close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача с интегральным условием для параболо-гиперболического уравнения.

код для вставкиСкачать
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40 143
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
MSC 35L82
ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ
ДЛЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
А.К. Уринов, К.С. Халилов
Ферганский Государственный университет,
ул. Мураббийлар (19), Фергана, (150100), Узбекистан, e-mail: urinovak@mail.ru, xalilov_q@mail.ru
Ключевые слова: параболо-гиперболическое уравнение, интегральное условие, дробное
дифференцирование.
В конечной односвязной области D плоскости xOy , ограниченной прямыми x = 0,
y = 1, x = 1, x ? y = 1, x + y = 0 рассмотрим дифференциальное уравнение Lu = 0
параболо-гиперболического типа, где
{
L1 u ? uxx ? uy ? ?2 u,
(x, y) ? D1 = D ? (y > 0) ,
Lu ?
L2 u ? uxx ? uyy ? (2?/y ) uy , (x, y) ? D2 = D ? (y < 0) ,
а ?, ? ? R, причем 0 < ? < (1/2) .
В настоящей работе исследуется однозначная разрешимость
следующей задачи.
( )
(2,1)
Задача H1 . Требуется найти функцию u (x, y) ? C D ? Cx,y (D1 ) ? C 2 (D2 ) удовлетворяющую уравнению Lu = 0 в области D1 ? D2 и следующим условиям:
?1
?1
u (x, y) dx = u (1, t) dt + µ2 (y) , 0 ? y ? 1; (1)
u (0, y) = µ1 (y) ,
1??
a (x) D0x
u
(x
x)
1??
,?
+ b (x) Dx1
u
2 2
0
(
0
x+1 x?1
,
2
2
)
+
+ c (x) lim (?y)2? uy (x, y) = e (x) ,
y??0
lim uy (x, y) = lim (?y)2? uy (x, y) ,
y?+0
y??0
0 < x < 1;
0 < x < 1,
(2)
(3)
где µ1 (y) , µ2 (y), a (x), b (x), c (x), e (x) - заданные непрерывные функции,
1??
D0x
q
1 d
(x) =
? (?) dx
?x
(x ? t)
??1
q (t) dt,
1??
Dx1
q
0
?1 d
(x) =
? (?) dx
?1
(t ? x)??1 q (t) dt,
x
операторы дробного дифференцирования[1], ? (z)-гамма-функция Эйлера.
Приведем схему исследования поставленной задачи
H1 . Пусть u (x, y) - решение за( )
дачи H1 . Учитывая условие (3) и u (x, y) ? C D? , примем обозначения u (x, +0) =
u (x, ?0) = ? (x) , 0 ? x ? 1; lim uy (x, y) = lim (?y)2? uy (x, y) = ? (x) , 0 < x < 1 и
y?+0
y??0
предположим, что ? (x) ? C [0, 1]?C (2,?) (0, 1), ? (x) ? C 2 (0, 1), [x (1 ? x)]2? ? (x) ? C [0, 1],
144 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40
? > 0. Тогда, функция u (x, y) в области D2 , как решение видоизмененной задачи Коши
для уравнения L2 u = 0, представима в виде [1]
?1
?1
??1
1?2?
u (x, y) = ?1 ? (z)[t (1 ? t)] dt ? ?2 (?y)
? (z) [t (1 ? t)]?? dt,
(4)
0
0
где z = x + y (1 ? 2t) , ?1 = ? (2?) /?2 (?) , ?2 = ? (1 ? 2?) /?2 (1 ? ?) .
Пользуясь формулой (4) и условием (2),как и в работе [1], находим
1?2?
1?2?
A (x) ? (x) = ?a (x) (1 ? x)? D0x
? (x) + ?b (x) x? Dx1
? (x) ? g (x) ,
0 < x < 1.
(5)
Здесь
[
]
g (x) = 21?2? ? (1 ? ?) /? (1 ? 2?) [x (1 ? x)]? e (x) ,
[
]?1
?
2?
?
A (x) = (1 ? x) a (x) + x b (x) ? 2 (1 ? 2?) ? (?) ? (?? + 1/2) [x (1 ? x)]? c (x) .
Из уравнения L1 u = 0 и краевых условий (1),(2) при y ? +0 получим
? ?? (x) ? ?2 ? (x) = ? (x) ,
0 < x < 1,
(6)
?1
? (x) dx = µ2 (0) .
(7)
? (0) = µ1 (0) ,
? = 22? ? (? + 1/2) ? (?? + 1/2) ,
0
Следовательно, функции ? (x) и ? (x) удовлетворяют уравнениям (5),(6) и условиям
(7). Доказано, что справедлива
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:
a2 (x) + b2 (x) ?= 0, a (x) b (x) ? 0, a (x) c (x) ? 0, b (x) c (x) ? 0 x ? [0, 1] ,
(8)
a (x) , b (x) , c (x) ? C [0, 1] ? C 2 (0, 1) , e (x) ? C 2 (0, 1) , [x (1 ? x)]3? e (x) ? C [0, 1] . (9)
Тогда задача {(5) , (6) , (7)} имеет единственное решение.
Единственность решения задачи {(5) , (6) , (7)} доказывается с использованием прин1?2?
1?2?
ципа экстремума для операторов D0x
и Dx1
[1], а существование решения- эквивалентным сведением рассматриваемой задачи к интегральному уравнению Фредгольма
второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи.
После того, как найдены функции ? (x) и ? (x) из задачи {(5) , (6) , (7)}, решение задачи H1 в области D2 находится с помощью формулы (4),( а в) области D1 определяется
2,1
(D1 ), удовлетворякак решение задачи об определении функции u (x, y) ? C D?1 ? Cx,y
ющей уравнениеL1 u = 0 и условия (1), (2), u (x, 0) = ? (x),0 ? x ? 1. Последняя задача
исследуется, как и в работе [2].
Справедлива следующая основная
Теорема 2. Пусть h1 (y) , h2 (y) ? C [0, 1] и выполнены условия (8),(9). Тогда решение задачи H1 существует и оно единственно.
Замечание. Этим же методом можно исследовать задачу H1 и в том случае, когда
?1
второе из условий (1) заменено условием u (1, y) = u (x, y) dx + µ2 (y) , 0 ? y ? 1.
0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. ќ17(214). Вып. 40 145
Литература
1. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа/ Москва: Наука, 1985. 304 с.
2. Голованчиков А.Б., Симонова И.Э., Симонов Б.В. Решение диффузионной задачи с интегральным граничным условием // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. 6,
ќ2. С.339-349.
PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITION
FOR PARABOLIC AND HYPERBOLIC EQUATION
A.K. Urinov, K.S. Khalilov
Fergana State University,
Murabbiylar (19), Fergana, (150100), Uzbekistan, e-mail: urinovak@mail.ru, xalilov_q@mail.ru
Кey words: parabolic-hyperbolic equation, integral condition, fractional dierentiation.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
296 Кб
Теги
уравнения, интегральная, парабола, задачи, условие, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа