close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Использование сопряженных уравнений в задачах управления объемом и качеством воды в водоемах.

код для вставкиСкачать
Известия ЮФУ. Технические науки
Тематический выпуск
УДК 519.8
Н.С. Бузало, А.Н. Никифоров
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ
УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕМОМ И КАЧЕСТВОМ ВОДЫ В ВОДОЕМАХ
Рассмотрена задача управления течениями и переносом вещества в мелководных водоемах. Система водоемов представлена в виде стратифицированного множества, на
котором сформулированы 0D-, 1D- и 2D-модели гидравлики и переноса примеси. Математическая модель включает одно- и двумерные (плановые) уравнения Сен-Венана и конвекции-диффузии, граничные и начальные условия и условия склейки задач при слиянии русел.
Сформулирована задача управления объемом и качеством воды в значимых зонах. Управлениями являются мощности источников сбросов вещества и расход воды на водовыпуске
гидротехнических сооружений. Предложен алгоритм итерационного решения задачи
управления. Получено выражение для градиента функционала, использующее вариацию
Лагранжиана и сопряженную задачу.
Задачи управления для уравнений в частных производных; обратные задачи; методы
оптимизации; течение воды в открытых руслах; уравнения Сен-Венана; уравнения конвекции-диффузии; сопряженные уравнения.
N.S. Buzalo, A.N. Nikiforov
APPLICATION OF CONJUGATE EQUATIONS IN PROBLEMS OF CONTROL
OF WATER VOLUME AND QUALITY IN RESERVOIRS
In presented paper the problem of control for flows and mass transfer in shallow reservoirs
is considered. System of reservoirs is represented as stratified set that has 0D-, 1D- and 2Dhydraulic and admixture transfer models formulated on. Mathematical model includes one- and
two-dimensional (planned) Saint-Venant and convection-diffusion equations, boundary and initial
conditions as well as splice conditions for problems on junction of channels. Control problem for
water volume and quality in significant areas is stated. Parameters to control include source intensity of agent disposal and flow quantity on outlet of waterworks. The algorithm for iterative
solving of control problem is suggested. Expression for gradient of functional using variation of
Lagrangian and conjugate problem is discovered.
Control problem for equations in partial derivatives; inverse problems; optimization methods; water flow in open channels; Saint-Venant equations; convection-diffusion equations; conjugate equations.
Формулировка прямой задачи. Рассмотрим сеть мелководных водоемов.
По аналогии с [1, 2] представим систему водоемов в виде 0D-, 1D- и 2D-моделей
гидравлики и переноса примеси на некотором стратифицированном множестве  .
Пример сети водоемов изображен на рис. 1.
4
2
Г9
Г2
9
8
1
Г6
10
Г1
Рис. 1
36
Г8
7
5
Г3
Г4
Г7
6
Г5
3
Раздел I. Математическое моделирование задач аэро- и гидродинамики
Здесь стратифицированное множество  – это набор замкнутых множеств
10
  0  1   2 , где  0 – множество точек  i i1 , состоящее из граничных
точек  i i1 и точек слияния русел  i i5 . 1 получается добавлением одно4
10
мерных русел i 8i1 и границы двумерного водоема 9 ,  2 – добавлением
внутренности фигуры, ограниченной контуром 9 .
На отрезках i 8i1 неустановившееся одномерное течение воды описывается системой уравнений Сен-Венана, которая включает уравнение неразрывности
и динамическое уравнение:
B
z Q

 gf ,
t x
(1)
⎛ QQ
⎛ 
⎞
Q
Q
z
 ⎛ P ⎞⎞
 2v
 g   Bv 2
 g⎜ 2  ⎜ A ⎟ ⎟  v2 ⎜
 Bi ⎟ 
t
x
x
x ⎝ g  ⎠ ⎠
⎝ x h const
⎠
⎝ K


(2)
 g f v f   BVl V ,
z( x, t )
где
– уровень свободной поверхности,
z ( x , t )  zb ( x )  h ( x , t ) ,
h( x, t ) – глубина потока, zb ( x) – ордината дна русла; Q( x, t ) – расход, Q  v ,
v ( x, t ) – скорость течения, ( x, h( x, t )) – площадь поперечного сечения; B(x,h)
dz ( x ) ;
– ширина свободной поверхности; i ( x) – уклон дна русла, i ( x )   b
dx
1
K – модуль расхода, K  K ( x , h( x, t )) , K  C1 R , C1  1 R 6 , R   ,
n
S
S ( x, h) – смоченный периметр, n – коэффициент шероховатости; PA  x, t  – атмосферное давление на поверхности воды;

– коэффициент ветрового напряжения;
V  (Vl , Vn ) – вектор скорости ветра с компонентами вдоль оси русла и по нормали
русла соответственно; g v – слагаемое, описывающее источники и стоки воды
f f
(путевые потери, осадки, испарение, притоки и стоки),
ника,
vf
– проекция скорости источника на ось x;
Также на отрезках
g
g f ( x, t )
– ускорение силы тяжести.
i i1 задается уравнение конвекции-диффузии, описы8
вающее распространение некоторого вещества в русле
[3]:
c Qc  ⎛ c ⎞
 
 ⎜ k  ⎟  c  f ,
t
x x ⎝ x ⎠
где

– мощность источ-
c – концентрация вещества, осредненная по
(3)
 , k – коэффициент диффузии,
– коэффициент химической трансформации вещества, f – функция мощности
сбросов.
В области
 2 , ограниченной контуром 9 , записываются уравнения мел-
кой воды для двумерного
диффузии:
(планового) течения [1] и уравнение конвекции-
37
Известия ЮФУ. Технические науки
Тематический выпуск
 q1 q2


 q f ( x1, x2 , t ) ,
t x1 x2
(4)
⎛ g v ⎞
q1
 ⎛
PA ⎞
 gH
q   V V1,
⎜ 
⎟  q2  ⎜
2 2 ⎟ 1
t
x1 ⎝
g ⎠
⎝ C2 H ⎠
(5)
⎛ g v ⎞
q2
 ⎛
PA ⎞
 gH
q   V V2 ,
⎜ 
⎟  q1  ⎜
2 2 ⎟ 2
t
x2 ⎝
g ⎠
⎝ C2 H ⎠
C v1C v2C  ⎛ C ⎞  ⎛ C ⎞
.



⎜ k1
⎟
⎜ k1
⎟  C  F
t
x1
x2 x1 ⎝ x1 ⎠ x2 ⎝ x2 ⎠
(6)
  x, t   Z  x, t   Z , x  ( x1, x2 ) , Z – отметка свободной поверхности
– средняя отметка свободной поверхности, H (x)  Z
 Z (x) – средняя
воды, Z
0
Здесь
глубина в точке с координатами
ней по глубине скорости воды,
x , Z0
– отметка дна,
v   v1 , v2 
q   q1, q2   Hv , C2 (H , x)
– вектор сред-
– коэффициент Ше-
V  V1, V2  – вектор скорости ветра на поверхности воды;  – плотность воды; q ( x , x , t ) – мощности источников или стоков
f
1 2
зи,
 –
воды;
зии,
параметр Кориолиса,
С – концентрация, осредненная по глубине; k1 , k2
F – функция мощности источника сбросов вещества.
Участок
9
соответствует береговой линии. Здесь задается равной нулю
qn вектора q
вводится квадратичный закон трения [4]
нормальная составляющая
qn  0 , kL
гдe
– коэффициенты диффу-
kL
, а для тангенциальной компоненты
q
  K1 q q ,
n
– коэффициент горизонтального турбулентного обмена,
q
(7)
K1
– коэффици-
ент бокового трения.
Для концентрации принимается условие
C
 0.
n
В местах стыковки русел
(8)
 i i5 задаются условия сопряжения моделей. При
10
наличии гидротехнических сооружений задан расход жидкости на водовыпуске, равный
q*i . Тогда для случая стыковки двумерной и одномерной моделей:
qn i  Qi  q*i ; q  0 ;
(9)
Qi   Qi   q*i .
(10)
для одномерных:
Отсутствие гидротехнических сооружений означает равенство уровней, примыкающих к узлу, и выполнение баланса расходов [1], [5]:
38
Раздел
I. Математическое моделирование задач аэро- и гидродинамики
Z i  zi
или
∫ vn  dl  Q
i
i
В
ков
(10)–(12) под
Qi
Ã  Ã  ,
j

и
ветственно, т.е.
j


и
Qi 
i
z i   z  i  ,
(11)
Q  Q.
(12)
или
понимается сумма расходов на границах участ-
j
примыкающих к точке слияния
Qi  
∑
k j

Qk i , Qi  
∑ Qk  ;
k j

справа и слева соотпод
i
z i  , z i 
– уро-
вень на границах всех русел, примыкающих к узлу.
Для концентрации вещества при стыковке одномерных моделей записываем
условие непрерывности концентрации, а при стыковке двумерной и одномерной
моделей условие баланса концентрации:
c i   c i 
где
c , c
или
∫ C d   c
 i
i
i
/  i
,
(13)
– концентрация на границах всех русел, примыкающих к узлу.
В граничных точках
i i4 1 задается либо уровень воды, либо расход
h  1 либо Q  2 .
(14)
В начальный момент времени задаются начальные условия:
Ñ t 0  C F , c t 0  cF , q
t 0
 q F , Q t 0  QF ,  t  0   F , h t  0  hF . (15)
Постановка задачи управления. Пусть в подобластях 10 j1   и  02 j2   ,
j1  1,..J1 , j2  1,..J2 необходимо обеспечить выполнение ограничений соответст-
венно по суммарному количеству примеси и объему воды за период времени [0, T].
Управлениями в задаче являются мощности источников вещества f и F , а также
расходы воды на водовыпуске гидротехнических сооружений q*i .
Введем функции [6]
⎧⎪1, x   i0, j ,
i
i  1, 2 , x  x  ( x1, x2 ) или x  x
pi , ji (x) = ⎨
0
⎪⎩0, x  i , ji ,
и составим ограничения для функционалов
T
Y1, j1  ∫
∫
0 0
p1, j1 cˆ d dt  Y 1, j1 ,
(16)
1, j1
а в качестве минимизируемого функционала рассмотрим
⎛T
⎜
⎜
j2 ⎜ 0 0
⎝ 2, j2
Y ∑
∫ ∫
p2, j2 h d dt
2
⎞
 Y 2, j2 ⎟ ,
⎟
⎟
⎠
(17)
39
Известия ЮФУ. Технические науки
Тематический выпуск
где Y 1, j1 и Y 2, j2 – заданные ограничения по качеству и объему воды; ĉ  c или
cˆ  C(H  ) , h  h или h  ( H  ) , в зависимости от того, происходит интегрирование по одномерной или по двумерной области. А также пусть функции
f и F описывают набор точечных источников f m , Fn .
Таким образом, задача управления звучит так. Найти значения fm , Fn , q *i ,
доставляющие минимум функционалу (17) при выполнении ограничений для
функций с, С (16), на решении краевой задачи (1)–(15).
Итерационное решение задачи управления. Будем ориентироваться на какой-либо градиентный метод с возвратом в допустимую область. Для этого получим выражение для градиента функционала Y, используя вариацию Лагранжиана и
сопряженную систему [7]. Обозначим U  (h, Q, c, , q1, q2 , C) – вектор неизвестных функций, а u  ( f m , Fn , q* ) – вектор управлений.
i
Запишем прямую задачу в операторном виде
AU   в  ,
(18)
с граничными условиями и условиями склейки
aU   на  i i1 и 9 .
10
жиан
(19)
Введем сопряженные параметры   ( h* , Q* , c* , * , q1* , q2* , C * ) и Лагран-
L  Y   AU  ,   L
2 ( )
  aU  ,   L ( 10  ) .
i i 1
2
9
(20)
Можно показать, что вариация целевого функционала  Y равна вариации
Лагранжиана  L на решении прямой задачи и задачи в возмущениях.
Вычисляя производную Гато и используя тождество Лагранжа, получаем, что
вариация Лагранжиана под действием возмущения имеет вид
Y  L  (,  ) L2 ( )   ,   L ( 10  ) .
i i 1
2
9
(21)
В результате, решив сопряженную задачу и вычислив  , получаем градиент
целевого функционала Y  Y ( , )   (U ( , ) и можем рассчитать новое приближение u j 1  u j  Y .
Рассмотрев отдельно уравнения (3) и (6) и записав к ним сопряженные, преобразуем ограничения (16) к системе следующих линейных неравенств:
T
∑ fm ∫
m
0
c*j1 ( xm , t ) 
T
∑ Fn ∫ C *j1(xn , t )dt  Y 1, j ,
1
n
j1  1,..J1,
(22)
0
где c*j ( xm , t ) , C *j1 (xn , t ) – решение сопряженных задач для уравнений конвек1
ции диффузии, соответствующих подобластям
вещества.
40
10 j1 , взятых в точках источников
Раздел I. Математическое моделирование задач аэро- и гидродинамики
Таким образом, на каждой итерации соответствует решению одной прямой задачи (1)–(15), одной сопряженной для параметров   (h* , Q* , c* , * , q1* , q2* , C * ) и
j1  1,..., J1 сопряженную задачу для уравнений (3) и (6).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Шугрин С.М. Соединение одномерной и двумерной (плановой) моделей течения воды //
Водные ресурсы. – 1987. – № 5. – С. 5-15.
Воеводин А.Ф., Никифоровская В.С. Численное моделирование неустановившихся гид-
ротермических процессов в водных объектах // Сибирский математический журнал. –
2009. – Т. 12, № 1. – С. 25-30.
. . Управление водно-солевым режимом водохранилищ речного типа при
использовании их для орошения (на примере Веселовского водохранилища на р. Западный Маныч): Дисс. … канд. техн. наук. – Новочеркасск. – 2001. – 120 с.
. . Экспериментальные исследования пространственно-временной неоднородности вод долинного водохранилища // Известия Самарского научного центра Российской
академии наук. – 2009. – Т. 11, № 1. – С. 146-154.
. .,
. . Методы решения одномерных эволюционных систем.
– Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1993ю – 368 с.
. . Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. – М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит. 1992. – 336 с.
. .,
. . Применение сопряженных уравнений и визуальное представление сопряженных параметров в задачах идентификации и управления течением //
Препринты ИМП им. М.В. Келдыша. – 2011. – № 50. 24 c. URL: http://library.keldysh.ru/
preprint.asp?id=2011-50.
Захарченко Н С
Рахуба А В
Воеводин А Ф Шугрин С М
Марчук Г И
Алексеев А К Бондарев А Е
Статью рекомендовал к опубликованию к.т.н. В.В. Нефедов.
Бузало Наталья Сергеевна – Южно-Российский государственный технический универси-
тет (Новочеркасский политехнический институт); e-mail: buzalo.n.s@mail.ru; 346428,
г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132, тел.: 89185324924; физико-математический факультет; кафедра прикладной математики; к.т.н.; доцент.
Никифоров Александр Николаевич
– e-mail: a.n.nikiforov@mail.ru; тел.: 88635255692;
физико-математический факультет; кафедра прикладной математики; к.т.н.; доцент.
Buzalo Natalya Sergeevna – South-Russian state technical university (Novocherkassk polytechnic institute); e-mail: buzalo.n.s@mail.ru; 132, Prosvesheniya street, Novocherkassk, 346428,
Russia; phone: +79185324924; faculty of mathematics and physics; the department of applied
mathematics; cand. of eng. sc.; associate professor.
Nikiforov Alexandr Nikolaevich – e-mail: a.n.nikiforov@mail.ru; phone: +78635255695; faculty of
mathematics and physics; department of applied mathematics; cand. of eng. sc.; associate professor.
УДК 519.6
Н.Б. Иткина
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАССОПЕРЕНОСА
С ТОЧЕЧНЫМ ИСТОЧНИКОМ НА БАЗЕ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА
ГАЛЕРКИНА
Рассматриваются вариационные формулировки для уравнений конвекции-диффузии
на базе разрывного метода Галеркина. Применение разрывного метода Галеркина (Discontinuous Galerkin method) для решения конвективно-диффузионных задач обосновано свойствами локальной консервативности DG- метода, а также его возможностями по применению h- и p-h-стратегий. Такие характеристики метода позволяют избежать появления
нефизичных осцилляций вблизи пограничных и внутренних слоев. В статье исследуется
возможность использования базисов различных порядков, что позволяет разработать
41
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
312 Кб
Теги
объемов, уравнения, использование, водоемах, воды, сопряженное, управления, качество, задача
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа