теорема 3.1. Пусть уравнение (2.71 ) имеет решение y1 (t) на [t0 , τ2 ) и пусть выполняются
условия
≥ 0,t ∈ [t0 , τ2 );
А1 ) a(t)
t
τ
[a(s)(η0 (s) + y1 (s)) + b(s)]ds ×
exp
Б1 )
t0
t0
2
×[(a1 (τ ) − a(τ ))y1 (τ ) + (b1 (τ ) − b(τ ))y1 (τ ) + c1 (τ ) − c(τ )] dτ ≥ 0,
−
(t0 , t). Тогда для любого y(0) ≥ y1 (t0 ) уравнение
t ∈ [t0 , τ2 ), где η0 (t) = y1 (t0 )Jb (t0 , t) − Ib,c
(1.1) имеет решение y0 (t) на [t0 , τ2 ), удовлетворяющее начальному условию y0 (t0 ) = y(0) ,
при этом
(3.1)
y0 (t) ≥ y1 (t), t ∈ [t0 , τ2 ).
Доказательство. Поскольку η0 (t) является решением линейного уравнения
η (t) + b(t)η(t) + c(t) = 0,
то, произведя в уравнении (1.1) замену
y(t) = z(t) + η0 (t),
(3.2)
получим
(3.3)
z (t) + a(t)z 2 (t) + (2a(t)η0 (t) + b(t))z(t) + a(t)η02 (t) = 0.
Пусть y0 (t) — решение уравнения (1.1) с y0 (t0 ) = y1 (t0 ) = η0 (t0 ) и (t−1 , t1 ) — максимальный интервал существования для y0 (t). Тогда в силу (3.2) z0 (t) ≡ y0 (t) − η0 (t) — решение
уравнения (3.3) с z0 (t0 ) = 0. Поэтому с учетом (2.2) имеем
t
t
exp −
[a(s)z0 (s) + 2a(s)η0 (s)b(s)]ds a(τ )η02 (τ )dτ,
z0 (t) = −
t0
τ
t ∈ [t0 , t1 ). Отсюда и из условия A1 ) следует
z0 (t) ≤ 0, t ∈ [t0 , t1 ).
(3.4)
В силу (2.91 ) и (3.2) имеем
t
[a(s)(y0 (s) + y1 (s)) + b(s)]ds ×
y0 (t) − y1 (t) = exp −
×
t
t0
τ
τ
a(s)z0 (s)ds exp
[a(s)(η0 (s) + y1 (s)) + b(s)]ds ×
exp
t0
t0
× [(a1 (τ ) −
t0
2
a(τ ))y1 (τ ) +
(b1 (τ ) − b(τ ))y1 (τ ) + c1 (τ ) − c(τ )]dτ, (3.5)
24
Г.А. ГРИГОРЯН
t ∈ [t0 , t1 ). Положительная функция exp
t
a(s)z0 (s)ds
в силу условия A1 ) и неравенства
t0
(3.4) монотонно неубывающая. Поэтому по теореме о среднем значении для интегралов (см.
[15], с. 869) из (3.5) получаем
y0 (t) − y1 (t) = exp
−
×
t
[a(s)(y0 (s) + y1 (s)) + b(s)]ds ×
t0
α(t)
τ
exp
t0
[a(s)(η0 (s) + y1 (s)) + b(s)]ds ×
t0
× [(a1 (τ ) − a(τ ))y12 (τ ) + (b1 (τ ) − b(τ ))y1 (τ ) + c1 (τ ) − c(τ )]dτ, (3.6)
где α(t) ∈ [t0 , t], t ∈ [t0 , t1 ). Отсюда и из Б1 ) следует
y0 (t) ≥ y1 (t), t ∈ [t0 , t1 ).
(3.7)
t1 = τ 2 .
(3.8)
Покажем, что
Предположим, t1 < τ2 . Тогда так как y1 (t) непрерывна на [t0 , t1 ], то из A1 ) и (3.6) следуt
ет, что функция A0 ≡ a(τ )y0 (τ )dτ ограничена снизу на [t0 , t1 ). В силу леммы 2.1 отсюда
t0
следует, что (t−1 , t1 ) не является максимальным интервалом существования для y0 (t). Полученное противоречие доказывает (3.7). Неравенство (3.6) и равенство (3.7) завершают
доказательство теоремы в том частном случае, когда y(0) = y1 (t0 ).
Докажем теорему в общем случае. Пусть y(0) ≥ y1 (t0 ) и пусть y0 (t) — решение (1.1) с
t−1 , t1 ). Поскольку y0 (t0 ) ≥
y0 (t0 ) = y(0) и с максимальным интервалом существования (
y0 (t0 ), то y0 (t) ≥ y0 (t) ≥ y1 (t), t ∈ [t0 , t1 ). В силу леммы 2.1 отсюда аналогично доказатель
ству (3.7) имеем t1 = τ 2 .
Заметим, что признак сравнения Штурма, интерпретированный в терминах уравнений
Риккати ([3], с. 755), является непосредственным следствием теоремы 3.1.
3.2. Случай, когда a(t) может менять знак.
Теорема 3.2. Пусть yi (t) — решение уравнения (2.7i ) на [t0 , τ2 ), i = 1, 2, и y1 (t0 ) ≥ y2 (t0 ).
Тогда, если
A2 ) [a(t) − a1 (t)]y12 (t) + [b(t) − b1 (t)]y1 (t) + c(t) − c1 (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , τ2 );
Б2 ) [a2 (t) − a(t)]y22 (t) + [b2 (t) − b(t)]y2 (t) + c2 (t) − c(t) ≥ 0, t ∈ [t0 , τ2 ),
то для любого y(0) ∈ [y2 (t0 ), y1 (t0 )] уравнение (1.1) имеет решение y0 (t) на [t0 , τ2 ), удовлетворяющее начальному условию y0 (t0 ) = y(0) , при этом
y1 (t) ≥ y0 (t) ≥ y2 (t), t ∈ [t0 , τ2 ).
(3.9)
Доказательство. Пусть y0 (t) — решение уравнения (1.1) на (t−1 , t1 ) ( t0 ), удовлетворяющее начальному условию y0 (t0 ) = y(0) , где (t−1 , t1 ) — максимальный интервал существования для y0 (t). В силу (2.92 )
t
J−h3 (τ, t)F3 (τ )dτ,
y1 (t) − y0 (t) = [y1 (t0 ) − y0 (t0 )]Jh3 (t0 , t) +
t0
ДВА ПРИЗНАКА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
25
где
h3 (t) = a1 (t)(y0 (t) + y1 (t)) + b1 (t),
F3 (t) = [a(t) − a1 (t)]y12 (t) + [b(t) − b1 (t)]y1 (t) + c(t) − c1 (t),
t ∈ (t−1 , t1 ). Отсюда и из условия A2 )
y1 (t) ≥ y0 (t), t ∈ [t0 , t1 ).
В силу (2.91 ) имеем
y0 (t) − y2 (t) = [y0 (t0 ) − y2 (t0 )]Jh4 (t0 , t) +
(3.10)
t
t0
J−h4 (τ, t)F4 (τ )dτ,
где
h4 (t) = a(t)(y0 (t) + y2 (t)) + b(t),
F4 (t) = [a2 (t) − a(t)]y22 (t) + [b2 (t) − b(t)]y2 (t) + c2 (t) − c(t),
t ∈ (t−1 , t1 ). Отсюда и из условия Б2 )
y0 (t) ≥ y2 (t), t ∈ [t0 , t1 ).
(3.11)
Покажем, что t1 = τ2 . Предположим, t1 < τ2 . Тогда в силу непрерывности на [t0 , t1 ] функций
yi (t) (i = 1, 2) из (3.10) и (3.11) следует, что y0 (t) ограничена на [t0 , t1 ). Следовательно,
t
ограничена на [t0 , t1 ) и функция A0 (t) = a(τ )y0 (τ )dτ . В силу леммы 2.1 отсюда следует,
t0
что (t−1 , t1 ) не является максимальным интервалом существования для y0 (t). Полученное
противоречие показывает, что t1 = τ2 . Отсюда следует y0 (t) существует на [t0 , τ2 ) и в силу
(3.10), (3.11) удовлетворяет неравенствам (3.9).
π π
Пример 3.1. Пусть |a(t)| ≤ 1, |c(t)| ≤ 1, t ∈ − 2 , 2 . Покажем, что решение y0 (t) уравнения
y (t) + a(t)y 2 (t) + c(t) = 0,
удовлетворяющее начальному условию y0 (0) = 0, существует на интервале − π2 ,
π π
.
|y0 (t)| ≤ | tg(t)|, t ∈ − ,
2 2
π
2
(3.12)
, причем
Положим ai (t) = ci (t) ≡ (−1)i , bi (t) ≡ 0, i = 1, 2. Тогда так как a1 (t)
≤ a(t) ≤ a2 (t),
c1 (t) ≤ c(t) ≤ c2 (t), (b(t) − b1 (t))y1 (t) = (b2 (t) − b(t)y2 (t)) = 0, t ∈ 0, π2 , и yi (0) = 0
теоремы 3.2. Поэтому,
(поскольку yi (t) = (−1)i tg(t)), i = 1, 2, то выполнены все
условия
π
решение y0 (t) уравнения (3.12) с y0 (0) = 0 существует на 0, 2 и |y0 (t)| ≤ | tg(t)|, t ∈ 0, π2 .
Произведя в (3.12)
3.2, убеждаемся, что y0 (t)
y(t) = z(−t) и снова применив
πтеорему
замену
t
∈
−
,
0
.
Таким
образом, мы показали,
существует и на − π2 , 0 , причем |y0 (t)| ≤ | tg(t)|,
2
π π
что уравнение (3.12) имеет решение y0 (t) на − 2 , 2 такое, что |y0 (t)| ≤ | tg(t)|, t ∈ − π2 , π2 .
4. Некоторые применения
4.1. Признаки глобальной разрешимости для уравнений Риккати. При a1 (t) = c1 (t) ≡ 0
−
(t0 , t) и
функция y1 (t) ≡ 0 является решением уравнения (2.71 ). В этом случае η0 (t) = −Ib,c
условие Б1 ) теоремы 3.1 принимает вид
τ
t
−
exp
[b(s) − a(s)Ib,c (t0 , s)]ds c(τ )dτ ≤ 0, t ∈ [t0 , τ2 ).
(4.1)
t0
t0
26
Г.А. ГРИГОРЯН
В силу теоремы 3.1 при выполнении условий A1 ) и (4.1) и при любом y(0) ≥ 0 уравнение
(1.1) имеет решение y0 (t) на [t0 , τ2 ), удовлетворяющее начальному условию y0 (t0 ) = y(0) ,
при этом
(4.2)
y0 (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , τ2 ).
Пусть t0 < t1 < · · · — конечная или бесконечная последовательность такая, что tk ∈
[t0 , τ2 ]. Будем считать, что если {tk } конечна, то наибольшее из чисел tk совпадает с τ2 , а
если {tk } бесконечна, то lim tk = τ2 . Пусть a(t) ≥ 0, t ∈ [t0 , τ2 ), и на [t0 , t1 ) выполняется
k→∞
условие (4.1). Тогда в силу (4.2) решение y0 (t) уравнения (1.1) с y0 (t0 ) ≥ 0 существует на
[t0 , t1 ), причем y0 (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , t1 ). С использованием леммы 2.1 легко показать, что y0 (t)
продолжается на [t0 , t1 ]. Очевидно, y0 (t1 ) ≥ 0. Значит, в силу (4.1), (4.2) если
τ
t
−
exp
[b(s) − a(s)Ib,c (t0 , s)]ds c(τ )dτ ≤ 0, t ∈ [t1 , t2 ),
(4.3)
t1
t1
то y0 (t) продолжается на [t0 , t2 ), причем y0 (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , t2 ). При выполнении на [t2 , t3 )
условия, аналогичного (4.3), y0 (t) продолжается на [t0 , t3 ), причем y0 (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , t3 ), и
т. д. Таким образом, доказана
Теорема 4.1. Пусть a(t) ≥ 0, t ∈ [t0 , τ2 ), и
τ
t
−
exp
[b(s) − a(s)Ib,c
(t0 , s)]ds c(τ )dτ ≤ 0, t ∈ [tk , tk+1 ),
tk
tk
k = 0, 1, . . . . Тогда для любого y(0) ≥ 0 уравнение (1.1) имеет решение y0 (t) на [t0 , τ2 ),
удовлетворяющее начальному условию y0 (t0 ) = y(0) , при этом
y0 (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , τ2 ).
Теорема 4.2. Пусть ai (t), ci (t) — непрерывно дифференцируемые на [t0 , τ2 ) функции, и
пусть (−1)i ai (t) > 0, (−1)i ci (t) > 0, t ∈ [t0 , τ2 ), i = 1, 2. Тогда если
a1 (t) ≤ a(t)
(t) ≤ c(t) ≤ c2 (t), t ∈ [t0 , τ2 );
А2 )
≤ a2 (t), c1
1 ai (t) ci (t)
−
+ 2(−1)i ai (t)ci (t), t ∈ [t0 , τ2 ), i = 1, 2,
b(t) ≥
Б2 )
2 ai (t) ci (t)
c1 (t0 )
0)
уравнение (1.1) имеет решение y0 (t) на [t0 , τ2 ),
то для любого y(0) ∈ − ac22(t
(t0 ) ,
a1 (t0 )
удовлетворяющее начальному условию y0 (t0 ) = y(0) , при этом
c2 (t)
c1 (t)
≤ y0 (t) ≤
, t ∈ [t0 , τ2 ).
(4.4)
−
a2 (t)
a1 (t)
Доказательство. Положим в уравнении (2.7i )
1 ai (t) ci (t)
−
+ 2(−1)i ai (t)ci (t), t ∈ [t0 , τ2 ), i = 1, 2.
bi (t) =
2 ai (t) ci (t)
Тогда нетрудно проверить, что y1 (t) = ac11(t)
(t) является решением уравнения (2.71 ), а y2 (t) =
c2 (t)
− a2 (t) — решением (2.72 ). Поэтому, из условий Б2 ) следует
(b(t) − b1 (t))y1 (t) ≥ 0, (b2 (t) − b(t))y2 (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , τ2 ).
Отсюда и из условий
2 ) следует,
что выполняются все условия теоремы 3.2. Поэтому
A
c2 (t0 )
0)
уравнение (1.1) имеет решение y0 (t) на [t0 , τ2 ) с
для любого y(0) ∈ − a2 (t0 ) , ac11(t
(t0 )
y0 (t0 ) = y(0) , при этом выполняются неравенства (4.4).
ДВА ПРИЗНАКА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
27
Пример 4.1. Пусть |a(t)| ≤ 1, b(t) ≥ 1, |c(t)| ≤ 1, t ∈ [1, +∞). Тогда для любого y(0) ∈ [−1, 1]
уравнение
y (t) + ta(t)y 2 (t) + 2t2 b(t)y(t) + t3 c(t) = 0
имеет решение y0 (t) на [1, +∞) с y0 (t0 ) = y(0) , при этом |y0 (t)| ≤ t, t ∈ [1, +∞). Для доказательства этого факта следует взять ai (t) = (−1)i t, ci (t) = (−1)i t3 , i = 1, 2, и применить
теорему 4.2.
4.2. Рассмотрим уравнение Хилла
φ (t) + c(t)φ(t) = 0, t ∈ [t0 , +∞).
(4.5)
Здесь c(t) — непрерывная на [t0 , +∞) периодическая функция с периодом T . Уравнению
(4.5) соответствует уравнение Риккати
y (t) + y 2 (t) + c(t) = 0, t ∈ [t0 , +∞).
(4.6)
Пусть T — период функции c(t) и t0 < t1 < · · · < tN = t0 + T . Положим
τ s
t
exp −
ds
c(ξ)dξ c(τ )dτ, t ∈ [tk , tk+1 ), k = 0, N − 1.
Ik (t) =
tk
tk
tk
Пусть Ik (t) ≤ 0, t ∈ [tk , tk+1 ), k = 0, N − 1. Тогда в силу теоремы 4.1 для любого
y(0) ≥ 0 уравнение (4.6) имеет неотрицательное решение y0 (t) на [t0 , t0 + T ), удовлетворяющее условию y0 (t0 ) = y(0) . Применяя лемму 2.1 легко показать, что y0 (t) продолжается
на [t0 , t0 + T ]. Тогда
(4.7)
y0 (t0 + T ) ≥ 0.
Пусть tk,m = tk + mT , k = 0, N , m = 1, 2, 3, . . . , и
τ
t
s
exp −
ds
c(ξ)dξ c(τ )dτ, t ∈ [tk , tk+1 ), k = 0, N − 1,
Ik,m(t) =
tk,m
tk,m
tk,m
m = 1, 2, . . . . Нетрудно проверить что Ik,m(t) = Ik (t − mT ), t ∈ [tk , tk+1 ), k = 0, N − 1,
m = 1, 2, . . . . Значит, Ik,m (t) ≤ 0, t ∈ [tk , tk+1 ), k = 0, N − 1, m = 1, 2, . . . . Тогда по уже
доказанному для любого y(m) ≥ 0, m = 1, 2, . . . , уравнение (4.6) имеет неотрицательное
решение ym (t) на [t0 + mT, t0 + (m + 1)T ], удовлетворяющее начальному условию ym (t0 +
mT ) = y(m) . Пусть y(0) = 0, y(m+1) = ym (t0 + (m + 1)T ). Положим Y0 (t) = ym (t), t ∈
[t0 + mT, t0 + (m + 1)T ], m = 0, 1, 2, . . . . Тогда, очевидно, Y0 (t) — решение уравнения (4.6)
на [t0 , +∞). Пусть ym (t) — решение уравнения (4.6) на [t0 + mT, t0 + (m + 1)T ) c ym (t0 ) = 0,
m = 0, 1, . . . , и пусть Y0 (t) = ym (t), t ∈ [t0,m , t0,m+1 ), m = 0, 1, 2, . . . . Очевидно, Y0 (t)
— периодическая функция с периодом T . Так как Y0 (t0,m ) ≥ Y0 (t0,m ) = ym (t0,m ) = 0,
m = 0, 1, 2, . . . , то
(4.8)
Y0 (t) ≥ Y0 (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , +∞).
Пусть λср =
1
T
t0+T
Y0 (τ )dτ . Так как Y0 (t) (≡ 0) неотрицательна и непрерывна на (t0 , t0 + T ),
t0
то λср > 0. Рассмотрим решение φ0 (t) = exp
φ0 (t) ≥ exp
t
t0
t
t0
Y0 (τ )dτ
уравнения (4.5). Из (4.8) имеем
Y0 (τ )dτ , t ∈ [t0 , +∞).
28
Г.А. ГРИГОРЯН
t
Пусть Yср (t) = Y0 (t) − λср . Очевидно
Yср (τ )dτ — периодическая функция с периодом T .
t0
Тогда из последнего неравенства получим
φ0 (t) ≥ M exp{λср t}, t ∈ [t0 , +∞),
где
M=
t
exp
min
t∈[t0 ,t0 +T ]
(4.9)
Yср (τ )dτ
> 0.
t0
Так как λср > 0, то из (4.9), (4.10) следует, что φ0 (t) — монотонно возрастающая функция
экспоненциального роста. Пусть µ1 и µ2 — мультипликаторы уравнения (4.5). Они являются
корнями характеристического уравнения ([16], с. 461)
µ2 − 2Aµ + 1 = 0.
(4.10)
Здесь
t
dτ
φ0 (t0 + T ) + φ1 (t0 + T )
> 0, φ1 (t) = φ0 (t)
2
2
t0 φ0 (τ )
— линейно независимое с φ0 (t) решение уравнения (4.5). Покажем, что A > 1. Предположим,
0 < A < 1. Тогда |µj | = 1, j = 1, 2, и ([16], сс. 87, 88) все решения уравнения (4.5) имеют
не более чем линейный рост при t → +∞ , что противоречит (4.9). Таким образом, A > 1.
Отсюда следует
(4.11)
0 < µ1 < 1 < µ2 .
Итак, доказана
A=
Теорема 4.3. Пусть
t
Ik (t) ≡
exp
tk
−
τ
s
ds
tk
c(ξ)dξ c(τ )dτ ≤ 0, t ∈ [tk , tk+1 ],
(4.12)
tk
k = 0, N − 1. Тогда уравнение (4.5) имеет положительное, монотонно возрастающее неограниченное решение. Мультипликаторы µ1 и µ2 уравнения (4.5) вещественны и удовлетворяют неравенствам (4.11).
Заметим, что теорема 4.3 является обобщением части 1) следующей теоремы Ляпунова
([16], с. 103).
Теорема∗ . 1) Если c(t) ≤ 0, то уравнение (4.10) имеет действительные корни µ1 , µ2 ,
удовлетворящие (4.11), и уравнение (4.5) имеет бесконечно много неограниченных решений
на (t0 , +∞).
t0+T
c(t)dt ≤ 4/T , то уравнение (4.10) имеет корни µ1 = eiθ , µ2 =
2) Если c(t) > 0 и
t0
e−iθ , θ > 0, и каждое решение φ уравнения (4.5) ограничено на (t0 , +∞) вместе со своей
производной φ .
Пусть ξk ∈ [tk , tk+1 ), k = 0, N − 1, и пусть c(t) неположительна на [tk , ξk ] и неотрицательна
на [ξk , tk+1 ], k = 0, N − 1. Тогда, очевидно, условия (4.12) можно заменить более простыми
Ik (tk+1 ) ≤ 0, k = 0, N − 1.
4.3. При c(t) = δ + ε cos(2t), где δ, ε — действительные параметры, уравнение (4.5) носит
название уравнения Матье ([17], с. 111; [18]). Оно имеет важные приложения
ε [17]. Условия
теоремы 4.3 для уравнения Матье очевидно выполняются, если δ < 0, δ ≤ 1. Поэтому
ДВА ПРИЗНАКА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
29
в этом случае уравнение Матье имеет монотонно возрастающее положительное и неограниченное
Рассмотрим теперь случай, когда
решение и, значит, является неосциллирущим.
δ < 0, δε > 1. Положим t0 = 12 arccos δε . Тогда нетрудно видеть, что функция I0 (t) монотонно убывает на [t0 , π − t0 ] и монотонно возрастает на [π − t0 , π + t0 ]. Поэтому при N = 1
(4.12) эквивалентно неравенству
(4.13)
I0 (t0 + π) ≤ 0.
Положим
t
c1 (t) = −
c(s)ds, t ∈ [t0 , t0 + π].
t0
Тогда
I0 (t) = −
t
τ
exp
t0
c1 (s)ds c1 (τ )dτ, t ∈ [t0 , t0 + π].
t0
Интегрируя по частям, отсюда получаем
τ
t
t
2
exp
c1 (s)ds c1 (τ )dτ − c1 (t) exp
c1 (s)ds ,
I0 (t) =
t0
t0
t ∈ [t0 , t0 + π]. Заметим, что
I0 (t0 + π) ≤ c1 (π − t0 )
max
t∈[t0 ,t0 +π]
c1 (t) = c1 (π − t0 ). Отсюда и из (4.14) следует
t0 +π
τ
exp
t0
или
(4.14)
t0
c1 (s)ds c1 (τ )dτ − c1 (t0 + π) exp
t0
I0 (t0 + π) ≤ c1 (π − t0 ) exp
t0 +π
t0 +π
c1 (s)ds
t0
c1 (s)ds − 1 − c1 (π + t0 ) exp
t0
t0 +π
c1 (s)ds .
t0
Поэтому неравенство (4.13) выполняется, если
t0 +π
c1 (s)ds
≤ c1 (π + t0 ),
c1 (π − t0 ) 1 − exp −
t0
т. е.
2
δ
π 2
π
2
2
2
δ−
ε −δ
1 − exp
≤ πδ
(4.15)
δ π − arccos − ε − δ
ε
2
2
(δ ≤ 0). Таким образом, если δ < 0, δε > 1 и выполняется (4.15), то в силу теоремы 4.3
уравнение Матье имеет неограниченное решение. Этим мы показали, что область значений
параметров δ, ε, для которых уравнение Матье неосциллирующее, не у́же, чем область
точек (δ, ε), не лежащих справа от кривой
δ 2
2
δ π − arccos − ε − δ ×
ε
2
δ π 2
π
2
δ−
ε −δ
= πδ, δ < 0, ≤ 1. (4.16)
× 1 − exp
2
2
ε
√
√
π2
2
Поскольку |δ| < |ε|, то 1 − exp 2 δ − π2 ε2 − δ2 = π2 ε2 − δ2 − π2 δ + o(ε) при ε → 0.
Поэтому из (4.16) следует
δ π
1
2
2
2
2
ε − δ − δ + o(ε) = δ
δ π − arccos − ε − δ
ε
2
2
30
Г.А. ГРИГОРЯН
при ε → 0. После несложных преобразований отсюда получаем
2 δ
1 δ 2
δ
π δ o(ε)
1
+
+
+
=
+ 1−
2 ε2
2 ε
ε
2ε
ε
2
δ
1
δ
π δ o(ε)
δ
π − arccos +
при ε → 0. (4.17)
1−
−
+
ε
ε
2
ε
2ε
ε
Так как δε ≤ 1, то правая часть равенства (4.17) ограничена в окрестности точки ε = 0.
Поэтому εδ2 ограничена в окрестности ε = 0. Отсюда следует δε → 0 при ε → 0, и мы
приходим к следующей асимптотической формуле для (4.17)
1
δ = − ε2 + o(ε) при ε → 0.
2
Выведем теперь асимптотическую формулу для (4.17) при |ε| → +∞.
Поскольку, очевидно,
2
δ π 2
π
2
2
2
δ π − arccos − ε − δ exp
δ−
ε −δ →0
ε
2
2
√
при |ε| → ∞, то из (4.16) следует δ arccos δε − ε2 − δ2 → 0 при |ε| → +∞ или ε δε arccos δε +
2 1 − δε
→ 0 при |ε| → +∞. Следовательно, δε → 0 при |ε| → +∞. Отсюда приходим к
следующей асимптотической формуле:
δ = −|ε| + o(1), |ε| → +∞.
Для сравнения отметим, что характеристическая кривая a0 (ce0 ) функции Матье ce0 (z, − |ε|
2 )
([17], с. 113; [18], сс. 50, 51, 120), справа от которой находится область параметров δ, ε осциллируемости уравнения Матье, удовлетворяет следующим асимптотическим формулам
([18], сс. 24, 288, 289, 292):
1
δ = − ε2 + O(ε4 ), ε → 0;
8
δ = −|ε| + 2|ε| + o( |ε|), |ε| → +∞.
4.4. Рассмотрим систему
⎧
∂u
2
⎪
⎨ ∂t + a(t)u (t, r) + b(t)u(t, r) + c(t) = 0, u(r, r) = 0;
b(t)
∂v
v(r, r) = 0;
∂t + 2 + a(t)u(t, r) = 0,
⎪
⎩ ∂w
w(t,r)
,
w(r, r) = 0,
∂t = a(t)e
(4.18)
t, r ∈ (τ1 , τ2 ). Эта система входит в схему Редгеффера и применяется при изучении физической модели падающих на отрезок линии передачи электромагнитных волн. Матрица
v
e −u
,
w ev
образованная решением системы (4.10), имеет физический смысл матрицы рассеяния волн.
Изучение физической модели дифракции частиц вдоль стержня также связано с системой
(4.18) ([14], с. 86–89). Рассмотрим упорядоченную тройку чисел [k1 ; k2 ; k3 ] и связанную с ней
матрицу
k2 k1
.
(4.19)
k3 k2
ДВА ПРИЗНАКА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
31
Определение 4.1. Тройка [k1 ; k2 ; k3 ] называется диссипативной, если матрица (4.19) есть
сжатие, и называется консервативной, если матрица (4.19) унитарна.
Определение 4.2. Тройка [k1 ; k2 ; k3 ] называется p-диссипативной, если ее элементы неотрицательны и удовлетворяют неравенствам k1 + k2 ≤ 1, k2 + k3 ≤ 1, и называется p-консервативной, если выполнены равенства k1 + k2 = k2 + k3 = 1 для неотрицательных элементов
kj , j = 1, 3.
Известны следующие утверждения ([14], сс. 88, 89).
Теорема 1
. Пусть комплексные функции a(t), b(t), c(t) кусочно-непрерывны на (τ1 , τ2 ),
система (4.18) имеет непрерывное решение u, v, w для t, r ∈ (τ1 , τ2 ). Тогда
а) тройка [−u; ev ; w] диссипативна во всей области t ≥ r ∈ (τ1 , τ2 ), если и только если
|a(t) + c(t)| ≤ Re b(t), t ∈ (τ1 , τ2 );
б) тройка [−u; ev ; w] диссипативна во всей области t ≤ r ∈ (τ1 , τ2 ), если и только если
|a(t) + c(t)| ≤ −Re b(t), t ∈ (τ1 , τ2 );
в) тройка [−u; ev ; w] консервативна в области t, r ∈ (τ1 , τ2 ) при |a(t) + c(t)| = Re b(t) = 0,
t ∈ (τ1 , τ2 ).
Теорема 2
. Пусть вещественные функции a(t), b(t), c(t) кусочно-непрерывны на (τ1 , τ2 ),
система (4.18) имеет непрерывное решение u, v, w для t, r ∈ (τ1 , τ2 ). Тогда
а◦ ) тройка [−u; ev ; w] p-диссипативна в t ≥ r ∈ (τ1 , τ2 ), если и только если
b(t) ≥ 2a(t) ≥ 0, b(t) ≥ 2c(t) ≥ 0, t ∈ (τ1 , τ2 );
б◦ ) тройка [−u; ev ; w] p-диссипативна в t ≤ r ∈ (τ1 , τ2 ), если и только если
a(t) ≥ 0, c(t) ≥ 0, b(t) ≤ 2a(t), b(t) ≤ 2c(t), t ∈ (τ1 ; τ2 );
в◦ ) тройка [−u; ev ; w] p-консервативна в t, r ∈ (τ1 , τ2 ), если b(t) = 2a(t) = 2c(t).
Как видим, приведенные теоремы являются условными в том смысле, что в них существование решения системы (4.18) не доказывается, а предполагается. Следующие два
утверждения в некоторой степени ослабляют характер условности указанных теорем.
Теорема 4.4. Пусть a(t), b(t), c(t) вещественны и непрерывны на (τ1 , τ2 ). Тогда, если
a1 )
|a(t) + c(t)| ≤ b(t), t ∈ (τ1 , τ2 ),
(4.20)
то система (4.18) имеет решение в области t ≥ r ∈ (τ1 , τ2 ), и если, кроме того,
τ2
+
J−b (τ1 , τ )|1 ± Ia,b
(τ1 , τ )c(τ )|dτ +
τ1
τ
s
τ2
−
J−b−|a| (τ1 , τ )
|a(s)|ds
Ib,c (ξ, s)dξ dτ < 1, t ∈ (τ1 , τ2 ), (4.21)
+
τ1
τ1
τ1
то система (4.18) имеет решение в области t, r ∈ (τ1 , τ2 );
б1 )
|a(t) + c(t)| ≤ −b(t), t ∈ (τ1 , τ2 ),
32
Г.А. ГРИГОРЯН
то система (4.18) имеет решение в области t ≤ r ∈ (τ1 , τ2 ), и если, кроме того,
τ2
+
Jb (τ1 , τ )|1 ± Ia,−b
(τ1 , τ )c(τ )|dτ +
τ1
τ
s
τ2
−
Jb−|a| (τ1 , τ )
|a(s)|ds
I−b,c (ξ, s)dξ dτ < 1, t ∈ (τ1 , τ2 ),
+
τ1
τ1
τ1
то система (4.18) имеет решение в области t, r ∈ (τ1 , τ2 ).
Доказательство части б1 ) получается из a1 ) путем замены в (1.1) y(t) на z(−t). Докажем
a1 ). Положим в уравнениях (2.7i ) ai (t) ≡ 0, bi (t) ≡ −1, ci (t) ≡ (−1)i . Тогда yi (t) = (−1)i —
решение уравнения (2.7i ), и условия A2 ) и Б2 ) теоремы 3.2 будут соответственно такими:
A2 ) a(t) + b(t) + c(t) ≥ 0, t ∈ [t0 , τ2 );
Б2 ) a(t) − b(t) + c(t) ≤ 0, t ∈ [t0 , τ2 ).
Очевидно выполнимость этих условий для произвольного t0 ∈ (τ1 , τ2 ) гарантируется неравенством (4.20). Поэтому в силу теоремы 3.2 для любого y(0) ∈ [−1, 1], в частности для
y(0) = 0, и для любого r ∈ (τ1 , τ2 ) уравнение (1.1) имеет решения yr (t) ≡ y(r, t) и y± (t)
соответственно на [r, τ2 ) и [t0 , τ2 ) с yr (r) = y(r, r) = 0, y± (t0 ) = ±1. Отсюда следует, что
система (4.18) имеет решение в области t ≥ r ∈ (τ1 , τ2 ). Так как yi (t) ≡ (−1)i , то в силу
теоремы 3.2 выполняются неравенства
|y± (t)| ≤ 1, t ∈ [t0 , τ2 ).
Пусть
φ± (t) = exp
t
t0
a(τ )y± (τ )dτ ,
r1± (t0 , t)
t
=
t0
r0± (t0 , t)
(4.22)
t
=
t0
a(τ )φ± (τ )dτ
τ
t0
−
Ib,c
(t0 , s)ds,
r0± (t0 , τ )J−b (t0 , τ )c(τ )dτ, t ∈ [t0 , τ2 ).
В силу (2.5), (2.6) имеем
t
+
j−b (t0 , τ )Ia,b (t0 , τ )c(τ )dτ −
y± (t) = Jh± (t0 , t) ± 1 −
−
t0
t
t0
J−b (t0 , τ )c(τ )dτ +
r1± (t0 , t)
, t ∈ [t0 , τ2 ), t0 ∈ (τ1 , τ2 ), (4.23)
где h± (t) = a(t)y± (t) + b(t). Из (4.22) следует
τ
t
s
−
J−b−|a| (t0 , τ )
|a(s)|ds
Ib,c (ξ, s)dξ dτ ≤
|r± (t)| ≤
t0
t
t0
τ
s
τ20
−
J−b−|a| (t0 , τ )
|a(s)|ds
Ib,c (ξ, s)dξ dτ, t ∈ [t0 , τ2 ). (4.24)
≤
t0
t0
t0
Пусть выполняется (4.21). Тогда из (4.23) и (4.24) следует
y+ (t) ≥ 0, y− (t) ≤ 0, t ∈ [t0 , τ2 )
(4.25)
для любого t0 ∈ (τ1 , τ2 ). Пусть r ∈ (t0 , τ2 ) и y[r] (t) — решение уравнения (1.1) с y[r] (r) = 0
и с максимальным интервалом существования (t(−r) , t(r) ). С учетом (4.25) на основе леммы
ДВА ПРИЗНАКА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
33
2.1 легко показать, что t(r) = τ2 . Покажем, что t(−r) ≤ t0 . Предположим, t(−r) > t0 . В силу
(4.25) имеем
y− (t) ≤ y[r](t) ≤ y+ (t), t ∈ (t(−r) , τ2 ).
(4.26)
Тогда поскольку y± (t) непрерывны на (t(−r) , τ2 ), то из (4.26) следует, что y[r] (t) ограничеt
на на (t(−r) , t1 ] для некоторого t1 ∈ (t(−r) , τ2 ). Поэтому и функция Ar (t) ≡ a(τ )y[r] (τ )dτ
t1
ограничена на (t(−r) , t1 ]. В силу леммы 2.1 отсюда следует, что (t(−r) , τ2 ) не является максимальным интервалом существования для y[r] (t). Полученное противоречие показывает, что
t(−r) ≤ t0 . Так как t0 может принимать любое значение из некоторой правой окрестности
точки τ1 , то из последнего неравенства следует t(−r) = τ1 . Таким образом, мы показали, что
при выполнении (4.20), (4.21) для любого r ∈ (τ1 , τ2 ) уравнение (1.1) имеет решение y[r] (t)
на (τ1 , τ2 ) с y[r] (r) = 0. Тогда система (4.18) имеет решение в области t, r ∈ (τ1 , τ2 ).
Теорема 4.5. Пусть a(t), b(t), c(t) вещественны и непрерывны на (τ1 , τ2 ). Тогда, если
a2 )
b(t) ≥ 2a(t) ≥ 0, b(t) ≥ 2c(t) ≥ 0, t ∈ (τ1 , τ2 ),
(4.27)
то система (4.18) имеет решение в области t ≥ r ∈ (τ1 , τ2 ), и если, кроме того,
⎧
τ2
⎪
⎪
J−b (τ1 , τ )c(τ )dτ < +∞,
0
<
⎨
τ1
τ2 +
⎪
⎪
(τ1 , τ )J−b (τ1 , τ )c(τ )dτ < 1,
⎩ Ia,b
(4.28)
τ1
то система (4.18) имеет решение в области t, r ∈ (τ1 , τ2 );
б2 )
− b(t) ≥ 2a(t) ≥ 0, −b(t) ≥ 2c(t) ≥ 0, t ∈ (τ1 , τ2 ),
то система (4.18) имеет решение в области t ≤ r ∈ (τ1 , τ2 ), и если, кроме того,
⎧
τ2
⎪
⎪
Jb (τ1 , τ )c(τ )dτ < +∞,
0
<
⎨
τ1
τ2 +
⎪
⎪
(τ1 , τ )Jb (τ1 , τ )c(τ )dτ < 1,
⎩ Ia,−b
τ1
то система (4.18) имеет решение в области t, r ∈ (τ1 , τ2 ).
Доказательство части б2 ) теоремы получается из доказательства части a2 ) путем замены
в (1.1) y(t) на z(−t). Докажем a2 ).
Положим a1 (t) ≡ 0, b1 (t) ≡ 0, c1 (t) ≡ 0. Тогда y1 (t) ≡ −1 будет решением (2.71 ), а условие
Б1 ) теоремы 3.1 приобретет вид
τ
t
exp
[a(s)(η0 (s) − 1) + b(s)]ds [a(τ ) − b(τ ) + c(τ )]dτ ≤ 0, t ∈ [t0 , τ2 ).
t0
t0
Выполнимость этого условия гарантируется неравенствами (4.28), и так как a(t) ≥ 0, t ∈
(τ1 , τ2 ), то и выполняются все условия теоремы 3.1. Поэтому для любого r ∈ (τ1 , τ2 ) и любого
y(0) ≥ −1, в частности для y(0) = 0, уравнение (1.1) имеет решение y[r](t) ≡ y(r, t) на [r, τ2 )
(r ∈ (τ1 , τ2 )), удовлетворяющее условию y[r] (r) = y(0) . Отсюда следует, что система (4.18)
34
Г.А. ГРИГОРЯН
имеет решение в области t ≥ r ∈ (τ1 , τ2 ). Пусть y0 (t) — решение уравнения (1.1) такое, что
τ2 +
1 − Ia,b
(t0 , τ )J−b (t0 , τ )c(τ )dτ
y0 (t0 ) >
t0
τ2
t0
.
(4.29)
J−b (t0 , τ )c(τ )dτ
Отсюда и из условий (4.27), (4.28) следует, что y0 (t0 ) > 0 для всех t0 из некоторой правой
окрестности точки τ1 . Так как по условию теоремы c(t) ≥ 0, t ∈ (τ1 , τ2 ), то r1 (t0 , t) ≥ 0,
t ∈ [t0 , τ2 ). В силу (2.5) отсюда и из (4.29) следует
y0 (t) ≥ 0, t ∈ [t0 , τ2 ).
(4.30)
Пусть r ∈ (t0 , τ2 ), и пусть y[r] (t) — решение уравнения (1.1) с y[r] (r) = 0 и максимальным
интервалом существования (t(−r) , t(r) ). Выше было показано, что t(r) = τ2 . Покажем, что
t(−r) ≤ t0 . Предположим, t(−r) > t0 . Из (4.30) следует
y[r] (t) ≤ y0 (t), t ∈ (t(−r) , τ2 ).
(4.31)
Так как y0 (t) ограничена в некоторой правой окрестности точки t(−r) , то в силу (4.31)
y[r] (t) ограничена сверху в некоторой правой окрестности точки t(−r) . Значит, функция
t
Ar (t) ≡ a(τ )y[r] (τ )dτ (t1 ∈ (t(−r) , τ2 )) ограничена сверху на (t(−r) , t1 ]. В силу леммы 2.1
t1
отсюда следует, что (t(−r) , τ2 ) не является максимальным интервалом существования для
y[r] (t). Полученное противоречие показывает, что t(−r) ≤ t0 . Так как t0 произвольная точка
из некоторой правой окрестности точки τ1 , то t(−r) = τ1 . Таким образом, y[r] (t) существует
на (τ1 , τ2 ) и y[r](r) = 0. Отсюда следует, что система (4.18) имеет решение в области r, t ∈
(τ1 , τ2 ).
Пример 4.2. Функция
u0 (r, t) = −1 +
является решением уравнения
1
1+t−r
∂u
+ u2 + 2u + 1 = 0
∂t
в области t, r ∈ (τ1 , τ2 ), где τ2 − τ1 ≤ 1. Отсюда видно, что в любой области t, r ∈ (τ1 , τ2 ) при
τ2 − τ1 ≤ 1 система (4.18) с a(t) = c(t) ≡ 1, b(t) ≡ 2 имеет решение, а при τ2 − τ1 > 1 решения
не имеет. Для этого случая легко показать, что (4.28) выполняется, если τ2 − τ1 ≤ β ≈ 0.968.
Литература
[1] Егоров А.И. Уравнения Риккати (Физматлит, М., 2001).
[2] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Мир, М., 1970).
[3] Stafford R.A., Heidel J.W. A new comparison theorem for scalar Riccati equations, Bull. Amer. Math. Soc.
80 (4), 754–757 (1974).
[4] Соболь И.М. Об уравнениях Риккати и приводимых к ним линейных уравнениях второго порядка,
ДАН СССР 65 (3), 275–278 (1949).
[5] Соболь И.М. Исследование асимптотического поведения решений линейного дифференциального уравнения второго порядка при помощи полярных координат, Матем. сб. 28 (3), 707–714 (1951).
[6] Кондратьев В.А. Достаточные условия неколеблемости и колеблемости решений уравнения y (x) +
p(x)y(x) = 0, ДАН СССР 113 (4), 742–745 (1957).
[7] Travis C.C. Remarks on a comparison theorem for scalar Riccati equations, Proc. Amer. Math. Soc. 52,
311–314 (1975).
ДВА ПРИЗНАКА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
35
[8] Liu W.-L., Li H.-J. Oscillation criteria for second order linear differential equations with damping, J. Appl.
Analysis 2 (1), 105–118 (1996).
[9] Kwong M.K. Integral criteria for second order linear oscillation, Electronic J. Qualitative Theory Differ.
Equat., № 10, 1–18, http//www.math.uszeged.hu/ejqtde/
[10] Каменев И.В. Необходимое и достаточное условие неколеблемости решений системы двух линейных
уравнений первого порядка, Матем. заметки 16 (2), 259–265 (1974).
[11] Булгаков А.И. О колеблемости решений систем дифференциальных уравнений второго порядка, Дифференц. уравнения 23 (2), 207–317 (1997).
[12] Erbe L.H., Kong Q.A., and Ruan S. Kamenev type theorems for second order matrix differential systems,
Proc. Amer. Math. Soc. 117 (4), 957–962 (1993).
[13] Григорян Г.А. О двух признаках сравнения для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка, Дифференц. уравнения 17 (9), 1225–1240 (2011).
[14] Захар-Иткин М.Х. Матричные дифференциальные уравнения Риккати и полугруппа дробно-линейных
преобразований, УМН 28 (3), 83–120 (1973).
[15] Edvards R.E. A formal background to mathematics (Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1980).
[16] Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения (Наука, М., 1972).
[17] Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных
уравнений (Мир, М., 1964).
[18] Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье (Ин. лит., М., 1953).
Г.А. Григорян
старший научный сотрудник,
Институт математики Национальной Академии наук Республики Армения,
пр. Маршала Баграмяна, д. 24б, г. Ереван, 0019, Республика Армения,
e-mail: mathphys2@instmath.sci.am
G.A. Grigoryan
Two comparison criteria for scalar Riccati equations and their applications
Abstract. We establish two comparison criteria for scalar Riccati equations. On the base of these
criteria we prove two coefficient criteria for the existence of solutions to Riccati equations (both
tending to infinity and not). We generalize a part of the Lyapunov theorem on the Hill equation
and establish solvability criteria for the Redheffer system.
Keywords: Riccati, Hill, Matheus equations, Redheffer system, comparison criteria, dissipativity,
conservativity, p-dissipativity, p-conservativity.
G.A. Grigoryan
Senior researcher,
Institute of Mathematics, National Academy of Sciences, Republic of Armeniya,
24b Marshal Bagramyan str., Erevan, 0019 Republic of Armeniya,
e-mail: mathphys2@instmath.sci.am
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
258 Кб
Теги
риккати, уравнения, скалярных, сравнение, признаки, применению, некоторые, два
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа