close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий класса Nс 11.

код для вставкиСкачать
УДК 514.76
Рустанов А.Р., Щипкова Н.Н.*
Московский педагогический государственный университет
*Оренбургский государственный университет
Email: aligadzhi@yandex.ru; ningeom@pochtamt.ru
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ
МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА NС11
В работе рассматривается новый класс почти контактных метрических многообразий, обоб6
щающий класс АС6многообразий класса С11 в классификации Чинья и Гонзалеза. Получена пол6
ная группа структурных уравнений NC116многообразий, и на их основе подсчитаны компоненты
тензора Римана6Кристоффеля, тензора Риччи и вычислена скалярная кривизна. Получены свой6
ства NC116многообразий и некоторые тождества тензора римановой кривизны.
Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, тензор римановой кривизны,
тензор Риччи, тензор Ф6голоморфной секционной кривизны, косимплектическое многообразие.
1. Определение и структурные уравнения
NC11многообразий
В данной работе рассматриваются обобще
ния почти контактных метрических многообра
зий класса С11 в классификации Чинья и Гонза
леза, рассмотренных нами в работах [1] и [2].
Мы придерживаемся обозначений и термино
логии, принятой в монографии [3]. Почти кон
тактные метрические многообразия класса С11
характеризуются тождеством [4]:
∇ X (Ω )(Y , Z ) = −η ( X ) ∇ξ (Ω )( ΦY , ΦZ ) ,
(1)
где X , Y ∈ X ( M ) . Поскольку ∇ X (Ω )(Y , Z ) =
=< Y , ∇ X (Φ ) Z >= − < ∇ X (Φ )Y , Z > , то тожде
ство (1) запишется в виде − < ∇ X (Φ )Y , Z >=
= −η ( X ) < ∇ξ (Φ ) ΦY , ΦZ >. Полученное равен
ство, с учетом соотношения < ΦX , ΦY >=<
>=< X , Y > −η ( X )η (Y ) , перепишем в виде
< ∇ X ( Φ )Y , Z >= η ( X ) < Φ∇ξ ( Φ ) ΦY , Z >,
X , Y , Z ∈ X ( M ) . Так как Z ∈ X ( M ) произволь
ное векторное поле, то из последнего равенства
получим:
∇ X ( Φ ) Y = η ( X ) Φ o ∇ξ ( Φ ) Φ Y ; X , Y ∈ X ( M ) .
(2)
Положим в тождестве (2) X=Y, тогда
∇ X ( Φ ) X = η ( X ) Φ o ∇ξ ( Φ ) Φ X ; X ∈ X ( M ) .
(3)
АСмногообразия, характеризуемые тожде
ством (3), назовем обобщенными многообрази
ями класса С11 (коротко, NC11многообразия
ми). Инволюционно поляризуя тождество (3),
получим:
∇ X (Φ )Y + ∇Y (Φ ) X = η ( X ) Φ o ∇ξ (Φ ) ΦY + η
+ η (Y ) Φ o ∇ξ ( Φ ) ΦX ; X , Y ∈ X ( M ).
132
(4)
ВЕСТНИК ОГУ №1 (150)/январь`2013
Найдем явное аналитическое задание струк
турных тензоров NC11многообразий [3], [5].
Положим в тождестве (4) Х равным ξ , тогда
∇ξ (Φ ) X + ∇ X (Φ )ξ = Φ o ∇ξ (Φ ) ΦX ; X ∈ X ( M ) .
(5)
Из (5) при X = ξ следует, что
∇ξ (Φ )ξ = 0 ⇔ G = 0,
(6)
т. е. шестой структурный тензор NC11многооб
разия равен нулю.
Поскольку для АСмногообразий имеем
Φ o ∇ X (Φ )ξ = ∇ X ξ , X ∈ X ( M ) , то согласно (6) по
лучим, что ∇ X ξ = 0, X ∈ X ( M ) , т. е. интеграль
ные кривые векторного поля ξ являются геоде
зическими.
Из (5) имеем ∇ X (Φ )ξ = Φ o ∇ξ (Φ ) ΦX − ∇ξ (Φ ) X ,
а значит, Φ o ∇Φ X (Φ )ξ = −Φ 2 o ∇ξ (Φ ) ΦX − Φ o ∇ξ (Φ ) Φ 2 X
2
и Φ o ∇ΦX (Φ )ξ = −Φ o ∇ξ (Φ ) Φ 2 X − Φ 2 o ∇ξ (Φ ) ΦX , X ∈ X ( M ) .
Следовательно, для четвертого и пятого струк
турных тензоров NC11многообразия имеем:
2
E ( X ) = Φ 2 o ∇ξ ( Φ ) Φ X + Φ o ∇ξ ( Φ ) Φ 2 X ;
F ( X ) = 0; X ∈ X ( M ) .
(7)
Ковариантно дифференцируя равенство
2
Φ = −id + η ⊗ ξ , получим
∇ X (Φ ) ΦY + Φ o ∇ X (Φ )Y = ∇ X (η )(Y )ξ + η (Y ) ∇ X ξ ;
X , Y ∈ X ( M ).
(8)
В последнем равенстве положим Х равным
ξ , тогда ∇ξ (Φ ) ΦX + Φ o ∇ξ (Φ ) X = ∇ξ (η )( X )ξ + η ( X ) ∇ξ ξ .
2
Сделав в этом равенстве замену Х на Ф Х , по
лучим −∇ξ (Φ ) ΦX + Φ o ∇ξ (Φ ) Φ 2 X = 0 . Отсюда
Φ 2 o ∇ξ (Φ ) ΦX + Φ o ∇ξ (Φ ) Φ 2 X = 0, X ∈ X ( M ) ,
(9)
т. е.
E ( X ) = 0, X ∈ X ( M ) .
(10)
Рустанов А.Р. и др. Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий
Сделаем в (4) замены Х на ФХ, Y на ФY,
тогда: ∇ΦX (Φ ) Φ
Y + ∇ Φ 2Y (Φ ) ΦX = 0; X , Y ∈ X ( M ) , т. е.
2
Φ2 o ∇ΦX (Φ) Φ2Y +Φ2 o ∇Φ2Y (Φ) ΦX = 0; X,Y ∈X ( M).
(11)
В равенстве (8) сделаем замены Х на ФХ, Y
на ФY, тогда: ∇ΦX (Φ ) Φ 2Y + Φ o ∇ΦX (Φ ) ΦY = ∇ΦX (η )(ΦY )ξ ;
X , Y ∈ X ( M ) . В полученном равенстве также сде
лаем замены Х на ФХ, Y на ФY:
−∇ Φ X (Φ ) ΦY + Φ o ∇Φ X (Φ ) Φ 2Y = ∇Φ X (η ) (Φ 2Y )ξ ; X , Y ∈ X ( M ) .
Подействовав оператором Ф2 на оба последних
равенства, получим:
2
2
2
1) Φ 2 o ∇ ΦX (Φ ) Φ 2Y = Φ o ∇ ΦX (Φ ) ΦY ;
(12)
2) Φ 2 o ∇ Φ 2 X (Φ ) ΦY = −Φ o ∇ Φ 2 X (Φ ) Φ 2Y ; X , Y ∈ X ( M ).
С учетом (12) из тождества (11) получим
Φ o ∇ ΦX (Φ ) ΦY − Φ o ∇ Φ 2Y (Φ ) Φ 2 X = 0; X , Y ∈ X ( M ) .
(13)
Теперь в (4) сделаем замены Х на Ô X , Y
2
на Ô 2Y , тогда:
∇ Φ 2 X (Φ ) Φ 2Y + ∇ Φ 2Y (Φ ) Φ 2 X = 0; X , Y ∈ X ( M ) ,
Φ o ∇ Φ 2 X (Φ ) Φ 2Y + Φ o ∇ Φ 2Y (Φ ) Φ 2 X = 0; X , Y ∈ X ( M ) .
(14)
Из (13) и (14) следует, что
Φ o ∇ΦX (Φ ) ΦY + Φ o ∇Φ 2 X (Φ ) Φ 2Y = 0; X , Y ∈ X ( M ) .
(15)
А значит, для первого и второго структур
ных тензоров NC11структуры имеем:
1
B ( X , Y ) = 0; C ( X , Y ) = − Φ o ∇ ΦY (Φ ) ΦX =
2
(16)
1
1
D ( X ) = − Φ o ∇ξ (Φ ) Φ 2 X = Φ 2 o ∇ξ (Φ ) ΦX ; X , Y ∈ X ( M ).
2
2
(17)
Таким образом, с учетом Предложения 1.6
из [3], стр. 451, мы доказали следующие предло
жения.
Предложение 1. Структурные тензоры
NC11структуры обладают свойствами:
1) B ( X , Y ) = 0;
1
1
2) C ( X , Y ) = − Φ o ∇ΦY (Φ )(ΦX ) = Φ 2 o ∇ Φ 2Y (Φ )(ΦX );
2
2
)
7)
C ( X,Y ) ,Z
+ Y,C ( X,Z ) = 0;
8) C ( X,Y ) = −C (Y , X );
9) Φ o D = − D o Φ;
10) D ( X ) ,Y = − X,D (Y ) ,
где X , Y = X , Y + −1Ω ( X , Y ) – каноническая эр
митова метрика на многообразии М [1].
Предложение 2. Пусть S = (Ô, ξ ,η , g ) –
ACструктура на многообразии М. Тогда следу
ющие утверждения эквивалентны:
1. S = (Ô, ξ ,η , g ) – NC11структура;
2. B = C0 = D0 = E = F = G = 0 ;
3. S–AC160–структура.
Расписывая (4) на пространстве присоеди
ненной Gструктуры получим, что компоненты
ковариантного дифференциала структурного
эндоморфизма удовлетворяют следующим со
отношениям:
a
aˆ
aˆ
a
0
0
2) Φ 0a ,b = Φ 0aˆ,bˆ = Φ 0,
b = Φ 0,bˆ = Φ 0,b = Φ 0,bˆ = Φ a ,bˆ = Φ aˆ ,b = 0;
3) Φ baˆ,c = Φ baˆ,cˆ = 0; 4) Φ caˆ,bˆ + Φ baˆ,cˆ = 0; 5) Φ caˆ,b + Φ baˆ,c = 0.
(18)
Применяя процедуру восстановления тожде
ˆ
ства [3], [6] к равенствам 1) Φ00,a = Φb0,a = Φb0,a = 0 ;
2) Φ0aˆ ,b = Φ caˆ ,b = Φ caˆˆ ,b = 0 , получим
Предложение 3. Для NC11структуры име
ют место следующие тождества:
1) ∇ X (Φ )ξ = 0; 2) ∇Φ 2 X (Φ ) Φ 2Y + ∇ ΦX (Φ ) ΦY = 0; ∀X , Y ∈ X ( M )
В силу (7) и (9) для третьего структурного
NC11структуры имеем
(
6) Ö o C ( X,Y ) = −C (ÖX,Y ) = −C ( X,ÖY );
a
aˆ
1) Φ 0a ,0 = Φ 0aˆ ,0 = Φ 0,0
= Φ 0,0
= 0;
т. е.
1
= Φ o ∇ Φ 2Y (Φ ) Φ 2 X ; X , Y ∈ X ( M ).
2
4) E ( X ) = F ( X ) = 0;
5) G = 0;
1
1
1
3) D ( X ) = Ö o ∇ î (Φ ) X = − Φ o ∇ξ (Φ ) Φ 2 X = Φ 2 o ∇ξ (Φ )(ΦX ) ;
2
2
2
Из (18) и предложения 2 получим следую
щие предложения.
Предложение 4. NC11структура является
АСструктурой класса С11 тогда и только тогда,
когда ∇ΦX (Φ )(ΦY ) = 0, X , Y ∈ X ( M ) .
Следствие. NC11структура является АС
структурой класса С11 тогда и только тогда, ког
да на пространстве присоединенной Gструк
туры B abc = Babc = 0 .
Предложение 5. Пусть М – NC11многооб
разие. Тогда следующие утверждения эквива
лентны:
1) М – точнейше косимплектическое;
2) на пространстве присоединенной G
структуры Φbaˆ,0 = Φbaˆ,0 = 0 ;
3) D=0 ;
4) ∇ξ (Φ ) X = 0, X ∈ X ( M ) .
ВЕСТНИК ОГУ №1 (150)/январь`2013
133
Естественные науки
Предложение 5 дает примеры NC11много
образий.
Тензор Нейенхейса оператора Ф на про
странстве присоединенной Gструктуры имеет
компоненты [3]:
−1 0
0
0
Φ[a ,b] ; 2) N ab
ˆ = N baˆ = −
2
−1 0
=−
Φ  aˆ,bˆ  ; 4) N baˆ 0 = − N 0abˆ =
2
 
0
=−
1) N ab
0
3) N ab
ˆˆ
−1 0
Φ (aˆ,b ) ;
2
−1 a
−1 a
Φ bˆ,0 −
Φ 0,bˆ ;
4
2
−1 aˆ
−1 aˆ
a
a
Φ 0,b −
Φ b,0 ; 6) N bc
ˆ ˆ = −1Φ bˆ ,cˆ  ;
2
4
 
5) N baˆ0 = − N 0aˆb =
Для NC11многообразия эти компоненты
примут вид:
−1 a
−1 a
1
Φ bˆ,0 −
Φ 0,bˆ = − D ab ;
4
2
2
−1 aˆ
−1 aˆ
1
Φ 0,b −
Φ b,0 = − Dab ;
2) N baˆ0 = − N 0aˆb =
(19)
2
4
2
a
a
abc
aˆ
aˆ
3) Nbc
; 3) Nbc = −1Φ[b,c] = 2 Babc .
ˆ ˆ = −1Φ bˆ ,cˆ  = 2 B
1) Nbaˆ 0 = − N 0abˆ =

Остальные компоненты этого тензора рав
ны нулю.
Хорошо известно [7], что структура
ξ
Ô
,
,
( η , g ) интегрируема тогда и только тогда,
когда её тензор Нейенхейса равен нулю. Отсю
да, в силу тождеств (19) и предложений 4 и 5
следует, что интегрируемая NC11структура яв
ляется косимплектической.
Легко показать, что нормальная NC 11
структура является косимплектической.
Согласно (18) первая группа структурных
уравнений NC11структуры на пространстве
присоединенной Gструктуры примет вид:
1) dω = 0;;
2) dωa =−θba ∧ωb + Babcωb ∧ωc + Dabω ∧ωb;
3)
dωa =θab ∧ωb + Babcωb ∧ωc
+ Dabω ∧ω ,
(20)
b
Таким образом, имеет место следующая те
орема.
Теорема 1. Полная группа структурных урав
нений АСструктуры класса NС11 на пространстве
присоединенной Gструктуры имеет вид:
1) d ω = 0;
2) d ω a = −θba ∧ ω b + B abcωb ∧ ωc + D abω ∧ ωb ;
3) d ωa = θ ab ∧ ωb + Babcω b ∧ ω c + Dabω ∧ ω b ;
ad c
= Abc
ω ∧ ωd + Bbcd D daω c ∧ ω − B acd Ddbωc ∧ ω.
При этом
1) dB abc + B dbcθ da + B adcθ db + B abd θ dc = B abcd ωd + B abc 0ω;
2) dD ab + D cbθca + D acθcb = D abcωc − B abd Ddcω c + D ab 0ω ;
3) dBabc − Bdbcθ ad − Badcθbd − Babd θcd = Babcd ω d + Babc 0ω;
4) dDab − Dcbθ ac − Dacθbc = Dabcω c − Babd D dcωc + Dab 0ω.
(23)
Следствие 1. Полная группа структурных
уравнений АСструктуры класса С11 на простран
стве присоединенной Gструктуры имеет вид:
1) d ω = 0;
2) d ω a = −θba ∧ ω b + D abω ∧ ωb ;
3) d ωa = θ ab ∧ ωb + Dabω ∧ ω b ;
ad c
ω ∧ ωd ;
4) dθba + θ ca ∧ θbc + 2 B adh Bhbcω c ∧ ωd = Abc
5) dD ab + D cbθca + D acθcb = D ab 0ω;
4) dDab − Dcbθ ac − Dacθbc = Dab 0ω.
Следствие 2. Полная группа структурных
уравнений точнейше косимплектической струк
туры на пространстве присоединенной
Gструктуры имеет вид:
1) d ω = 0;
3) d ωa = θ ab ∧ ωb + Babcω b ∧ ω c ;
B abc =
−1 a
−1 aˆ
abc
Φ bˆ,cˆ , Babc = −
Φ b,c , B[ ] = B abc , B[abc] = Babc ,
2
2
B abc = Babc , D ab = −
D
(22)
2) d ω a = −θba ∧ ω b + B abcωb ∧ ωc ;
где
ab
ad c
= Abc
ω ∧ ωd + Bbcd D daω c ∧ ω − B acd Ddbωc ∧ ω.
4) dθba + θ ca ∧ θbc + 2 B adh Bhbcω c ∧ ωd =
aˆ
= −1Φ[aˆb,c] .
7) Nbc

dθba + θca ∧ θbc + 2 B adh Bhbcω c ∧ ωd =
= Dab , D
ab
−1 a
−1 aˆ
Φ bˆ,0 , Dab =
Φ b,0 ,
2
2
(21)
= − D , Dab = − Dba .
ba
Стандартная процедура дифференциально
го продолжения первой группы структурных
уравнений (21) позволяет получить вторую груп
пу структурных уравнений NC11структуры:
134
ВЕСТНИК ОГУ №1 (150)/январь`2013
ad c
ω ∧ ωd ;
4) dθba + θ ca ∧ θbc + 2 B adh Bhbcω c ∧ ωd = Abc
5) dB abc + B dbcθ da + B adcθ db + B abd θ dc = B abcd ωd ;
6) dBabc − Bdbcθ ad − Badcθbd − Babd θcd = Babcd ω d .
В теореме 1 {Abcad } – глобально определен
ная система функций на пространстве присое
диненной Gструктуры, симметричная по вер
хним и нижним индексам. Они образуют чис
тый тензор на M 2n +1 , называемый тензором Ф
Рустанов А.Р. и др. Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий
голоморфной секционной кривизны [3]. Тензор
A: L× L× L → L
задается соотношением
ad b c
bc
A ( X , Y , Z ) = Abc
X Y Z d ε a + Aad
X bYc Z d ε aˆ ,
(24)
где L = kerη .
Непосредственным подсчетом легко проверить, что тензор Фголоморфной секционной кри
визны обладает свойствами:
A ( ΦX , Y , Z ) = A ( X , ΦY , Z ) = − A ( X , Y , ΦZ ) = Φ o A ( X , Y , Z ) .
(25)
ad
A (ΦX , Y , Z ) = Abc
(ΦX ) Y c Z d ε a + Aadbc (ΦX )b Yc Z d ε aˆ = −1Abcad X bY c Z d ε a −
b
В самом деле,
bc
ad b
bc
− −1Aad
X bYc Z d ε aˆ = Abc
X (ΦY ) Z d ε a + Aad
X b (ΦY )c Z d ε aˆ = A ( X , ΦY , Z ).
c
ad
A (ΦX , Y , Z ) = Abc
(ΦX ) Y c Z d ε a + Aadbc (ΦX )b Yc Z d ε aˆ = −1Abcad X bY c Z d ε a −
b
Аналогично,
bc
ad b c
bc
− −1Aad
X bYc Z d ε aˆ = − Abc
X Y (ΦZ )d ε a − Aad
X bYc (ΦZ ) ε aˆ = − A ( X , Y , ΦZ ).
d
Продифференцировав внешним образом равенство (22), получим:
ad
hd a
ah d
ad h
ad h
ad h
adh
ad
,
+ Abc
θ h + Abc
θ h − Ahc
θb − Abh
θ c = Abch
ω + Abc
ωh + Abc
dAbc
0ω
(26)
ad
где {Abch
} и {Abcadh } – системы функций на пространстве присоединенной Gструктуры, служащих
 3 2
 2 3
компонентами взаимно сопряженных чистых тензоров типов  0 0  и  0 0  соответственно. Кро

 

ме того, получим следующие тождества:
1) Abah[cd ] = 2Bahg Bgb[cd ] = −Bahg Bgcd h ;
a d g h
a dh
2) Abc[ ] = 2B   Bgbc = −Bahdg Bgbc ;
3) Abag[c Bg dh = 2Bagf Bfb[c Bg dh ;


a c g dh
4) Abg[ B 
a c g
= 2B
Bgbf B
f dh]
;
5) Abah[c Dh d 

= 2B Bhb[c Dg d  + Bbcdh Dha + Bahg Bhcd Dgb − Bbc h Bhag Dg d  ;



6) Abh[ D
= 2B
ac
7) Abcad0
h d 
agh
a c h
g d 
Bhbg D
a c h
+ Bbhg Dga Bhcd + Bacdh Dhb − B
Bhbg D
g d 
(27)
;
= −D Bhbc − B Dhbc .
adh
adh
2. Компоненты тензора РиманаКристоффеля
Поскольку для тензорных компонент формы римановой связности имеем на пространстве при
соединенной Gструктуры [3]:
−1 a k
−1 aˆ k
Φ bˆ, k ω ; 2) θbaˆ = −
Φ b,k ω ;
2
2
a
k
aˆ
aˆ
k
3) θ0a = −1Φ 0,
k ω ; 4) θ 0 = − −1Φ 0, k ω ;
1) θbˆa =
(1)
5) θ a0 = − −1Φ 0a ,k ω k ; 6) θ aˆ0 = −1Φ 0aˆ , k ω k .
Равенства (1) для NC11структуры примут вид:
1) θbˆa = B abcωc − D abω ; 2) θbaˆ = Babcω c − Dabω ; 3) θ 0a = θ 0aˆ = θ a0 = θ aˆ0 = 0.
(2)
Дифференцируя внешним образом (2), получим:
ВЕСТНИК ОГУ №1 (150)/январь`2013
135
Естественные науки
1) dθbˆa = − B dbcθ da ∧ ωc − B adcθ db ∧ ωc + D cbθca ∧ ω + D acθcb ∧ ω +
(
)
ab cd
+ B abh Bhcd ω c ∧ ω d − B [ ]ωc ∧ ωd − B abc 0 + D abc ωc ∧ ω;
2) dθbaˆ = Bdbcθ ad ∧ ω c + Badcθbd ∧ ω c − Dcbθ ac ∧ ω − Dacθbc ∧ ω −
− Bab[cd ]ω c ∧ ω d + Babh B hcd ωc ∧ ωd − ( Babc 0 + Dabc )ω c ∧ ω ;
3) dθ0a = dθ0aˆ = dθ a0 = dθ aˆ0 = 0.
(3)
Расписывая вторую группу структурных
уравнений римановой связности [3]
dθ ij + θ ki ∧ θ kj =
1 i k
R jkl ω ∧ ω l ,
2
(4)
где {Rijkl } – компоненты тензора РиманаКрис
тоффеля, на пространстве присоединенной G
структуры, получим:
1)
a
Rbcd
ˆ
=
ad
Abc
−B
adh
Bhbc ; 2)
aˆ
Rbcd
ˆ ˆ
=
bd
− Aac
+B
bdh
Bhac ;
ab[cd ]
a
cˆ
a
= Rdab
= 2 B abh Bhcd ; 4) Rbcd
= − B acdb ;
3) Rbcd
ˆ
ˆ ˆ ˆ = −2 B
ˆˆ
aˆ
= −2 Bab[cd ] = − Bacdb ,
5) Rbcd
(5)
а остальные компоненты нулевые.
Ковариантные компоненты тензора Риччи
на пространстве расслоения реперов вычисля
ются по формуле Sij = − Rijkk , которая на про
странстве присоединенной Gструктуры, в силу
(5), принимает вид:
1) S00 = 0; 2) S0 a = Sa 0 = 0; 3) S0 aˆ = Saˆ 0 = 0;
bc
bcd
= 0; 5) Sabˆ = Sba
4) Sab = Sab
Bacd . (6)
ˆ = Aac + 3B
ˆˆ
Тогда скалярная кривизна вычисляется по
формуле:
ab
χ = 2 Aab
+ 6 B abc Babc .
(7)
Рассмотрим некоторые тождества на тен
зор РиманаКристоффеля NC11многообразия.
1) Применим процедуру восстановления
тождества [3], [6] к равенствам R000 a = R00b a = R00bˆ a = 0 ,
тогда получим
(
)
R ξ , Φ 2 X ξ = 0, X ∈ X ( M ) ,
(8)
т. е. с учетом равенства Φ 2 = −id + η ⊗ ξ , имеем
R (ξ , X )ξ = 0, X ∈ X ( M ) .
(9)
2) Применяя процедуру восстановления тож
дества к равенствам R00ab = R0cab = R0cˆab = 0 , получим:
(
)
R Φ 2 X , Φ 2Y ξ − R (ΦX , ΦY )ξ = 0, X , Y ∈ X ( M ) .
(10)
Последнее тождество с учетом равенства
Φ 2 = −id + η ⊗ ξ и тождества (9) можно перепи
сать в виде:
136
ВЕСТНИК ОГУ №1 (150)/январь`2013
R ( X , Y )ξ − R (ΦX , ΦY )ξ = 0, X , Y ∈ X ( M ) (11)
3) Применяя процедуру восстановления тож
дества к равенствам R00abˆ = R0cabˆ = R0cˆabˆ = 0 , получим:
(
)
R Φ 2 X , Φ 2Y ξ + R (ΦX , ΦY )ξ = 0, X , Y ∈ X ( M ) .
(12)
Последнее тождество с учетом равенства
Φ 2 = −id + η ⊗ ξ и тождества (9) можно переписать
в виде:
R ( X , Y )ξ + R (ΦX , ΦY )ξ = 0, X , Y ∈ X ( M ) . (13)
Из (10) – (13) имеем
R ( X , Y )ξ = R ( ΦX , ΦY )ξ =
(
)
= R Φ 2 X , Φ 2Y ξ = 0, X , Y ∈ X ( M ) .
(14)
4) Применяя процедуру восстановления тож
дества к равенствам Ra00b = Rac0b = Racˆ0b = 0 , получим:
(
)
R ξ , Φ 2 X Φ 2Y − R (ξ , ΦX ) ΦY = 0, X , Y ∈ X ( M ) .
(15)
Последнее тождество с учетом равенства
Φ2 = −id +η ⊗ξ и тождества (9) можно переписать
в виде:
R (ξ , X )Y − R (ξ , ΦX ) ΦY = 0, X , Y ∈ X ( M ) .
(16)
5) Применяя процедуру восстановления тож
дества к равенствам Ra00bˆ = Rac0bˆ = Racˆ0bˆ = 0 , получим:
(
)
R ξ , Φ 2 X Φ 2Y + R (ξ , ΦX ) ΦY = 0, X , Y ∈ X ( M ) .
(17)
Последнее тождество с учетом равенства
Φ 2 = −id + η ⊗ ξ и тождества (9) можно переписать
в виде:
R (ξ , X )Y + R (ξ , ΦX ) ΦY = 0, X , Y ∈ X ( M ) .
(18)
Из (15) – (18) получим:
R (ξ , X )Y = R (ξ , ΦX ) ΦY =
(
)
Y = R ξ , Φ 2 X Φ 2Y = 0, X , Y ∈ X ( M ) .
(19)
6) Рассмотрим отображение
B : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ),
определенное по формуле:
B ( X , Y ) = Babc X bY c ε a + B abc X bYc ε a ,
(20)
где {
} – компоненты структурного тен
зора NC11контактной структуры.
Это отображение определяет тензор типа
(2,1), называемый композиционным, и опреде
ляет в модуле X(M), задающую в ней структуру
Qалгебры [8], [9]. Отображение В обладает
свойствами:
B abc ; Babc
Рустанов А.Р. и др. Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий
(
1) B (ξ , Y ) = B ( X , ξ ) = 0;
2) B (ΦX , Y ) = B ( X , ΦY ) = −Φ o B ( X , Y ).
(21)
Поскольку В является тензором типа (2,1),
то, по Основной теореме тензорного анализа,
имеем
{ } – система функций, служащая на
B ijk , l
пространстве расслоения всех реперов компо
нентами ковариантного дифференциала тензо
ра В. Расписывая это равенство на простран
стве присоединенной Gструктуры, получим:
1)
a
Bbc
,0
= − D Bdbc ; 2)
ab
= −B
a
Bbc
, dˆ
adh
Bhbc ;
a
ach
a
acd
a
abd
3) Bbc
Bhbd ; 4) Bbc
Ddb ; 5) Bbc
Ddc ;
ˆ, d = B
ˆ ,0 = B
ˆ,0 = − B
a
abc
a
abcd
a
abh
; 8) Bbc
;
6) Bbc
Bhcd ; 7) Bbc
ˆ ˆ ,0 = − D
ˆ ˆ , dˆ = B
ˆ ,d = − B
aˆ
aˆ
aˆ
dc
9) Bbc
,0 = − Dabc ; 10) Bbc , d = Babcd ; 11) Bbcˆ,0 = Babd D ;
aˆ
aˆ
db
aˆ
= − Babh B hcd ; 13) Bbc
12) Bbc
ˆ ,0 = Bacd D ; 14) B ˆ
ˆ, dˆ
bc , dˆ
15)
aˆ
Bbc
ˆ ˆ ,0
= − Dad B
dbc
; 16)
= − Badh B
aˆ
Bbc
ˆ ˆ,d
hbc
= Bach B hbd ;
,
остальные компоненты нулевые.
Применяя процедуру восстановления тож
0
d
= − B0bca = 0, Rabñ
= − Bdbca
= 0,
дества к равенствам Rabñ
ˆ
dˆ
Rabc = − Bdbca , получим:
(
)
(
)
− R ( ΦX , Φ Y ) ΦZ − R ( ΦX , ΦY ) Φ Z =
= −∇
( B ) ( Φ X , Φ Y ) + ∇ ( B ) ( Φ X , ΦY ) +
+ ∇ ( B ) (ΦX , Φ Y ) ++∇
( B )(ΦX , ΦY ) ,
R Φ 2 X , Φ 2Y Φ 2 Z − R Φ 2 X , ΦY ΦZ −
2
2
2
2
ΦZ
Φ Z
2
2
ΦZ
Φ Z
2
X , Y , Z ∈ X ( M ).
(23)
Последнее тождество с учетом тождеств
(14) и (19) можно переписать в виде:
R ( X , Y ) Z − R ( X , ΦY ) ΦZ − R ( ΦX , Y ) ΦZ − R ( ΦX , ΦY ) Z =
(
)
( B ) (ΦX , Φ Y ) − ∇
(
)
= ∇ Φ 2 Z ( B ) Φ 2 X , Φ 2Y − ∇ ΦZ ( B ) Φ 2 X , ΦY −
− ∇ ΦZ
2
Φ2Z
( B )(ΦX , ΦY ) ,
X , Y , Z ∈ X ( M ).
7) Применяя процедуру восстановления
0
0c
0 ch
тождества к равенствам Rabñ
Bhab = 0,
ˆ = Aab − B
ˆ
ˆ
ˆ
d
dc
dch
d
dc
= Aab
− B dch Bhab = 0, т. е.
Rabñ
Bhab , Rabc
ˆ = Aab − B
R (ε b , ε cˆ )ε a = A (ε a , ε b , ε cˆ ) + ∇ε cˆ ( B ) (ε a , ε b ), получим:
)
2
2
2
2
ΦY
2
ΦY
Φ 2Y
X , Y , Z ∈ X ( M ).
(24)
Полученное тождество с учетом тождеств
(1.25), (14), (19) примет вид:
R ( X , Y ) Z + R ( X , ΦY ) ΦZ − R ( ΦX , Y ) ΦZ + R ( ΦX , ΦY ) Z =
(
)
(
)
= 4 A ( Z , X , Y ) − ∇ Φ 2Y ( B ) Φ 2 Z , Φ 2 X + ∇ ΦY ( B ) Φ 2 Z , ΦX +
(
)
+∇ ΦY ( B ) ΦZ , Φ X + ∇ Φ 2Y ( B )(ΦZ , ΦX ) , X , Y , Z ∈ X ( M ).
2
8) Применяя процедуру восстановления
0
тождества к равенствам Rabñ
= 2 B 0 ah Bhbc = 0,
ˆ
ˆ
ˆ
d
d
Rabñ
= 2 B dah Bhbc , Rabc
= 2 B dah Bhbc = 0 , получим:
ˆ
(
)
(
)
+ R ( ΦX , Φ Y ) ΦZ − R ( ΦX , ΦY ) Φ Z =
= −2∇
( B ) (Φ X , Φ Y ) − 2∇ ( B ) (Φ X , ΦY ) −
− 2∇ ( B ) (ΦX , Φ Y ) +
R Φ 2 X , Φ 2Y Φ 2 Z + R Φ 2 X , ΦY ΦZ +
2
2
2
2
ΦZ
Φ2Z
2
ΦZ
+∇Φ 2 Z ( B )( ΦX , ΦY ) , X , Y , Z ∈ X ( M ).
(25)
И это тождество с учетом тождеств (14) и
(19) перепишется в виде:
R ( X , Y ) Z + R ( X , ΦY ) ΦZ + R ( ΦX , Y ) ΦZ −
(
)
− R (ΦX , ΦY ) Z = 2∇Φ 2 Z ( B ) Φ 2 X , Φ 2Y +
(
)
(
)
+ 2∇ ΦZ ( B ) Φ 2 X , ΦY + 2∇ ΦZ ( B ) ΦX , Φ 2Y −
−∇ Φ Z ( B )(ΦX , ΦY ) , X , Y , Z ∈ X ( M ).
Таким образом, доказана следующая тео
рема.
Теорема 2. Тензор римановой кривизны
NC11многообразия удовлетворяет следующим
тождествам:
2
1) R (ξ , X )ξ = 0; 3) R ( X , Y )ξ − R (ΦX , ΦY )ξ = 0;
5) R ( X , Y )ξ + R (ΦX , ΦY )ξ = 0;
6) R ( X , Y )ξ = R (ΦX , ΦY )ξ = 0;
7) R (ξ , X )Y − R (ξ , ΦX ) ΦY = 0;
9) R (ξ , X )Y + R (ξ , ΦX ) ΦY = 0;
10) R (ξ , X )Y = R (ξ , ΦX ) ΦY = 0;
i
ic
ich
Rabñ
ˆ = Aab − B Bhab , т. е.
(
2
2
(22)
2
(
) (
)
+ A (ΦZ , Φ X , ΦY ) −− A (ΦZ , ΦX , Φ Y ) +
+ ∇ ( B ) (Φ Z , Φ X ) − ∇ ( B ) ( Φ Z , ΦX ) −
−∇ ( B ) (ΦZ , Φ X ) − ∇ ( B )(ΦZ , ΦX ) ,
= A Φ 2 Z , Φ 2 X , Φ 2Y + A Φ 2 Z , ΦX , ΦY +
Φ 2Y
dBijk + Bljkθli − Blki θ lj − B ijlθ kl = Bijk ,l ω l ,
где
)
Z − R ΦX , Φ 2Y ΦZ + R ( ΦX , ΦY ) Φ 2 Z =
(
)
R Φ 2 X , Φ 2Y Φ 2 Z + R Φ 2 X , Φ Y Φ Z −
11) R ( X , Y ) Z − R ( X , ΦY ) ΦZ − R (ΦX , Y ) ΦZ − R (ΦX , ΦY ) Z =
(
)
(
)
= ∇ Φ 2 Z ( B ) Φ 2 X , Φ 2Y − ∇ ΦZ ( B ) Φ 2 X , ΦY −
ВЕСТНИК ОГУ №1 (150)/январь`2013
137
Естественные науки
(
)
∇ΦZ ( B ) ΦX , Φ 2Y −−∇Φ 2 Z ( B )(ΦX , ΦY );
12) R ( X , Y ) Z + R ( X , ΦY ) ΦZ − R (ΦX , Y ) ΦZ +
Z + R ( ΦX , ΦY ) Z = 4 A ( Z , X , Y ) −
(
)
( B ) ( ΦZ , Φ X ) + ∇
(
)
− ∇Φ 2Y ( B ) Φ 2 Z , Φ 2 X + ∇ΦY ( B ) Φ 2 Z , ΦX +
+∇ΦY
2
Φ 2Y
( B )(ΦZ , ΦX );
)
( B ) (ΦX , Φ Y ) −−∇
(
)
= 2∇Φ 2 Z ( B ) Φ 2 X , Φ 2Y + 2∇ΦZ ( B ) Φ 2 X , ΦY +
+ 2∇ ΦZ
2
Φ2Z
( B )(ΦX , ΦY ) ,
Следствие [2]. Тензор римановой кривиз
ны АСмногообразия класса C11 удовлетворяет
следующим тождествам:
1) R (ξ , X )ξ = 0; 2) R ( X , Y )ξ − R (ΦX , ΦY )ξ = 0;
3) R ( X , Y )ξ + R (ΦX , ΦY )ξ = 0;
6) R (ξ , X )Y + R (ξ , ΦX ) ΦY = 0;
7) R (ξ , X )Y = R (ξ , ΦX ) ΦY = 0;
8) R ( X , Y ) Z = R (ΦX , ΦY ) Z ;
В заключение рассмотрим контактные ана
логи известных тождеств А. Грея кривизны по
чти эрмитовых многообразий. Таковыми явля
ются тождества кривизны для почти контакт
ных метрических многообразий:
(
)
(
)
R ( Φ X , Φ Y ) Φ Z , Φ W = R ( ΦX , ΦY ) Φ Z , Φ W +
+ R ( Φ X , Φ Y ) Φ Z , Φ W + R ( ΦX , Φ Y ) Φ Z , ΦW ;
R Φ 2 X , Φ 2Y Φ 2 Z , Φ 2W = R Φ 2 X , Φ 2Y ΦZ , ΦW ;
2
CR3 :
(
2
2
2
2
(
)
2
B abc Babc =
Φ2Z
∑
Babc
2
= 0 . Отсюда сле
a ,b , c
10) R ( X , ΦY ) ΦZ + R (ΦX , Y ) ΦZ = 0; X , Y , Z ∈ X ( M ).
2
(
)
( B ) (ΦX , Φ Y ) −−∇
∇ Φ 2 Z ( B ) Φ 2 X , Φ 2Y − ∇ΦZ ( B ) Φ 2 X , ΦY −
тогда получим
9) R ( X , Y ) Z − R (ΦX , Y ) ΦZ = 2 A ( Z , X , Y ) ;
2
(27)
Пусть NC11многообразие М является АС
многообразием класса CR2 . Тогда согласно (27)
Bacdb = 0 , т. е. согласно (23),
( B )(ΦX , ΦY ) = 0,
X ,Y , Z ∈ X ( M .
(28)
Пусть NC11многообразие М является АС
многообразием класса CR1 . Тогда согласно (27)
B abh Bhcd = 0 . Свернем последнее равенство сна
чала по индексам a и c, а затем по индексам b и d,
5) R (ξ , X )Y − R (ξ , ΦX ) ΦY = 0;
2
(26)
a
Поскольку Rbcd
= 0 , то NC11многообразие
является АСмногообразием класса CR3 . С уче
том (5) соотношения (26) для NC11многообра
зия примут вид:
− ∇ ΦZ
4) R ( X , Y )ξ = R (ΦX , ΦY )ξ = 0;
CR2 :
aˆ
a
= 0, Rbcd
= 0;
CR2 ⇔ Rbcd
CR1 ⇔ Bacdb = 0, B abh Bhcd = 0; CR2 ⇔ Bacdb = 0.
X , Y , Z ∈ X ( M ).
CR1 :
a
a
aˆ
= 0, Rbcd
= 0, Rbcd
= 0;
CR1 ⇔ Rbcd
ˆ
a
= 0.
CR3 ⇔ Rbcd
13) R ( X , Y ) Z + R ( X , ΦY ) ΦZ + R (ΦX , Y ) ΦZ − R (ΦX , ΦY ) Z =
(
На пространстве присоединенной Gструк
туры эти тождества равносильны следующим
соотношениям:
2
2
)
R Φ 2 X , Φ 2Y Φ 2 Z , Φ 2W = R (ΦX , ΦY ) ΦZ , ΦW ;
X , Y , Z ∈ X ( M ).
дует, что Bhcd = 0 . И согласно следствию к пред
ложению 4 получим, что NC11многообразие
класса CR1 является АСмногообразием класса
C11. Подытожив изложенное выше, сформули
руем следующую теорему.
Теорема 3. NC11многообразие М является
АСмногообразием класса CR3 . NC11многооб
разие класса CR1 является АСмногообразием
класса C11. NC11многообразие М является
АСмногообразием класса CR2 тогда и только
тогда, когда имеет место тождество
(
)
(
( B ) ( ΦX , Φ Y ) −
)
∇Φ 2 Z ( B ) Φ 2 X , Φ 2Y − ∇ΦZ ( B ) Φ 2 X , ΦY −
− ∇ ΦZ
2
−∇ Φ 2 Z ( B )(ΦX , ΦY ) = 0, X , Y , Z ∈ X ( M ).
21.10.2012
Список литературы:
1. Рустанов, А. Р. Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий класса С11 / А. Р. Рустанов,
Н. Н. Щипкова // Вестник ОГУ. – 2010. – № 9. – С. 65–68.
2. Рустанов, А. Р. Тождества кривизны многообразий класса С11 / А. Р. Рустанов, Н. Н. Щипкова // Вестник ОГУ. – 2011. –
№ 6. – С. 169–171.
3. Кириченко, В. Ф. Дифференциальногеометрические структуры на многообразиях / В. Ф. Кириченко. – М. : МПГУ,
2003. – 495 с.
4. Chinea, D. Claccification of almost contact metric structures / D. Chinea, C. Gonzalez // Annali di Matematica pura ed
applicata. – (IV).V.CLVI. – 1990. – P. 15–36.
138
ВЕСТНИК ОГУ №1 (150)/январь`2013
Рустанов А.Р. и др. Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий
5. Кириченко, В. Ф. Контактные геодезические преобразования почти контактных метрических структур / В. Ф. Киричен
ко, Н. Н. Дондукова // Математические заметки. – 2006. – Т. 80, вып. 2. – С. 209–219.
6. Кириченко, В. Ф. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий / В. Ф. Кириченко, А. Р. Рустанов //
Математический сборник. – 2002. – Т. 193, № 8. – С. 71–100.
7. Goldberg, S. Intesrability of almost cosymplectic structures / S. Goldberg, K. Yano // Pacif. J. Math. – 1969. – Vol. 31, № 2. –
P. 373–382.
8. Кириченко, В. Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные АНструктуры / В. Ф. Кириченко // Изв. АН СССР. –
Т. 47, № 6. – С. 1208–1223.
9. Кириченко, В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории контактных многообразий / В. Ф. Кириченко //
Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. – М. : ВИНИТИ РАН СССР, 1986. – Т. 18. – С. 25–71.
Сведения об авторах:
Рустанов Алигаджи Рабаданович, доцент кафедры теории и социологии
Московского педагогического государственного университета, кандидат физикоматематических наук
119571, г. Москва, прт Вернадскаого, д. 88, корп. 1, ком. 1204, еmail: aligadzhi@yandex.ru
Щипкова Нина Николаевна, доцент кафедры геометрии и топологии
Оренбургского государственного университета, кандидат физикоматематических наук
460018, г. Оренбург, прт Победы, 13, ауд. 2534, тел. (3532)372532, еmail:ningeom@pochtamt.ru
UDC 514.76
Rustanov A.R., Shchipkova N.N.
Еmail: aligadzhi@yandex.ru; ningeom@pochtamt.ru
Differential geometry of almost contact metric manifolds of NС11 class
This paper considers a new class of almost contact metric manifolds, which generalizes the class of АС
manifolds of the С11 class by the classification of Chinya and Gonzalez. The complete group of structural equations
for NC11manifolds derived, and components of RiemannChristoffel tensor, Ricci tensor and the scalar curva
ture are computed basing on these equations. Properties of NC11manifolds are derived. Some identities of the
Riemann curvature tensor are derived, too.
Key words: almost contact metric manifold, Riemann curvature tensor, Ricci tensor, Fholomorphic sectional
curvature tensor, cosymplectic manifold.
Bibliography:
1. Rustanov, A. R. Differential geometry of almost contact metric manifold of class С11 / A. R. Rustanov, N. N. Shchipkova //
Vestnik OSU. – 2010. – № 9. – P. 65–68.
2. Rustanov, A. R. The identities of the curvature manifolds of class С11 / A. R. Rustanov, N. N. Shchipkova // Vestnik OSU. –
2011. – № 6. – P. 169–171.
3. Kirichenko, V. F. Differentialgeometric structures on manifolds / V. F. Kirichenko. – Moscow : Moscow State Pedagogical
University, 2003. – 495 p.
4. Chinea, D. Classification of almost contact metric structures / D. Chinea, C. Gonzalez // Annali di Matematica pura ed
applicata. – (IV).V.CLVI. – 1990. – P. 15–36.
5. Kirichenko,V. F. Contact geodesic transformations of almost contact metric structures / V. F. Kirichenko, N. N. Dondukova //
Mathematical notes. – 2006. – Vol. 80, № 2. – P. 209–219.
6. Kirichenko, V. F. Differential geometry of quasiSasakian manifolds / V. F. Kirichenko, A. R. Rustanov // Sbornik :
mathematics. – 2002. – Vol. 193, № 8. – P. 71–100.
7. Goldberg, S. Integrability of almost cosymplectic structures / S. Goldberg, K. Yano // Pacif. J. Math. – 1969. – Vol. 31,
№ 2. – P. 373–382.
8. Kirichenko, V. F. Quasihomogeneous manifolds and generalized enstructure / V. F. Kirichenko // Math. USSR Academy of
Sciences. – Vol. 47, № 6. – P. 1208–1223.
9. Kirichenko, V. F. Methods of generalized Hermitian geometry in the theory of contact manifolds / V. F. Kirichenko //
Results of science and technology. The problems of geometry. – Moscow : VINITI AN SSSR, 1986. – Vol. 18. – P. 25–71.
ВЕСТНИК ОГУ №1 (150)/январь`2013
139
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
231 Кб
Теги
почта, дифференциальной, геометрия, класс, многообразие, контактные, метрические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа