close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача сопряжения решений уравнения Ламе в областях с кусочногладкими границами.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (501)
УДК 517.544
И.Т. ДЕНИСЮК
ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ
В ОБЛАСТЯХ С КУСОЧНО-ГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ
Решение двумерных задач сопряжения аналитических функций в заданных и аффинно-преобразованных областях с кусочно-гладкими границами [1], [2] позволили получить решение ряда
прикладных задач механики сплошной среды [3]{[9]. В данной статье изучается задача сопряжения решений уравнений Ламе [10] в трехмерных областях с кусочно-гладкими границами.
Постановка задачи. Пусть в трехмерном пространстве R3 содержится односвязная конечная область V1 , ограниченная кусочно-гладкой поверхностью S , которая содержит непересекающиеся гладкие замкнутые особые линии (множества угловых точек) и не принадлежащие им
конические точки.
Построим векторные функции ui (M ) = fu1i (M ); u2i (M ); u3i (M )g (i = 0; 1, M = M (x1 ; x2 ; x3 )),
определенные в соответствующих областях Vi , где V0 = R3 n V1 , удовлетворяющие уравнению
Ламе [10]
(i + 2i ) grad div ui (M ) ; i rot ui (M ) = 0;
(1)
где i = 12;i2ii , 0 < i < 0:5; i 2 (0; 1), i 6= 1,
и условиям сопряжения на поверхности S раздела областей V0 и V1 :
в точках гладкости
v;0 (M ) ; u+1(M ) = 0; Nn;0[u0 (M )] ; Nn+1 [u1 (M )] = 0;
(2)
в особых точках M 0
lim (u; (M ) ; u+1 (M )) = 0; Mlim
(N ; [u (M )] ; Nn+1 [u1 (M )]) = 0;
(3)
M !M 0 0
!M 0 n0 0
где оператор Nni [ ] действует согласно правилу
N [u (M )] = 2 @ui (M ) + n div u (M ) + [n; rot u (M )];
ni i
i
@n
i
i
i
i
n | нормаль к поверхности S , внешняя к области V1 ; ui (M ), Nni [ui (M )], i = 0; 1, | граничные
значения векторных функций ui (M ), Nni [ui (M )] при подходе к поверхности S со стороны области
V1 (знак \+") или V0 (знак \;"), [: : : ; : : : ] | символ векторного произведения.
В точках особых линий или конических точках реализация уравнений Ламе понимается в
смысле выполнения равенства
lim
V !M 0
Z ZZ
V
((i + 2i ) grad div ui (x1 ; x2 ; x3 ) ; i rot rot ui (x1 ; x2 ; x3 ))dv = 0;
(4)
что физически означает выполнение условий равновесия среды в особых точках, т. е. при стягивании области V в особую точку M 0 .
Функция u0 (M ), определенная в области V0 , при M ! 1 принимает заданное значение
(0)
u0 (M ), удовлетворяющее уравнению Ламе.
24
К такой задаче приводится ряд задач механики сплошной среды (теории упругости, термоупругости) [11], [13].
Асимптотика решений уравнений Ламе. Изучим поведение решений уравнения Ламе
(1) вблизи особенностей поверхностей раздела областей. Пусть гладкая замкнутая особая линия
L = S1 \ S2, где Sg , g = 1; 2, определяется уравнением fg (x1 ; x2 ; x3 ) = 0. Натянем на L гладкую
поверхность S0 , описываемую уравнением f0 (x1 ; x2 ; x3 ) = 0, на которой введем криволинейные
ортогональные координаты u, v так, что при v = v0 = const определяется особая линия L.
Параметризуем кривую L и положим u = s, где s | длина дуги, отсчитываемая от некоторой
начальной точки [14]. Величины углов, образованных поверхностями в точках особой линии,
таковы:
1(s) = arccos((grad f1 ; grad f0)=(j grad f1 j j grad f0 j));
2(s) = arccos((grad f2 ; grad f0)=(j grad f2 j j grad f0 j));
здесь (: : : ; : : : ) | символ скалярного произведения.
Пусть n n1 n2 | сопровождающий трехгранник поверхности S0 в точке M0 2 L, где n1 , n2 |
орты, лежащие в плоскости, касательной к S0 в точке M0 , n1 | касательный вектор к кривой
L, n ? n1 , n ? n2. Точка M плоскости векторов n, n2 определяется полярными координатами
= jMM0 j, = \(M0 M; n2). Соотношение
r = r0 + (cos n2 (s) + sin n(s));
(5)
где r0 , r | радиус-векторы точек M0 , M , определяет переменные , , s как криволинейные
ортогональные координаты точки M в локальной области особой линии с коэффициентами
Ламе h1 = 1, h2 = , h3 = 1 + H0 , H0 = ;(p0 cos + r11 sin ), p0 = ;jrs jv =jrv j, r11 = (r; rss )=jrs j.
Лемма 1.
Если характеристические уравнения
sin mq ! = mq sin !; sin mq ! = mq sin !;
(6)
где = {11;;{0 , {i = 3 ; 4i , i = 0; 1, ! (s) = 1 (s) ; 2 (s), = 0 =1 , в точках особой линии L
поверхности раздела S имеют корни mq 2 (0; 1) и величина m5 = =(2 ; ! (s)) < 1, то решение
уравнения Ламе в окрестности особой линии имеет асимптотику
u = fu ; u ; us ); u = mq Aq + o(mq ); u = mq Bq + o(mq );
us = m5 V + o(m5 );
q + O (1);
Nn [u] = f ; ; s g; = mq ;1 (mq ; 1)Bq + @A
@
q + O (1); = m5 ;1 @C + O (1);
= 2mq ;1 [ (1 + mq ) + 1]Aq + ( + 1) @B
s
@
@
(7)
где
Aq = (mq ; { )a1q (s) sin(mq ; 1) + ({ ; mq )b1q (s) cos(mq ; 1) +
+c1q (s) sin(mq + 1) ; d1q (s) cos(mq + 1);
Bq = (mq + { )a1q (s) cos(mq ; 1) + (mq + { )b1q (s) sin(mq ; 1) +
+c1q (s) cos(mq + 1) + d1q (s) sin(mq + 1);
C = g1 (s) cos m5 + h1 (s) sin m5 ; = 1 ; 2 ;
, , s | локальные криволинейные координаты (5).
(8)
Здесь и далее при доказательстве леммы 1, а также леммы 2 идентифицирующий индекс i,
соотносящий величины с соответствующими областями, с целью упрощения записи опущен,
кроме величин, определяющих и .
25
Доказательство. Уравнение Ламе (1) при линейных граничных условиях (3), (4) допускает
преобразование подобия
u = Au(Bx1 ; Bx2 ; Bx3);
(9)
где u = fu1 ; u2 ; u3 g, A = A(B ), A; B 2 R. Дифференцируя соотношение (9) по B , получим систему
уравнений
ка
@A + A(grad u ; r) = 0; = 1; 3:
u @B
(10)
u = F (x1; x2 ; x3 ):
(11)
Решением уравнений (10) являются однородные функции переменных x1 , x2 , x3 m-го поряд-
Подставляя (5) в (11), получаем представление компонент вектора u:
u = mq Aq (; s); u = mq Bq (; s); us = m5 C (; s);
(12)
где mq = mq (s), mq = mq (s), m5 = m5 (s). Удовлетворяя с помощью представлений (12)
уравнению (4), получим систему дифференциальных уравнений, которая совместима при mq =
mq = mq и расщепляется на систему
2
q + (1 ; 2 ) @ Aq + 2(1 ; )(m2 ; 1)A = 0;
(mq ; { ) @B
q
q
@
@2
и уравнение
q + 2(1 ; ) @ 2 Bq + (1 ; 2 )(m2 ; 1)B = 0
(mq + { ) @A
q
q
@
@2
2
m23 C + @@C2 = 0:
(13)
(14)
Решение системы (13) и уравнения (14) дается формулами (8), откуда следует представление
вектора Nn [u] в виде (7). Удовлетворяя с помощью представлений (8), (12) граничным условиям
(3) и полагая = 1 (s) и = 2 (s), получаем однородную систему линейных алгебраических
уравнений относительно величин a1q (s), b1q (s), c1q (s), d1q (s), а также однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно величин g1 (s), h1 (s). Нетривиальные решения
таких систем существуют при равенстве их главных определителей нулю, что и дает характеристические уравнения (6) и величину m5 = =(2 ; !). Число положительных корней mq 2 (0; 1)
уравнений (6), меньших единицы, не превышает четырех [15].
В случае плоской особой линии утверждение леммы совпадает с результатами работы
[16].
Пусть точка O является вершиной конической поверхности с прямолинейными образующими
и гладкой криволинейной направляющей L0 , очерченной ортом r0 (s) образующей с началом в
точке O. Следуя работе [17], введем локальные криволинейные координаты 1 , 1 , s1 согласно
равенству
r1 = 1 (r0 (s1 ) sin 1 + n3 (s1 ) cos 1 );
(15)
где r1 | радиус-вектор точки M (x1 ; x2 ; x3 ), n3 (s1 ) = r0 (s1 ); drds0 (1s1 ) | нормаль к образующей
r0 (s1 ) конической поверхности в точке O, 1 = jr1 j, 1 | угол, образованный вектором r1 с
с коэффициентами Ламе h1 = 1, h2 = 1 ,
нормалью n3 (s1 ). Такие координаты ортогональны
h3 = 1 H0k , H0k = sin 1 + d cos 1, d = r0 ; dds2 r210 и при 1 = =2 соотношения (15) описывают
26
коническую поверхность. Переходя в соотношениях (11) к координатам 1 , 1 , s1 согласно (15),
получим
u1 = m1 k1 A0k (1; s1); u1 = mk2 B0k (1; s1 ); us1 = m1 k3 Ck (1 ; s1 ); mkq = mkq (1 ; s1 ); q = 1; 3:
(16)
Подставляя представления (16) в уравнение (4), записанное в координатах 1 , 1 , s1, получим систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных A0k (1 ; s1 ), B0k (1 ; s1 ), Ck (1 ; s1 ),
mkq (1 ; s1 ), которая из-за громоздкости не выписана. Для ее совместимости необходимо, чтобы
mkq (1 ; s1 ) = const. Рассмотрим сначала случай, когда величина H0k в выражении коэффициента
Ламе h3 не зависит от переменной s1 , что отвечает, например, круговым коническим поверхностям. Исходная система дифференциальных уравнений совместима, если mk1 = mk2 = mk , и
распадается на две системы:
0k + 1 @ @A0k + b 1 @ (H B ) = 0;
aA0k + H1 @@ H0k @A
@1
H0k @s1 @s1
H0k @1 0k 0k
0k 1
@A
@
1
@
1
@
@B
0
k
0
k
c @ + 0 @ H @ (H0k B0k ) + mk (mk + 1)B0k + H @s H0k @s = 0;
1
1 0k 1
0k 1
1
1 @ (H B ) ; @ 1 @B0k = 0;
0k + 0 @
c H1 @A
0k 0k
@s
H
@s
H
@1 H0k @s1
0k 1
0k 1 0k @1
@Ck = 0; @ 1 @Ck ; 1 @ 1 @ (H c ) = 0;
0 @ H @s
@s1
H0k @s1 H0k @1 0k k
1 0k 1
0 @ 1 @Ck + @ 1 @ (H C ) + m (m + 1)C = 0;
k3 k3
k
H0k @s1 H0k @s1
@1 H0k @1 0k k
a = 0(mk + 2)(mk ; 1); b = 0 (mk ; 1) ; (1 + mk ); c = 0 (2 + mk ) ; mk ;
0 = 2(1 ; )=(1 ; 2 ); A0k = A0k (1 ; s1 ); B0k = B0k (1 ; s1 ); Ck = Ck (1 ; s1 ):
Решения таких систем получены в [17], и на основе их с учетом соотношений (16) находим
следующие представления:
u1 = m1 k (N1 Pmk ;1(cos 11 ) + N2 Pmk +1 (cos 11 ));
u1 = m1 k d(d1 N1Pmk ;1 (cos 11 ) + d2 N2 Pmk +1 (cos 11 ))=d11 ;
us1 = m1 3k N3Pm1 k3 (cos 11 );
(17)
p
где Pmk 1 (cos 11 ), Pm1 k3 (cos 11 ) | функции Лежандра, 11 = 1 +, tg = d, H0k = 1 + d2 sin 11 ,
Nr , r = 1; 3, | произвольные постоянные. Пусть H0k являeтся функцией переменных 1 и s1,
тогда исходная система дифференциальных уравнений совместима при mk1 = mk2 = mk3 = mk
и принимает вид
1
@
@A
1
@
1
@A
0
k
0
k
aA0k + H @ H0k @ + H @s H @s + bK = 0;
0k 1
1
0k 1 0k 1
@A
@K
c 0k + m
+ m (m + 1)B + 1 @ 1 Q = 0;
@1
k @
k
0k
k
H0k @s1 H0k
1 Q + m (m + 1)C = 0;
0k + mk @K ; @
c H1 @A
k k
k
H0k @s1 @1 H0k
0k @s1
k ; Q = @B0k ; @ (H C ):
K = H1 @@ (Hk0 ) + @C
@s1
@s1 @1 0k k
k0
1
1
27
(18)
Система (18) имеет решение, приведенное в [17], и тогда соотношения (16) с учетом этого
решения принимают вид
u1 = m1 k
u1 = m1 k
us1 = m1 k
Angk (1) =
N
X
(An1k (1 ) cos nls1 + An2k (1 ) sin nls1 ) + O(N ;1 );
n=0
N
X
(Bn1k (1 ) cos nls1 + Bn2k (1 ) sin nls1) + O(N ;1 );
n=0
N
X
(Cn1k (1 ) cos nls1 + Cn2k (1 ) sin nls1) + O(N ;1 );
n=0
2(2X
N +1)
j =1
Nngk (j;kk)1 (1 );
Cngk (1)
3(2X
N +1)
j =1
Bngk (1 ) =
3(2X
N +1)
j =1
(19)
Nngk Ejgk (1 );
Nngk Fjgk (1 ); g = 1; 2;
где fj;kkg1 (1 ), k1 = mk +1; mk ; 1, | функции фундаментальной системы решений, ограниченные
при 1 2 [;; ]; Ejgk (1 ), Fjgk (1 ) | известные функции; Nngk | произвольные постоянные;
l = 2=s0 ; s0 | длина направляющей.
Подставив представления (17) или (19) в условия (4) и положив 1 = =2, сгруппировав и
приравняв выражения при степенях 1 , а для соотношений (19) и при гармониках n = 0; 2N + 1,
нулю, получим однородные системы линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных.
Условиями их разрешимости являются равенства их главных определителей нулю, что дает
характеристические уравнения для показателей mk в представлениях (17) или (19)
(mk ) = 0:
(20)
Явный вид таких уравнений из-за громоздкости не выписан, а их численный анализ приведен
в [17], [18], где установлено, что множество корней mk 2 (0; 1) уравнений вида (20) непустое.
Для таких значений mk находим нетривиальные решения систем алгебраических уравнений. На
основе этого устанавливаем, что компоненты вектора Nn [u] будут иметь особенности порядка
1 ; mk в конической точке, и находим их явный вид. Таким образом, доказана
Лемма 2. Если характеристическое уравнение типа (20) имеет корни mk 2 (0; 1), то решение уравнения Ламе имеет асимптотику (17) или (19) u = fu1 ; u1 ; us1 g и
0k
Nn [u] = f1 1 ; 1 ; 1 s1 g; 1 1 = m1 k ;1 (mk ; 1)B0k + @A
@1 + O(1);
0k +
m
k ;1
1 = 21
[ (mk + 2) + 1]A0k + ( + 1) @B
@1
k
;1 @H0k
+H0;k1 @C
@s1 + B0k H0k @1 + O(1); = =(1 ; 2 );
0k C + @Ck + H ;1 @B0k + O(1):
1 s1 = m1 k ;1 ; H0;k1 @H
(21)
0k @s1
@1 k @1
Отметим, что здесь, как и в лемме 1, идентифицирующий индекс i, соотносящий величины
с соответствующей областью, для упрощения записи опущен. Компоненты векторов u, Nn [u]
зависят от 0 , 1 , а величина mk зависит от отношения = 0 =1 посредством соответствующего
характеристического уравнения, что детально показано в работе [17].
28
Разрешимость задачи. Решение уравнения Ламе (1) представляется обобщенными упругими потенциалами простого и двойного слоя [10].
Лемма 3. Если в точках гладкости замкнутой кусочно-гладкой поверхности S плотность '2 (M ) обобщенного упругого потенциала двойного слоя W (M ) удовлетворяет условию
Липшица{Гельдера, а в особых точках M 0 имеет место представление
'2(M ) = O(jMM 0 j ); 2 (0; 1); '2 (M 0 ) = 0;
(22)
то обобщенный упругий потенциал двойного слоя существует и в точках гладкости поверхности имеет место обычное представление
W (M0 ) = '2 (M0 ) + W (M0 );
(23)
где W (M0 ) | граничное значение потенциала при стремлении точки M 2 V0 (знак \;") или
точки M 2 V1 (знак \+") к точке M0 2 S ; W (M0 ) | прямое значение потенциала в M0 .
Доказательство. Пусть поверхность S содержит одну особую точку O1 , являющуюся, например, конической точкой, а точка M0 2 S является точкой гладкости. Доказательство в
случае множества особых точек аналогично. Построим сферу с центром в особой точке O1 радиуса R0 < jM0 O1 j. Тогда S = S1 [ S2 , где S1 | часть поверхности S , лежащей вне сферы и
являющейся гладкой разомкнутой поверхностью, а S2 | часть поверхности S , содержащаяся
внутри такой сферы. Потенциал представляется в виде суммы
W (M ) =
ZZ
S
;2 (M; N )'2 (N )dsN =
ZZ
S1
;2 (M; N )'2 (N )dsN +
ZZ
S2
;2 (M; N )'2 (N )dsN ; (24)
где
;2mp
;2 (M; N ) = k;2mp (M; N )k; m; p = 1; 3;
3
X (xl ; yl )nl (N )
(M; N ) = m + n01 (ym ; xm )(yp ; xp )
+
01 mp
r2
i=1
r3
+m01 nm (N ) xp r;3 yp ; np (N ) xm r;3 ym ; m = 1; 3; p = 1; 3;
E ; N = N (y ; y ; y );
m01 = 21 + 2 ; n01 = 23 ++2 ; = (1 + E
;
=
1 2 3
)(1 ; 2 )
2(1 + )
r = ((x1 ; y1 )2 + (x2 ; y2 )2 + (x3 ; y3)2)1=2 | матрица потенциала двойного слоя, mp | символ
Кронекера.
Первое слагаемое в правой части (24) существует как обобщенный упругий потенциал двойного слоя на разомкнутой поверхности Ляпунова [10]. Второе слагаемое содержит интегралы,
которые при переходе к переменным 1 , s1 (15) вычисляются как несобственные интегралы типа
Z s1
R
A
s
1 (s1 )
0
d1
ds1 = As1 (s1 )ds1 < 1:
0
0 11;
0
Пусть точка M стремится к точке M0 2 S1 , тогда, учитывая для первого слагаемого в
Z
R0
Z s1
представлении (24) известные граничные значения обобщенного упругого потенциала двойного
слоя на разомкнутых поверхностях Ляпунова ([13], с. 218) и непрерывность второго слагаемого
при M0 2 S1 , получаем формулу (23).
29
Лемма 4. Если в точках гладкости кусочно-гладкой поверхности S плотность '1 (M )
обобщенного упругого потенциала простого слоя V (M ) удовлетворяет условию Липшица{
Гельдера, а в особых точках M 0 стремится к бесконечности и имеет место асимптотическое
представление
1
'1(M ) = O jMM
0 j ; 2 (0; 1);
(25)
то обобщенный упругий потенциал простого слоя существует и является непрерывной функцией при переходе поверхности S в ее точках гладкости и в этих точках имеет место обычное
представление
Nn[V (M0 )] = '1 (M0 ) + Nn[V (M0 )];
(26)
где Nn [V (M0 )] | граничные значения вектора Nn [V (M0 )] при подходе точки M к точке M0 2 S
со стороны области V0 (знак \;") или V1 (знак \+"); Nn [V (M0 )] | прямое значение оператора
от потенциала на поверхности S .
Доказательство. Аналогично предыдущему проиллюстрируем доказательство на примере
наличия на поверхности одной особой точки, также конической. Представляя, как и в предыдущем доказательстве, поверхность S = S1 [ S2 , получаем
V (M ) =
ZZ
S
;(M; N )'1 (N )dsN =
ZZ
S1
;(M; N )'1 (N )dsN +
ZZ
S2
;(M; N )'1 (N )dsN ;
(27)
где ;(M; N ) = k;mp (M; N )k,
1
@r
@r
;mp (M; N ) = 4( + 2) ( + ) @x @x + ( + 3)mp 1r
m p
| матрица потенциала простого слоя. Первый интеграл правой части соотношения (27) существует как интеграл по поверхности Ляпунова. Переходя в интеграле второго слагаемого с
учетом (25) к переменным 1 , s1 с помощью (15), убеждаемся, что он существует как несобственный. Устремляя в представлении (27) M к M0 и учитывая непрерывность обобщенного упругого
потенциала простого слоя при переходе разомкнутых поверхностей Ляпунова ([10], с. 547), а также непрерывность второго слагаемого, убеждаемся, что V (M ) является непрерывной функцией
при переходе поверхности S в ее точках гладкости.
Подействуем оператором Nn [ ] на равенство (27), перейдем в полученном равенстве к пределу
при M ! M0 . Принимая во внимание известные граничные значения для Nn [V (M )] на разомкнутой поверхности Ляпунова ([13], с. 231) и непрерывность второго слагаемого правой части,
получаем утверждение леммы. При этом интеграл Nn [V (M0 )] понимаем как сингулярный.
30
Перейдем к общему случаю разрешимости задачи. Пусть
;1 (M; N ) = k;1mp (M; N )k;
3
X
;1mp (M; N ) = ;0; 5 m01 pm + n01 (xm ; ymr)(2 xp ; yp ) r13 (xl ; yl )nl (M ) +
l=1
+m01 nm (M ) xp r;3 yp ; np (M ) xm r;3 ym ; ;3 (M; N ) = k;3mp (M; N )k;
;3mp (M; N ) =
3
X
(p) ns );
(ms
s=1
(p)
(p) (p) = 2"(p) + ms (p) ; "(p) = 0; 5 @us + @um ;
ms
ms
ms
@xm @xs
(
h
)
(
p
)
ug = ;2gh ; g; h = 1; 3; p = 1; 3; = "(11p) + "(22p) + "(33p) ;
матрицы ;(i) (M; N ), ;(ti) (M; N ), t = 1; 3; i = 0; 1, следуют соответственно из матриц ;(M; N ),
;t (M; N ), t = 1; 3, если в элементах последних заменить постоянные , соответственно на i ,
i, т. е. при значении индекса i = 0 величины отвечают области V0, а при i = 1 | области V1 ,
M0 | точки гладкости поверхности S .
Теорема.
уравнений
0; 5
0; 5
3 ZZ
X
p=1 S
3 ZZ
X
p=1 S
Если в особых точках кусочно-гладкой поверхности корни характеристических
(6), (20) принадлежат интервалу (0; 1) и имеют место следующие соотношения :
(1)
(0)
(0)
fj;(1)
mp (M; N ) ; ;mp (M; N )j + j;2mp (M; N ) ; ;2mp (M; N )jgdsn = Am < 1;
(28)
(0)
(1)
(0)
fj;(1)
1mp (M; N ) ; ;1mp (M; N )j + j;3mp (M; N ) ; ;3mp (M; N )jgdsn = Bm < 1; m = 1; 3;
то задача сопряжения разрешима.
Пусть конечная односвязная область ограничена поверхностью S =
которая содержит конические точки Ol , l = 1; m1 , и гладкие замкнутые непересекающиеся особые линии Lj = Sj \ Sj+1 , j = 1; n1 ; 1, Ol 2= Lj . Поверхности Sj задаются уравнениями
fj (x1 ; x2 ; x3 ) = 0, а натянутые на контуры Lj , определяются уравнениями f0j (x1 ; x2 ; x3 ) = 0.
Учитывая характер решений, установленный в леммах 1, 2, представляем решения уравнений Ламе в виде
Доказательство.
n1
[S,
j =1 j
u0(M ) = u01(M ) + u02 (M ); u1 (M ) = u11 (M ) + u12 (M );
(29)
где ui1 (M ), i = 0; 1, реализуют асимптотику, приведенную в леммах 1 и 2, а ui2 (M ) являются
ограниченными непрерывными функциями в своих областях определения.
Согласно леммам 3 и 4 характер обобщенного упругого потенциала двойного слоя и оператора Nn [ ] от обобщенного упругого потенциала простого слоя вблизи точек гладкости поверхности
S определяется плотностями потенциалов с точностью до величин прямых значений их на поверхности.
Представим сингулярные составляющие посредством обобщенных упругих потенциалов простого и двойного слоя
ui1 (M ) =
ZZ
S
;(i) (M; N )'i11 (N )dsN +
31
ZZ
S
;(2i) (M; N )'i12 (N )dsN ;
(30)
где значение индекса i = 0 относится к величинам области V0 = R3 n V1 , а i = 1 | области V1 .
Векторы плотностей представляем в виде
'i11 (N ) = f'i111 (N ); 'i112 (N ); 'i113 (N )g; 'i12 (N ) = f'i121 (N ); 'i122 (N ); 'i123 (N )g;
'i111 (N ) =
n1 ;1
Y
j =1
'(1)
i11j (N )
m1
Y
k=1
'(2)
i11k (N ) ; 'i121 (N )
n1 ;1
Y
j =1
'(3)
i21j (N )
M = M (x1 ; x2 ; x3 ); N = N (y1 ; y2 ; y3 ):
m1
Y
k=1
(31)
'(4)
i21k (N ) ;
(3)
В формулах (31) функции '(1)
i11j (N ), 'i21j (N ) определяются геометрией поверхностей вблизи
особых линий и согласно леммам 1, 3 ,4 имеют вид
p2
E
D
i+1 X Rmqj ;1 (N ) (m + 1)B [T (N )] + @Aijq [Tj (N )] ;
'(1)
qj
ijq j
i11j (N ) = 2i (;1)
j
@Tj (N )
q=1
E
p
2
D
i+1 X Rmq1j ;1 (N ) [ (1 + n ) + 1]A [T (N )] + ( + 1) @Bijq [Tj (N )] ;
'(1)
(
N
)
=
2
(
;
1)
i
i
i
ijq j
i
i12j
j
@Tj (N )
q=1
p2
i Rm5j ;1 (N ) @Cij [Tj (N )] ; '(3) (N ) = (;1)i X Rmqj (N )A [T (N )];
'(1)
(
N
)
=
(
;
1)
i j
ijq j
i13j
i12j
j
@Tj (N )
q=1
p2
i X Rmqj (N )B [T (N )]; '(3) (N ) = (;1)i Rm3j (N )C [T (N )];
'(3)
(
N
)
=
(
;
1)
(32)
ijq j
ij j
i22j
j
i23j
j
q=1
Aijq (Tj (N )) = (mqj ; {i )a1ijq sin((mqj ; 1)Tj (N )) + ({i ; mqj )b1ijq cos((mqj ; 1)Tj (N )) +
+c1ijq sin((mqj + 1)Tj (N )) ; d1ijq cos((mqj + 1)Tj (N ));
Bijq (Tj (N )) = (mqj + {i )a1ijq cos((mqj ; 1)Tj (N )) + (mqj + {i)b1ijq sin((mqj ; 1)Tj (N )) +
+c1ijq cos((mqj + 1)Tj (N )) + d1ijq sin((mqj + 1)Tj (N ));
Cij (Tj (N )) = g1ij cos(m5j Tj (N )) + h1ij sin(m5j Tj (N ));
Rj (N ) = ((f0j (N )=j grad f0j (N )j)2 + Q2j (N ))1=2 ; Tj (N ) = arcsin(f0j (N )=(j grad f0j (N )jRj (N )));
Qj (N ) = (fj (N )=j grad fj (N )j) + (1 ; (G2j (N ); G0j (N ))2 f0j (N )=j grad f0j (N )j(G0j (N ); G2j (N )));
Gj (N ) = grad fj (N )=j grad fj (N )j; G0j (N ) = grad f0j (N )=j grad f0j (N )j;
G2j (N ) = [[Gj (N ); Gj+1 (N )]=j[Gj (N ); Gj+1 (N )]j; G0j (N )];
p2 | число корней mqj 2 (0; 1) характеристических уравнений (6).
(4)
Функции '(2)
i11k (N ), 'i21k (N ) определяются геометрией поверхностей вблизи конических точек
и согласно леммам 2{4 имеют вид (17) и (21) или (19) и (21), в которых необходимо заменить
1 , 1, s1 соответственно на
Rl (N ) = ((y1 ; x1l )2 + (y2 ; x2l )2 + (y3 ; x3l )2 )1=2 ;
Tln (N ) = arcsin(Rl;1 (N )(l0l (y1 ; x1l ) + m0l (y2 ; x2l ) + n0l (y3 ; x3l )));
Z 'l
Sl (N ) = ((dl0l (N )=d'l )2 + (dm0l (N )=d'l )2 + (dn0l (N )=d'l )2 )d'l ;
0
где 'l = 'l (y2 ; y3 ), Ol (x1l ; x2l ; x3l ), l0k (N ), m0k (N ), n0k (N ) | координаты орта образующей r0k (N ),
и просуммировать в зависимости от числа корней mk 2 (0; 1) уравнения (20).
Представление сингулярных составляющих обобщенными упругими потенциалами двойного
и простого слоя с плотностями (31), (32) отвечает условиям лемм 3 и 4. Удовлетворяя с помощью
(29), (30) граничным условиям (4) в особых точках при переходе к соответствующим локальным
координатам, убеждаемся, что они реализуются.
32
Регулярные составляющие решений уравнений Ламе в формулах (29) представляем также
обобщенными упругими потенциалами простого и двойного слоя с неизвестными плотностями
'i21 (N ), 'i22 (N ), i = 0; 1,
u02 (M ) = u(0)
0 (M ) +
ZZ
u12 (M ) = u(0)
1 (M ) +
ZZ
S
S
;(M; N )'021 (N )dsN +
;(M; N )'121 (N )dsN +
ZZ
S
ZZ
S
;2 (M; N )'022 (N )dsN ;
(33)
;2 (M; N )'122 (N )dsN ;
(34)
где u(0)
i (M ) | известные векторы, удовлетворяющие уравнению Ламе (1) и обусловленные физической сущностью задачи, а также условиям на бесконечности.
Подставляя представления (29){(34) в граничные условия (3) в точках гладкости и учитывая формулы (23), (26), получим систему интегральных уравнений, в которой полагаем ввиду
произвольности плотностей
'021 (N ) = '121 (N ); '022 (N ) = '122 (N ):
В результате придем к системе интегральных уравнений
'022 (M0 ) ; 0; 5
ZZ
S
[;(1) (M0 ; N ) ; ;(0) (M0 ; N )]'021 (N )dsN ;
; 0; 5
'021 (M0 ) + 0; 5
ZZ
S
ZZ
S
(0)
[;(1)
2 (M0 ; N ) ; ;2 (M0 ; N )]'022 (N )dsN = ;0; 5g 1 (M0 );
(0)
[;(1)
1 (M0 ; N ) ; ;1 (M0 ; N )]'021 (N )dsN +
+ 0; 5
ZZ
S
(0)
[;(1)
3 (M0 ; N ) ; ;3 (M0 ; N )]'022 (N )dsN = 0; 5h1 (M0 );
(35)
где
;
(0)+
+
g1 (M0) = u;01(M0 ) + u(0)
0 (M0 ) ; (u11 (M0 ) + u1 (M0 ));
(0)
+
h1(M0 ) = Nn;0 [u01(M0 ) + u(0)
0 (M0 )] ; Nn1 [u11 (M0 ) + u1 (M0 )];
матрицы ;(i) (M; N ), ;(ti) (M; N ), t = 1; 3, и оператор Nni [ ] при значении индекса i = 0 отвечают
области V0 , а при i = 1 | области V1 , M0 | точки гладкости поверхности S . Ввиду выполнения
условий (3) в особых точках правые части уравнений (35) являются непрерывными ограниченными функциями на поверхности S , а матрицы ;(1i) (M0 ; N ), ;(3i) (M0 ; N ) порождают сингулярные
интегралы, поэтому (35) является системой сингулярных интегральных уравнений [19].
33
Решение системы (35) аналогично [13] представляем в итерационной форме
(0)
'(0)
022 (M ) = ;0; Z5Zg 1 (M ); '021 = 0; 5h1 (M );
n) (M ) = 0; 5
n;1) (N )ds +
'(022
[;(1) (M; N ) ; ;(0) (M; N )]'(021
N
S
+ 0; 5
n) (M ) = ;0; 5
'(021
ZZ
ZZ
S
S
ZZ
; 0; 5
(0)
(n;1)
[;(1)
2 (M; N ) ; ;2 (M; N )]'022 (N )dsN ; 0; 5g 1 (M );
(0)
(n;1)
[;(1)
1 (M; N ) ; ;1 (M; N )]'021 (N )dsN ;
S
(n;1)
(0)
[;(1)
3 (M; N ) ; ;3 (M; N )]'022 (N )dsN + 0; 5h1 (M );
(36)
(n)
(n)
'022 (M ) = nlim
(37)
!1 '022 (M ); '021 (M ) = nlim
!1 '021 (M ):
Здесь точка M принадлежит множеству точек гладкости поверхности S . Сходимость пределов
(37) равносильна сходимости рядов
'(0)
021 (M ) +
1
X
n) (M ) ; '(n;1) (M )]; '(0) (M ) +
['(021
021
022
n=1
1
X
n=1
n) (M ) ; '(n;1) (M )]:
['(022
022
(38)
Переходя к скалярным компонентам (38) и учитывая условия (28), находим, что они мажори1
1
P
P
руются сходящимися числовыми рядами Anm M1m , Bmn M1m , где M1m = maxfj0; 5h1m (M )j,
n=1
n=1
j0; 5g1m (M )jg, h1(M ) = fh11 (M ); h12 (M ); h13 (M )g, g1 (M ) = fg11 (M ); g12 (M ); g13 (M )g, и таким
образом, ряды (38) сходятся абсолютно и равномерно в точках гладкости поверхности S . Выполняя предельный переход в (36) с учетом равномерной сходимости (38) в точках гладкости
M; N 2 S , получаем, что (36), (37) является решением системы (35).
a) (M ), '(a) (M ) и '(b) (M ), '(b) (M ), тогда, подставляя
Пусть система имеет два решения '(021
022
021
022
их в (35) и вычитая уравнения, получим
; ub (M0 ) + 0; 5
+ 0; 5
ZZ
S
+ 0; 5
где
S
S
[;(1) (M0 ; N ) ; ;(0) (M0 ; N )]ua (N )dsN +
(0)
[;(1)
2 (M0 ; N ) ; ;2 (M0 ; N )]ub (N )dsN = 0;
; ua (M0) + 0; 5
ZZ
ZZ
ZZ
S
(0)
[;(1)
1 (M0 ; N ) ; ;1 (M0 ; N )]ua (N )dsN +
(39)
(0)
[;(1)
3 (M0 ; N ) ; ;3 (M0 ; N )]ub (N )dsN = 0;
a) (M ) ; '(b) (M );
ua(M ) = fua1 (M ); ua2 (M ); ua3 (M )g = '(021
021
(
a
)
(
b) (M ):
ub (M ) = fub1 (M ); ub2 (M ); ub3 (M )g = '022 (M ) ; '022
Решения системы (35) ограничены на S и поэтому juql (M )j < L, q = 1; 2, l = 1; 3. Тогда из (39) с
учетом (28) имеем L jAm jL, L jBm jL, откуда следует jAm j 1, jBm j 1, что противоречит
условию теоремы, т. е. решение задачи единственно.
34
Для приведения задачи сопряжения к системе сингулярных интегральных уравнений в случае N попарно непересекающихся конечных односвязных областей Vi сингулярные составляющие решений уравнений Ламе строим аналогично (30){(32) для каждой области. Регулярные
слагаемые берем, следуя (34) для каждой области Vi , i = 1; N , а для области V0 = R3 n i=1
[N Vi
N
P
N
P
представляем в виде u01 (M ) = u0j1 (M ), u02 (M ) = u0j2 (M ), где u0j1 (M ) строится с учеj =1
j =1
том негладкостей поверхностей раздела Si областей Vi и V0 аналогично изложенному выше, а
слагаемые u0j2 (M ) представляются в виде (33), (34).
Литература
1. Денисюк И.Т. Решение одной задачи сопряжения для составной области с угловыми точками на линиях раздела // Изв. вузов. Математика. { 1996. { Є 6. { С. 17{24.
2. Денисюк И.Т. Одна задача сопряжения аналитических функций в аффинно-преобразованных
областях с кусочно-гладкими границами // Изв. вузов. Математика. { 2000. { Є 6. { С. 70{74.
3. Денисюк И.Т. Термоупругость изотропной пластинки с угловыми включениями // Изв.
РАН. Сер. механ. твердого тела. { 1999. { Є 2. { С. 148{155.
4. Денисюк И.Т. Одна модель тонких упругих включений в изотропной пластинке // Изв.
РАН. Сер. механ. твердого тела. { 2000. { Є 4. { С. 140{148.
5. Денисюк И.Т. Напряжения анизотропной пластинки с угловыми включениями // Прикл.
механика. { 1999. { Є 2. { С. 76{84.
6. Денисюк И.Т. Особенность напряжений анизотропной пластинки с угловым вырезом //
Прикл. механика. { 1996. { Є 1. { С. 48{52.
7. Денисюк I.Т. Термонапруження в анiзотропнiй пластинi з кутовими включеннями // Фiз.хiм. механ. матерiалiв. { 1999. { Є 3. { С. 59{68.
8. Барабаш С.С., Денисюк I.Т. Поздовжнiй зсув анiзотропного тiла з кутовими вкрапленнями
// Фiз.-хiм. механ. матерiалiв. { 1996. { Є 4. { С. 86{90.
9. Денисюк I.Т. Поздовжнiй зсув анiзотропного тiла з пружними смугами // Фiз.-хiм. механ.
матерiалiв. { 1997. { Є 1. { С .51{56.
10. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. { М.: Наука, 1981.
{ 688 с.
11. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T. 1. { М.: Наука, 1973. { 536 с.
12. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T. 2. { М.: Наука, 1973. { 568 с.
13. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. { Тбилиси: Изд-во Тбилисск. ун-та, 1968. { 627 с.
14. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. { М.: ГИФМЛ, 1958. { 244 с.
15. Денисюк I.Т. Сингулярнi напруження в iзотропнiй матрицi з пружним клином // Фiз.{хiм.
механ. матерiалiв. { 1992. { Є 4. { С. 76{81.
16. Денисюк И.Т. Напряженное состояние вблизи особой линии поверхности раздела сред //
Изв. РАН. Сер. Механ. твердого тела. { 1995. { Є 5. { С. 64{70.
17. Денисюк И.Т. Напряжения вблизи конической точки поверхности раздела сред // Изв. РАН.
Сер. механ. твердого тела. { 2001. { Є 3. { С. 68{77.
18. Денисюк I.Т. Напруження бiля конiчних та пiрамiдальних включень // Фiз.-хiм. механ.
матерiалiв. { 2000. { Є 3. { С. 16{20.
19. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. { М.: Физматгиз, 1962. { 254 с.
Луцкий государственный
технический университет (Украина)
Поступили
первый вариант 06:12:2001
окончательный вариант 08:04:2003
35
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
209 Кб
Теги
сопряжение, областям, решение, уравнения, кусочногладкими, границами, задачи, ламе
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа