close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Инвариантная стабилизация импульсных систем с нелинейной непрерывной частью.

код для вставкиСкачать
УДК 517.929
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 3
А. Х. Гелиг, В. А. Муранов
ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
С НЕЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ЧАСТЬЮ∗
1. Введение
Под инвариантностью понимается независимость данного выхода системы возмущения, постоянно действующего на систему через один из ее входов. Первой работой в этой области была статья [1], в которой было предложено решение задачи инвариантности для линейной стационарной системы шестого порядка. Эта работа стала
предметом оживленной дискуссии [2] и стимулировала многочисленные исследования,
обзор которых приведен в [3]. В большинстве работ по проблеме инвариантности изучались линейные системы (из последних работ см., например, [4–6]). По инвариантности
нелинейных систем опубликовано значительно меньше работ (см. обзор [3]), в них использовались либо различные методы линеаризации, либо подходы, близкие к теории
чувствительности. В [7] было синтезировано стабилизирующее инвариантное управление для непрерывной нелинейной системы. Для импульсной системы с нестационарной
непрерывной линейной частью задача инвариантной стабилизации рассматривалась в
[8]. В этой статье инвариантное управление строится для импульсной системы с нелинейной непрерывной частью.
2. Постановка задачи
Рассмотрим при t ≥ t0 импульсную систему, описываемую функционально-дифференциальными уравнениями
ẋ = A(t, x(t), x(t−τ ))x+b1 (t, x(t), x(t−τ ))ξ+b2 (t, x(t), x(t−τ ))ν +g(t, x(t), x(t−τ ))ψ(t),
ξ = Mζ, σ(x) = c∗ x,
(1)
где τ ≥ 0, A ∈ Rm×m ; c, b1 , b2 , g ∈ Rm ; ξ, ζ, ν, ψ ∈ R1 ; x ∈ Rm , ∗ — знак транспонирования, все величины вещественные. Элементы матриц A, b1 , b2 непрерывны по всем
аргументам и равномерно ограничены в [t0 , +∞) × R2m , c — постоянный столбец.
В уравнениях (1) ψ(t) — постоянно действующее возмущение, ζ — сигнал на входе
импульсного модулятора, ξ — сигнал на его выходе, σ — скалярный выход системы, M —
нелинейный оператор класса G [9], который каждой непрерывной на [t0 , +∞) функции
ζ(t) ставит в сооответствие последовательность {tn } (n = 0, 1, 2, . . .), и функцию ξ(t),
обладающие следующими свойствами:
1) существуют такие положительные постоянные T и δ0 , что для всех n верна оценка
δ0 T ≤ tn+1 − tn ≤ T ;
2) функция ξ(t) кусочно непрерывна на каждом промежутке [tn , tn+1 ) и не меняет
знака на нем;
3) ξ(t) зависит только от значений ζ(τ ) при τ ≤ t, tn зависит только от значений
ζ(τ ) при τ ≤ tn ;
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00290).
c А. Х. Гелиг, В. А. Муранов, 2007
100
4) Для каждого n существует e
tn ∈ [tn , tn+1 ) такое, что среднее значение n-го импульса
tZ
n+1
1
vn =
ξ(t) dt
tn+1 − tn
tn
удовлетворяет равенству
vn = ϕ(ζ(e
tn )),
(2)
где ϕ(ζ) — «эквивалентная нелинейность» импульсного модулятора [9]. В этой статье
предполагается, что функция ϕ(ζ) непрерывная и монотонная на (−∞, +∞), причем
ϕ(+∞) = +∞,
ϕ(−∞) = −∞.
Свойствами 1–4 обладают различные виды комбинированной импульсной модуляции [10, 11], в том числе амплитудно-частотная модуляция, при которой
ξ(t) = ϕ(ζ(tn ))
(3)
для tn ≤ t < tn+1 .
Задача заключается в построении управлений ν и ζ таким образом, чтобы любое
решение системы (1) обладало свойствами
σ(t) = c∗ x(t0 )exp[−β(t − t0 )],
(4)
lim ||x(t)|| ≤ γ lim |ψ(t)|,
(5)
t→+∞
t→+∞
где β — заданное положительное число, а γ — положительная константа, не зависящая
от x(t0 ).
3. Формулировка результата
Задача будет решаться в два этапа. Сначала будет выбрано управление ν таким
образом, чтобы удовлетворялось соотношение (4), означающее инвариантность выхода
системы σ(t) от внешнего возмущения ψ(t). Затем условие стабилизации (5) будет достигнуто путем синтеза управления ζ. Очевидно, что условие (4) вытекает из равенства
σ̇ + βσ = 0.
(6)
Продифференцировав σ в силу системы (1), представим (6) в виде
c∗ (A(·)x + b1 (·)ξ + b2 (·)ν + g(·)ψ) + βc∗ x = 0.
Здесь и в дальнейшем (·) = (t, x(t), x(t − τ )). Отсюда находим управление ν:
ν=−
1
c∗ b
2 (·)
[c∗ (A(·) + βI)x + c∗ b1 (·)ξ + c∗ g(·)ψ],
(7)
если b2 (·) обладает свойством
inf
(·)∈[t0 ,+∞)×Rm
|c∗ b2 (·)| > 0.
(8)
101
Подставив выражение (7) в (1), приходим к уравнению
ẋ = A1 (·)x + b(·)ξ + f (·),
где
A1 (·) =
b(·) =
(9)
b2 (·)c∗
b2 (·)c∗
I− ∗
A(·) − β ∗
,
c b2 (·)
c b2 (·)
b2 (·)c∗
b1 (·),
I− ∗
c b2 (·)
f (·) = g1 (·)ψ(t),
g1 (·) = g(·) −
c∗ g(·)
b2 (·).
c∗ b2 (·)
Переходим ко второму этапу — построению управления ζ, стабилизирующего систему
(9). Здесь будут рассмотрены два класса систем (9), для которых [12] были построены
стабилизирующие управления при отсутствии внешнего возмущения.
В первом классе матрица A1 (·) имеет вид матрицы Фробениуса с функциональной
нижней строкой:
0
1
0
...
0 0
0
1
...
0 ..
A1 (·) = (10)
,
.
0
0
0
...
1 α1 (·) α2 (·) α3 (·) . . . αm (·) а оператор M обладает свойствами 1 и (3). В этом случае при условии доминирования
последнего элемента столбца b(·) над остальными его элементами, в [12] были построены
постоянная положительно определенная матрица H и скаляр λ такие, что при
s = λHem
(11)
матрица
L(·) = HA1 (·) + A∗1 (·)H + Hb(·)s∗ + sb∗ (·)H + βH
удовлетворяет неравенству
L(·) < 0
(12)
ζ = ϕ−1 (s∗ x),
(13)
при всех (·) ∈ [t0 , +∞) × R2m .
Положим в (9)
где ϕ−1 — функция обратная к функции ϕ. Тогда соотношение (3) примет вид
ξ(t) = s∗ x(tn ),
t ∈ [tn , tn+1 ).
(14)
Рассмотрим функцию Ляпунова V (x) = x∗ Hx. Ее производную в силу системы (9) и
соотношения (14) можно представить в виде
V̇ = x∗ L(·)x − βx∗ Hx + 2x∗ Hb(·)s∗ (x̄ − x) + 2x∗ Hf (·),
(15)
где x̄(t) = x(tn ) при tn ≤ t < tn+1
Очевидны соотношения
1
1
1
1
1
2x∗ Hf (·) = 2(H 2 x)∗ H 2 f (·) ≤ εkH 2 xk2 + kH 2 f (·)k2 ,
ε
102
(16)
1
2x∗ Hb(·)s∗ (x − x) ≤ µkH 2 xk2 +
1
1
kH 2 b(·)s∗ (x − x)k2 ,
µ
(17)
где ε и µ — положительные параметры, которые будут выбраны ниже. Поскольку
1
kH 2 xk2 = V (x), из (15) в силу (12), (16), (17) вытекает оценка
V̇ ≤ −β1 V + δ1 kx̄ − xk2 + γ1 ψ 2 (t),
где β1 = β − µ − ε, δ1 =
(18)
1
1
1
1
up определяется как
sg
upkH 2 b(·)s∗ k2 , γ1 = sg
upkH 2 g1 (·)k2 , а sg
µ
ε
sg
up =
sup
.
(·)∈[t0 ,+∞)×R2m
Из неравенства (18) в силу свойства 1 оператора M следует оценка
Z tn+1
Vn+1 − Vn ≤ −β1
V dt + δ1 Jn + γ1 T χn ,
(19)
tn
где Jn =
Z
tn+1
tn
kx̄ − xk2 dt, χn =
ψ 2 (t). Оценим величину Jn . В силу неравенства
sup
t∈[tn ,tn )
Виртингера [10, 11], свойства 1 оператора M и уравнения (9) справедливы соотношения
Z
Z
4T 2 tn+1
12T 2 tn+1 Jn ≤ 2
kẋk2 dt ≤
k(A1 (·) + b(·)s∗ )xk2 + kb(·)s∗ (x̄ − x)k2 + kf (·)k2 dt.
2
π
π
tn
tn
1
V , где λ− — минимальное собственное число
λ−
Отсюда в силу неравенства kxk2 ≤
матрицы H, вытекает оценка
Jn ≤ δ2 T
2
Z
tn+1
V dt + δ3 T 2 Jn + γ2 χn ,
(20)
tn
12
12
12T 3
∗ 2
∗ 2
s
g
upkA(·)
+
b(·)s
k
,
δ
=
s
g
upkb(·)s
k
,
γ
sg
upkg1 (·)k2 .
=
3
2
π 2 λ−
π2
π2
Предположим, что T удовлетворяет неравенству
где δ2 =
δ3 T < 1.
(21)
Z
(22)
Тогда из (20) следует соотношение
Jn ≤ δ4 T
2
tn+1
V dt + γ3 χn ,
tn
δ2
γ2
, γ3 =
.
1 − δ3 T 2
1 − δ3 T 2
Из неравенств (19) и (22) вытекает оценка
Z tn+1
p
V dt ≤ Vn − Vn+1 + γ4 χn ,
где δ4 =
(23)
tn
где p = β − µ − ε − δ1 δ4 T 2 , γ4 = T γ1 + δ1 γ3 .
103
Потребуем, чтобы T удовлетворяло неравенству
δ1 δ4 T 2 < β.
(24)
Тогда найдутся такие µ > 0, ε > 0, что коэффициент p станет положительным.
Нашей дальнейшей целью является получение оценки вида
Vn+1 < δVn + γ∗ χn ,
(25)
где 0 < δ < 1. Для этого сначала оценим V̇ снизу.
Соотношение (15) имеет вид
V̇ = x∗ M (·)x + 2x∗ Hb(·)s∗ (x̄ − x) + 2x∗ Hf (·),
где M (·) = HA1 (·) + A∗1 (·)H + Hb(·)s∗ + sb∗ (·).
Отсюда в силу (16), (17) вытекает неравенство
V̇ ≥ −δ5 V − δ1 kx̄ − xk2 − γ1 χn ,
где
1
sg
upkM (·)k.
λ−
δ5 = µ + ε +
Проинтегрировав это неравенство от tn до t ∈ (tn , tn+1 ], получим соотношение
Z t
V (x(t)) − Vn ≥ −δ5
V dt − δ1 Jn − T γ1 χn ,
tn
из которого в силу (22) вытекает оценка
V (x(t)) ≥ Vn − δ6
Z
tn+1
V dt − γ4 χn ,
tn
где δ6 = δ5 + δ1 δ4 T 2 .
Воспользовавшись этой оценкой и свойством 1, усилим неравенство (23) следующим
образом:
Z
Z
tn+1
Vn − Vn+1 + γ4 χn ≥ p
tn
tn+1
Vn − δ6
≥ δ0 T pVn − pδ6 T
Z
tn
V dt − γ4 χn dt ≥
tn+1
tn
V dt − pT γ4 χn .
Таким образом, получена оценка
Z tn+1
pδ6 T
V dt ≥ (δ0 T p − 1)Vn + Vn+1 − (1 + pT )γ4 χn .
tn
Отсюда и из (23) вытекает соотношение
(δ0 T p − 1)Vn + Vn+1 − (1 + T p)γ4 χn ≤ δ6 T (Vn − Vn+1 + γ4 χn ),
из которого следует требуемая оценка (25) с
δ=
104
1 + δ6 T − δ0 T p
,
1 + δ6 T
γ∗ =
1 + T p + δ6 T
γ4 .
1 + δ6 T
Если T удовлетворяет неравенству
δ0 pT < 1 + δ6 T,
(26)
то 0 < δ < 1. Положим Wn = Vn2 . Тогда в силу (25) при Vn2 > r2 χ2n справедливы
соотношения
1 2 2
Wn+1 − Wn = (δ 2 − 1)Vn2 + 2γ∗ χn Vn + γ∗2 χ2n < (δ 2 − 1 + ε1 )Vn2 + 1 +
γ χ <0
ε1 ∗ n
Здесь r2 =
(1 + ε1 γ∗2
и 0 < ε1 < 1 − δ 2 . Таким образом, справедлива оценка
ε1 (1 − ε1 − δ 2 )
lim Vn ≤ r2 lim |χ2n |.
n→∞
t→+∞
Легко видеть, что
γ∗2
2
r
=
2
√
0<ε1 <1−δ 2
2 − δ2 − 1
min
и он достигается при ε1 =
оценку
p
p
2 − δ 2 − 1. Поэтому, выбрав ε1 = 2 − δ 2 − 1, получаем
lim Vn ≤ γ5 lim |ψ(t)|2 ,
n→∞
t→+∞
(27)
γ∗2
где γ5 = √
2 . Докажем теперь свойство (5).
2
2−δ −1
2
Из очевидного соотношения kx̄−xk2 ≤
(Vn +V (x(t))) и (18) вытекает неравенство
λ−
V̇ ≤
2δ
2δ1
1
Vn +
− β1 V + γ1 ψ 2 (t).
λ−
λ−
Отсюда в силу (23) при tn < t ≤ tn+1 следует оценка
Z
tn+1
tn
V̇ dt ≤
Поскольку V (t) = Vn +
2δ1 T
1 2δ1
Vn +
− β1 (Vn − Vn+1 + γ4 χn ) + γ1 T χn .
λ−
p λ−
Z
(28)
t
V̇ dt, из (27), (28) вытекает неравенство
tn
lim V (x(t)) ≤ γ6 lim |ψ(t)|2 ,
t→+∞
где
t→+∞
(29)
2δ
γ
2δ1
2 2δ1
1
4
γ6 = γ5 1 +
+
− β1 +
− β1
+ γ1 T.
λ−
p λ−
λ−
p
r
γ6
Свойство (5) следует из оценки (29) при γ =
. Таким образом, получен следующий
λ−
результат.
105
Теорема 1. Пусть выполняется неравенство (8), матрица A1 имеет вид (10),
оператор M обладает свойствами 1 и (3), управления ν и ζ определяются формулами (7), (13), (11) и T удовлетворяет оценкам (21), (24), (26). Тогда любое решение
системы (1) обладает свойствами (4), (5).
Рассмотрим теперь второй класс систем, в котором b(x) — последний единичный орт,
а матрица A1 — треугольная:
0 α11 (·)
1
0...
0
.. α21 (·) α21 (·)
1
.
.
.
0
. (30)
b(·) = A1 = ,
..
0 .
αm1 (·) αm2 (·) αm3 (·) . . . αmm (·) 1 Предполагается, что оператор M принадлежит классу G и обладает свойствами 1–4.
В рассматриваемом случае система (9) примет вид
ẋ = A1 (·)x + em ξ + f (·).
(31)
Желая воспользоваться методом усреднения [10, 11], введем функции v(t) = vn при
Z t
tn ≤ t < tn+1 и u(t) =
[ξ(t) − v(t)]dt.
0
Положив в системе (31)
x = y + em u,
(32)
ẏ = A1 (·)y + em v + A1 (·)em u + f (·).
(33)
получим уравнение
В [12] были найдены такие скаляр λ и положительно определенная матрица H, что при
обозначении (11) выполнено неравенство (12), в котором
L(·) = D∗ (·)H + HD(·) + βH,
D = A1 (·) + em s∗ .
Выберем в системе (31) ζ по формуле (13). Тогда соотношение (2) примет вид
vn = s∗ x(t̃n ).
(34)
Представим уравнение (33) в следующем эквивалентном виде:
ẏ = D(·)y + w(·) + f (·),
(35)
где
w(·) = w1 + w2 ,
w1 = em s∗ em ū + A1 (·)em u,
w2 = em s∗ (ȳ − y),
(36)
а чертой отмечены «замороженные» функции, которые при tn ≤ t < tn+1 принимают значение, вычисленное в точке t̃n . Рассмотрим функцию Ляпунова V (y) = y ∗ Hy,
производная которой в силу системы (35) имеет вид
V̇ = y ∗ (HD(·) + D∗ (·)H)y + 2y ∗ Hw + 2y ∗ Hf.
106
(37)
Очевидны неравенства
2y ∗ Hw ≤ µ1 V +
1
1
1
1
kH 2 wk2 , 2y ∗ Hf ≤ ε1 V + kH 2 f k2 ,
µ1
ε1
(38)
где µ1 и ε1 — положительные параметры.
В [10, 11] были получены оценки
|u(t)| ≤ T |v(t)|,
Z
tn+1
tn
u2 (t)dt ≤
T2
3
Z
tn+1
v 2 dt.
(39)
tn
В силу (36) справедливо неравенство
kw1 k ≤ δ7 T |v|,
(40)
где δ7 = kδ8 k + sg
upkA(·)em k, δ8 = ksk. Для w2 очевидна оценка
kw2 k ≤ δ8 kȳ − yk.
(41)
Из (36), (40), (41) вытекает соотношение
kwk ≤ δ7 T |v| + δ8 kȳ − yk.
(42)
Поскольку справедливо представление v = s∗ (ȳ − y) + s∗ y + s∗ em ū, ввиду (39) получаем
неравенство |v| ≤ δ8 (kȳ − yk + kyk) + T δ8|v|. Предположим, что T удовлетворяет оценке
T δ8 < 1.
(43)
|v| ≤ δ9 kȳ − yk + δ9 kyk,
(44)
2
2
kwk2 ≤ 2δ10
kȳ − yk2 + 2δ11
T 2 kyk2 .
(45)
Тогда
δ8
. Согласно (42), (44) получим соотношение kwk ≤ δ10 kȳ − yk + δ11 T kyk,
1 − τ δ8
= δ8 + δ7 δ9 T, δ11 = δ7 δ9 . Отсюда следует неравенство
где δ9 =
где δ10
В силу неравенства Виртингера [10, 11] и (35) справедливы соотношения
Z
tn+1
tn
kȳ − yk2 dt ≤
4T 2
π2
Z
12T 2
≤
π2
tn+1
tn
Z
kDy + w + f k2 dt ≤
tn+1
tn
kDyk2 + kwk2 )dt + γ2 χn .
(46)
Из (45), (46) получаем оценку
Z
tn+1
tn
kwk2 dt ≤
2
24δ10
T2
π2
Z
tn+1
tn
2
(kDyk2 + kwk2 )dt + 2δ11
T2
Z
tn+1
tn
kyk2 dt + γ7 χn ,
2
где γ7 = 2δ10
γ2 . Предположим, что T удовлетворяет неравенству
2
24δ10
T 2 < π2 .
(47)
107
Тогда имеет место соотношение
Z
tn+1
tn
2
kwk dt ≤ δ12 T
2
Z
tn+1
2
kDyk dt + δ13 T
tn
2
Z
tn+1
tn
kyk2 dt + γ8 ψn ,
где
δ12 =
2
24δ10
2 T2,
π 2 − 24δ10
δ13 =
2 2
2δ11
π
2 T2,
2
π − 24δ10
γ8 =
γ7 π 2
2 T2.
π 2 − 24δ10
Отсюда следует оценка
Z
tn+1
tn
kwk2 dt ≤ δ14 T 2
Z
tn+1
tn
где δ14 = δ13 + δ12 sg
upkDk2 .
Поэтому справедливо неравенство
Z
tn+1
tn
λ+
δ14 T 2
kH wk dt ≤
λ−
1
2
2
Z
kyk2 dt + γ8 ψn ,
tn+1
λ+
γ8 ψn .
λ−
V dt +
tn
(48)
Из (37), (38), (12), (48) вытекает соотношение
p1
Z
tn+1
tn
V dt ≤ Vn − Vn+1 + γ9 ψn ,
(49)
где
Vn = V (y(tn )),
p1 = β − µ1 − ε1 −
λ+
δ14 T 2 ,
µ1 λ−
γ9 =
Предположим, что выполнено неравенство
T2 <
λ+
λ+
γ8 +
sg
upkg1 (t)k2 .
µ1 λ−
ε1
λ− β
.
λ+ δ14
Тогда найдутся такие µ1 и ε1 , что p1 > 0. Оценим теперь
(50)
Z
tn+1
V dt снизу.
tn
Поскольку имеет место представление
V̇ = y ∗ M1 (·)y + 2y ∗ Hw + 2y ∗ Hf,
где M1 (·) = D∗ (·)H + HD(·), справедлива оценка
V̇ ≥ −δ15 V −
1
1
1
1
kH 2 wk2 − kH 2 f k2 ,
µ1
ε1
1
sg
upkM1 (·)k. Проинтегрировав это неравенство, приходим в силу
λ−
(48) к соотношению
Z tn+1
V (y(t)) ≥ Vn − δ16
V dt − γ9 χn ,
(51)
где δ15 = µ1 + ε1 +
tn
108
где δ16 = δ15 + µλ1 λ+− δ14 T 2 , Vn = V (y(tn )). С помощью (51) и свойства 1 оператора M
усилим оценку (49) следующим образом:
p1 δ0 T Vn − p1 δ16 T
Z
tn+1
tn
V dt − p1 T γ9 χn ≤ Vn − Vn+1 + γ9 χn .
Отсюда вытекает искомая нижняя оценка:
Z tn+1
p1 δ16 T
V dt ≥ (p1 δ0 T − 1)Vn + Vn+1 − γ9 (1 + p1 T )χn .
tn
Из этого неравенства и (49) следует соотношение
(p1 δ0 T − 1)Vn + Vn+1 − γ9 (1 + p1 T )χn ≤ δ16 T (Vn − Vn+1 + γ9 χn ),
которое при выполнении свойства
δ0 p1 T < 1 + δ16 T
(52)
равносильно неравенству (25) с параметрами
δ=
1 + δ16 T − δ0 p1 T
,
1 + δ16 T
γ∗ =
1 + δ16 T + p1 T
γ9 .
1 + δ16 T
Дальнейшие рассуждения проводятся так же, как при доказательстве теоремы 1. Таким
образом, получен следующий результат.
Теорема 2. Пусть выполнено неравенство (8), матрица A1 и столбец b имеет
вид (30), оператор M обладает свойствами 1–4, управления ν и ζ определяются формулами (7), (13), (11) и T удовлетворяет оценкам (43), (47), (50), (52). Тогда любое
решение системы (1) обладает свойствами (4), (5).
Summary
A. H. Gelig, V. A. Muranov. Stabilization of two classes of nonlinear pulse-modulated systems
with delay.
The Lyapunov function of the quadratic form is used for an analytical synthesis of a robust
stabilizing control for two classes of nonlinear pulse-modulated systems described by functionaldifferential equations with a lagging argument.
Литература
1. Щипанов Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. № 1. C. 4–37.
2. Левина З. М., Левин В. И. Г. В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит, 2004.
3. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. № 2. C. 3–13.
1985. № 2. C. 3–14. № 6. C. 3–14.
4. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания
// ДАН СССР. 1995. Т. 343. № 2. C. 172–175.
5. Якубович В. А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость
выходной переменной системы управления от внешнего воздействия // Докл. РАН. 2001.
Т. 380. № 1. C. 25–30.
109
6. Якубович В. А., Проскурников А. В. Задача об инвариантности системы управления //
Докл. РАН. 2003. Т. 343. № 6. C. 742–746.
7. Зубер И. Е. Инвариантная стабилизация и задача слежения // Вестн. С.-Петерб. ун-та.
Сер. 1. 2006. Вып. 4. С. 41–47.
8. Гелиг А. Х., Зубер И. Е. Инвариантная стабилизация нестационарных систем управления
с внешним воздействием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 2. С. 27–35.
9. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Частотные методы в теории устойчивости систем управления
с импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 2006. № 11. С. 60–76.
10. Гелиг А. Х., Чурилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем.
СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998.
11. Gelig A. Kh., Churilov A. N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998.
12. Гелиг А. Х., Муранов В. А. Стабилизация двух классов нелинейных импульсных систем
с последействием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 3. С. 3–15.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.
110
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
244 Кб
Теги
непрерывного, нелинейные, инвариантная, стабилизацией, система, часть, импульсные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа