close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача сопряжения для электромагнитных ТЕ-волн распространяющихся в плоском двухслойном нелинейном диэлектричеком волноводе.

код для вставкиСкачать
№ 2 (22), 2012
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.958; 517.927.4
Д. В. Валовик
ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ТЕ-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ
В ПЛОСКОМ ДВУХСЛОЙНОМ НЕЛИНЕЙНОМ
ДИЭЛЕКТРИЧЕКОМ ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация. Рассматривается распространение электромагнитных ТЕ-волн
в нелинейном плоском двухслойном диэлектрическом волноводе. Диэлектрическая проницаемость в слоях описывается законом Керра. Слои расположены
между двумя изотропными немагнитными полубесконечными средами с постоянными электродинамическими параметрами. Получено дисперсионное
уравнение для собственных значений задачи (постоянных распространения).
Ключевые слова: задача сопряжения для обыкновенных дифференциальных
уравнений в многосвязной области, нелинейность Керра, дисперсионное уравнение.
Abstract. The article considers electromagnetic TE-wave propagation in a twolayered dielectric waveguide. Permittivities inside the layers are described by Kerr
law. The layers are located between two semi-infinite spaces with constant permittivities. The authore derives a dispersion equation for eigenvalues (propagation constants) of the problem.
Key words: conjugation problem for ordinary differential equations in multiplyconnected domain, Kerr nonlinearity, dispersion equation.
Введение
Данная работа продолжает исследования [1–4]. Здесь рассматривается
задача о распространении ТЕ-волн в плоском двухслойном диэлектрическом
волноводе. Волновод помещен между двумя полубесконечными средами
с постоянными электродинамическими параметрами. Диэлектрическая проницаемость в каждом из двух слоев зависит от электрического поля по закону
2
Керра: ε = εconst + α E , где εconst – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости, α – коэффициент нелинейности. Задача сводится
к отысканию постоянных распространения электромагнитной волны в рассматриваемой волноведущей структуре. Постоянные распространения являются корнями дисперсионного уравнения, которое представляется основным
результатом рассматриваемой работы. Для вывода дисперсионного уравнения
используется теория эллиптических функций. Рассматриваемый в этой работе
2
4
подход позволяет изучать нелинейность вида ε = εconst + α E + β E , где
εconst – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости; α , β –
коэффициенты нелинейности. Работа [5] (где также используется подход на
основе эллиптических функций) тесно связана с рассматриваемой в этой статье задачей. Полученное дисперсионное уравнение позволяет изучать как
обычные нелинейные материалы, так и нелинейные метаматериалы. Важ1
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (№ МК-2074.2011.1)
и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-07-00330-А).
43
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
ность найденного дисперсионного уравнения определяется, по крайней мере,
двумя обстоятельствами: 1) полученное дисперсионное уравнение является
точным (получено без упрощающих предположений в рамках модели керровской нелинейности) и может быть выписано для большего числа слоев. Такая
многослойная структура может рассматриваться как одномерный фотонный
кристалл [6]. Фотонные кристаллы в настоящее время привлекают большое
внимание исследователей (см., например, [6, 7]); 2) полученное дисперсионное уравнение может быть использовано для построения и тестирования численных методов решения рассматриваемой задачи.
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через два однородных, изотропных, немагнитных диэлектрических слоя. Диэлектрическая проницаемость в слоях зависит от электрического поля по закону Керра. Слои
расположены между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой
системе координат Oxyz и h = h1 + h2 . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости ε1 и ε 4 соответственно ( ε1 и ε 4 – произвольные
действительные постоянные). Считаем, что всюду μ = μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Предполагаем гармоническую зависимость полей от времени в виде
 ( x, y, z , t ) = E ( x, y, z ) cos ωt + E ( x, y, z ) sin ωt ;
E
+
−
 ( x, y, z, t ) = H ( x, y, z ) cos ωt + H ( x, y, z ) sin ωt ,
H
+
−
где ω – круговая частота; E+ , E− , H + , H − – вещественные искомые функции.
Образуем комплексные амплитуды полей E , H [8]: E = E+ + iE− ;
H = H + + iH − . Везде ниже множители cos ωt и sin ωt будем опускать.
Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла
rot H = −iωεE; rot E = iωμH,
(1)
условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред x = 0 , x = h1 , x = h1 + h2 и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x → ∞
в областях x < 0 и x > h . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет
2
вид ε = εi + αi E , где i = 2,3 и εi , αi – произвольные постоянные. Будем
искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
На рис. 1 показана геометрия задачи.
(
Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны E = 0, E y ,0
T
T
)
T
, H = ( H x ,0, H z ) ,
где () – операция транспонирования. Легко показать, что компоненты полей E и H не зависят от переменной y . Волны, распространяющиеся вдоль
границы раздела сред z , гармонически зависят от z . Тогда компоненты полей E , H имеют следующий вид:
44
№ 2 (22), 2012
Физико-математические науки. Математика
H y = H y ( x ) eiγz , E x = E x ( x ) eiγz , E z = E z ( x ) eiγz .
x
h1 + h2
h = h1
(2)
ε = ε4
2
ε = ε3 + α 3 E
2
ε = ε2 + α 2 E
0
z
ε = ε1
Рис. 1
Подставив компоненты (2) в уравнения Максвелла (1), выполнив норεj
d
d
γ
= k , γ = , ε j =
мировку в соответствии с формулами x = kx ,
ε0
dx
dx
k
α
(j = 1, 2, 3, 4), α i = i (i = 1, 2), где ε0 – диэлектрическая проницаемость ваε0
куума и k 2 = ω2με0 с μ = μ0 , обозначив E y ( x ) ≡ Y ( x ) и опуская значок
тильды, получаем уравнение
Y ′′ ( x ) = γ 2Y ( x ) − εY ( x ) ,
(3)
где γ – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения)
Будем искать действительные решения Y ( x ) для уравнения (3). Полагаем γ действительным (так что E
2
не зависит от z) и считаем
x < 0;
ε1 ,

2
ε 2 + α 2Y , 0 < x < h1;
ε=
ε3 + α3Y 2 , h1 < x < h1 + h2 ;

x > h1 + h2 .
ε 4 ,
(4)
Пусть функция Y дифференцируема в слое так, что
Y ( x ) ∈ C ( −∞; + ∞ ) ∩ C1 ( −∞; ∞ ) ∩
∩C 2 ( −∞; 0 ) ∩ C 2 ( 0; h1 ) ∩ C 2 ( h1; h ) ∩ C 2 ( h; + ∞ ) .
(5)
2. Решение системы дифференциальных уравнений
Для x < 0 , ε = ε1 из (3) и (4) в силу условия на бесконечности получаем
решение
45
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
)
(
Y ( x ) = A exp x γ 2 − ε1 .
(6)
Для x > h , ε = ε 4 из (3) и (4) в силу условия на бесконечности получаем
решение
Y ( x ) = B exp  − ( x − h1 + h2 ) γ 2 − ε 4  .


(7)
В формулах (6) и (7) постоянные A и B определяются начальными
условиями и условиями сопряжения.
Внутри слоя 0 < x < h1 уравнение (3) принимает вид
(
)
Y ′′ ( x ) = γ 2 − ε 2 − α 2Y 2 ( x ) Y ( x ) .
(8)
Это уравнение интегрируется в эллиптических функциях (см. [9]1). Из
(8) получаем
(Y ′ )2 = ( γ 2 − ε 2 ) Y 2 −
(
)
α2 4
2
Y + C2 , Y 2 ( x ) =
γ 2 − ε 2 − 3℘2 ( x + C22 ) , (9)
2
3α 2
где ℘( x ) – эллиптическая функция Вейерштрасса, ее инварианты имеют вид
(
)
(
)
(
)
2
3
2
2
8 2
g 2 =  3α 2C2 + 2 γ 2 − ε 2  и g3 = − α 2 γ 2 − ε 2 C2 −
γ − ε2 ;
3
3
27

C2 и C22 – постоянные интегрирования.
Внутри слоя h1 < x < h1 + h2 получаем по аналогии с предыдущим
( Y ′ ) 2 = ( γ 2 − ε3 ) Y 2 −
(
)
α3 4
2
Y + C3 и Y 2 ( x ) =
γ 2 − ε3 − 3℘3 ( x + C33 ) , (10)
3α3
2
где
(
)
(
)
(
)
2
3
2
2
8 2
g 2 =  3α3C3 + 2 γ 2 − ε3  и g3 = − α3 γ 2 − ε3 C3 −
γ − ε3 ;
3
3
27

C3 и C33 – постоянные интегрирования.
3. Граничные условия и дисперсионное уравнение
Как известно, касательные компоненты электромагнитного поля непрерывны на границах раздела сред. В нашем случае касательными компонентами являются E y и H z . Учитывая сказанное, получаем для функций Y и Y ′
следующие условия сопряжения:
[Y ]x=0 = 0 , [Y ]x=h1 = 0 , [Y ]x=h1+h2 = 0 ,
1
Все результаты теории эллиптических функций, используемые здесь, можно
найти в [9].
46
№ 2 (22), 2012
Физико-математические науки. Математика
[Y ′]x =0 = 0 , [Y ′]x=h1 = 0 , [Y ′]x=h1 +h2 = 0 ,
(11)
где [ f ] x = x = lim f ( x ) − lim f ( x ) .
0
x → x0 −0
x → x0 + 0
Пусть Y0 := Y ( 0 ) , Yh := Y ( h ) и постоянная Yh считается известной, тогда B = Yh , A = Y0 . Далее, используя (6), (7), получаем
Y ′ ( h ) = − γ 2 − ε 4 Yh , Y ′ ( 0 ) = γ 2 − ε1Y0 .
(12)
Будем последовательно использовать условия сопряжения (11) на каждой границе раздела. Получаем:
Y02 =
(
)
2
γ 2 − ε 2 − 3℘2 ( C22 ) ,
3α 2
(
)
(13а)
(
)
1 2
1 2
γ − ε 2 − 3℘2 ( h1 + C22 ) =
γ − ε3 − 3℘3 ( h1 + C33 ) ,
α2
α3
(
)
(13б)
2
γ 2 − ε3 − 3℘3 ( h1 + h2 + C33 ) ,
3α3
(13в)
( γ 2 − ε1 )Y02 = ( γ 2 − ε2 )Y02 − α22 Y04 + C2 ,
(13г)
Yh2 =
( γ 2 − ε2 )Yh2 − α22 Yh4 + C2 = ( γ 2 − ε3 )Yh2 − α23 Yh4 + C3 ,
(13д)
( γ 2 − ε4 )Yh2 = ( γ 2 − ε3 )Yh2 − α23 Yh4 + C3 .
(13е)
1
1
1
1
Величину Yh1 можно выразить из уравнения (9) (или (10)), получаем
Yh2 =
1
(
)
2
γ 2 − ε3 − 3℘3 ( h1 + C33 ) .
3α3
Система (13) состоит из шести уравнений и пяти неизвестных Y0 , C2 ,
C22 , C3 , C33 (мы учитываем, что Yh1 выражается через C33 ). Пять уравнений этой системы позволят найти пять неизвестных, а шестое даст дисперсионное уравнение. Найдем его. Из уравнений (13г) и (13е) найдем
α
C2 = ( ε 2 − ε1 ) Y02 + 2 Y04 ,
2
(14а)
α
C3 = ( ε3 − ε 4 ) Yh2 + 3 Yh4 .
2
(14б)
Учитывая четность функции Вейерштрасса, из уравнений (13а) и (13в)
найдем
C22 = ±℘−2 1 ( σ2 ) + T2 n2 + T2′ m2 ,
(14в)
47
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
C33 = ±℘3−1 ( σ3 ) − h1 − h2 + T3n3 + T3′m3 ,
(
)
2 γ 2 − ε 2 − 3α 2Y02
(
(14г)
)
2 γ 2 − ε3 − 3α3Yh2
; T2′ , T2′′ – независимые
6
6
периоды функции ℘2 ; T3′ , T3′′ – независимые периоды функции ℘3 (причем
T2 , T3 выбраны действительными, а T2′ , T3′ – чисто мнимыми); n2 , n3 , m2 ,
где σ2 =
, σ3 =
m3 ∈  ; знак ℘−1 означает функцию, обратную к ℘ (т.е. эллиптический интеграл в нормальной форме Вейерштрасса).
Уравнения (13б) и (13д) примут вид
(
(
α3 γ 2 − ε 2 − 3℘2 ℘2−1 ( σ2 ) + h1
)) = α2 ( γ 2 − ε3 − 3℘3 (℘3−1 ( σ3 ) − h2 )) , (14д)
α 2Y04 + 2 ( ε 2 − ε1 ) Y02 + f = 0 ,
(14е)
где
f =
+
4
( α3 − α 2 )
2
9α3
(
(
4
( ε3 − ε2 ) γ 2 − ε3 − 3℘3 ℘3−1 ( σ3 ) − h2
3α3
(γ
2
(
− ε3 − 3℘3 ℘3−1 ( σ3 ) − h2
))
2
)) +
− 2 ( ε3 − ε 4 ) Yh2 − α3Yh4 .
Уравнение (14е) является квадратным относительно Y02 . Подставляя
в (14д) значение Y02 (найденное из (14е)), получаем дисперсионное уравнение.
Число T определяется в зависимости от знака дискриминанта
Δ ≡ g 23 − 27 g32 кривой f = 4t 3 − g 2t − g3 . Если Δ > 0 , то уравнение f = 0
∞
имеет три действительных корня e1 > e2 > e3 , и T = 2

e1
dt
(в этом
3
4t − g 2t − g3
случае T – действительный период функции ℘( x ) ). Если Δ < 0 , уравнение
∞
f = 0 имеет один действительный корень e2 , и T = 2

e2
dt
4t 3 − g 2t − g3
(в этом случае полупериоды ω1 и ω2 функции ℘( x ) являются комплексносопряженными числами и их сумма есть действительное число T ). Число T ′
определяется как линейная комбинация периодов функции ℘( x ) так, чтобы
число T ′ оказалось чисто мнимым.
Заключение
При изучении распространения поляризованных электромагнитных
волн в слоях с диэлектрической проницаемостью, полиномиально зависящей
от напряженности электрического поля, эллиптические функции удается
применить только в случае ТЕ-волн и нелинейности полиномиального типа
48
№ 2 (22), 2012
Физико-математические науки. Математика
не сложнее обобщенной керровской. Для изучения распространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных слоях с произвольными нелинейностями можно использовать подход на основе интегральных дисперсионных соотношений [1].
Автор благодарит Ю. Г. Смирнова за полезные обсуждения.
Список литературы
1. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та,
2010. – 264 с.
2. В а л о в и к , Д . В. Нелинейные эффекты в задаче о распространении электромагнитных ТМ-волн в слое с керровской нелинейностью / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56, № 3. – С. 309–314.
3. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в слое из нелинейного метаматериала / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56,
№ 5. – С. 587–599.
4. В а л о в и к , Д . В. Распространение электромагнитных ТЕ-волн в нелинейной среде с насыщением / Д. В. Валовик // Радиотехника и электроника. – 2011. – Т. 56,
№ 11. – С. 1329–1335.
5. S c h u r m a n n , H . W . TE-polarized waves guided by a lossless nonlinear three-layer
structure / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Phys. Rev. E. – 1998. –
V. 58, № 1. – P. 197.
6. J o a n n o p o u l o s , J . D . Photonic Crystals. Molding the Flow of Light / J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. D. Meade. – Second Edition. – Princeton University Press, 2008. – P. 286.
7. L o u r t i o z, J . - M . Photonic Crystals. Towards Nanoscale Photonic Devices /
J.-M. Lourtioz et al. – Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2005. – P. 426.
8. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii,
L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet physics JETP. – 1972. – V. 35, № 1. –
P. 44–47.
9. А х и е з е р , Н . И . Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. – М. :
Наука, 1970. – 304 c.
Валовик Дмитрий Викторович
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра математики
и суперкомпьютерного моделирования,
Пензенский государственный
университет
Valovik Dmitry Victorovich
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of mathematics
and supercomputer modeling,
Penza State University
E-mail: dvalovik@mail.ru
УДК 517.9, 519.6
Валовик, Д. В.
Задача сопряжения для электромагнитных ТЕ-волн, распространяющихся в плоском двухслойном нелинейном диэлектрическом волноводе / Д. В. Валовик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2 (22). – С. 43–49.
49
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа