close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача с условием Самарского для уравнения дробной диффузии в полуполосе.

код для вставкиСкачать
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. № 2(11). C. 17-21. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-17-21
УДК 517.95
ЗАДАЧА С УСЛОВИЕМ САМАРСКОГО ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ДРОБНОЙ ДИФФУЗИИ В
ПОЛУПОЛОСЕ
Ф.М. Лосанова
Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Республика КабардиноБалкария, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89а
E-mail: losanovaf@gmail.com
В данной работе строится решение нелокальной краевой задачи с условием Самарского
для уравнения дробной диффузии в полуполосе.
Ключевые слова: уравнение дробной диффузии, нелокальная задача, условие Самарского, функция типа Райта
© Лосанова Ф.М., 2015
MSC 35K57
PROBLEM WITH CONDITIONS SAMARA FOR
FRACTIONAL DIFFUSION EQUATION IN THE HALF
F.M. Losanova
Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Republic of KabardinoBalkariya, Nalchik, st. Shortanova, 89a
E-mail: losanovaf@gmail.com
In this paper, we construct a solution of a nonlocal boundary value problem with the
condition Samarskii for a fractional diffusion equation in the half.
Key words: fractional diffusion equation, nonlocal problem, Samarskii condition, type
function Wright
© Losanova F.M., 2015
17
ISSN 2079-6641
Лосанова Ф.М.
Введение
Уравнения дробного порядка исследуются в последнее время весьма интенсивно. Это связано с многочисленными приложениями дробного исчисления в физике,
механике, биологии и т.д.
Уравнения дробного порядка выступают основой математических моделей различных физических процессов во фрактальных средах [1], [2].
Постановка задачи
В области Ω = {(x, y) : 0 < x < ∞, 0 < y < T } рассмотрим уравнение
uxx (x, y) − Dα0y u(x, η) = f (x, y),
(1)
где
Dα0y u(x, η) =





1 R y u(x,η)dη
Γ(−α) 0 (y−η)α+1 ,
u(x, y),
∂ n α−n
∂ yn D0y u(x, η),
α < 0,
α = 0,
n − 1 < α ≤ n,
n∈N
– оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля) порядка α [1, c. 9], Γ(α) – гамма-функция Эйлера, 0 < α ≤ 1.
Краевые задачи с интегральными условиями для параболических уравнений, в
том числе с дробной производной, исследовались в работах [3]-[6]. Уравнения вида
(1) исследовались в работах [7], [8].
В данной работе строится решение нелокальной краевой задачи с условием Самарского для уравнения (1).
Решение u(x, y) уравнения (1) назовем регулярным в области Ω, если y1−α u(x, y) ∈
C(Ω), uxx (x, y), Dα0y u(x, η) ∈ C(Ω).
Задача. Найти регулярное решение u(x, y) уравнения (1) в области Ω, удовлетворяющее условиям:
lim Dα−1
0y u(x, η) = τ(x),
y→0
0 ≤ x < ∞,
Zl
u(x, y)dx = ψ(y),
0 < y < T,
(2)
(3)
0
где τ(x), ψ(y) – заданные непрерывные функции.
Для нахождения решения задачи (1)-(3) воспользуемся представлением решения
задачи с условиями (2), u(0, y) = ϕ(y) для уравнения (1) [4]
Zy
u(x, y) =
Z∞
Gξ (x, y, 0, η)ϕ(η)dη +
0
где G(x, y, ξ , η) =
Райта [7, c. 22].
G(x, y, ξ , 0)τ(ξ )dξ −
0
(y−η)δ −1
2
ZyZ∞
f (ξ , η)G(x, y, ξ , η)dξ dη,
0 0
(4)
h
i
µ,δ
|x−ξ |
|x+ξ |
1,δ
1,δ
e1,δ − (y−η)δ − e1,δ − (y−η)δ , eα,β (z) – функция типа
18
Задача с условием самарского для уравнения дробной диффузии . . .ISSN 2079-6641
Для определения неизвестной ϕ(y) удовлетворим функцию (4) условию (3). Тогда,
после элементарных преобразований, будем иметь
Zy
Zl
Gξ (x, y, 0, η)dxdη +
ϕ(η)
0
0
−
Zl
Z∞
τ(ξ )
0
ZyZ∞
G(x, y, ξ , 0)dxdξ −
0
Zl
f (ξ , η)
0 0
G(x, y, ξ , η)dxdξ dη = ψ(y).
(5)
0
Используя формулу дифференцирования функции типа Райта имеем, что [8, c.
µ−n,δ
d n µ−1 µ,δ
26] dx
eα,β (cxα ) = xµ−n−1 eα,β (cxα ) для любых µ ∈ R
nx
Gξ (x, y, ξ , η) =
(y − η)δ −1 h sign(x − ξ ) 0,δ |x − ξ | sign(x + ξ ) 0,δ |x + ξ | i
+
.
e
−
e
−
2
|x − ξ | 1,δ
|x + ξ | 1,δ
(y − η)δ
(y − η)δ
Отсюда при ξ = 0, учитывая формулу автотранcформации для функции типа Райµ−α,δ +β
µ,δ
1
(z) − Γ(µ−α)Γ(δ
та [8, c. 24] zeα,β (z) = eα,β
+β ) имеем
(y − η)δ −1 0,δ |x| x
1 1,0 e1,δ −
e
Gξ (x, y, 0, η) =
−
=−
.
x
y − η 1,δ
(y − η)δ
(y − η)δ
(6)
Вычислим внутренний интеграл в первом слагаемом равенства (5)
Zl
Gξ (x, y, 0, η)dx = −
0
Zl
0
h x
ix=l
x
x
1 1,0 2,0
dx
=
=
e1,δ −
e
−
y−η
y − η 1,δ
(y − η)δ
(y − η)δ x=0
l
l
2,0
=
.
e
−
y − η 1,δ
(y − η)δ
(7)
Используя формулу автотрансформации для функции типа Райта еще раз из соотношения (7) окончательно получим
Zl
Gξ (x, y, 0, η)dx =
0
(y − η)δ −1
l
−
.
− (y − η)δ −1 e1,δ
1,δ
Γ(δ )
(y − η)δ
(8)
Подставив соотношение (8) в формулу (5), будем иметь
Zy
0
h (y − η)δ −1
i
l
ϕ(η)
− (y − η)δ −1 e1,δ
−
dη = F(y),
1,δ
Γ(δ )
(y − η)δ
где
F(y) = ψ(y) −
τ(ξ )
0
ZyZ∞
Zl
Z∞
G(x, y, ξ , 0)dxdξ +
0
f (ξ , η)
0 0
19
Zl
G(x, y, ξ , η)dxdξ dη.
0
(9)
ISSN 2079-6641
Лосанова Ф.М.
В силу определения дробного интегродифференцирования, равенство (9) перепишем
в виде
Zy
l
−δ
−
D0y ϕ(y) − ϕ(η)(y − η)δ −1 e1,δ
dη = F(y).
(10)
1,δ
(y − η)δ
0
1,µ
С учетом обозначений ωµ (y) = yµ−1 e1,δ (− ylδ ), ( f ∗ h)(y) =
Ry
f (y − η)h(η)dη и
0
g(y) = D−δ
0y ϕ(y)
(11)
соотношение (10) перепишем в виде
g(y) − (ϕ ∗ ωδ )(y) = F(y).
(12)
Применив формулу ωµ−ε (y) = Dε0y ωµ (y) из равенства (12) получим
g(y) − ϕ ∗ D−δ
0y ω0 (y) = F(y).
(13)
−δ
Учитывая свойство свертки Лапласа f ∗ D−δ
0y g(y) = g ∗ D0y f (y) из формулы (13)
получим
g(y) − (g ∗ ω0 )(y) = F(y).
(14)
Соотношение (14) есть интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. Решение
уравнения (14) представимо в виде
g(y) = F(y) + (F ∗ R)(y),
(15)
где
∞
R(y) =
1,δ (n+1)
∑ yδ (n+1)−1e1,δ
−
n=0
l(n + 1) .
yδ
Из обозначения (11) в силу равенства (15) имеем
ϕ(y) = Dδ0y g(y)
или
ϕ(y) = Dδ0y [F(y) + (F ∗ R)(y)].
(16)
Теорема. Пусть τ(x) ∈ C[0, ∞[, y1−α ψ(y) ∈ C[0, T ], y1−α f (x, y) ∈ C(Ω), f (x, y) удовлетворяет условию Гельдера по переменной x. Тогда решение задачи (2), (3) для
уравнения (1) представимо в виде (4), где ϕ(y) определяется соотношением (16).
Библиографический список
1. Нахушев А.М.Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272с.
2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. - Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
3. Лосанова Ф.М. Нелокальная краевая задача с оператором Капуто// Изв. ВУЗов Северо-Кавказский
регион. 2010. № 5 (159). С. 22-25.
20
Задача с условием самарского для уравнения дробной диффузии . . .ISSN 2079-6641
4. Лосанова Ф.М. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения с оператором Капуто //
Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых «Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики». 2014. С. 80-81.
5. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в
полубесконечной области // "Понтрягинские чтения - XIII". Сб. материалов.- Воронеж, ВГУ, 2002.
С. 37.
6. Нахушева З.А. 1-я и 2-я краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения
второго порядка// Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 1. С. 1982-1992.
7. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов.
М.: Наука, 2006. 173 с.
8. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М: Наука, 2005. 199 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 19.09.2015
21
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
248 Кб
Теги
диффузия, уравнения, полуполосе, задачи, условие, дробной, самарской
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа