close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Двойные so(2 1)-инвариантные интегралы и формулы для функций Уиттекера.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 5, c. 56–66
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0051
И.А. ШИЛИН
ДВОЙНЫЕ SO(2, 1)-ИНВАРИАНТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ УИТТЕКЕРА
Аннотация. С помощью билинейных функционалов, заданных в виде двойного интеграла с
однородным ядром на паре пространств представления группы SO(2, 1), выведены функциональные соотношения для функций Уиттекера и вычислена сумма одного ряда, содержащего
гипергеометрические функции Гаусса и сходящегося к функции Уиттекера.
Ключевые слова: функции Уиттекера, группа SO(2, 1), интегральное преобразование.
УДК: 517.444 : 517.588
1. Введение
Пусть T1 и T2 — представления группы G в комплексных пространствах L1 и L2 соответственно. Инвариантные билинейные функционалы (и. б. ф.) f : L1 × L2 −→ C, удовлетворяющие условиям
v ) = α
(u, v) + β α
(v, v),
f (αu + βv, α
u
+ β
αf (u, u
) + αβf
f (v, u
) + β βf
f ([T1 (g)](u), [T2 (g)](v)) = f (u, v),
играют важную роль в исследовании представлений T1 и T2 . Например, в ([1], гл. 3, § 4)
показано, как такие функционалы применяются для исследования свойств представления
группы SL(2, C). С другой стороны, такие функционалы можно использовать для получения формул, связывающих специальные функции. Так, в [2], [3] с помощью одного такого
функционала выведены формулы для функций Лежандра. В настоящей работе речь пойдет
о связи некоторых и. б. ф. относительно группы SO(2, 1) и функций Уиттекера Mλ,µ и Wλ,µ .
0 − x1 x
1 − x2 x
2 , σ — комплексное число,
Далее q будет означать билинейную форму x0 x
а Dσ — пространство бесконечно дифференцируемых функций f на конусе C : q(x, x) = 0,
отвечающих условию σ-однородности f (αx) = ασ f (x). Представление группы SO(2, 1) в
пространстве Dσ определим формулой [Tσ (g)](u(x)) = u(g−1 x).
Поступила 24.05.2011
Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы “Научные и
научно-педагогические кадры инновационной России”, проект NK 586P-30.
56
ДВОЙНЫЕ SO(2, 1)-ИНВАРИАНТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
57
2. Основные теоремы
Теорема A. При −1 < Re σ < − 12 имеем
1
3
−σ − 12
−1
Γ
×
σ+
Γ(2σ + 2) C2,+ · 2 π ch(πρ)Γ −σ −
2
2
× B(−σ − i ρ, −σ + i ρ)M− i ρ,−σ− 1 (2 i λ) + C2,− · 2σ+1 (i λ)σ Γ(2σ + 2)×
2
× Γ(−σ − i ρ)W− i ρ,σ+ 1 (2 i λ) + (−1)σ Γ(−σ + i ρ)Wi ρ,σ+ 1 (−2 i λ) =
2
2
1
1
Γ−1 (σ + 1)M− i ρ,σ+ 1 (2 i λ).
= C3 · 2−σ−1 π 2 i−σ−1 λσ Γ −σ −
2
2
Теорема B. При −1 < Re σ < − 12 имеем
1
−σ−1
−σ−1 σ
Γ−1 (σ + 1)×
πi
λ Γ −σ −
C3 · 2
2
× 2B(σ + 1 + i ρ, σ + 1 − i ρ)Mi ρ,σ+ 1 (2 i λ) + (−1)i ρ Γ(σ + 1 + i ρ)×
2
−2 i λ
Wi ρ,σ+ 1 (2 i λ) + Γ(σ + 1 − i ρ)e2 i ρ W− i ρ,σ+ 1 (−2 i λ) =
×e
2
2
= Γ(σ + 1 − i ρ)Γ(σ + 1 + i ρ) C2,+ · 2−σ ×
3
1
−1
Γ
B(−σ − i ρ, −σ + i ρ)×
σ+
× ch(πρ)Γ −σ −
2
2
× Γ(−σ − i ρ)W− i ρ,σ+ 1 (2 i λ) + (−1)σ Γ(−σ + i ρ)Wi ρ,σ+ 1 (−2 i λ) +
2
(i λ) Γ(2σ + 2)M− i ρ,−σ− 1 (2 i λ) .
2
+ C2,− · 2
σ+1
σ
2
Теорема C. При n ∈ N, λ = 0 и −1 < Re σ < − 12 имеем
∞
(i λ)l 2 F1 (l − 2σ, n − σ; l + n − σ + 1; −1)
l=0
l!B(σ − n + 1, l + n − σ + 1)
=
= (−1)n 8π 2 (i λ)−2σ |λ|σ+ 2 Γ(−2σ − 1)Γ2 (σ + 1)Γ−2 (−σ)×
1
× Γ−1 (−nsignλ − σ)B(n − σ, −n − σ)W−n sign λ,σ+ 1 (2|λ|).
2
Константы C2,− , C2,+ и C3 определены ниже.
3. Функционалы Fi
Выделим на конусе C следующие контуры: окружность γ1 : x21 + x22 = 1, гиперболу γ2 ,
состоящую из ветвей γ2± : x1 = ±1, и параболу γ3 : x0 + x1 = 1. Рассмотрим интегральные
билинейные функционалы
2
k(x, x
)u(x)v(
x)dxd
x,
Fi : Dσ −→ C, (u, v) −→
γi
γi
в которых мера dx = d
x на контуре γi инвариантна относительно подгруппы Hi в SO(2, 1),
для которой контур γi является однородным пространством. Под инвариантностью меры
58
И.А. ШИЛИН
будем понимать равенство
f (x)dx =
γi
f (gx)dx
γi
при всех g ∈ Hi . Пусть ядро k(x, y) удовлетворяет следующим условиям: (1◦ ) существует та
); (2◦ ) функционалы F1 , F2 , F3
кое число θ, что выполняется равенство k(sx, t
x) = (st)θ k(x, x
инвариантны относительно пары представлений (Tσ , Tσ ). Полное представление о том, как
) на прямое произведение γi × γi при выполнении
выглядит сужение k(x, x
)|γi ×γi ядра k(x, x
условий (1◦ ) и (2◦ ) дает
Лемма 1. Функционал Fi является и. б. ф. в том и только том случае, когда
),
k(x, x
)|γi ×γi = Ci q −σ−1 (x, x
где Ci — константа.
Иными словами, лемма 1 устанавливает, что
k(x, x
)|γ1 ×γ1 ≡ k(α, β) = C1 [1 − cos(α − β)]−σ−1 ,
k(x, x
)|γ2,+ ×γ2,+ ≡ k(s, t) = C2,+ [ch(s − t) − 1]−σ−1 ,
k(x, x
)|γ2,+ ×γ2,− ≡ k(s, t) = C2,− [ch(s − t) + 1]−σ−1 ,
k(x, x
)|γ2,− ×γ2,+ ≡ k(s, t) = C2,− [ch(s − t) + 1]−σ−1 ,
k(x, x
)|γ2,− ×γ2,− ≡ k(s, t) = C2,+ [ch(s − t) − 1]−σ−1 ,
−σ−1
,
k(x, x
)|γ3 ×γ3 ≡ k(y, z) = C3 12 (y − z)2
где
= (1, cos β, sin β), α, β ∈ [0; 2π),
на γ1 : x = (1, cos α, sin α), x
(ch s, ±1, sh s), x
= (ch
sh t), s, t ∈ R,
на γ2 : x = t, ±1,
1+y 2 1−y 2
1+z 2 1−z 2
=
на γ3 : x =
2 , 2 ,y , x
2 , 2 , z , y, z ∈ R.
Доказательство. Проведем доказательство для случая i = 3.
:= exp[R(e12 + e21 )], то
Так как группа SO(2, 1) порождена подгруппами SO(2) и A
равенство
F3,g (u, v) ≡ F3 ([Tσ (g)](u), [Tσ
(g)](v)) = F3 (u, v)
достаточно проверить для g ∈ SO(2) и g ∈ A.
Если g(φ) ∈ SO(2) и x — точка конуса C, то
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛ 1+y2 ⎞ ⎛
1+y 2
1+
y2
1
0
0
2
2 2⎟
2
⎟
⎜ 1−
⎜ 2 ⎟ ⎜
y ⎠
t
=
t,
g−1 (φ)x = ⎝0 cos φ sin φ ⎠ ⎝ 1−y2 ⎠ = ⎝ 1+y
⎠
⎝
cos
φ
+
y
sin
φ
2
2
2
2 −1
y
0 − sin φ cos φ
y
y
y cos φ + 2 sin φ
откуда
cos φ + 1
1 − cos φ
+ y sin φ +
,
t = y2
2
2
1 − cos φ
1
2
2 cos φ + 1
− y sin φ +
.
y
y =
2
2
t
Дифференцируя обе части последнего равенства по y, имеем dy =
td
y
t .
ДВОЙНЫЕ SO(2, 1)-ИНВАРИАНТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
59
Теперь рассмотрим случай g(r) ∈ A:
⎞
⎛
⎛ −r
⎞
⎛
⎞ ⎛ 1+y2 ⎞
1+
y2
r y2
e
+
e
ch r − sh r 0
⎜ 2 ⎟
⎜ 2 ⎟
t,
g−1 (r)x = ⎝− sh r ch r 0⎠ ⎝ 1−y2 ⎠ t = ⎝e−r − er y 2 ⎠ t = ⎝ 1−y2 ⎠ 2
2
y
0
0
1
y
y
откуда
er ty 2
t = te−r , y2 =
.
t
Дифференцируя обе части последнего равенства по y, снова получим
dy =
td
y
.
t
(1)
Таким образом, формула (1) выполняется для всех g ∈ SO(2, 1).
Следовательно, для всех g ∈ SO(2, 1)
+∞ +∞ 1 + z2 1 − z2
1 + y2 1 − y2
,
, y,
,
,z ×
k
F3,g (u, v) =
2
2
2
2
−∞
−∞
t(1 − y2 ) s(1 + z2 ) s(1 − z2 )
t(1 + y2 ) ,
, ty v
,
, sz dydz =
×u
2
2
2
2
t=1
s=1
+∞ +∞
1 + z2 1 − z2
1 + y2 1 − y2
σ+1 σ+1
,
, y,
,
,z ×
t s k
=
2
2
2
2
−∞
−∞
1 + z2 1 − z2
1 + y2 1 − y2
,
, y v
,
, z d
yd
z.
×u
2
2
2
2
Отсюда получаем, что ядро k удовлетворяет соотношению
k(
y , z) = tσ+1 sσ+1 k(y, z).
Рассмотрим частный случай: пусть g(w) принадлежит подгруппе в SO(2, 1), транзитивно
t = s = 1 и w = y − y = z − z. Таким образом, k зависит
действующей на параболе γ3 . Тогда от разности y − z. Поскольку перечисленным условиям удовлетворяет функция q −σ−1 (y, z),
то
k(y, z) = C3 q −σ−1 (y, z),
где C3 — неизвестная константа. Но всякая (−σ − 1)-однородная обобщенная функция
действительного переменного q(y, z) представима в виде линейных комбинаций функций
и (q(x, z))−σ−1
([4], гл. 1, § 3). Так как q(y, z) = 12 (y − z)2 0, то ядро k(y, z)
(q(x, z))−σ−1
+
−
.
принадлежит линейной оболочке функции (q(x, z))−σ−1
+
Отметим, что в случае i = 1 или i = 2 лемма доказывается аналогично, но проще.
Действительно, в случае i = 1 доказательство пришлось бы проводить только для преобра поскольку контур γ1 и мера dx = dα на нем инвариантны относительно
зований g(r) ∈ A,
преобразований g(φ) ∈ SO(2). Для случая i = 2 заметим, что группа SO(2, 1) порождается
также подгруппами SO(2) и A := exp[R(e13 + e31 )], контур γ2 и мера dx = ds на нем инвариантны относительно группы A и, следовательно, доказательство было бы достаточно
провести только для преобразований g(φ) ∈ SO(2).
Лемма 2. Имеем F1 = F2 = F3 .
60
И.А. ШИЛИН
Доказательство. Пусть x, x
∈ γi . Тогда
k(tx, s
x)u(tx)v(s
x)d(tx)d(s
x) =
Fj (u, v) =
γj
γj
−σ−1
(ts)
=
k(x, x
)(ts) u(x)v(
x)tdxsd
x=
k(x, x
)u(x)v(
x)dxd
x = Fi (u, v),
σ
γj
γi
что и требовалось.
Лемма 2 позволяет естественным образом получить формулы, содержащие специальные
функции, вычисляя двойные интегралы в равенстве Fi (u, v) = Fj (u, v) для функций u, v ∈
Dσ . Например, в случае i = 1 и j = 2 это равенство приобретает вид
2π
C1
0
2π
u(α)v(β)[1 − cos(α − β)]−σ−1 dαdβ =
0
+∞ +∞
u(ch s, 1, sh s)v(ch t, 1, sh t)[ch(s − t) − 1]−σ−1 dsdt+
= C2,+
−∞
−∞
+∞ +∞
−∞
−∞
+∞ +∞
+ C2,−
+ C2,−
−∞
−∞
+ C2,+
u(ch s, 1, sh s)v(ch t, −1, sh t)[ch(s − t) + 1]−σ+1 dsdt+
u(ch s, −1, sh s)v(ch t, 1, sh t)[ch(s − t) + 1]−σ+1 dsdt+
+∞ +∞
−∞
−∞
u(ch s, −1, sh s)v(ch t, −1, sh t)[ch(s − t) − 1]−σ+1 dsdt.
4. Базисы пространства Dσ
Введем в пространстве Dσ базисы {fk |k ∈ Z}, {fρ,± |ρ ∈ R} и {fλ |λ ∈ R}, состоящие из
функций [5]
(x1 + i x2 )k ,
fk (x) = xσ−k
0
ρ
(x0 + x2 )i ρ ,
fρ,± (x) = (x1 )σ−i
±
i λx2
σ
.
fλ (x) = (x0 + x1 ) exp
x0 + x1
5. Доказательство теоремы A
Теорема 1. При −1 < Re σ < − 12 имеем
−σ−1
F3 (fλ , fρ,+ ) = C3 · 2
1
2
−σ−1
π i
1
λ Γ −σ −
2
σ
×
× Γ−1 (σ + 1)B(σ + 1 + i ρ, σ + 1 − i ρ)M− i ρ,σ+ 1 (2 i λ).
2
Доказательство. Интеграл
F3 (fλ , fρ,+ ) = 2C3
+∞ 1
−∞
−1
(y − z)−2σ−2 (1 − z)σ−i ρ (1 + z)σ+i ρ ei λz dydz
ДВОЙНЫЕ SO(2, 1)-ИНВАРИАНТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
61
после замены t := y − z принимает вид
1
+∞
t−2σ−2 cos λtdt ·
(1 − z)σ−i ρ (1 + z)σ+i ρ e− i λz dz .
F3 (fλ , fρ,+ ) = 2C3
−1
0
I1
I2
Интеграл I1 вычисляется по формуле
+∞
n
α
(2n − 2k + 1)−α
α−1
2n+1
α−2n−1 √
−α
−1 1 − α
x
cos
bxdx = 2
π(2n + 1)!b Γ
Γ
,
2
2
k!(2n − k + 1)!
0
k=0
где 0 < Re α < 1 ([6], 2.5.4.14). Интеграл I2 после замены w := z +1 вычисляется по формуле
a
xα−1 (a − x)β−1 e−px dx = B(α, β)aα+β−1 1 F1 (α; α + β; −ap),
(2)
0
в которой Re α, Re β > 0. Остается воспользоваться формулой
1
µ+ 12 − z2
e 1 F1 ν − µ + ; 2ν + 1; z .
Mµ,ν (z) = z
2
(3)
Теорема 2. При −1 < Re σ < − 12 имеем
F2 (fλ , fρ,+ ) = Γ(σ + 1 − i ρ)Γ(σ + 1 + i ρ) C2,+ · 2−σ ×
1
1
3
Γ−1 σ +
B(−σ − i ρ, −σ + i ρ)×
× π − 2 ch(πρ)Γ −σ −
2
2
× M− i ρ,−σ− 1 (2 i λ) + C2,− · 2σ+1 (i λ)σ Γ(2σ + 2)×
2
σ
× Γ(−σ − i ρ)W− i ρ,σ+ 1 (2 i λ) + (−1) Γ(−σ + i ρ)Wi ρ,σ+ 1 (−2 i λ) .
2
2
Доказательство. С помощью замены t := p−q
2 интеграл
+∞ +∞
i λ sh p
−σ−1
σ
ei ρq dpdq+
[ch(p − q) − 1]
(ch p + 1) exp
F2 (fλ , fρ,+ ) = C2,+
ch p + 1
−∞
−∞
+∞ +∞
i λ sh p
−σ−1
σ
ei ρq dpdq
[ch(p − q) + 1]
(ch p − 1) exp
+ C2,−
ch p − 1
−∞
−∞
приводится к виду
+∞
+∞
i λ sh p
−σ+1
−2σ−2
σ
ei ρp dp +
sh
t cos 2qtdt ·
(ch p + 1) exp
F2 (fλ , fρ,+ ) = C2,+ · 2
ch p + 1
0
−∞
−σ+1
+ C2,− · 2
I3
+∞
ch
0
−2σ−2
I4
+∞
t cos 2qtdt ·
(ch p − 1) exp
−∞
I5
σ
i λ sh p
ch p − 1
ei ρp dp .
I6
Интегралы I3 и I5 вычисляются соответственно по формулам
+∞
bπ ν
1−ν
ib
1−ν
ib
1
ν−1
Γ
+
Γ
−
,
sh
ax cos bxdx = √ ch Γ 1 −
2a π
2a
2
2
2a
2
2a
0
62
И.А. ШИЛИН
где Re ν > 0, Re[(ν − 1)a] < −| Im b| ([6], 2.5.47.15), и
+∞
2ν−2
ν
ib
ν
ib
cos bxdx
=
Γ
−
Γ
+
,
chν cx
cΓ(ν)
2 2c
2 2c
0
где Re(νc) > | Im b| ([6], 2.5.47.6).
Замена u := th p2 + 1 преобразует интеграл I4 в интеграл
2
σ+1 − i λ
e
u−σ−1+i ρ (2 − u)−σ−1−i ρ ei λu du,
I4 = 2
0
который вычисляется по формуле (2). Интеграл I6 после замены u := cth p2 принимает вид
+∞
(u − 1)−σ−1−i ρ (u + 1)−σ−1+i ρ ei λu du+
I6 = 2σ+1
1
−1
−σ−1−i ρ
−σ−1+i ρ i λu
(u − 1)
(u + 1)
e du .
+
−∞
Оба интеграла в этом равенстве после несложных преобразований вычисляются по формуле
+∞
xα−1 (y + x)τ −1 e−sx dx = y α+τ −1 B(α, 1 − α − τ )×
0
× 1 F1 (α; α + τ ; sy) + (1 − τ )s1−α−τ Γ(α + τ − 1)1 F1 (1 − τ ; 2 − α − τ ; su),
которая выполняется, в частности, при Re α > 0, | arg y| < π, Re s = 0, Re(α + τ ) < 2 ([6],
2.3.2.3). Выразив в этом равенстве функции 1 F1 через функции Уиттекера по формуле (
(3)), получим
1
F2 (fλ , fρ,+ ) = Γ(σ + 1 − i ρ)Γ(σ + 1 + i ρ) C2,+ · 2−σ π − 2 ch(πρ)×
3
1
−1
Γ
B(−σ − i ρ, −σ + i ρ)M− i ρ,−σ− 1 (2 i λ)+
σ+
× Γ −σ −
2
2
2
+ C2,− · 2σ+1 (i λ)σ Γ(2σ + 2) B(−σ + i ρ, 2σ + 1)M− i ρ,−σ− 1 (2 i λ)+
2
+ Γ(−2σ − 1)M− i ρ,σ+ 1 (2 i ρ) + (−1) B(−σ − i ρ, 2σ + 1)×
σ
× Mi ρ,−σ− 1 (−2 i λ) + (−1) Γ(−2σ − 1)Mi ρ,σ+ 1 (−2 i λ) .
2
σ
2
2
Теперь воспользовавшись формулами ([7], 8.3.4.2)
(−x)−µ− 2 M−λ,µ (−x) = x−µ− 2 Mλ,µ (x)
1
1
(4)
и ([7], 8.3.4.4)
Wλ,µ (z) =
Γ(−2µ)
Γ(2µ)
Mλ,−µ (z)
1 Mλ,µ (z) +
Γ λ−µ+ 2
Γ λ + µ + 12
(5)
и учитывая, что
B(−σ ± i ρ, 2σ + 1)M± i ρ,−σ− 1 (∓2 i λ) + Γ(−2σ − 1)M± i ρ,σ+ 1 (∓2 i ρ) =
2
=
2
Γ(−σ ± i ρ)Γ(−2σ − 1)
Γ(−σ ± i ρ)Γ(2σ + 1)
M± i ρ,−σ− 1 (∓2 i λ) +
M± i ρ,σ+ 1 (∓2 i ρ) =
2
2
Γ(σ + 1 ± i ρ)
Γ(−σ ± i ρ)
= Γ(−σ ± i ρ)W± i ρ,σ+ 1 (∓2 i ρ),
2
ДВОЙНЫЕ SO(2, 1)-ИНВАРИАНТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
63
завершаем доказательство.
C
C
и C2,−
можно найти из каких-либо двух
Теорема A следует из теорем 1 и 2. Числа C2,+
3
3
“начальных условий”, т. е. записав теорему A для двух различных пар (λ, ρ), например, для
(1, 0) и (−1, 0), и решив получившуюся систему линейных уравнений.
6. Доказательство теоремы B
Теорема 3. При −1 < Re σ < − 12 имеем
−σ−1
−σ−1
1
λ Γ −σ −
2
Γ−1 (σ + 1)×
π i
F3 (fλ , fρ,− ) = C3 · 2
× 2B(σ + 1 + i ρ, σ + 1 − i ρ)Mi ρ,σ+ 1 (2 i λ) + (−1)i ρ Γ(σ + 1 + i ρ)×
1
2
σ
Wi ρ,σ+ 1 (2 i λ) + Γ(σ + 1 − i ρ)e2 i ρ W− i ρ,σ+ 1 (−2 i λ) .
2
−2 i λ
×e
2
2
Доказательство. Интеграл
F3 (fλ , fρ,− ) = 2C3
+∞ −1
−∞
−∞
(y − z)−2σ−2 (1 − z)σ−i ρ (1 + z)σ+i ρ ei λz dydz+
+∞ +∞
+
−∞
−2σ−2
(y − z)
(1 − z)
σ−i ρ
σ+i ρ i λz
(1 + z)
e
dydz
1
после замены t := y − z принимает вид
⎡
F3 (fλ , fρ,− ) = 2C3
0
+∞
⎢ +∞
⎢
t−2σ−2 cos λtdt · ⎢
(1 − z)σ−i ρ (1 + z)σ+i ρ e− i λz dz +
⎣ 1
I1
I7
+
1
+∞
⎤
⎥
⎥
(1 + z)σ−i ρ (1 − z)σ+i ρ ei λz dz⎥ .
⎦
I8
После замены t := 1 − z интегралы I7 и I8 вычисляются по формулам (2) и
+∞
xα−1 (x − a)β−1 e−px dx = Γ(β)aα+β−1 e−ap Ψ(β, α + β; ap),
a
в которой Re α, Re β > 0 ([6], 2.3.6.6). Представив функцию Ψ в виде линейной комбинации
значений функции 1 F1 по формуле
Ψ(a, b; z) = Γ(1 − b)Γ−1 (2 − b + 1)1 F1 (a, b; z) + Γ(b − 1)Γ−1 (a)z 1−n 1 F1 (a − b + 1; 2 − b; z),
выразив функции 1 F1 через функции Уиттекера по формуле (
(5), получаем искомый результат.
(3)), применив (4) и затем
64
И.А. ШИЛИН
Теорема 4. При −1 < Re σ < − 12 имеем
F2 (fλ , fρ,− ) = Γ(σ + 1 − i ρ)Γ(σ + 1 + i ρ) C2,+ · 2−σ ×
1
3
− 12
−1
Γ
B(−σ − i ρ, −σ + i ρ)×
σ+
× π ch(πρ)Γ −σ −
2
2
× Γ(−σ − i ρ)W− i ρ,σ+ 1 (2 i λ) + (−1)σ Γ(−σ + i ρ)Wi ρ,σ+ 1 (−2 i λ) +
2
(i λ) Γ(2σ + 2)M− i ρ,−σ− 1 (2 i λ) .
2
+ C2,− · 2
σ+1
Доказательство. С помощью замены t :=
p−q
2
σ
2
интеграл
i λ sh p
ei ρq dpdq+
[ch(p − q) + 1]
(ch p + 1) exp
F2 (fλ , fρ,− ) = C2,−
ch p + 1
−∞
−∞
+∞ +∞
i λ sh p
−σ−1
σ
ei ρq dpdq
[ch(p − q) − 1]
(ch p − 1) exp
+ C2,+
ch p − 1
−∞
−∞
приводится к виду
+∞
+∞
i λ sh p
−σ+1
−2σ−2
σ
ei ρp dp +
ch
t cos 2qtdt ·
(ch p + 1) exp
F2 (fλ , fρ,− ) = C2,− · 2
ch
p
+
1
−∞
0
+∞ +∞
+ C2,+ · 2−σ+1
I5
+∞
0
−σ−1
σ
I4
i λ sh p
ei ρp dp .
sh−2σ−2 t cos 2qtdt ·
(ch p − 1)σ exp
ch
p
−
1
−∞
+∞
I3
I6
Интегралы I3 , I4 , I5 и I6 вычислены в ходе доказательства теоремы 2.
Теорема B является следствием теорем 3 и 4.
7. Доказательство теоремы C
Теорема 5. При −1 < Re σ < − 12 имеем
F3 (fn , fλ ) = 2C3 (iλ)2σ+1 |λ|−σ− 2 Γ(−2σ − 1)Γ−1 (−nsignλ − σ)W−nsignλ,σ+ 1 (2|λ|).
1
2
Доказательство. Сделав в интеграле
+∞ +∞
(y − z)−2σ−2 (1 + iy)σ+n (1 − iy)σ−n eiλz dydz
F3 (fn , fλ ) = 2C3
−∞
замену t := y − z, получим
F3 (fn , fλ ) = 2C3
Учитывая формулу
−∞
+∞
t
−2σ−2 −iλt
e
−∞
+∞
0
dt ·
+∞
−∞
(1 + iy)σ+n (1 − iy)σ−n eiλy dy.
xα−1 e−px dx = Γ(α)p−α ,
ДВОЙНЫЕ SO(2, 1)-ИНВАРИАНТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
65
которая справедлива, в частности, при 0 < Re α < 1, Re p = 0 ([6], 2.3.3.1), и
+∞
(a − ix)−µ (b + ix)−ν eixy dy =
−∞
⎧
ν+µ−1 (b−a)y
⎨l2πΓ−1 (ν)(a + b)− ν+µ
2 y
2
e 2 W ν−µ , 1−ν−µ (ay + by),
y > 0;
2
2
=
ν+µ
ν+µ−1 (a−b)y
⎩2πΓ−1 (µ)(a + b)− 2 (−y) 2 e 2 W µ−ν 1−ν−µ (−ay − by), y < 0,
,
2
2
выполняющуюся при Re(µ + ν) > 0 ([6], 2.3.6.19), получим искомый результат.
Теорема 6. При −1 < Re σ < − 12 имеем
n
F1 (fn , fλ ) = (−1) 8C1 π
2
∞
(iλ)l
l=0
−1
×B
l!
|λ|σ+ 2 eiπ( 2 −σ) B−1 (n − σ, −n − σ)×
1
l
(σ − n + 1, l + n − σ + 1)2 F1 (l − 2σ, n − σ; l + n − σ + 1; −1).
Доказательство. Интеграл
2π 2π
iλ sin β
−σ−1
σ
dαdβ
[1 − cos(α − β)]
(1 + cos β) exp(inα) exp
F1 (fn , fλ ) = C1
1 + cos β
0
0
с помощью замены t := α − β приводится к виду
2π
π
iλ sin β
−σ
−2σ−2 2int
σ
dβ .
sin
te dt ·
(1 + cos β) exp(inβ) exp
F1 (fn , fλ ) = 2 C1
1 + cos β
0
0
I9
I10
iλ sin β После разложения функции exp 1+cos β по формуле Тейлора интеграл I10 , как и интеграл
I9 , вычисляется по формуле ([8], 3.892.4)
π
π exp[iπ(β − ν)]2 F1 (−2ν, β − µ − ν; 1 + β + µ − ν; −1)
.
ei2βx sin2µ x cos2ν xdx =
4µ+ν (2µ + 1)B(1 − β + µ + ν, 1 + β + µ − ν)
0
Теорема C является следствием теорем 5 и 6. Для завершения доказательства, положив
n = 0 и λ = 1, найдем
Γ2 (σ + 1)Kσ+ 1 (1)
Γ2 (σ + 1)
C3
2
= 2
.
= 2
C1
Γ (−σ)K−σ− 1 (1)
Γ (−σ)
2
Литература
[1] Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории
представлений (Физматлит, М., 1962).
[2] Шилин И.А., Вестяк В.А. Интегральные представления функций Лежандра, возникающие при преобразовании Пуассона, Электронный журнал “Тр. МАИ” 40 (2010)
(http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=22865).
[3] Shilin I.A., Nizhnikov A.I. Some formulas for Legendre functions induced by the Poisson transform, Acta
Polytechnica 51 (1), 70–73 (2011).
[4] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними (Физматлит, М., 1959).
[5] Виленкин Н.Я., Шлейникова М.А. Интегральные соотношения для функций Уиттекера и представления трехмерной группы Лоренца, Матем. сб. 81 (2), 185–191 (1970).
[6] Прудников A.П., Брычков Ю.A., Маричев O.И. Интегралы и ряды: Элементарные функции (Наука,
М., 1986).
[7] Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп (Наука, М., 1991).
[8] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (Физматлит, М., 1963).
66
И.А. ШИЛИН
И.А. Шилин
доцент, кафедра математического моделирования,
Московский государственный гуманитарный университет им. М.А. Шолохова,
ул. Верхняя Радищевская д. 16, г. Москва, 109240,
кафедра высшей математики,
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия,
e-mail: ilyashilin@li.ru
I.A. Shilin
Double SO(2, 1)-integrals and formulas for Whittaker functions
Abstract. With the help of some double integral bilinear functionals with homogeneous kernels
defined on a pair of representation spaces of the group SO(2, 1) we obtain some functional relations
for Whittaker functions and calculate the sum of one series of Gauss hypergeometric functions
converging to a Whittaker function.
Keywords: Whittaker functions, group SO(2, 1), integral transform.
I.A. Shilin
Associate Professor, Chair of Mathematical Modeling,
Sholokhov Moscow State University for the Humanities,
16 Verkhnyaya Radishchevskaya str., Moscow, 109240,
Chair of Higher Mathematics,
Moscow Aviation Institute (National Research University),
4 Volokolamskoe Highway, Moscow, 125993 Russia,
e-mail: ilyashilin@li.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
216 Кб
Теги
интеграл, инвариантная, формула, функции, двойные, уиттекера
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа