close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Динамические системы с липшицевыми обратными свойствами отслеживания.

код для вставкиСкачать
УДК 517.9
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2011. Вып. 3
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ЛИПШИЦЕВЫМИ
ОБРАТНЫМИ СВОЙСТВАМИ ОТСЛЕЖИВАНИЯ
С. Ю. Пилюгин1, Г. И. Вольфсон2 , Д. И. Тодоров3
1. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, sergeipil47@mail.ru
2. С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, georgij.volfson@gmail.com
3. С.-Петербургский государственный университет,
студент, todorovdi@gmail.com
1. Введение. Задача об отслеживании приближенных траекторий (псевдотраекторий) динамических систем точными траекториями — одна из интенсивно изучаемых
задач современной глобальной теории динамических систем (см., например, монографии [1, 2]). В последнее время столь же интенсивно изучается задача об обратном
отслеживании, в которой фиксируется класс методов, порождающих псевдотраектории, и ставится вопрос о том, можно ли аппроксимировать любую точную траекторию
траекторией любого метода из данного класса (см. [3–5]).
Хорошо известно, что структурно устойчивая система обладает свойствами отслеживания и обратного отслеживания, и при этом эти свойства липшицевы [1, 4].
Совсем недавно было показано, что из наличия свойства липшицева отслеживания следует структурная устойчивость системы [6]. В данной работе мы показываем,
что аналогичное утверждение верно и для липшицева свойства обратного отслеживания относительно двух классов методов.
2. Свойства обратного отслеживания. Пусть f — гомеоморфизм метрического
пространства (M, dist).
Как обычно, будем называть псевдотраекторией динамической системы, порожденной гомеоморфизмом f , последовательность {xk , k ∈ Z}, для которой выполнены
неравенства
dist(xk+1 , f (xk )) < d, k ∈ Z.
(1)
Мы будем рассматривать свойства обратного отслеживания псевдотраекторий,
порожденных двумя классами методов.
Будем называть d-методом класса Θs семейство непрерывных отображений {ψk :
M → M, k ∈ Z}, для которого выполнены неравенства
dist(ψk (x), f (x)) < d,
x ∈ M, k ∈ Z.
(2)
Последовательность {xk ∈ M } называется траекторией d-метода {ψk } класса Θs ,
если
xk+1 = ψk (xk ), k ∈ Z.
Будем называть d-методом класса Θt семейство непрерывных отображений {ψk :
M → M, k ∈ Z}, для которого выполнены неравенства
dist(f (ψk (x)), ψk+1 (x)) < d,
c
48
x ∈ M, k ∈ Z.
С. Ю. Пилюгин, Г. И. Вольфсон, Д. И. Тодоров, 2011
(3)
Последовательность {xk ∈ M } называется траекторией d-метода {ψk } класса Θt ,
если существует такая точка x ∈ M , что
xk = ψk (x),
k ∈ Z.
Из определений немедленно следует, что любая траектория d-метода класса Θs
или Θt является d-псевдотраекторией f .
Будем говорить, что гомеоморфизм f обладает липшицевым свойством обратного
отслеживания на траектории точки p ∈ M относительно класса Θs (класса Θt ), если
существуют такие положительные константы d0 , L, что для любого d-метода {ψk }
класса Θs (класса Θt ) с d 6 d0 найдется такая траектория {xk } метода {ψk }, что
выполнены неравенства
dist(xk , f k (p)) 6 Ld, k ∈ Z.
(4)
Будем говорить, наконец, что гомеоморфизм f обладает липшицевым свойством
обратного отслеживания относительно класса Θs (класса Θt ), если он обладает липшицевым свойством обратного отслеживания на траектории любой точки p ∈ M
относительно этого класса.
Замечание. Отметим, что в данном выше определении не предполагается, что
константы d0 , L одни и те же для разных точек p ∈ M .
В работе [4] было показано, что структурно устойчивый диффеоморфизм гладкого замкнутого многообразия обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно некоторых классов методов (с одними и теми же константами
d0 , L для всех точек p ∈ M ).
Напомним, что диффеоморфизм f многообразия M называется структурно
устойчивым, если существует такая окрестность U диффеоморфизма f в C 1 -топологии, что любой диффеоморфизм g ∈ U топологически сопряжен с f (подробнее о
структурно устойчивых диффеоморфизмах написано, например, в книге [7]).
В данной статье мы обращаем теоремы статьи [4] для классов методов Θs и Θt и
показываем, что если диффеоморфизм гладкого замкнутого многообразия обладает
липшицевым свойством обратного отслеживания относительно этих классов методов,
то он структурно устойчив.
Наше доказательство использует два известных результата, принадлежащие
Р. Мане и В. А. Плиссу. Сформулируем их.
Будем обозначать через Tp M касательное пространство к многообразию M в
точке p.
Фиксируем точку p ∈ M и рассмотрим два линейных подпространства пространства Tp M :
B + (p) = {v ∈ Tp M : |Df k (p)v| → 0, k → +∞}
и
B − (p) = {v ∈ Tp M : |Df k (p)v| → 0,
k → −∞}.
Будем говорить, что для диффеоморфизма f в точке p выполнено аналитическое
свойство трансверсальности, если
B + (p) + B − (p) = Tp M.
(5)
Теорема Мане [8]. Диффеоморфизм f структурно устойчив тогда и только
тогда, когда аналитическое свойство трансверсальности выполнено в любой точке
p ∈ M.
49
Рассмотрим семейство линейных изоморфизмов
A = {Ak : Rn → Rn , k ∈ Z}
(6)
и предположим, что существует такая константа N > 0, что kAk k, kA−1
k k 6 N . Фиксируем два индекса k, l ∈ Z и обозначим


Ak−1 ◦ · · · ◦ Al , l < k;
Φ(k, l) = Id, l = k;

 −1
Ak ◦ · · · ◦ A−1
l > k.
l−1 ,
Положим
B + (A) = {v ∈ Rn : |Φ(k, 0)v| → 0,
k → +∞}
B − (A) = {v ∈ Rn : |Φ(k, 0)v| → 0,
k → −∞}.
и
Теорема Плисса [9]. Следующие два утверждения эквивалентны:
(a) для любой ограниченной последовательности {zk ∈ Rn , k ∈ Z} найдется
такая ограниченная последовательность {yk ∈ Rn , k ∈ Z}, что
yk+1 = Ak yk + zk ,
k ∈ Z;
(7)
(b) последовательность A гиперболична на каждом из лучей [0, +∞) и (−∞, 0]
(см. определение в [10]), и пространства B + (A) и B − (A) трансверсальны.
Замечание. Теорема Плисса доказана для линейных систем дифференциальных
уравнений, однако она верна и в приведенной выше формулировке (см. [10]).
Вначале мы докажем утверждение, относящееся к липшицеву свойству обратного отслеживания на траектории одной точки (ограничившись при этом случаем
диффеоморфизма евклидова пространства).
Пусть f — диффеоморфизм пространства M = Rn и пусть p ∈ M . Обозначим
pk = f k (p) и Ak = Df (pk ) для k ∈ Z.
Сформулируем следующее условие:
(C) нормы матриц Ak и A−1
k ограничены некоторой константой N , а последовательность функций
αk (x) = f (pk + x) − pk+1 − Ak x
обладает следующим свойством: по любому ǫ > 0 можно указать такое δ > 0, что
|αk (x)| 6 ǫ|x|,
|x| 6 δ, k ∈ Z.
Теорема 1. Если выполнено условие (C) и диффеоморфизм f обладает липшицевым свойством обратного отслеживания на траектории точки p относительно
любого из классов методов Θs и Θt , то в точке p выполнено аналитическое свойство
трансверсальности.
Наш основной результат таков.
Теорема 2. Если диффеоморфизм f гладкого замкнутого многообразия обладает
липшицевым свойством обратного отслеживания относительно любого из классов
методов Θs и Θt , то f структурно устойчив.
50
3. Доказательство теоремы 1. Докажем, что при наших предположениях для
последовательности матриц Ak выполнено утверждение (a) теоремы Плисса.
Фиксируем ограниченную последовательность {zk ∈ Rn , k ∈ Z}; пусть для определенности |zk | 6 1.
Рассмотрим вначале случай класса методов Θs . Выберем такое ε > 0, чтобы
выполнялось неравенство
ε(2L + 1) < 1.
(8)
Используя условие (С), найдем такое d 6 d0 /2, что
|αk (x)| 6 ε|x|,
|x| 6 (2L + 1)d,
k ∈ Z.
Выберем такую непрерывную функцию β(a), определенную при a > 0, что β(a) =
1 при a 6 2Ld, β(a) = 0 при a > (2L + 1)d и 0 6 β(a) 6 1.
Определим непрерывные отображения ψk : Rn → Rn формулой
ψk (pk + x) = pk+1 + Ak x + β(|x|)dzk + (1 − β(|x|))αk (x),
k ∈ Z.
Ясно, что f (pk + x) и ψk (pk + x) совпадают при |x| > (2L + 1)d, поэтому величину
|f (pk + x) − ψk (pk + x)|
следует оценивать лишь при |x| 6 (2L + 1)d. Но в этом случае
|f (pk + x) − ψk (pk + x)| 6 |dzk | + |αk (x)| 6 d + ε|x| < 2d
(см. неравенство (8)). Следовательно, последовательность {ψk } является 2d-методом
класса Θs . Из выбора d (напомним, что d 6 d0 /2) и из нашего предположения следует,
что существует траектория {xk } этого метода, для которой выполнены неравенства
|xk − pk | 6 2Ld.
Положим wk = xk − pk . Так как |wk | 6 2Ld, верны равенства
ψk (xk ) = ψk (pk + wk ) = pk+1 + Ak wk + dzk .
Сравнивая их с равенствами
ψk (xk ) = xk+1 = pk+1 + wk+1 ,
мы видим, что
wk+1 = Ak wk + dzk .
Ясно, что векторы yk = wk /d удовлетворяют равенствам
yk+1 = Ak yk + zk
и оценкам |yk | 6 2L.
Рассмотрим теперь случай класса методов Θt .
Фиксируем натуральное число m и определяем векторы ak , −m 6 k 6 m, равенствами
ak+1 = Ak ak + dzk , −m 6 k 6 m − 1,
(9)
с a−m = 0. Ясно, что в этом случае существует такое число K > 0 (зависящее от m и
Ak , |k| 6 m), что |ak | 6 Kd, |k| 6 m.
51
Построим метод класса Θt следующим образом: положим ψk (x) = pk + ak при
|k| 6 m, ψm+k (x) = f k (pm + am ) при k > 0 и ψ−m+k (x) = f k (p−m + a−m ) при k < 0
(таким образом, отображения ψk постоянные).
Тогда отображения (f (ψk ) − ψk+1 )(x) также постоянные. Так как
f (ψk )(x) = f (pk + ak ) = pk+1 + Ak ak + αk (ak )
при −m 6 k 6 m − 1 и |ak | 6 Kd, существует такое d 6 d0 /2, что
|(f (ψk ) − ψk+1 )(x)| 6 |ak+1 − Ak ak | + |αk (ak )| < 2d,
−m 6 k 6 m − 1
(заметим, что d зависит от m). Для остальных значений k
|(f (ψk ) − ψk+1 )(x)| = 0.
Таким образом, при выбранном d последовательность {ψk } является 2d-методом класса Θt .
Согласно нашему предположению существует такое x, что если xk = ψk (x) и
wk = xk − pk , то |wk | 6 2Ld. Отметим еще раз, что все построенные объекты зависят
от m.
Так как xk = pk + ak for |k| 6 m, верны равенства
wk+1 = xk+1 − pk+1 = ak+1 = Ak ak + dzk = Ak wk + dzk ,
−m 6 k 6 m − 1.
(m)
Рассмотрим yk = wk /d (в обозначении мы подчеркиваем отмеченную выше зависи(m)
мость от m). Тогда |yk | 6 2L и
(m)
(m)
yk+1 = Ak yk
+ zk ,
−m 6 k 6 m − 1.
(10)
Применяя диагональный процесс и переходя в равенствах (10) к пределу при m → ∞
(не равномерному по k!), мы получаем такую последовательность {yk , k ∈ Z}, что
|yk | 6 2L и
yk+1 = Ak yk + zk , k ∈ Z.
Очевидно, для последовательности A = {Ak = Df (pk )} пространства B + (A) и
B (A), о которых говорится в теореме Плисса, совпадают с пространствами B + (p)
и B − (p) из теоремы Мане. Теперь утверждение теоремы 1 следует из импликации
(a)⇒(b) в теореме Плисса.
−
4. Доказательство теоремы 2. Основная идея доказательства теоремы 2 та же,
что при доказательстве теоремы 1 — мы показываем, что если выполнено липшицево свойство обратного отслеживания, то в каждой точке выполнено аналитическое
условие трансверсальности, после чего структурная устойчивость диффеоморфизма
f следует из теоремы Мане.
Так как основные конструкции в доказательстве те же, что в теореме 1 (с точностью до применения экспоненциального отображения для линеаризации задачи), мы
отраничимся лишь случаем класса методов Θt .
Пусть exp — стандартное экспоненциальное отображение на касательном расслоении M и пусть expx — соответствующее отображение
Tx M → M.
52
Фиксируем точку p ∈ M , обозначим pk = f k (p) и рассмотрим отображения
Fk = exp−1
pk+1 ◦f ◦ exppk : Tpk M → Tpk+1 M.
Из стандартных свойств экспоненциального отображения следует, что D expx (0) = Id;
поэтому
DFk (0) = Df (pk )Ak .
Так как M компактно, для любого ε > 0 мы можем найти такое δ > 0, что если
|v| 6 δ, то
|Fk (v) − Ak v| 6 ε|v|.
(11)
Обозначим через B(r, x) шар в M радиуса r с центром в точке x и через BT (r, x) —
шар в Tx M радиуса r с центром в 0.
Существует такое r > 0, что для любой точки x ∈ M отображение expx — диффеоморфизм шара BT (r, x) на его образ и exp−1
x — диффеоморфизм шара B(r, x) на
его образ. Кроме того, мы можем считать, что r обладает следующим свойством:
если v, w ∈ BT (r, x), то
dist(expx (v), expx (w)) 6 2|v − w|;
(12)
−1
| exp−1
x (y) − expx (z)| 6 2dist(y, z).
(13)
если y, z ∈ B(r, x), то
Всюду далее в доказательстве мы будем считать, что рассматриваемые значения
d столь малы, что все возникающие точки, близкие к точкам pk , и все векторы в
пространствах Tpk M принадлежат соответствующим шарам B(r, pk ) и BT (r, pk ).
Рассмотрим такую последовательность векторов zk ∈ Tpk M , что |zk | 6 1.
Фиксируем натуральное число m и малое положительное число d. Так же, как в
доказательстве теоремы 1 (случай класса Θt ), определим векторы ak ∈ Tpk M, −m 6
k 6 m, с a−m = 0 равенствами (9).
Построим метод класса Θt следующим образом: положим ψk (x) = exppk (ak ) при
|k| 6 m, ψm+k (x) = f k (ψm ) при k > 0 и ψ−m+k (x) = f k (ψ−m ) при k < 0.
Оценим dist(f (ψk ), ψk+1 ) при −m 6 k 6 m − 1.
Так как
−1
Fk (ak ) = exp−1
pk+1 (f (ψk )) и ψk+1 = exppk+1 (ak+1 ),
из оценки (3) следует, что
dist(f (ψk ), ψk+1 ) 6 2|Fk (ak ) − ak+1 | 6 2|Ak ak − ak+1 | + 2|Fk (ak ) − Ak ak |.
Норма первого слагаемого не превосходит 2d (так как |zk | 6 1); из оценки (11) вытекает, что норма второго слагаемого может быть сделана сколь угодно малой по
сравнению с d за счет малости d (напомним, что |ak | 6 Kd).
Таким образом, если d достаточно мало, то
|Fk (ak ) − ak+1 | < 3d,
но тогда из неравенства (1) следует, что
dist(f (ψk ), ψk+1 ) < 6d.
53
Ясно, что f (ψk ) = ψk+1 при k < −m и при k > m.
Мы показали, что если d достаточно мало, то {ψk } — 6d-метод класса Θt .
Из нашего предположения следует, что в этом случае найдется такая точка x,
что если xk = ψk (x), то
dist(xk , pk ) 6 6Ld.
Если xk = exppk (wk ), то |wk | 6 12Ld.
Из равенств
exppk (wk ) = xk = ψk (x) = exppk (ak ),
|k| 6 m,
вытекает, что
wk+1 = Ak wk + dzk ,
−m 6 k 6 m − 1.
Применяя к последовательности yk = wk /d те же рассуждения, что были использованы в конце доказательства теоремы 1, мы получаем ограниченное решение yk
разностного уравнения (7).
Из импликации (a)⇒(b) в теореме Плисса следует, что пространства B + (p) и
B − (p) трансверсальны. Для окончания доказательства теоремы 2 осталось сослаться
на произвольность точки p и на теорему Мане.
Литература
1. Pilyugin S. Yu. Shadowing in Dynamical Systems // Lect. Notes in Math. Vol. 1706. Berlin:
Springer, 1999.
2. Palmer K. Shadowing in Dynamical Systems. Theory and Applications. Dordrecht:
Kluwer, 2000.
3. Corless R. M., Pilyugin S. Yu. Approximate and real trajectories for generic dynamical
systems // J. Math. Anal. Appl. Vol. 189. P. 409–423. 1995.
4. Pilyugin S. Yu. Inverse shadowing by continuous methods // Discrete Contin. Dyn. Syst.
Vol. 8. P. 29–38. 2002.
5. Kloeden P. E., Ombach J. Hyperbolic homeomorphisms and bishadowing // Ann. Polon.
Math. Vol. 65. P. 171–177. 1997.
6. Pilyugin S. Yu., Tikhomirov S. B. Lipschitz shadowing implies structural stability // Nonlinearity. Vol. 23. P. 2509–2515. 2010.
7. Пилюгин С. Ю. Пространства динамических систем. Регулярная и хаотическая динамика. Ижевск, 2008.
8. Mañé R. Characterizations of AS diffeomorphisms // Geometry and Topology. Lect. Notes
in Math. Vol. 597. Springer, Berlin, 1977. P. 389–394.
9. Плисс В. А. Ограниченные решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений // Проблемы асимпт. теории нелин. колеб. Киев, 1977. С. 168–173.
10. Pilyugin S. Yu. Generalizations of the notion of hyperboicity // J. Diff. Eqns Appl.
Vol. 12. P. 271–282. 2006.
Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.
54
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
234 Кб
Теги
липшицевыми, обратными, система, отслеживания, свойства, динамическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа