close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Динамический синтез для линейного объекта управления.

код для вставкиСкачать
uПU
”ƒ 618.514.01:517.977
x t0
ƒ»Ќјћ»„≈— »… —»Ќ“≈«
ƒЋя Ћ»Ќ≈…Ќќ√ќ ќЅЏ≈ “ј
–јƒ»≈¬— »… ј.≈.
Ќа движени¤х линейного (стационарный и нестационарный) объекта управлени¤ с аддитивным возмущающим воздействием рассматриваетс¤ задача динамического синтеза. ќписываютс¤ уравнени¤ движени¤
синтезированных систем управлени¤ дл¤ некоторых
видов задани¤ возмущающего воздействи¤.
1. ѕостановка и особенности задачи
ќдним из вариантов задачи динамического синтеза
¤вл¤етс¤ задача аналитического конструировани¤
оптимальных регул¤торов в постановке Ћетова
ј.ћ. (задача Ћетова) [1]. ќна может быть сформулирована следующим образом. Ќа движени¤х объекта
управлени¤ (ќ”)
F x , u, p, w, t
(1)
оптимизируетс¤ критерий качества
І t1
Ј
M® ≥ W x, u , q, t dt Є
®t
Є
©0
є
Ju
E n u E r u E w u R1
полагаетс¤, что на
4) в достаточно полной мере определена веро¤тностными характеристиками.
ѕусть на
w
(4)
n
C n t 0 , t1 (C t 0 , t 1 ? пространство
n -мерных непрерывных на t 0 , t 1 функций x t
1
c нормой ||x|| max x t , t П t 0 , t 1 Н R );
( Lrf t 0 , t 1 ? пространство r ?
мерных существенно ограниченных на t 0 , t 1 измеримых функци й u t с нормой u
vrai sup u t , t П t 0 , t 1 Н R 1 );
58
Ptwt.
(7)
t 0 , t1 функци¤ w t ¤вл¤етс¤ неопреде-
ленной. »звестно лишь, что
онкретизаци¤ выражений (1)-(4) порождает различные варианты задачи динамического синтеза.
Lrf t 0 , t1
t 0 , t1 функци¤ w t может быть пред-
ставлена в виде полинома „ебышева-¬ейерштрасса
[1], а значит [2] , определена системой дифференциальных уравнений (—ƒ”) с переменными параметрами вида
w t d w * , w * ? заданное число.
(8)
Ќа множестве функций w t , удовлетвор¤ющих
выражению (8), обычно выдел¤ют [3] два класса
функций: ступенчатые и гармонические.
—тупенчата¤ функци¤ имеет вид
wt
где
≠w
Ѓ
ѓ0
const ??? t t t 0 ,
??? t d t 0 ,
(9)
w : w d w* .
w ПW ? неизвестное число, W
√армоническа¤ функци¤ имеет вид
ожидание.
Er
t 0 , t1 функци¤ w t :
3) представима посредством элементарных случайных функций;
(3)
x
ѕусть E n
(6)
2) ¤вл¤етс¤ неопределенной, но по величине не превосходит некоторого предела;
ѕусть на
x t П E n ? состо¤ние; u u t П E r ?
управление; w w t П E w ? возмущение;
p П E p ? параметр ќ”; q П E q ? параметр оптими1
зируемого критери¤ качества; t П t 0 , t1 Н R ?
1
врем¤, t 0 , t1 ? интервал управлени¤, R ? числова¤ пр¤ма¤; E n , E r , E w ? некоторые пространства ; E p , E q ? некоторые множества; E i E n u R 1
? многообрази¤, i П 0,1 ; ћ ? математическое
где
0,
1) может быть аппроксимирована некоторым набором элементарных функций времени;
и граничных услови¤х
x, t 0 П E 0 , x, t 1 П E1 ,
x 0 , x t1
”чет возмущающего воздействи¤ в исследуемой
задаче зависит от характера располагаемой информации относительно функции w t .ќбычно пред-
(2)
при ограничени¤х вдоль траектории
x, u, w, t П E
x : x d x max , (5)
где t 1 ? конечный нефиксированный момент времени; u max , x max ? заданные числа.
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
x
u : u d u max , x П Q
wt
здесь
w max sin Jt ,
(10)
w maxПW w max: w max d w max , w max d w ,
J П *, * J : J d J * , w max , J ? неизвестные
числа; w , J * ? заданные числа.
ѕусть на
t 0 , t1 функци¤ w t может быть пред-
ставлена в виде элементарной случайной функции
[4]
wt
ctyU ,
(11)
–», 2002, є 3
где
c t ? координатна¤ функци¤ (некотора¤
детерминированна¤ функци¤); y U ? случайна¤
величина, принадлежаща¤ счетному множеству.
Ќа основе положений теории экстремальных задач
[5] дл¤ (1), (2), (5), (6) в [6] приведено аналитическое решение задачи структурного синтеза. »сход¤
из структурных особенностей множества допустимых управлений, показано, что синтезированный
алгоритм управлени¤ (ј”) относитс¤ к классу
функциональных нелинейных, предельно-линейного типа. ƒальнейшие исследовани¤ задачи (1),
(2), (5), (6) св¤заны с конкретизацией выражений
(1) и (2).ѕусть
t1
≥x
Ju
?
)11 t1 = ) 22 t1 = I, )12 t1 = ) 21 t1 =
=ќ ( I и ќ ? n u n -мерные единична¤ и нулева¤
матрицы), < t1 = 0, то <1 t 0 = < t 0 = 0.
“ак как
ѕоэтому сопр¤женную —ƒ” можно записать в
?пр¤мом? времени:
A? <
<
<t
t
где
≥ exp A ? t W dW;
Z1c t
t0
Rx mu 2 dt ,
t
≥ exp A ? t W w W dW.
c
2
Z w t ,t
diag ri 1 ; m ? число; т ? транспонирова-
2. —тационарный объект управлени¤
ѕусть
x
здесь A
t0
Lc t =
Ax Bu w t ,
n
“огда дл¤ открытой области
n
a ij , B
≠ u max ??? L t t u max ,
∞ c
c
Ѓ L t ??? u max L t u max ,
∞
c
ѓ u max ??? L t d u max ,
c
ut
Lc t =
? дл¤ зависимости (7):
t
≥ exp A ? t W K W dWw t 0
0.
t0
1
BB? < w t ,
2m
при < t1
2 Rx w
≥ exp A ? t W K W dWw t 0
(12)
x
w
0 . (13)
1 1
R и последовательно подстав뤤 результат в
2
(12) и (13), получаем векторное неоднородное
дифференциальное уравнение второго пор¤дка:
C3c w t при < t1
w
0,
однородное решение которого получим в виде
<1 t
<2 t
<1 , <
)11 t )12 t <1 t 0
) 21 t ) 22 t <2 t 0 ,
<2 ; C1c A ? RAR 1 ; C c2
1
RAR 1 A ? RBB ? ; C c3 RAR 1 2 R ;
m
) ij t ? n u n -мерные матрицы, i, j П 1,2 .
<
–», 2002, є 3
M1c t w t 0 ,
t0
”множа¤ сопр¤женную —ƒ” слева на матрицу
c
C c <
<
1 C2<
t0
t
Ax A ? <
<
≥ exp A ? t W w W dW
t
ћожно записать
x
1
BB? Z c2 w t , t w t .
2m
Z c2 w t , t
2Rx w t при < t1
1
BB ? Z 1c t Rx t 0 m
”читыва¤ (7)-(11), дл¤ открытой области получаем:
1 ?
B <t ;
2m
A? <
<
Ax x
b j1 ? посто¤нные матрицы.
1
1
1 ? c
1 ? c
B Z1 t Rx t 0 B Z2 w t , t ;
m
2m
“огда ј” получим в виде [6]
где
2 Z1c t Rx t 0 Z c2 w t , t ,
n
где R
ние.
0,
решение которой
t0
где
2Rx ( t 0 ) w t при < t 0
где
K 1? t =
A O
x
O Pt w
BK1c t x t 0
K c2 t w t 0
,
1 ? c
1
B Z1 t R , K ?2 t =
BB ? M1c t ,
m
2m
K t ? фундаментальна¤ матрица решений —ƒ”
(7);
? дл¤ зависимости (9):
t
Z c2 w t , t
≥ exp A ? t W w W dW
t0
t
≥ exp A t W dWw
?
Z1c t w ,
t0
x
Ax 1
BB? Z1c t Rx t 0 m
59
1
BB? Z1c t w w ;
2m
”множа¤ сопр¤женную —ƒ” слева на матрицу
и последовательно подстав뤤 результат в (14) и
(15), получаем векторное неоднородное дифференциальное уравнение второго пор¤дка:
? дл¤ зависимости (10):
t
≥ exp A ? t W w W dW
Z c2 w t , t
C ?? t <
C ?? t <
<
1
2
t0
t
t0
41c t w max ,
1
BB? Z1c t Rx t 0 m
где
< ; ) ij t ? n u n - мерные матри<1 , <
2
цы, i, j П 1,2 .
<
t
≥ exp A t W w W dW
?
Z w t ,t
t0
t
“ак как
≥ exp A ? t W c W y U dW
≥ exp A ? t W c W dWy U
матрицы),
M c2 t y U ,
1
BB? Z1c t Rx t 0 m
Ax A? t <
<
1
BB ? M c2 t y U c t y U .
2m
<t
где
Z
??
1
“огда ј” получим в виде [6]:
≠ u max ??? L t t u max ,
∞ ??
??
Ѓ L t ??? u max L t u max ,
∞
??
ѓ u max ??? L t d u max ,
??
здесь
L?? t =
2Rx w t при < t1
A t x
Б t ? фундаментальна¤ матрица решений сопр¤женной —ƒ”.
“огда дл¤ открытой области
L?? t =
0.
x
1
B t B? t < w t ,
2m
A ? t <
A
T t
<
при < t1
2 Rx w
1 ?
B t Z1?? t Rx t 0 m
1 ?
B t Z ??
2 w t ,t ;
2m
A t x
(14)
0.
t
≥ Б t Б1 W w W dW,
t0
ћожно записать
x
≥ Б t Б1 W dW;
Z ??
2 w t ,t
1 ?
B t<t ;
2m
A? t <
<
2 Z1?? t Rx t 0 Z ??
2 w t ,t ,
t0
a ij t 1 , B t
b j1 t 1 ? матрицы, элегде A t
менты которых непрерывно дифференцируемые на
t 0 , t1 функции.
ut
t
n
n
0,
t
A t xBt uw t ,
x
2Rx ( t 0 ) w t при < t 0
решение которой
3. Ќестационарный объект управлени¤
ѕусть
< t1 = 0, то <1 t 0 = < t 0 = 0.
ѕоэтому сопр¤женную —ƒ” можно записать в
?пр¤мом? времени:
t0
x
)11 t1 = ) 22 t1 = I, )12 t1 = ) 21 t1 =
=O, (I и O ? n u n -мерные единична¤ и нулева¤
t0
t
1
RB t B ? t ;
m
RA t R 1 2 R ;
A ? t RA t R 1 A ? t C 3?? t
? дл¤ зависимости (11):
c
2
A ? t RA t R 1 ;
C1?? t
C ??
2 t
1
BB ? 41c t w max w max sin Jt ;
2m
) 21 t ) 22 t <2 t 0 ,
<2 t
t0
Ax )11 t )12 t <1 t 0
<1 t
t
x
C??
w
3 t w t
при < t1
0 , однородное решение которого получим в виде
≥ exp A ? t W w max sin JWdW
≥ exp A ? t W sin JWdWw max
1 1
R
2
1
B t B ? t Z1?? t Rx t 0 m
1
B t B ? t Z ??
2 w t ,t w t .
2m
(15)
60
–», 2002, є 3
”читыва¤ (7)-(11), дл¤ открытой области получаем:
? дл¤ зависимости (11):
t
? дл¤ зависимости (7):
Z
t
≥ Б t Б1 t w W dW
Z ??
2 w t ,t
t
M 1?? t w t 0 ,
t0
x
w
где
At O
x
K
t x t0
O P t w K t w t0
1
?
??
t = B t B t Z1 t R ,
m
K 1??
=
K ??
2 t
??
2
t
Z
≥ Б t Б1 t w W dW
w t ,t
t
t0
≥ Б t Б1 t wdW
t0
t
≥ Б t Б1 t dWw
Z 1?? t w ,
t0
A t x
x
1
B t B ? t Z1?? t Rx t 0 m
1
B t B ? t Z1?? t w w ;
2m
? дл¤ зависимости (10):
t
Z
??
2
w t ,t
t
≥ Б t Б1 t w W dW
t0
≥ Б t Б1 t w max sin JWdW
t
t0
≥ Б t Б1 t sin JWdWw max
41?? t w max ,
t0
x
A t x
A t x
,
1
B t B ? t M1?? t ;
2m
1
B t B ? t Z1?? t Rx t 0 m
t0
M ??
2 t y U ,
t0
x
? дл¤ зависимости (9):
??
2
t0
≥ Б t Б1 t c W dWy U
t0
??
1
≥ Б t Б1 t w W dW
≥ Б t Б1 t c W y U dW
≥ Б t Б1 t K t w t 0 dW
≥ Б t Б1 t K t dWw t 0
w t ,t
t
t0
t
t
??
2
1
B t B ? t Z1?? t Rx t 0 m
1
B t B ? t M ??
2 t y U c t y U .
2m
4. ¬ыводы
—формулирован стохастический вариант задачи
динамического синтеза дл¤ линейного (стационарный и нестационарный) объекта управлени¤ с
аддитивным возмущающим воздействием. ѕолучены выражени¤, описывающие движение синтезированных ќ” при различных видах задани¤
возмущающего воздействи¤ и ¤вл¤ющиес¤ основой дл¤ разработки алгоритмического и программного обеспечени¤ процесса проектировани¤ исследуемых систем управлени¤.
Ћитература: 1. —алуквадзе ћ.≈. «адача Ћетова о синтезе
оптимальных систем автоматического управлени¤.
“билиси: ћецниереба,1988.286с. 2. ”ланов √.ћ. ƒинамическа¤ точность и компенсаци¤ возмущений в системах автоматического управлени¤. ћ.: ћашиностроение, 1971. 260с. 3. Ѕесекерский ¬.ј., ѕопов ≈.ѕ.
“еори¤ систем автоматического регулировани¤. ћ.:
Ќаука,1972. 768с.4. ¬енцель ≈.—., ќвчаров Ћ.ј. “еори¤
случайных процессов и ее инженерное приложение.
ћ.: Ќаука, 1991. 384с. 5. √ирсанов ».¬. Ћекции по
математической теории экстремальных задач. ћ.: »здво ћ√”, 1970. 117с. 6. –адиевский ј.≈. «адача динамического синтеза // »нформационно-управл¤ющие
системы на железнодорожном транспорте. 2001. є4.
—.49-51.
ѕоступила в редколлегию 17.01.2002
–ецензент: д-р техн. наук, проф. узнецов Ѕ.».
–адиевский јнатолий ≈вгеньевич, заведующий лабораторией ’арьковского Ќ»» комплексной автоматизации (’» ј) ћинтопэнерго ”краины. Ќаучные интересы: теори¤ оптимального управлени¤, динамические задачи многокритериальной оптимизации. јдрес:
”краина, 61003, ’арьков, пер. узнечный, 2, тел. 20-8732, 20-86-34.
1
B t B ? t 41?? t w max w max sin Jt ;
2m
–», 2002, є 3
61
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
241 Кб
Теги
синтез, управления, линейного, динамическое, объекты
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа