close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Зацепления вершинно оснащенных графов.

код для вставкиСкачать
УДК 515.162.8
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2
ЗАЦЕПЛЕНИЯ ВЕРШИННО ОСНАЩЕННЫХ ГРАФОВ
В. М. Нежинский1 , Ю. В. Маслова2
1. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, nezhin@pdmi.ras.ru
2. ООО «Август»,
канд. физ.-мат. наук, yuliapetrova@mail.ru
1. Фундаментальной задачей теории зацеплений является проблема изотопической классификации зацеплений. В настоящей работе рассматривается проблема
изотопической классификации зацеплений графов; графы снабжены дополнительной
структурой — каждая вершина каждого графа оснащена. (Определения см. ниже,
п. 2.)
Главная цель этой работы — свести задачу изотопической классификации зацеплений вершинно оснащенных графов к стандартной задаче теории классических зацеплений.
Кауфман [1] предложил алгоритм, который любому зацеплению вершинно оснащенных четырехвалентных графов ставит в соответствие конечный набор классических зацеплений, изотопический класс каждого из которых определяется изотопическим классом исходного зацепления вершинно оснащенных графов; его алгоритм
содержит два варианта: для случая, когда все ребра графа неориентированы, и для
случая, когда они ориентированы. Кауфман и Фогель [1, 2] применили этот алгоритм
к построению полиномиальных инвариантов зацеплений вершинно оснащенных графов, а также к нахождению достаточных условий зеркальности таких зацеплений.
Никитин [3] перенес перечисленные выше результаты Кауфмана и Фогеля на случай
вершинно оснащенных шестивалентных графов.
2. Всюду в этой заметке под графом мы понимаем конечное связное одномерное
или нульмерное клеточное пространство.
2.1. Пусть Γ — какой-нибудь граф.
Мы будем говорить, что граф Γ снабжен t-структурой, если фиксировано
(какое-нибудь) его максимальное дерево. Предположим, что граф Γ снабжен tструктурой T . Цикл графа Γ называется элементарным относительно t-структуры
T , если он является редуцированным и одно и только одно его ребро не содержится
в дереве T ; это ребро мы будем называть индикатором цикла. Оказывается, любое ребро графа Γ, не содержащееся в дереве T , является индикатором какого-то
элементарного относительно t-структуры T цикла, и этот цикл единственный.
(Заметим, что если ребро содержится в дереве T , то оно, вообще говоря, может не
быть ребром никакого элементарного цикла, а если является, то таких циклов может
быть больше одного.)
Далее, обозначим через E(Γ) множество ребер графа Γ, через m(Γ) — число ребер
графа Γ. Мы будем говорить, что граф Γ снабжен n-структурой, если фиксировано
©
В. М. Нежинский, Ю. В. Маслова, 2012
57
какое-нибудь биективное отображение E(Γ) 1, 2, . . . , m(Γ). Если граф снабжен
n-структурой, то мы будем также говорить, что его ребра занумерованы.
Наконец, предположим, что граф Γ снабжен и t-, и n-структурами. Обозначим
эти структуры через T и N соответственно и предположим, что ребра дерева T имеют
номера im(Γ)−m(T )+1, . . . , im(Γ) . (Ясно, что тогда ребра графа Γ, не содержащиеся в
дереве T , будут иметь номера i1 , i2 , . . . , im(Γ)−m(T ) .) Пусть
ϕ im(Γ)−m(T )+1, . . . , im(Γ) (iu , iv ) 1 Z u < v Z m(Γ) − m(T )
есть отображение, обладающее следующим свойством: если ϕ(iw ) = (iu , iv ), то ребро
графа Γ с номером iw содержится как в элементарном цикле, индикатором которого
является ребро с номером iu , так и в элементарном цикле, индикатором которого является ребро с номером iv . Назовем это отображение монотонным, если из равенства
ϕ(iw ) = (iu , iv ) следует, что элементарные циклы, индикаторами которых являются
ребра графа Γ с номерами iu и iv , пересекаются друг с другом только по ребрам (дерева T ), номера которых не превосходят числа iw . Отображение ϕ мы будем называть
(Γ, T, N )-характеристическим, если оно монотонно и инъективно.
Оставшаяся часть этого пункта посвящена формулировке достаточных условий
существования характеристического отображения.
Начнем с определения вершинно оснащенного графа.
Пусть Γ — какой-нибудь граф. Возьмем набор замкнутых непересекающихся ориентированных двумерных дисков, по одному диску для каждой вершины графа Γ.
Приклеим к графу Γ диски этого набора так, чтобы каждая вершина графа Γ совпала с центром соответствующего диска из этого набора, а для каждого ребра графа Γ и
любой его граничной точки замкнутая связная окрестность этой точки (в этом ребре)
совпала с некоторым радиусом соответствующего диска; полученное топологическое
пространство обозначим через Δ. Приклееные диски мы будем называть оснащенными вершинами графа Γ, пространство Δ — вершинным оснащением графа Γ, пару
(Δ, Γ) – вершинно оснащенным графом.
Далее, определим понятие грани вершинно оснащенного графа.
Пусть (Δ, Γ) — вершинно оснащенный граф. Обозначим через D1 , . . . , Dk все его
оснащенные вершины. Выберем m(Γ) ориентированных ленточек, по одной ленточке
для каждого ребра графа Γ, и для каждого натурального числа i (i Z m(Γ)) приклеим
ленточку [0, 1] " [0, 2] к дискам D1 , . . . , Dk по вложению
hi [0, 1] " ∂([0, 2]) (∂D1 1 ċ ċ ċ 1 ∂Dk ) 2 (Im h1 1 ċ ċ ċ 1 Im hi−1 )
так, чтобы ее ось содержалась в соответствующем ребре и поверхность D1 1 ċ ċ ċ 1 Dk 1
Im h1 1 ċ ċ ċ 1 Im hi была ориентирована, ориентация совпадала с заданными ориентациями дисков D1 , . . . , Dk и ленточек. Ясно, что краем поверхности является набор
окружностей. Заклеим эти окружности дисками. Получим замкнутую поверхность,
содержащую граф Γ. Дополнение графа Γ в поверхности есть набор подмножеств,
каждое из которых гомеоморфно открытому двумерному диску; эти подмножества
мы будем называть гранями вершинно оснащенного графа (Δ, Γ).
Наконец, введем понятие допустимого вершинно оснащенного графа.
Предположим, что граф Γ снабжен t-структурой T . У каждой грани вершинно
оснащенного графа (Δ, Γ) найдем границу. Выберем среди этих границ те, которые
содержат хотя бы одно ребро дерева T . Назовем вершинно оснащенный граф (Δ, Γ)
58
почти допустимым относительно дерева T , если каждая из выбранных границ является замкнутой кривой не более чем с конечным числом точек самопересечения, и
любые две различные такие границы либо не пересекаются, либо пересекаются только по вершинам, либо пересекаются только по одному ребру и вершинам графа Γ.
Назовем почти допустимый вершинно оснащенный граф (Δ, Γ) допустимым, если
граф Γ либо тривиален (то есть состоит из одной точки), либо граф Γ есть петля,
либо степень каждой вершины графа Γ больше двух.
Первым основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема A. Пусть Γ — граф, снабженный t-структурой T . Если вершины графа
Γ можно оснастить так, чтобы вершинно оснащенный граф (Δ, Γ) являлся допустимым относительно дерева T , то для некоторой n-структуры N графа Γ существует (Γ, T, N )-характеристическое отображение.
2.2. Зацеплением вершинно оснащенных графов (Δ1 , Γ1 ), . . . , (Δr , Γr ) называется последовательность гладких вложений
(f1 Δ1 R3 , . . . , fr Δr R3 )
(то есть топологических вложений, сужение каждого из которых на любое открытое ребро и на любую оснащенную вершину соответствующего графа есть гладкое
вложение) с попарно непересекающимися образами.
Зацепления (f1 , . . . , fr ) и (f1 , . . . , fr ) вершинно оснащенных графов (Δ1 , Γ1 ), . . . ,
(Δr , Γr ) называются изотопными, если существует последовательность гладких отображений
(F1 Δ1 " I R3 , . . . , Fr Δr " I R3 )
(то есть непрерывных отображений, сужения которых на l " I, где l — открытое ребро
или оснащенная вершина, суть гладкие отображения для любого l), такая что (для
1 Z i j Z r):
(1) Fi (x, 0) = fi (x) и Fi (x, 1) = fi (x) для любого x Δi ;
(2) отображение Fi Δi t есть гладкое вложение для любого t I;
(3) Fi (Δi " t) 3 Fj (Δj " t) = для любого t I.
Ясно, что изотопия есть отношение эквивалентности.
Множество изотопических классов зацеплений вершинно оснащенных графов
(Δ1 , Γ1 ), . . . , (Δr , Γr ) в R3 мы будем обозначать через L((Δ1 , Γ1 ), . . . , (Δr , Γr )).
Обозначим, как обычно, через D3 стандартный единичный шар в R3 . Струнным
зацеплением называется последовательность гладких вложений
(f1 I D3 , . . . , fr I D3 )
с попарно непересекающимися образами, такая что (для любого натурального числа
i Z r)
2πi
1
2πi
, (1 − t) sin
, 00 при t k0, l
fi (t) = /(1 − t) cos
2r + 1
2r + 1
3
и что
2π(2r + 1 − i)
2π(2r + 1 − i)
2
fi (t) = *t cos
, t sin
, 0, при t k , 1l ;
2r + 1
2r + 1
3
вложение fi называется i-й нитью струнного зацепления (f1 , . . . , fr ).
59
Струнныe зацепления (f1 , . . . , fr ) и (f1 , . . . , fr ) называются изотопными, если
существует последовательность гладких отображений
F1 I " I D3 , . . . , Fr I " I D3 ,
такая что (для 1 Z i j Z r):
(1) Fi (x, 0) = fi (x) и Fi (x, 1) = fi (x) для любого x I;
(2) отображение Fi It есть гладкое вложение для любого t I;
(3) Fi (I " t) 3 Fj (I " t) = для любого t I.
Ясно, что изотопия есть отношение эквивалентности; обозначим через Str(r) множество изотопических классов струнных зацеплений с r нитями.
Пусть, далее, t Z r(r − 1)2 — целое неотрицательное число и p1 , q1 , p2 , q2 , . . . , pt , qt —
последовательность натуральных чисел, такая что pk < qk Z r и (pk , qk ) (ps , qs ) для
k s. Через Str(r, t; (p1 , q1 ), (p2 , q2 ), . . . , (pt , qt )) мы будем обозначать подмножество
множества Str(r), состоящее из классов тех струнных зацеплений, коэффициенты
зацепления pk -й и qk -й нитей которых равны нулю при k = 1, 2, . . . , t.
Сформулируем теперь второй основной результат настоящей работы.
Пусть r — натуральное число и Γ1 , . . . , Γr — графы. Предположим, что для каждого натурального числа i Z r, граф Γi снабжен t-структурой Ti и n-структурой
Ni ; положим ti = m(Ti ) и ni = m(Γi ) − m(Ti ). Предположим, далее, что числа
jni +1 , . . . , jni +ti — номера ребер дерева Ti и что числа j1 , . . . , jni — номера ребер графа Γi , не содержащихся в дереве Ti . Предположим, сверх того, что для каждого
натурального числа i Z r граф Γi и заданные на нем структуры Ti и Ni таковы,
что существует (Γi , Ni , Ti )-характеристическое отображение; выберем такое отображение и обозначим его через ϕi . Выберем какое-нибудь биективное отображение
ωi 1, 2, . . . , ni + ti 1, 2, . . . , ni + ti , обладающее следующими свойствами: если k Z ni , то ωi (jk ) Z ni ; если k Z ni , l Z ni и jk < jl , то ωi (jk ) < ωi (jl ). Наконец,
рассмотрим все пары чисел (p, q), такие что (ωi−1 (p), ωi−1 (q)) Im ϕi , и обозначим их
через (pi1 , qi1 ), . . . , (piti , qiti ). (Ясно, что таких пар ti штук.)
Теорема B. Для каждого набора вершинных оснащений Δ1 , . . . , Δr графов Γ1 ,
. . . , Γr существует стандартное сюръективное при r 1 и биективное при r = 1
отображение
Str(n1 + ċ ċ ċ + nr , t1 + ċ ċ ċ + tr ; (p11 , q11 ), . . . , (p1t1 , q1t1 ),
(p21 + n1 , q21 + n1 ), . . . , (p2t2 + n1 , q2t2 + n1 ), . . . ,
(prtr
(pr1 + n1 + ċ ċ ċ + nr−1 , qr1 + n1 + ċ ċ ċ + nr−1 ), . . . ,
+ n1 + ċ ċ ċ + nr−1 , qrtr + n1 + ċ ċ ċ + nr−1 )) m L((Δ1 , Γ1 ), . . . , (Δr , Γr )).
Литература
1. Kauffman L. H. Invariants of Graphs in Three-Space // Transactions of the American
Mathematical Society. 1989. Vol. 311, N 2. P. 697–710.
2. Kauffman L. H., Vogel P. Link polynomials and a graphical calculus // J. Knot Theory
and Its Ramifications. 1992. Vol. 1, N 1. P. 59–104.
3. Никитин Ф. М. Об инвариантах Кауффмана для 6-валентных графов // Записки
научных семинаров ПОМИ. 1995. Т. 223. С. 151–262.
Статья поступила в редакцию 26 декабря 2011 г.
60
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
259 Кб
Теги
вершинной, зацепления, оснащення, графов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа