close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Динамические Обобщенные функции и проблема умножения.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (540)
УДК 517.911
В.Я. ДЕРР, Д.М. КИНЗЕБУЛАТОВ
ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
И ПРОБЛЕМА УМНОЖЕНИЯ
Введение
1. В работе рассматривается проблема умножения обобщенной функции на разрывную. Необходимость в такой операции появляется при исследовании обыкновенных дифференциальных
уравнений с обобщенными функциями [1]{[8]; ее можно рассматривать как частный случай более
общей операции умножения двух обобщенных функций [9]{[11]; последняя возникает, в частности, в приложениях к задачам квантовой механики [12], [13].
Как известно [14], [15], в классическом пространстве D0 определение непрерывной операции
умножения обобщенных функций невозможно. Невозможно и определение непрерывной частной
операции умножения обобщенной функции из D0 на разрывную [14], [15]. Непрерывная операция умножения элементов D0 определена в алгебре обобщенных функций Коломбо [9], которая
содержит D0 в качестве подпространства. В алгебре обобщенных функций Коломбо существует
произведение любых двух элементов D0 , хотя в общем случае это произведение является обобщенной функцией Коломбо и не принадлежит D0 [9]. В частности, произведение единичной
функции , разрывной в точке , и дельта-функции не принадлежит D0 . Это приводит к ряду
неудобств при рассмотрении дифференциальных уравнений с обобщенными функциями, содержащими произведение обобщенной функции и разрывной, главным из которых является то, что
решение оказывается не обычной разрывной функцией, а обобщенной функцией Коломбо, что
затрудняет его физическую интерпретацию [9], [16].
В данной работе строится пространство динамических обобщенных функций T 0 , в котором
определены непрерывная и ассоциативная операции умножения обобщенной функции на разрывную. Определения произведения единичной функции и классической дельта-функции
2 D0, которые приводятся в [4], [11], [17], [18] (и которые, вообще говоря, не являются ни
ассоциативными, ни непрерывными), оказываются частными случаями умножения в пространстве T 0 .
2. Для приложений к дифференциальным уравнениям важным является следующее требование непрерывности операции умножения.
Условие 1. Пусть g | разрывная функция, v | обобщенная функция, fvn g1
n=1 | последовательность регулярных обобщенных функций, сходящаяся в некотором пространстве обобщенных
функций к v. Тогда gvn сходится в этом пространстве к gv.
Пространство обобщенных функций, в котором операция умножения обобщенной функции
на разрывную удовлетворяет условию 1, было построено в [19]. Такое произведение появляется
при рассмотрении дифференциальных уравнений, возникающих в задачах оптимального управления наблюдениями [5], [20], x_ = f (t; x) + g(t; u)v, где f и g непрерывно дифференцируемы, u
| компонента управления, являющаяся обычной функцией, обобщенная функция v является
импульсным управлением.
33
Выполнения условия 1 недостаточно для рассмотрения важного класса дифференциальных
уравнений, возникающих во многих задачах теории оптимального управления [1], [4], [6], [7],
x_ = f (t; x) + g(t; x)v;
(1)
где f и g такие же, как выше, v является обобщенной функцией, решение x, определяемое с
помощью предельного перехода, в общем случае является разрывным.
Очевидно, произведение обобщенной функции и разрывной, возникающее в (1), или, более
общо, в обыкновенных дифференциальных уравнениях, содержащих произведение обобщенной
функции и разрывного решения, должно удовлетворять более общему, чем условие 1, требованию.
Условие 2. Пусть g | разрывная функция, v | обобщенная функция, fvn g1
n=1 | последова1
тельность регулярных обобщенных функций, vn ! v, fgn gn=1 | последовательность непрерывных функций, gn ! g. Тогда gn vn ! gv.
Операция умножения во введенном ниже пространстве динамических обобщенных функций
удовлетворяет условию 2.
1. Динамические основные функции
1.1. Вспомогательные пространства. Пусть I = (a; b) | фиксированный открытый интервал, случаи a = ;1 или (и) b = +1 не исключаются. Обозначим множество функций f : I ! R,
имеющих конечные односторонние пределы f (a+), f (t+), f (t;), f (b;) (t 2 I ) через Ge . Функции из Ge будем называть правильными (соответствующий английский термин regulated). Как
известно (см., напр. [21], c. 17; см. также [22], [23]), такие функции имеют не более чем счетное
множество точек разрыва. Обозначим через T (f ) множество точек разрыва f 2 Ge .
Две функции из Ge назовем эквивалентными, если они различаются только своими значениями в точках разрыва; при этом, если f (t+) = f (t;), то считаем f непрерывной в точке t. Таким
образом, множество правильных функций Ge разбивается на классы эквивалентных функций;
совокупность таких классов обозначим G . Очевидно, G | алгебра относительно поточечно определенных операций сложения, умножения на число и умножения элементов. Алгебра G наделяется нормой
kf k = sup maxfjf (t+)j; jf (t;)jg;
(2)
t2I
относительно которой является банаховой.
Таким образом, игнорируются значения f () 2 G в точках (разрыва); иметь значение в
точке может только непрерывная в этой точке функция. Обозначение f (t) используется в
следующих случаях: a) чтобы обозначить независимую переменную (напр., под знаком интеграла), б) t | точка непрерывности f . В дальнейшем, допуская некоторую вольность речи,
элементы G называем функциями.
Пусть f 2 Gn. Рассмотрим разбиение интервала I : a < t0 < t1 < < tn < b. Составим
P
сумму v (f ) =: jf (tk ;) ; f (tk;1 +)j. Назовем полной вариацией f величину (или символ +1)
k=1
b
W
(f ) =: sup v (f ). Множество функций, для которых (f ) < +1, обозначим B V . По определе
a
a
нию имеет место (теоретико-множественное) включение B V G , однако в B V удобно ввести
b
W
традиционную норму: для f 2 B V полагаем kf k = jf (a+)j + (f ). Относительно этой нормы B V
b
W
a
| банахова алгебра.
Через C Ge обозначим пространство непрерывных функций с обычной sup-нормой, в
которую превращается (2) для непрерывных функций. Обозначим также через L = L (I )
34
(A C = A C (I )) банахову алгебру суммируемых на I (абсолютно непрерывных на I ) функций
с обычной нормой.
Наконец, пусть J = [; 12 ; 12 ]. Обозначим через F = F (J ) алгебру измеримых функций, заданных на J , с операциями поточечного сложения, умножения и умножения на вещественные
числа. Назовем элементы F обычными функциями.
1.2. Динамические функции. Важнейшим является
Определение 1. Динамической функцией называется отображение f : I ! F (J ).
Обозначим значение динамической функции f в точке t через t (). Множество динамических
функций обозначим dF = dF (J ). Динамические функции f1, f2 называются равными, если t1 =
t2 в F (J ) для всех t 2 I , где f1(t) = t1(), f2(t) = t2().
Суммой, произведением f1, f2 2 dF и произведением f 2 dF на скаляр 2 R назовем
f1(t) + f2(t) = t1 () + t2(); f1f2(t) = t1()t2 (); f (t) = t():
Множество dF с определенными таким образом операциями, является алгеброй.
1.3. Обычные функции как динамические функции. Поставим в соответствие каждой обычной
функции fb 2 F динамическую функцию f 2 dF такую, что t () fb(t) для всех t 2 I . Обозначим
полученную подалгебру с операциями, индуцированными dF , также через F .
Определение 2. Пусть f 2 dF . Для каждой точки t 2 I значение t () отображения f в
точке t будем называть динамическим значением f в точке t 2 I .
Определение 3. Динамическое значение f 2 dF в точке t 2 I , тождественно равное постоянной, назовем обычным значением f в точке t 2 I .
Динамическая функция f 2 dF является обычной, f 2 F dF , если f имеет обычные
значения во всех точках интервала I . В случае, если f имеет обычное значение в точке t 2 I ,
для его обозначения будем писать f (t) t (); в общем случае для обозначения динамического
значения f в точке t 2 I будем писать f (t)() =: t (). Обозначим множество точек, в которых
f 2 dF принимает обычные значения, через U (f ) I; D(f ) = I n U (f ).
1.4. Динамические функции как последовательности обычных функций. Пусть f 2 dF равна
нулю для всех t 6= , а в точке t = имеет некоторое динамическое значение f (t)() = ().
Построим функциональную последовательность ffn g1
n=1 ,
(
fn(t) = (n(t ; )); если t 2 ( ; n ; + n );
0
в противном случае:
Назовем последовательность ffn g секвенциальным представлением динамической функции f .
1
2
1
2
Понятие секвенциального представления следующим образом переносится на динамические функции, не являющиеся обычными в некотором не более чем счетном множестве: пусть
f 2 sB V. Для каждого 2 T (f ) определим последовательность fsng1n=1 ,
8
>
>
<
f ( )(n(t ; )); t 2 ( ; n ; + n );
n
s (t) = >f ( +);
t > + n;
>
:
f ( ;);
t < ; n:
Для f определим последовательность ffn g1
n (секвенциальное представление f ), fn (t) =
1 n
P
fc(t) + (s (t) ; f ( ;)), где t 2 I , fc | непрерывная часть f (см. [19], [24]).
1
2
1
2
1
2
=1
k=1
35
1
2
Линейным операциям над динамическими функциями соответствуют линейные операции,
выполняемые почленно над их секвенциальными представлениями. Поэтому динамическую
функцию можно отождествлять с ее секвенциальным представлением.
1.5. Носитель, композиция, предел в точке. Для заданной динамической функции f 2 dF
определим ее абсолютное значение jf j 2 dF как jf j(t)() = jf (t)()j для всех t 2 I . Назовем
носителем f замкнутое множество supp f I , supp f = clft 2 I : f (t)() не является обычным
или f (t) 6= 0g.
Определим понятия точной нижней и точной верхней граней динамической функции f 2 dF
на M I с помощью равенств sup f =: sup sup f (t)(s), inf
f =: tinf
inf f (t)(s).
M
2M s2J
M
t2M s2J
Динамическая функция f 2 dF называется неотрицательной (положительной) на множестве
M I , если f (t)(s) > 0 (f (t)(s) > 0), где s 2 J для всех t 2 M (пишем f > 0 (f > 0)).
Динамическая функция f 2 dF называется неположительной (отрицательной) на множестве
M I (пишем f 6 0 (f < 0)), если ;f > 0 (;f > 0).
Назовем f 2 dF ограниченной на множестве M I , если sup(jf j) < 1.
M
Композицию g f 2 d; F обычной
функции
g
2
F и динамической функции f 2 dF определим
в виде (g f )(t)() = g f (t)() для всех t 2 I .
Определение 4. Пусть f 2 dF ограничена в правой окрестности точки 2 I . Скажем, что
f сходится к c 2 R справа при стремлении t ! +, если для каждого " > 0 найдется > 0
такое, что sup jf ; cj < " (c = f ( +) = t!
lim + f | предел f в точке t = справа).
; +)
(
Аналогично определяется и обозначается предел слева.
Определение 5. Динамическая функция f 2 dF , ограниченная в окрестности точки 2
(a; b) и имеющая обычное значение f ( ), называется непрерывной при t = , если выполняется
равенство f ( ) = f ( +) = f ( ;). В противном случае f называется разрывной в точке t = .
Очевидно, если динамическая функция f 2 dF является обычной, то данные выше определения совпадают с обычными.
1.6. Специальные алгебры динамических функций. В связи с приложениями к теории обобщенных функций и дифференциальным уравнениям далее основной интерес будут представлять
следующие подалгебры динамических функций.
1. Обозначим через dG подалгебру ограниченных динамических функций f таких, что
f (t)() 2 G (J ) и односторонние пределы f (t+), f (t;) существуют для всех t 2 I . Назовем элементы dG правильными динамическими функциями. Определим норму в dG с помощью равенства
kf kdG = sup jf j так, что dG является банаховой алгеброй.
I
Лемма 1. Правильная динамическая функция f 2 dG имеет обычные значения на I всюду,
кроме, может быть, некоторого не более чем счетного множества.
Доказательство. Предположим, что f 2 dG имеет динамические значения, не являющиеся обычными, на некотором несчетном множестве A I . Определим на I обычную функцию
gb(t) = sup f (t)(s) ; sinf
f (t)(s). Так как правильная динамическая функция f 2 dG предпола2J
s2J
гается ограниченной, то значение gb(t) > 0 определено и конечно для всех t 2 I . Очевидно, f
имеет обычное значение в точке t 2 I тогда и только тогда, когда gb(t) = 0, так что gb(t) > 0 для
1
всех t 2 A. Пусть An = ft 2 A : n+1
< gb(t) 6 n1 g (n = 1; 2; : : : ), A0 = ft 2 A : gb(t) > 1g. Тогда
1
A = S An. Так как A несчетно, то существует n0 > 0 такое, что An0 несчетно. Без ограничеn=0
ния общности можно считать, что n0 6= 0. Найдется отрезок [c; d] I такой, что A0n0 = A \ [c; d]
36
также несчетно. Согласно лемме Больцано{Вейерштрасса множество A0n0 [c; d] имеет предельную точку 2 [c; d]. Без ограничения общности можно считать, что некоторая правая окрестность содержит бесконечное множество точек множества A0n0 . Покажем, что предел справа
правильной динамической функции f 2 dG в точке 2 (a; b) не существует. Предположим
противное: пусть p = f ( +) существует.: По определению предела справа для каждого " > 0
найдется > 0 такое, что kf ; pk(;+) = sup sup jp ; f (t)(s)j < ", что эквивалентно неравенt2(;+) s2J
ству sup sup jf (t)(s) ; pj < ". Рассмотрим значение sup jf (t)(s) ; pj для t 2 (; + ) \ A0n0 , где
t2I s2J
s2I
(; + ) \ A0n0 6= ; согласно сделанному предположению.
Справедливо неравенство
sup jf (t)(s) ; pj > 12 (sup(f (t)(s) ; p) ; sinf
(f (t)(s) ; p)) = 21 (sup(f (t)(s)) ; sinf
(f (t)(s))); (3)
2
J
2J
s2J
s2J
s2J
которое будет доказано ниже. Из определений A0n0 и gb() следует 1=2(sup(f (t)(s)) ; sinf
(f (t)(s))) >
2J
s2J
1=n0 для всех t 2 A0n0 \ (; + ). Следовательно, sup sup jf (t)(s) ; pj > 1=2n0 . Так как
t2(;+) s2J
A0n0 \ (; + ) 6= ; для любого > 0, то неравенство (3) справедливо для любого > 0. Это
противоречит определению предела справа p = f ( +). Следовательно, множество A не более
чем счетно.
Покажем справедливость неравенства (3). Если f (t)(s);p > 0 для всех s 2 J , то sup jf (t)(s);pj =
s2J
sup(f (t)(s) ; p), где sup(f (t)(s) ; p) > 0, и выполнение неравенства (3) очевидно. В общем слуs2J
s2I
чае можно представить f (t)(s)=q+ (s) ; q;(s), где q+ (s); q; (s) > 0. Тогда sup jf (t)(s) ; pj =
s2J
maxfsup q+ (s), sup q; (s)g > 1=2(sup q+ (s) + sup q; (s)). Так как sup(f (t)(s) ; p) = sup q+ (s),
s2 J
s2J
s2J
s2J
s2J
s2J
;(s), то получаем, что неравенство (3) справедливо в общем случае.
; sinf
(
f
(
t
)(
s
)
;
p
)
=
sup
q
2J
s2J
Определим fb(t) = f (t) для всех t 2 U (f ). Согласно лемме 1 функция
f () определена всюду, кроме некоторого не более чем счетного множества. Назовем fb обычной
частью f 2 dG и обозначим fb = ord(f ).
b
Определение 6.
Оператор ord : dG ! G , очевидно, линеен и непрерывен.
Лемма 2. Обычная часть ord(f ) принадлежит G , при этом ord(f )(t+) = f (t+), ord(f )(t;) =
f (t;) для всех t 2 I .
Доказательство. Для 2 I обозначим p = f ( +). По определению для каждого " > 0
найдется > 0 такое, что kp ; f k(; +) < ". Согласно лемме 1 для любого > 0 пересечение
(; + ) \ U (f ) 6= ;. Справедливы соотношения
sup
t2(; +)\U (f )
jp ; ord(f )(t)j =
sup
sup jp ; ord(f )(t)j 6
t2(; +)\U (f ) s2J
sup
sup jp ; f (t)(s)j;
t2(; +)\U (f ) s2J
где равенство имеет место, т. к. значение jp ; ord(f )(t)j не зависит от s 2 J . Таким образом, для
всех t 2 (; + ) \ U (f ) выполняется неравенство jp ; ord(f )(t)j < ". Следовательно, существует
предел справа ord(f )( +), равный p = f ( +).
Для предела слева доказательство аналогично. Так как 2 I произвольно, то лемма доказана.
Лемма 3. Множество точек разрыва правильной динамической функции f 2 dG не более
чем счетно.
37
Доказательство следует из определения точки разрыва динамической функции, справедливости такого утверждения для обычных правильных функций и леммы 2. Определим вложение G в dG . Каждой правильной функции fe 2 G поставим в соответствие
динамическую функцию f , имеющую динамические значения f (t)(s) = fe(t;) для s 2 [;1=2; 0),
f (t)(s) = fe(t+) для s 2 (0; 1=2]. Множество образов элементов G в dG обозначим также через
G dG . Очевидно, сужение ord jG dG является изометрическим изоморфизмом.
2. Сглаженной правильной динамической функцией называется правильная динамическая
функция f 2 dG такая, что f (t)() 2 A C (J ) и выполняются равенства f (t)(;1=2) = f (t;),
f (t)(1=2) = f (t+) для всех t 2 I .
Множество sG сглаженных правильных динамических функций с индуцированными в нем
операциями из алгебры dG образует в ней подалгебру.
Пример 1. Сглаженную динамическую функцию 2 sG определим следующим образом:
(t) = 0 при t 2 (a; ), (t) = 1 при t 2 (; ), причем в точке 2 I динамическое значение
( )() = () 2 A C (J ), (;1=2) = 0, (1=2) = 1.
Так как G dG , то в dG содержится обычная единичная функция 2 G dG , разрывная
в .
3. Динамическая функция f 2 sG называется сглаженной динамической функцией ограниb;
P W
ченной вариации, если ord(f ) 2 B V (I ) и
f (t)(s) < 1 (согласно лемме 1 D(f ) не более
t2D(f ) a
чем счетно).
Обозначим алгебру сглаженных динамических функций ограниченной вариации через sB V ,
b;
P W
и определим в sB V норму с помощью равенства kf ksBV = kfbckBV +
f (t)() , где fbc 2 C B V
t2D(f ) a
| непрерывная часть f = ord(f ).
1.7. Основные функции. Пусть D | пространство непрерывных функций, имеющих компактный носитель в I , снабженное стандартной топологией (по аналогии с [14], c. 14).
Обозначим через T пространство элементов '2dG , имеющих компактный носитель supp(')I .
Скажем, что последовательность f'n g1
n=1 T сходится к ' 2 T в T , если 'n ! ' в dG и существует отрезок [c; d] I такой, что supp 'n [c; d] для всех n = 1; 2; : : : Заметим, что т. к. 'g 2 T
для ' 2 T , g 2 dG , то T | идеал в алгебре dG . При этом если f'n g1
n=1 T , ' 2 T и 'n ! ', то
g'n ! g' в T . Непрерывность линейных операций относительно топологии, порожденной введенной сходимостью, показывается обычным образом, так что T | линейное топологическое
пространство. Очевидно, D содержится в T как подпространство.
Определение 7. Элементы T будем называть динамическими основными функциями.
Теорема 1. Топологическое пространство T является хаусдорфовым и локально-выпуклым.
Доказательство проводится аналогично доказательству соответствующего утверждения
для D ([25], c. 74). b
2. Обобщенные функции
Обозначим через D0 пространство линейных непрерывных вещественнозначных функционалов, определенных на D (обобщенных функций), а через T 0 | пространство линейных непрерывных вещественнозначных функционалов, определенных на T (динамических обобщенных
функций). Как обычно, значение обобщенной функции f 2 T 0 на основной функции ' 2 T
будем обозначать (f; ').
38
Пример 2. Для f 2 L (loc) определим регулярную обобщенную функцию (которую также
R
обозначим через f ) с помощью равенства (f; ') = f (t) ord '(t) dt (' 2 T ). Линейность и неI
прерывность f следует из определения обычной части правильной динамической функции и
теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
Заметим, что линейное пространство L (loc) изморофно линейному многообразию регулярных
обобщенных функций в T 0 (это доказывается так же, как в ([14], c. 16)).
R
2.1. Дельта-функция. Определим функционал равенством ( ; ') = '( )(s)(s)ds, где
J
R
функция 2 L(J ) такова, что (t)dt = 1 (условие нормировки). Линейность и непрерывность
J
следует из определения сходимости в T и упомянутой выше теоремы Лебега. Таким образом,
2 T 0.
R
R
Для ' 2 D T получаем ( ; ') = '( )(s)ds = '( ) (s)ds = '( ), т. е. значение 2 T 0
J
J
на основных функциях из D T совпадает со значением классической дельта-функции 2 D0.
0
Определение 8. Назовем 2 T дельта-функцией, сосредоточенной в точке 2 I и имеющей форму 2 L (J ).
Таким образом, дельта-функция 2 T 0 является продолжением классической дельтафункции 2 D0 . Для дельта-функции построим последовательность fdn g1
n=1 ,
(
dn (t) = n(n(t ; )); если t 2 ( ; n ; + n );
0
в противном случае:
1
2
1
2
Назовем fdn g1
n=1 дельта-образной последовательностью, имеющей форму .
2.2. Операции над обобщенными функциями. В пространстве T 0 естественным образом вводятся сложение и умножение на вещественное число, так что T 0 становится линейным пространством. Сходимость в T 0 также определяется стандартно: скажем, что fn ! f при n ! +1
(fn ; f 2 T 0 ), если (fn ; ') ! (f; ') для всех ' 2 T .
Непрерывность линейных операций в T 0 доказывается точно так же, как и в пространстве D0.
Доказательство нижеследующего утверждения лишь несущественными деталями отличается от доказательства леммы из ([14], c. 65) (см. также [15], c. 24).
1
0
Лемма 4. Если ffn gn=1 сходится в T , 'n ! 0 в T , то (fn ; 'n ) ! 0 (n ! 1).
1
Теорема 2. Пусть последовательность ffn gn=1 такова, что для всех ' 2 T числовая последовательность f(fn ; ')g1
n=1 сходится при n ! 1. Тогда функционал f на T , определенный
0
равенством (f; ') = nlim
(
f
!1 n ; '), является линейным непрерывным, т. е. f 2 T .
Линейность предельного функционала очевидна. Непрерывность его достаточно доказать для ' = 0. Пусть 'n ! 0 в T (n ! 1). Предположим противное: (f; 'n )
не стремится к нулю (n ! 1). Перейдя, если потребуется, к подпоследовательности, можем
считать, что для всех n 2 N выполняется неравенство j(f; 'n )j > "0 при некотором "0 > 0. В
силу определения предельного функционала для каждого k 2 N найдется такой номер nk , что
j(fn ; 'k )j > "20 . Не ограничивая общности, можно снова считать, что nk = k, т. е. j(fk ; 'k )j > "20
для всех k 2 N . Но последнее неравенство противоречит лемме, согласно которой j(fk ; 'k )j ! 0
(k ! 1). Следовательно, (f; 'n ) ! 0 (n ! 1), т. е. предельный функционал непрерывен.
0
Теорема 3. Каждая обобщенная функция из пространства D допускает продолжение с D
на T .
Доказательство.
k
39
Доказательство. Согласно теореме 1 пространство динамических основных функций T
является локально-выпуклым, D является подпространством T . Согласно теореме Хана{Банаха
([25], c. 148) каждый линейный непрерывный функционал, заданный на подпространстве D, может быть продолжен с сохранением линейности и непрерывности на все пространство T .
2.3. Умножение. Введем в пространстве T 0 операцию умножения на элементы dG . Так как
для g 2 dG и ' 2 T произведение g' 2 T , то полагаем (gf; ') =: (f; g') (f 2 T 0 ).
Теорема 4. Пусть fn ! f в T , gn ! g в dG . Тогда gn fn ! gf в T (n ! 1).
Сначала заметим, что gn ' ! g' в T (n ! 1) для любой ' 2 T . Поэтому
j(gn fn; ') ; (gf; ')j = j(fn ; gn ') ; (f; g')j 6 j(fn; gn ') ; (fn; g')j + j(fn ; g') ; (f; g')j 6 j(fn; gn ' ;
g')j + j(fn ; g') ; (f; g')j ! 0 (n ! 1) (первое слагаемое стремится к нулю по лемме 4, второе
| в силу сходимости fn ! f ).
Таким образом, введенная операция умножения является непрерывной. Она является также
коммутативной (с учетом неравноправности множителей) и ассоциативной (с учетом того, что
два множителя | обычные функции, один | обобщенная функция).
Пример 3. Произведение сглаженной динамической единичной функции , разрывной в ,
R
R
0
и дельта-функции 2 T : ( ; ') = ( ; ') = '( )(s) (s)(s)ds. Если (s)(s)ds 6= 0, то
Доказательство.
J
R
.R
произведение = (s)(s)ds , где () = ()()
J
J
дельта-функции 2 T 0 .
J
(s)(s)ds 2 L(I ), является формой
Произведение обычной единичной функции 2 G и дельта-функции 2 T 0 :
1R=2
1R=2
( ; ') = ( ; ') = '( )(s)(s)ds. В случае (s)ds 6= 0, приходим к равенству =
Пример 4.
1R=2
0
0
.
=
1 2
(s)ds , где (s) = 0 | форма дельта-функции при s 2 [;1=2; 0), (s) = (s) R (r)dr
при s 2 (0; 1=2].
Замечание 1. Такой же результат получается при замене и на члены дельта-образной
1
последовательности
fdn gn и секвенциального представления ffng1n : fndn = dn (n 2 N ), где
.R
(s) = (s)(s) (s) (s)ds удовлетворяет условию нормировки. Это означает, что введенная
J
в T 0 операция умножения удовлетворяет условию 2.
2.4. Дифференцирование. Для g 2 sB V определим производную g_ равенством (' 2 T )
0
0
=1
(g0 ; ') =
=1
Z
I
ord '(t) d ord gc (t) +
X Z
t2T (g) J
'(t)(s)(f (t)(s))0s ds;
(4)
где gc 2 C B V | непрерывная часть g 2 sB V l .
Покажем, что (4) определяет обобщенную функцию из T 0 . Для этого убедимся сначала, что
значение (4) определено для любой основной функции ' 2 T .
Действительно, интеграл Римана{Стилтьеса в первом слагаемом правой части (4) существует, т. к. интегрируемая функция принадлежит G , а интегрирующая | C B V (см. [22]{[24]);
сходимость ряда в (4) следует из неравенства
Z
J
Z
'( )(s)(g( )(s))s ds 6 sup j'( )(s)j jg( )(s)s jds 6 sup j'( )(s)j
s2J
J
40
s2J
=
_
1 2
(g( )(s))
;1=2
для всех 2 D(g); справедлива также следующая оценка:
X Z
2D(g)
J
'( )(s)(g( )(s)) ds 6 sup j'j
s
a;b)
(
X
=
_
1 2
(g( )(s));
2D(g) ;1=2
(5)
где сходимость ряда в правой части следует из определения пространства sB V .
Линейность g_ очевидна, непрерывность следует из определения сходимости в пространстве T , теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана{Стилтьеса [24] и оценки (5).
R
Пример 5. Непосредственно из определения (4) _ = , где = _ ; т. к.
(s)ds = (1=2) ;
I
(;1=2) = 1, то 2 L(J ) является формой дельта-функции.
Теорема 5 (формула Лейбница). Для любых f; g 2 sB V выполняется равенство (fg ) =
_fg + f g_ (2 T 0 ).
Доказательство. Из определений умножения и производной следует
Z
X Z
_
_
(fg; ') = (f; g') = ord '(t) ord g(t)dfc (t) +
g( )(s)'( )(s)(f ( )(s))s ds;
(6)
Z
I
2D(f ) J
(f g_ ; ') = (g;_ f') = ord '(t) ord f (t)dgc (t) +
I
X Z
f ( )(s)'( )(s)(g( )(s))s ds:
2D(g) J
(7)
В (6) и (7) можно выполнять суммирование по D(f ) [ D(g), т. к. это требует только добавления
нулевых слагаемых. Опуская для краткости выражения под знаком сумм, получим
X
X
X
X
+
=
=
;
(8)
2D(f )
2D(g)
2D(f )[D(g)
2D(fg)
где последнее равенство обусловлено тем, что D(fg) D(f ) [ D(g) и 2 D(f ) [ D(g) n D(fg)
тогда и только тогда, когда f ( ) = 0 или g( ) = 0, так что в (8) можно исключить слагаемые,
соответствующие 2 D(f ) [ D(g) n D(fg). Таким образом, сумма вторых слагаемых в (6) и (7)
равна
Z
X
2D(fg) I
'( )(s)(g( )(s)f ( )(s))s ds:
(9)
Опустив достаточно элементарные, но громоздкие выкладки, с помощью теоремы 2 из ([24],
c. 6) придем к равенству
Z
Z
I
Z
ord '(t) d(fg)c (t) = ord '(t) ord g(t)dfc (t) + ord '(t) ord f (t)dgc (t):
I
I
(10)
Сложив теперь (6) и (7), в силу (8), (9) и (10) получим утверждение теоремы.
3. Пример приложения к дифференциальным уравнениям
Обозначим через Tn0 и Dn0 пространства n-векторнозначных обобщенных функций, в которых
линейные операции, операции умножения на элементы dG , дифференцирования и предельного перехода определяются покомпонентно. Аналогично определяются пространства обычных и
динамических функций A C n , B V n , sB V n .
Рассмотрим в Tn0 начальную задачу
x_ = f (t; x) + g(t; x) ; x(t0;) = x0;
(11)
41
где x0 2 Rn , функция f со значениями в Rn и функция g со значениями в пространстве M n n nматриц непрерывно дифференцируемы в I Rn по второму аргументу, = (1 ; : : : ; )> , где
= (1; : : : ; n )> | вектор форм дельта-функций, 2 T 0 .
Результаты, которые приводятся ниже, легко переносятся на случай, когда в (11) вместо
одной векторной дельта-функции находится линейная комбинация векторных дельта-функций.
Уравнение вида (11), в котором обобщенная функция входит линейно, является основным объектом изучения в теории импульсного оптимального управления (см. [1], [4]{[7] и др).
Определение 9. Решением начальной задачи (11) называется сглаженная динамическая
функция ограниченной вариации x 2 sB V n , обращающая (11) в тождество в пространстве динамических обобщенных функций Tn0 .
Напомним, что операции дифференцирования, композиции и умножения, возникающие в
(11), корректно определены в Tn0 .
Определение 10. Обычным решением начальной задачи (11) называется обычная часть
xb = ord x 2 B Vn решения x 2 sB Vn .
Понятие обычного решения позволяет установить связь с подходами к определению решения,
рассматриваемыми в [1], [4]{[7] (см. замечание ниже).
Теорема 6. Решение x 2 sB V n задачи (11) существует и допускает следующее описание.
При t 6= x_ (t) = f (t; x(t));
(12)
динамическое значение () = x( )() удовлетворяет задаче
_ (s) = g(; (s))(s); (;1=2) = x( ;); x( +) =: (1=2):
(13)
Доказательство. Условия (12), (13) определяют элемент x 2 sB V n , удовлетворяющий начальному условию в (11). Подставим x в уравнение (11) с учетом определения (4). В итоге
(' 2 T )
n
i
Z
ord '(t) dxc (t) +
Z
Z
Z
'( )(s)_ (s) ds = f (t; ord x(t)) ord '(t) dt + g(; (s))'( )(s) ds: (14)
I
J
I
J
В силу (12) и (13) для всех ' 2 T получаем
Z
I
Z
ord '(t)dxc (t) = f (t; ord x(t)) ord '(t)dt;
I
Z
Z
J
'( )(s)_ (s)ds = g(; (s));
J
что эквивалентно (14). Это значит, что x | решение задачи (11).
Замечание 2. Различные подходы к определению решения дифференциальных уравнений
с обобщенными функциями из Dn0 рассматриваются в работах [1], [4], [6], [7], [20] и многих других.
В процитированных работах, в частности, рассматривается начальная задача
x_ = f (t; x) + g(t; x)c ; x(t0 ) = x0 ;
(15)
где t0 6= , функции f и g такие же, как выше, c 2 Rn , дельта-функция 2 D0 . Решением
(15) называется n-вектор-функция ограниченной вариации x, непрерывная слева, если найдется
0
дельта-образная последовательность fdm g1
m=1 , dm ! в D такая, что xm ! x в слабой топологии пространства непрерывных слева n-вектор-функций ограниченной вариации, где xm 2 A C n
| решение начальной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
x_ m = f (t; xm) + g(t; xm )cdm ; xm(t0) = x0:
В общем случае решение задачи (15) оказывается разрывным [4]. Отметим следующее.
42
1) Так как запись уравнения в (15) некорректна (в D0 не определено произведение разрывной функции g(; x()) и дельта-функции 2 D0 ), то приходится рассматривать (15) лишь как
традиционный символ, тот или иной смысл которому приписывается в зависимости от способа
определения решения. В то же время запись уравнения (11) корректна в пространстве T 0 .
2) Необходимым и достаточным условием единственности решения задачи (15), т. е. независимости x = mlim
!1 xm от выбора приближающей последовательности, является условие Фробениуса
[4], [5],
[gk ; gl ]x 0;
(16)
где [; ]x | скобка Ли по переменной x, gk | k-й столбец матрицы g (см., напр., [1], c. 28).
Как отмечается в [5], условие (16) в ряде практических задач не выполняется. Таким образом, возникает необходимость учитывать способ приближения дельта-функции дельтаобразной
0
последовательностью fdm g1
m=1 . В терминах пространства T это означает выбор формы дельтафункции (см. (13)). Разумеется, сама идея учета способа приближения fdm g1
m=1 не нова (см.,
0
напр., [1], [5]), однако в пространстве D нет оснований отдавать предпочтение тому или иному
способу приближения. В то же время в самом понятии динамического значения элементов T
уже заложен способ такого приближения (см. п. 2.4).
3) При нашем подходе непрерывная дифференцируемость функций f и g может быть заменена на условие Липшица (по второму аргументу).
4. Сравнение с известными подходами к умножению
4.1. Умножение в пространстве D0 . Как было отмечено во введении, произведение обобщенной функции и разрывной возникает, в частности, при рассмотрении обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенными функциями (см. цитированные там работы). В этих
работах, а также в ряде других, приводится или вводится неявно через определение решения
дифференциального уравнения, определение произведения дельта-функции 2 D0 и единичной
функции вида
= c ;
(17)
где c 2 R задается априорно. В частности, в [11], [13], [17], [18], [26], [27] из соображений четности
и сохранения формулы Лейбница рассматривается c = 1=2. В [3], [4] значение c определяется
видом дифференциального уравнения, в котором возникает произведение (17).
Умножение обобщенной функции на разрывную может порождаться определением более
общей операции умножения двух обобщенных функций. В [11], [17] вводится семейство операций
умножения f g()2D для обобщенных функций f 2 D0 и g 2 C 1 Dm0 , где Dm0 состоит из
обобщенных функций, имеющих нигде не плотный носитель. Справедливо равенство
(18)
= 12 для всех 2 D, так что (18) имеет вид (17).
В пространстве T 0 произведение и дельта-функции 2 T 0 определяется как
=
Z
=
1 2
0
(s)ds ;
(19)
. 1R=2
где форма дельта-функции (s) = 0 при s 2 [;1=2; 0), (s) = (s)
(r)dr при s 2 (0; 1=2].
0
Рассмотрим формальное сужение функционалов в (19) с T на D. Тогда сравнение (17) и
(19) позволяет утверждать, что априорный выбор значения c в (17) эквивалентен априорному
43
сужению множества дельта-образных последовательностей в D0 (что никак не мотивируется);
в терминах пространства T 0 это соответствует сужению семейства дельта-функций 2 T 0 до
1R=2
подсемейства дельта-функций, имеющих форму такую, что (s)ds = c. Отметим также,
0
что несмотря на схожесть (17) и (19), операция умножения (19) является ассоциативной, в то
время как умножение, определяемое (17), не ассоциативно, если c 6= 0, c 6= 1.
4.2. Умножение в алгебре обобщенных функций Коломбо. В [9] вводится алгебра \новых обобщенных функций", которая содержит D0 как подпространство. В этой алгебре произведение
элементов D0 не является элементом D0 , например, определено, но не принадлежит D0 . В
связи с этим рассматривать дифференциальные уравнения в алгебре Коломбо неудобно. На_ , где A | матричнозначная функция с
пример, в [16] рассматривается уравнение вида x_ = Ax
компонентами | функциями ограниченной вариации, A_ 2 D0 принадлежит алгебре Коломбо. В
[16] показано, что решением начальной задачи для этого уравнения является обобщенная функция Коломбо, которая, вообще говоря, не является обычной функцией или элементом D0 . Это
существенно затрудняет содержательную интерпретацию решения.
Подчеркнем, что в T 0 произведение единичной функции и дельта-функции (19) является
дельта-функцией, и, в отличие от алгебры Коломбо, для него определено понятие дельтаобразной последовательности. Как следует из результатов, приведенных выше, решения дифференциальных уравнений с обобщенными функциями из T 0 хотя и зависят от форм дельтафункций, но являются функциями ограниченной вариации и допускают содержательную интерпретацию.
Литература
1. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. { M.:
Физматлит, 2003. { 255 c.
2. Дерр В.Я. К определению понятия решения дифференциального уравнения с обобщенными
функциями // ДАН СССР. { 1988. { Т. 298. { C. 56{59.
3. Сесекин А.Н. О нелинейных дифференциальных уравнениях в классах функций ограниченной
вариации // Дифференц. уравнения. { 1989. { T. 25. { Є 11. { C. 1925{1932.
4. Завалищин С.Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы: модели и приложения. { М.: Наука,
1991. { 256 с.
5. Miller B.M. Method of discontinuous time change in problems of control for impulse and discrete
continuous systems // Automat. Remote Control. { 1993. { V. 54. { P. 1727{1750.
6. Vinter R.B., Pereira F.M.F.L. A maximum principle for optimal processes with discontinuous
trajectories // SIAM J. Control and Optim. { 1988. { V. 26. { P. 205{229.
7. Motta M., Rampazzo F. Dynamic programming for nonlinear systems driven by ordinary and
impulsive controls // SIAM J. Contr. and Optim. { 1996. { V. 34. { P. 199{225.
8. Silva G.N., Vinter R.B. Necessary optimality conditions for optimal impulsive control problem //
SIAM J. Contr. and Optim. { 1997. { V. 35. { P. 1829{1846.
9. Colombeau J.-F. Elementary introduction to new generalized functions. { North-Holland
Publishing Co.: Amsterdam, 1985. { 281 p.
10. Bagarello F. Multiplication of distributions in one dimension: possible approaches and applications
to delta-function and its derivatives // J. Math. Anal. Appl. { 1995. { V. 196. { P. 885{901.
11. Sarrico C.O.R. Some distributional products with relativistic invariance // Portugal Math. { 1994.
{ V. 51. { P. 283{290.
12. Bagarello F. Multiplication of distributions in one dimension and rst application to quantum eld
theory // J. Math. Anal. Appl. { 2002. { V. 266. { P. 298{320.
44
13. Boman J., Kurasov P. Finite rank singular pertrubations and distributions with discontinuous test
functions // Proc. Amer. Math. Soc. { 1998. { V. 126. { P. 1673{1683.
14. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. { М.: Изд-во МГУ, 1984.
{ 207 с.
15. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. { М.: Наука, 1979. {
318 с.
16. Дерр В.Я., Дизендорф К.И. О дифференциальных уравнениях в C -обобщенных функциях //
Изв. вузов. Математика. { 1996. { Є 11. { C. 39{49.
17. Sarrico C.O.R. The linear Cauchy problem for a class of dierential equations with distributional
coecients // Portugal Math. { 1995. { V. 52. { P. 379{390.
18. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. { М.: Наука,
1985. { 224 с.
19. Дерр В.Я., Кинзебулатов Д.М. Дифференциальные уравнения с обобщенными функциями,
допускающими умножение на разрывные функции // Вестн. Удмуртск. ун-та. { 2005. { Є 1.
{ C. 35{58.
20. Rishel R.W. An extended Pontryagin principle for control systems whose control laws contain
measures // SIAM J. Control and Optim. { 1965. { V. 3. { P. 191{205.
21. Honig C.S. Volterra{Stieltjes integral equations, Mathematical Studies 16. { North Holland,
Amsterdam, 1975. { 152 p.
22. Дерр В.Я. Об одном обобщении интеграла Римана{Стилтьеса // Изв. ин-та матем. и информ. УдГУ, Ижевск. { 1997. { Вып. 3. { C. 3{29.
23. Derr V.Ja. A generalization of Riemann{Stieltjes integral // Functional Dierential Equations. {
2002. { V. 9. { Є 3{4. { P. 325{341.
24. Дерр В.Я., Кинзебулатов Д.М. Альфа-интеграл типа Стилтьеса // Вестн. Удмуртск. унта. { 2006. { Є 1. { C. 41{65.
25. Иосида К. Функциональный анализ. { М.: Мир, 1967. { 624 с.
26. Kurasov P. Distributions theory with discontinuous test functions and dierential operators with
generalized coecients // J. Math. Anal. Appl. { 1996. { V. 201. { P. 297{323.
27. Tvrdy M. Dierential and integral equations with regulated solutions // Equam, Praha. { 1993. {
P. 1{104.
Удмуртский государственный
университет
Поступила
20.01.2006
45
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
232 Кб
Теги
умножение, обобщенные, функции, проблемы, динамическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа