close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Дихотомия для класса квазистационарных случайных последовательностей.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОО ОСУДАСТВЕННОО УНИВЕСИТЕТА
Физико-математические науки
2008
Том 150, кн. 4
УДК 519.21
ДИХОТОМИЯ ДЛЯ КЛАССА КВАЗИСТАЦИОНАНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
С.. Халиуллин
Аннотация
Понятие контигуальности последовательностей вероятностных мер впервые ввел
Л. Ле Кам в своих исследованиях по математической статистике для решения задачи
различения близких гипотез. В данной статье это понятие обобщается на случайные последовательности, для которых доказаны теоремы о дихотомии.
Ключевые слова: контигуальность последовательностей вероятностных мер, квазистационарные случайные последовательности, дихотомия.
Введение
В статистических задачах типа задачи различения близких гипотез часто требуется предсказать взаимное асимптотическое поведение двух последовательностей
конечномерных распределений. В качестве некоторого критерия их ѕблизостиї
может служить контигуальность. Понятия контигуальности и полной асимптотической разделимости пары последовательностей вероятностных мер являются
естественными обобщениями понятий эквивалентности и сингулярности пары вероятностных мер (см. Ле Кам [1?, .Ш. Липцер, Ф. Пукельшейм, А.Н. Ширяев [2?).
оворят, что для класса M вероятностных мер (последовательностей вероятностных мер) выполнено условие дихотомии, если любые две меры (соответственно
последовательности мер) класса M либо эквивалентны, либо сингулярны (соответственно, либо контигуальны, либо вполне асимптотически разделимы).
После выхода в свет известной теоремы Какутани об эквивалентности и сингулярности продакт-мер (см. [3?) были получены различные обобщения этого результата (см. Фельдман [4?, аек [5?, Ферник [6?, Кантер [7?, Оказаки [8?). Самый
общий результат в этой области получен автором в работе [9? для квазиинвариантных эргодических вероятностных мер на линейном пространстве с измеримым
сдвигом. Он легко обобщается на класс квазиинвариантных эргодических относительно некоторого преобразования мер, заданных на произвольном вероятностном пространстве. Оказывается, что таким преобразованием служит преобразование сдвига относительно квазистационарной случайной последовательности. Понятие квазистационарной случайной последовательности, являющейся естественным
обобщением стационарных последовательностей, вводится и изучается в настоящей
работе. Для них получен закон ѕнуля или единицыї и теоремы о дихотомии.
С последними результатами тесно связаны теоремы о дихотомии для классов
последовательностей вероятностных мер. В этом направлении имеется ряд работ,
полученных разными авторами: .Ш. Липцер, Ф. Пукельшейм, А.Н. Ширяев [2?,
Холл, Лойнес [10?, Иглсон [11?, B. Тэлен [12?, Д.Х. Муштари, С.. Халиуллин [13?,
С.. Халиуллин [14?.
148
С.. ХАЛИУЛЛИН
1.
Квазистационарность и дихотомия
Пусть (?, A, P) произвольное вероятностное пространство, причем ? линейное пространство либо аддитивная группа, ? -алгебра A инвариантна относительно
сдвигов на элементы ? ? ? , H ? ? .
Определение 1. (см., например, [8?). Вероятностная мера P называется:
(i) H -квазиинвариантной, если меры P и P? эквивалентны для всех ? ? H ,
где P? (A) = P(A ? ?), A ? A ;
(ii) H -эргодической, если она H -квазиинвариантна и для всех A ? A, 0 <
< P(A) < 1 , существует такое ?0 ? H , что P(A?(A ? ?0 )) > 0.
Теорема 1. Пусть (?, A) произвольное измеримое пространство, причем
? линейное пространство либо аддитивная группа, ? -алгебра A инвариантна
относительно сдвигов на элементы ? ? ? , P и Q две H -эргодические вероятностные меры на A , H ? ? . Тогда меры P и Q либо эквивалентны, либо
сингулярны.
Доказательство теоремы 1 приведено в работе [9? для случаев, когда H либо
линейное подпространство, либо аддитивная подгруппа ? .
Пусть далее (?, A, P) произвольное вероятностное пространство, T измеримое отображение пространства ? в себя, то есть для любого A ? A
T ?1 (A) = {? ? ? : T ? ? A} ? A.
Определение 2. Вероятностную меру P назовем:
(i) квазиинвариантной относительно преобразования T , если меры P и T · P
эквивалентны, где T · P означает образ меры P при отображении T ;
(ii) эргодической относительно преобразования T , если она квазиинвариантна
относительно T , и из того, что
P(A?T ?1 A) = 0
для некоторого A ? A , следует, что P(A) равна либо нулю, либо единице.
Отображение T при этом будем называть квзиинвариантным (эргодическим)
относительно меры P .
Теорема 2. Пусть (?, A) произвольное измеримое пространство, T измеримое отображение пространства ? в себя, P и Q - эргодические относительно
преобразования T вероятностные меры на A. Тогда меры P и Q либо эквивалентны, либо сингулярны.
Доказательство теоремы 2 основано на следующих очевидных леммах.
Пусть (E, E) некоторое измеримое пространство, µ и ? две вероятностные
меры на (E, E) . Пусть далее ? произвольная вероятностная мера, относительно
которой меры µ и ? являются абсолютно непрерывными. Обозначим
dµ
d?
Sµ = x ? E :
(x) > 0 , S? = x ? E :
(x) > 0 ,
d?
d?
dµ
d?
где
(x) и
(x) означают производные адона Никодима соответственно мер
d?
d?
µ и ? относительно меры ? .
ДИХОТОМИЯ ДЛЯ ОДНОО КЛАССА. . .
149
Лемма 1. i) Для эквивалентности мер µ и ? необходимо и достаточно,
чтобы Sµ = S? ? -почти наверное.
ii) Для сингулярности мер µ и ? необходимо и достаточно, чтобы Sµ ? S? = ?
? -почти наверное.
Лемма 2. Следующие условия эквивалентны:
i) µ квазиинвариантная относительно преобразования T мера на (E, E) ;
ii) T ?1 Sµ = Sµ ? -почти наверное.
Доказательство. Предположим противное, то есть пусть меры P и Q неэквивалентны и несингулярны. Пусть ? = (P + Q)/2. Обозначим S = SP ? SQ .
Тогда по лемме 1 имеем: S 6= SP , S 6= SQ , S 6= ? ? -почти наверное. Покажем,
что тогда T ?1 S = S ? -почти наверное. Это сразу следует из того, что T ?1 S =
= (T ?1 SP ) ? (T ?1 SQ ) и леммы 1. Значит, ?(S?(T ?1 S)) = 0 . Так как мера P абсолютно непрерывна относительно меры ? , то P(S?T ?1 S) = 0 , что противоречит
эргодичности меры P относительно преобразования T . Полученное противоречие
доказывает теорему.
Пусть далее ? = (?k )?
k=1 некоторая случайная последовательность на
(?, A, P) , где ? произвольное множество, ? -алгебра A индуцирована последовательностью ? , то есть A = ? ?1 (B(R? )) , B(R? ) борелевская ? -алгебра на
R? .
Для последовательности
? = (?1 , ?2 , ?3 , . . . )
обозначим
sk ? = (?k+1 , ?k+2 , ?k+3 , . . .),
P? распределение последовательности ? в пространстве R? .
Для множества
A = {? : (?1 (?), ?2 (?), ?3 (?), . . .) ? B},
где B ? B(R? ) , рассмотрим множество
s?1
k A = {? : (?k+1 (?), ?k+2 (?), ?k+3 (?), . . .) ? B}.
Преобразование s?1
на ? -алгебре A называется сдвигом множества вдоль послеk
довательности.
Определение 3. Случайную последовательность (?k ) назовем квазистационарной относительно меры P , если распределения P? и Psk ? эквивалентны для
всех k ? N .
Определение 4. Случайную последовательность (?k ) назовем эргодической
относительно меры P , если она квазистационарна и из того, что
P(A? s?1
k A) = 0
для всех k ? N , следует, что P(A) равна либо нулю, либо единице.
Очевидно, что преобразование сдвига относительно квазистационарной эргодической случайной последовательности является квазиинвариантным эргодическим
преобразованием.
Теорема 3. Пусть в измеримом пространстве (?, A) заданы две вероятностные меры P и Q , ? = (?k ) случайная последовательность, эргодическая относительно мер P и Q . Тогда меры P и Q либо эквивалентны, либо сингулярны.
150
С.. ХАЛИУЛЛИН
Доказательство теоремы следует непосредственно из теоремы 2.
Приведем условия эргодичности случайных последовательностей. Пусть ? =
= (?k ) такая квазистационарная последовательность на пространстве (?, A, P) ,
что для всех k ? N, E ?k = 0, E?k2 = 1 . Обозначим через Arl алгебру, порожденную
случайными величинами (?l , ?l+1 , . . . , ?r ), l < r . Пусть
?(n) = sup sup E ?? ? 0 при n ? ?,
k
(1)
?,?
где второй супремум берется по всем случайным величинам ? , измеримым относительно алгебры Ak1 , и по всем случайным величинам ? , измеримым относительно
алгебры A?
k+n .
Из последнего условия следует, что
?(n) = sup
k
sup
|P(A ? B) ? P(A)P(B)| ? 0
(2)
?
A?Ak
1 ,B?Ak+n
при n ? ? (см., например, Ю.А. озанов [15, гл. 4, џ 10?).
Докажем теперь, что если выполнено условие (2), то последовательность (?k )
является эргодической.
Действительно, пусть A ? A , B инвариантное относительно сдвигов вдоль
последовательности (?k ) множество. Тогда для всех k ? N
P(B?s?1
k B) = 0.
Так как ? -алгебра A индуцирована последовательностью (?k ) , то для любого
? = ?(k) найдутся такие множества A(k) ? Ak1 и B(k) ? A?
k+n , что для всех n ? N
P(A?A(k)) < ?(k),
P(B?B(k)) < ?(k).
Значит, |P(A ? B) ? P(A)P(B)| < 3?(k) . Тогда из условия (2) следует, что при
?(k) ? 0
|P(A ? B) ? P(A)P(B)| ? 0,
и при A = B получаем:
P(B) = P(B)P(B).
Следовательно, P(B) равна либо нулю, либо единице.
Пример 1. Пусть ? = (?k ) гауссовская независимая случайная последовательность N (ak , 1) . ассмотрим условия эквивалентности распределений P? и Psk ? .
Пусть ?n отображение из R? в Rn :
?n {(?1 , ?2 , · · · )} = (?1 , ?2 , · · · , ?n ),
Имеем для ? ? Rn :
( n
)
n
X
d(?n · P? )
1X 2
2
(?) = exp
(ai ? ai+k )?i ?
(a ? ai+k ) .
d(?n · Psk ? )
2 i=1 i
i=1
При n ? ? это выражение сходится P? -почти наверное тогда и только тогда,
когда
?
X
sup
(a2i ? a2i+k ) < ?
k
i=1
(см., например, К. Партасарати [16, гл. 6, џ 48?). Таким образом, вероятности P?
и Psk ? эквивалентны тогда и только тогда, когда выполнено последнее условие.
ДИХОТОМИЯ ДЛЯ ОДНОО КЛАССА. . .
151
Отметим, что последовательность (?k ) в этом случае является автоматически
эргодической.
Теорема 4 (закон ѕнуля или единицыї для эргодических случайных
последовательностей). Пусть ? = (?k ) квазистационарная эргодическая слу-
чайная последовательность на пространстве (?, A, P) , ?? ѕхвостоваяї относительно последовательности (?k ) ? -алгебра. Если A ? ?? , то вероятность
P(A) равна либо нулю, либо единице.
Доказательство. Пусть A ? ?? непустое множество. Тогда для любого
k ? N существует такое множество B(k) ? B(R? ) , что
A = {? : sk ?(?) ? B(k)}.
Положим B =
T?
k=1
B(k) . Имеем тогда
{? : sk ?(?) ? B} = {? : ?(?) ? B}
для всех k ? N , то есть ѕхвостовоеї событие является инвариантным относительно
сдвигов вдоль последовательности (?k ) . Тогда из эргодичности последовательности
(?k ) следует, что вероятность P(A) равна либо нулю, либо единице.
Определение 5. Пусть на вероятностном пространстве (?, A, P) заданы две
случайные последовательности ? = (?k ) и ? = (?k ) , причем ? -алгебра A индуцирована последовательностями ? и ? . Обозначим для всех k ? N
µk (B) = Psk ? (B),
?k (B) = Psk ? (B),
где B ? B(R? ) . Случайные последовательности ? и ? назовем:
(i) контигуальными, если контигуальными являются последовательности распределений (µk ) и (?k ) ;
(ii) вполне асимптотически разделимыми, если таковыми являются последовательности распределений (µk ) и (?k ) .
Теорема 5. Пусть на вероятностном пространстве (?, A, P) заданы две случайные последовательности ? = (?k ) и ? = (?k ) . Если последовательности ? и ?
являются эргодическими относительно вероятности P , то они либо контигуальны, либо вполне асимптотически разделимы.
Доказательство. Пусть выполнено условие теоремы и
µk (Ak ) ? 0
при k ? ?,
где Ak ? B(R? ) : sk ? ? Ak . Существует такое ѕхвостовоеї относительно последовательности ? множество B , что
P(B) = lim µk (Ak ) = 0.
k??
Допустим, что lim ?k (Ak ) = ? . Найдется такое ѕхвостовоеї относительно послеk??
довательности ? множество B ? , что
P(B ? ) = lim ?k (Ak ) = ?.
k??
Поскольку B ? ѕхвостовоеї множество эргодической последовательности, то по
теореме 4 предел ? равен нулю или единице.
152
С.. ХАЛИУЛЛИН
Пример 2. Пусть ? = (?k ) и ? = (?k ) две квазистационарные случайные последовательности, удовлетворяющие условию (1). Тогда они являются эргодическими
и, следовательно, удовлетворяют условию дихотомии.
Пример 3. Укажем условия контигуальности гауссовских независимых случайных последователей. Пусть (?k ) и (?k ) гауссовские независимые последовательности N (ak , 1) и N (bk , 1) соответственно. Тогда они контигуальны тогда и только
тогда, когда ряд
?
X
(a2k ? b2k )
k=1
сходится, и вполне асимптотически разделимы тогда и только тогда, когда этот
ряд расходится.
Последний результат может быть сравнен с результатами, полученными Иглсоном для гауссовских распределений возрастающей размерности (см. [11?).
Summary
S.G. Haliullin.
Dihotomy for a Class of Quasistationary Random Sequenes.
The onept of probability measures' sequene ontiguity is introdued by Le Cam in
the researh on mathematial statistis for problem of distinguishing lose hypotheses. In
the present artile, this onept is generalised on random sequenes, for whih theorems of a
dihotomy are proved.
Key words: ontiguity of sequenes of probability measures, quasistationary random
sequenes, dihotomy.
Литература
1.
Le Cam L.
2.
Липцер .Ш., Пукельшейм Ф., Ширяев А.Н.
3.
Loally asymptotially normal families of distributions // Univ. Cifornia
Publ. Statist. 1960. V. 3. P. 3798.
О необходимых и достаточных условиях контигуальности и полной асимптотической разделимости вероятностных мер //
Усп. матем. наук. 1982. Т. 37, ќ 6. С. 97124.
Kakutani S. On equivalene of innite produts measures // Ann. of Math. 1948. V. 49. P. 214224.
4.
Feldman J.
5.
Hajek J.
6.
Fernique X.
7.
Kanter M.
8.
Okazaki Y.
9.
10.
Equivalene and perpendiulary of Gaussian Proesses // Pai J. Math. 1958. V. 8. P. 669708.
On a property of the normal distribution of an arbitrary stohasti proess //
Czehoslovak Math. J. 1958. V. 8. P. 610618.
Comparaison de mesures gaussiennes et de mesures produts // Ann. Inst.
H. Poinare. 1985. V. 20. P. 165175.
Equivalene-singularity dihotomies for a lass of ergodi measures // Math.
Pro. Camb. Phil. So. 1977. V. 81. P. 249252.
Equivalent-singular dihotomy for quasiivariant ergodi measures // Ann.
Inst. H. Poinare. 1985. V. 21, No 4. P. 393400.
Халиуллин С.. Дихотомия эргодических мер на линейных пространствах // Матем.
заметки. 1995. Т. 58, ќ 6. С. 942944.
Hall W., Loynes R.
P. 278282
On the onept of ontiguity // Ann. of Probab. 1977. V. 5 153
ДИХОТОМИЯ ДЛЯ ОДНОО КЛАССА. . .
11.
12.
An exended dihotomy theorem for sequenes of pairs of Gaussian
measures // Ann. of Probab. 1981. V. 9, No 3. P. 453459.
Eagleson G.K.
Thelen B.J. Fisher information and dihotomies in equivalene/ontiguity // Ann. of
Probab. 1989. V. 17, No 4. P. 16641690.
Линейные пространства с вероятностными мерами,
ультрапроизведения и контигуальность // Изв. вузов. Математика. 1992. ќ 4. С. 9295.
13.
Муштари Д.Х., Халиуллин С..
14.
Халиуллин С..
15.
озанов Ю.А.
16.
Партасарати К.
О контигуальности и полной асимптотической разделимости случайных процессов. Деп. ВИНИТИ. 1992. ќ 2221-В92. 13 .
Стационарные случайные процессы. М.: Наука, 1990 272 .
Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1983. 336 .
Поступила в редакцию
21.10.08
Халиуллин Самигулла ариуллович кандидат изико-математических
наук, доцент каедры математической статистики Казанского государственного университета.
E-mail: Samig.Haliullinksu.ru, samighaliullingmail.om
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
212 Кб
Теги
дихотомия, случайных, квазистационарных, класс, последовательность
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа